apostila de estatistica

PROBABILIDADE E ESTAT STICA

(1000 ton) 2500 2000 1500 1000 500 0

Gr fico 4.1. Produ o de Arroz do Munic pio X - 1984-1994

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

Luiz Roberto M. Bastos 2005

Probabilidade e Estat stica

Luiz Roberto

SUM RIO

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2

TEORIA DOS CONJUNTOS NUM RICOS . Introdu o . S mbolos . No es sobre Conjuntos . Conjunto dos N meros Naturais (N) . Conjunto dos N meros Inteiros (Z) . Representa o decimal das fra es . Conjunto dos N meros Irracionais . Conjunto dos N meros Reais (R) . Intervalos . Problemas com n mero finito de elementos . AN LISE COMBINAT RIA . Introdu o . Fatorial de um n mero natural . Princ pio fundamental da contagem - PFC . Arranjos simples . C lculo do n mero de arranjos . Permuta es simples . Permuta es com elementos repetidos . Combina es simples . Exerc cios . PROBABILIDADE . Experimento aleat rio . Espa o amostral .

5 5 5 6 7 8 11 12 12 13 14 17 17 18 19 23 23 25 27 28 33 34 34 35

2

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3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14 4.15 4.16 4.17 4.18

Evento . Probabilidade de um Evento . Evento complementar . Probabilidades em espa os amostrais equiprov veis Probabilidade da uni o de dois eventos . Experi ncia Composta . Probabilidade condicional . ESTAT STICA B SICA . Conceitos fundamentais . Divis o da estat stica . Popula o . Amostragem . Amostra . Censo . Tipos de vari veis . Defini o do problema . Defini o dos objetivos (geral e espec fico) . Planejamento . Coleta dos dados . Cr tica dos dados . Apura o (armazenamento) dos dados . Exposi o ou apresenta o dos dados . An lise e interpreta o dos dados . Regras de arredondamento . S rie temporal, hist rica ou cronol gica . Gr ficos estat sticos .

36 36 38 38 43 45 46 48 48 49 50 52 52 52 53 54 55 56 56 57 58 58 59 59 60 61

3

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4.19

Principais tipos de gr ficos .

62 62 63 65 66 67 68 69 74 75 76 79 79 81 82 83 84 88 88 88 91

4.19.1 Gr ficos em curvas ou em linhas . 4.19.2 Gr ficos em colunas . 4.19.3 Gr ficos em barras . 4.19.4 Gr fico em colunas m ltiplas (agrupadas) . 4.19.5 Gr fico em barras m ltiplas (agrupadas) . 4.19.6 Gr fico em setores . 4.20 4.21 4.22 Distribui o de freq ncias . Distribui es cumulativas . Medidas de posi o (ou de tend ncia central) .

4.22.1 M dia aritm tica . 4.22.2 Esperan a matem tica . 4.22.3 Moda (mo) . 4.22.4 Mediana (md) . 4.22.5 Medidas de dispers o (medidas de variabilidade) . 4.22.6 Vari ncia . 4.22.7 Desvio-padr o . 4.23 4.23.1 4.23.2 Distribui es discretas de probabilidade . Distribui o de "bernoulli" . Distribui o binomial .

BIBLIOGRAFIA .

4

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1

TEORIA DOS CONJUNTOS NUM RICOS

1.1 Introdu o Conjuntos num ricos s o certos conjuntos cujos elementos s o n meros que guardam entre si alguma caracter stica comum. Tais conjuntos possuem elementos perfeitamente caracterizados e, dentre eles, o conjunto dos n meros naturais, dos inteiros, dos racionais, dos irracionais e, por fim, o dos n meros reais. O conjunto dos n meros naturais surgiu da necessidade de se contarem os objetos; os outros foram surgindo com amplia es do conjunto dos n meros naturais. Para se trabalhar com conjuntos, s o adotados s mbolos que representam os relacionamentos entre eles. 1.2 S mbolos

: pertence : n o pertence : est contido : n o est contido : cont m : n o cont m

: existe : n o existe : para todo (ou qualquer que seja) : conjunto vazio N N: conjunto dos n meros naturais Z : conjunto dos n meros inteiros Q: conjunto dos n meros racionais Q'= I: conjunto dos n meros irracionais R: conjunto dos n meros reais : existe

I

: tal que : implica que : se, e somente se : pertence

: ou

:e

S mbolos sobre Opera es

: A intersec o B : A uni o B a - b: diferen a de a com b a b: a menor que b : a menor ou igual a b

a b: a maior que b : a maior ou igual a b : a e b : a ou b

5

: Diferente

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1.3

No es sobre Conjuntos Conjunto vazio: um conjunto que n o possui elementos. O conjunto

vazio representado por Subconjuntos: quando

ou { }. todos os elementos de um conjunto A qualquer

pertencem a um outro conjunto B, diz-se, ent o, que A um subconjunto de B, ou seja A B.

Obs.:

Todo o conjunto A subconjunto dele pr prio, ou seja

;

- O conjunto vazio, por conven o, subconjunto de qualquer conjunto, ou seja

Uni o de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como uni o dos conjuntos A e B ao conjunto representado por elementos pertencentes a A ou B, ou seja: , formado por todos os .

Intersec o de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como intersec o dos conjuntos A e B ao conjunto representado por por todos os elementos pertencentes a A e , formado

B, simultaneamente, ou seja:

Diferen a

de

Conjuntos:

dados

os

conjuntos

A

e

B,

define-se

como

diferen a entre A e B (nesta ordem) ao conjunto representado por A-B, formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que n o pertencem a B, ou seja

6

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1.4

Conjunto dos N meros Naturais (N)

N o conjunto dos n meros naturais:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ., n, .}

Onde n representa o elemento gen rico do conjunto.

Sempre que poss vel, procuraremos destacar o elemento gen rico do conjunto em quest o. Quando houver "." ao final dos elementos de um conjunto, trata-se de um conjunto de infinitos elementos, como acontece com N. O conjunto N pode ser representado geometricamente por meio de uma reta numerada; escolhemos sobre essa reta um ponto de origem (correspondente ao n mero zero), uma medida unit ria e uma orienta o (geralmente para a direita).

unidade

O conjunto dos n meros naturais possui alguns subconjuntos importantes: 1 O conjunto dos n meros naturais n o nulos

N* ={1, 2, 3, 4, 5, ., n, .}

N* = N - {0}

Utilizamos o * (asterisco) direita do nome do conjunto do qual se quer suprimir o elemento zero. 2 O conjunto dos n meros naturais pares:

Np={0, 2, 4, 6, ., 2n, .}

n

N

3

O conjunto dos n meros naturais mpares:

Ni={1, 3, 5, 7, ., 2n+1, .}

7

n

N

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4

O conjunto dos n meros primos:

Pi={2, 3, 5, 7, 11, 13 .}

No conjunto dos n meros naturais est o definidas duas opera es: adi o e multiplica o. Note que adicionando ou multiplicando dois elementos quaisquer de N, a soma ou o produto pertence igualmente a N. Em s mbolos, temos:

m,n

N, m + n

N

e

m*n

N

Essa caracter stica pode ser sintetizada na frase: "N fechado em rela o adi o e multiplica o".

1.5

Conjunto dos N meros Inteiros (Z)

Z={., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,.}

Todos os elementos de N pertencem tamb m a Z, o que vale dizer que N subconjunto de Z:

N

Z

ou Z

N

Temos tamb m outros subconjuntos de Z:

Z* = Z - {0}

Z* = {., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, .}

conjunto dos inteiros n o negativos conjunto dos inteiros positivos conjunto dos inteiros n o positivos conjunto dos inteiros negativos

Z+ = {0,1,2,3,4,5,.} Z * = {1,2,3,4,5,.} +

Z = {., -4, -3, -2, -1, 0}

Z * = {., -4, -3, -2, -1}

Observe que

Z+ = N.

8

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N meros Opostos Dois n meros inteiros s o ditos opostos um do outro quando apresentam soma zero; assim, os pontos que os representam distam igualmente da origem (zero). Considerando os n meros inteiros ordenados sobre uma reta, podemos tomar como exemplo o n mero 2. O oposto de 2 2, e o oposto de 2 2, pois: 2 + (-2) = -2 + 2 = 0

2 unidades

2 unidades

No geral, dizemos que o oposto (ou sim trico) de a -a., e vice-versa; particularmente, o oposto de zero o pr prio zero.

M dulo de um n mero inteiro Damos o nome de m dulo, ou valor absoluto de a, dist ncia da origem ao ponto que representa o n mero a.

Conjunto dos N meros Racionais (Q) O conjunto Z fechado em rela o s opera es adi o, multiplica o e subtra o, mas o mesmo n o acontece divis o: embora (-12):(+4) = -3 Z, n o existe n mero inteiro x para o qual se tenha x = (+4) : (-12). Por esse motivo, fez-se uma amplia o do conjunto Z, da qual surgiu o conjunto dos n meros racionais. O conjunto dos n meros racionais inicialmente descrito como o conjunto dos quocientes entre dois n meros inteiros. Os n meros racionais s o todos aqueles que podem ser colocados na forma de fra o (com o numerador e denominador positivas e negativas. 9 Z), ou seja, o conjunto dos n meros racionais a uni o do conjunto dos n meros inteiros com as fra es

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Q =

2 2 1 1 p 0, 1, , ,. 2, , ,., ,. 3 5 2 3 q

I

p e q inteiros e q 0

Utilizando o elemento gen rico, podemos dizer que:

Q =

p q

I

p

Z e q

Z*

Desta forma, podemos definir Q como o conjunto das fra es

p ; q

assim,

um n mero racional quando pode ser escrito como uma fra o inteiros e q 0. Quando q = 1, temos subconjunto de Q. Assim, podemos construir o diagrama:

p , com p e q q

p = q

p = p 1

Z, de onde se conclui que Z

N

Z

Q

No conjunto Q destacamos os seguintes sub-conjuntos: Q : conjunto dos racionais n o nulos Q+ : conjunto dos racionais n o negativos Q + : conjunto dos racionais positivos Q : conjunto dos racionais n o positivos Q : conjunto dos racionais negativos O conjunto Q fechado para as opera es adi o, subtra o,

* * *

multiplica o e divis o.

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Exemplos:

-3 -6 -9 = = 1 2 3 1 2 3 b) 1 = = = 1 2 3 a) - 3 =

Assim, podemos escrever:

Q = {x x =

p , com p Z , q Z e q 0} q

1.6

Representa o decimal das fra es Tome um n mero racional

p , tal que p n o m ltiplo de q. q

Para escrev -lo na forma decimal, basta efetuar a divis o do numerador pelo denominador. Nessa divis o podem ocorrer dois casos: 1 ) O n mero decimal obtido possui, ap s a v rgula, um n mero finito de algarismos (n o nulos):

1 = 0,5 2

-

5 = -1,25 4

75 = 3,75 20

Tais n meros racionais s o chamados decimais exatos. 2 ) O n mero decimal obtido possui, ap s a v rgula, infinitos algarismos (nem todos nulos), que se repetem periodicamente:

1 = 0,333. = 0,3 3 1 = 0,0454545. = 0,045 22

9 = 0,777. = 0,7 7 167 = 2,5303030. = 0,530 66

11

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Toda decimal exata ou peri dica pode ser representada na forma de n mero racional. 1.7 Conjunto dos N meros Irracionais (I) Os n meros irracionais s o decimais infinitas n o peri dicas, ou seja, os n meros que n o podem ser escritos na forma de fra o (divis o de dois inteiros). Vejamos alguns exemplos: 1. 2. 3. O n mero 0,212112111. n o d zima peri dica, pois os algarismos ap s a v rgula n o se repetem periodicamente. O n mero 0,203040. tamb m n o comporta representa o fracion ria, pois n o d zima peri dica. Os n meros

=3,1415926535. ,

2 = 1,4142136. e

3 = 1,7320508.

por n o apresentarem representa o infinita peri dica, tamb m n o s o n meros racionais.

1.8

Conjunto dos N meros Reais (R) Dados os conjuntos dos n meros racionais (Q) e dos irracionais (I),

definimos o conjunto dos n meros reais como:

R = Q I = {x x racional ou x irracional}

O diagrama abaixo mostra a rela o entre os conjuntos num ricos:

I

R

12

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Al m desses (N, Z, Q, I), o conjunto dos n meros reais apresenta noutros subconjuntos importantes: R* = {x R+ = {x R * = {x + R- = {x R * = {x - R I x 0} R I x 0} R I x 0} R I x 0} R I x 0} conjunto dos n meros reais n o nulos conjunto dos n meros reais n o negativos conjunto dos n meros reais positivos conjunto dos n meros reais n o positivos conjunto dos n meros reais negativos

Portanto, os n meros naturais, inteiros, racionais e irracionais s o todos n meros reais. Como subconjuntos importantes de "I" temos:

I* = I - {0} I+ = conjunto dos n meros reais n o negativos I = conjunto dos n meros reais n o positivos

Entre dois n meros inteiros existem infinitos n meros reais. Ex: Entre os n meros 1 e 2 existem infinitos n meros reais: 1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; 1,1 ; 5,01 ; 5,02 ; 5,05 ; 1.9 Intervalos 5,1 ; 1,2 5,2 ; 1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 1,9999 . ; 5,5 ; 5,99 ; 5,999 ; 5,9999 . Entre os n meros 5 e 6 existem infinitos n meros reais:

a) Intervalo Aberto: ]a,b[ = {x

R

I

a x b}

3

5

b) Intervalo Fechado: [a,b] = {x

R

I

a x b}

3

5

c) Intervalo aberto direita: [a,b[ = {x

R

I

a x b}

3

5

d) Intervalo aberto esquerda: ]a,b] = {x

R

I

a x b}

3 13 5

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Existem ainda os intervalos infinitos: e) ]-,a] = {x

R

I I I I

x a}

3

f)

]-,a[ = {x

R

x a}

3

g)

[a, +[ = {x

R

x a}

3

h)

]a, +[ = {x

R

x a}

3

1.10

Problemas com n mero finito de elementos

Exemplo 1 O Instituto de Meteorologia de Curitiba quis fazer um estudo de varia o da temperatura sombra e mediu-a de hora em hora, conforme a tabela abaixo:

Hora Temperatura 0 7 1 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 2 7 3 8 5 9 7 10 12 11 15

Hora Temperatura

12 18

13 18

14 20

15 20

16 20

17 18

18 15

19 13

20 11

21 9

22 8

23 7

Nesse exemplo, s o medidas duas grandezas: a hora do dia e a correspondente temperatura. A cada hora corresponde uma nica temperatura. Dizemos, por isso, que a temperatura fun o da hora. Como mesma temperatura podem corresponder v rias horas, a hora n o fun o da temperatura. Exemplo 2 Uma barraca na praia da Barra da Tijuca vende cocos e exibe a seguinte tabela:

N meros de cocos Pre o (R$) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,80 10 12,00

1,20 2,40 3,60 4,80 6,00 7,20 8,40 9,60

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Nesse exemplo est o sendo medidas duas grandezas: o n mero de cocos e o respectivo pre o. A cada quantidade de cocos corresponde um nico pre o. Dizemos, por isso, que o pre o fun o do n mero de cocos comprados. Aqui poss vel at achar a f rmula que estabelece a rela o de interdepend ncia entre o pre o (y) e o n mero de cocos (x): y = 1,20 x. Exemplo 3 Um pedreiro vai ladrilhar uma sala de 3 x 3 metros. Com ladrilhos quadrados, todos iguais entre si. Se ele pode escolher ladrilhos com lados 10 cm, 12 cm, 15 cm, 20 cm, 25 cm e 30 cm, qual o n mero de ladrilhos que usar em cada caso? Para achar o n mero de ladrilhos (y), basta dividir a rea da sala (9m2) pela rea do ladrilho (em m2). Se o lado mede x m2, ent o a f rmula que relaciona y com x : y = 9/x2.

Medida do lado do ladrilho (x) N mero de ladrilhos (y) 0,10 900 0,12 625 0,15 400 0,20 225 0,25 144 0,30 100

Exerc cios 1. A tabela abaixo indica o deslocamento de um m vel num dado intervalo de tempo:

Intervalo de tempo (s) Deslocamento (cm) 0 0 1 3 2 6 3 9 4 12 5 15 6 18 7 21 8 24 9 27 10 30

a) Qual o deslocamento do m vel num intervalo de 4 segundos? b) Qual o intervalo de tempo correspondente a um deslocamento de 21 cm? c) O deslocamento fun o do intervalo de tempo? d) Qual o deslocamento d num intervalo de tempo t? (supor velocidade do m vel constante). 2. A tabela abaixo indica o custo de produ o de certo n mero de pe as de autom vel:

N mero de pe as Custo (R$) 1 1 2 4 3 9 4 16 5 25 6 36

15

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a) Qual o custo da produ o de tr s pe as? b) Qual o n mero de pe as produzidas com R$25,00? c) Qual o custo c da produ o de n pe as? d) Com rela o ao item anterior, qual o numero m ximo de pe as produzidas com R$1.000,00?

3.

O pre o do servi o executado por um pintor consiste em uma taxa fixa, que de R$250,00, e mais uma quantia que depende da rea pintada. A tabela seguinte mostra alguns or amentos apresentados pelo pintor:

rea pintada (m2) Total a pagar (R$)

5 350

10 550

15 700

20 850

30 1.150

40 1.450

80 2.050

a) Como se exprime, matematicamente, o total a pagar (y) pela pintura de x m2? b) Qual o pre o cobrado pela pintura de uma rea de 150 m2? c) Qual a rea m xima que pode ser pintada dispondo-se de R$6.250,00? 4. O num erro de y pessoas (em milhares) que tomam conhecimento do resultado de um jogo de futebol, ap s x horas de sua realiza o dado por y = 10 x . Responda: a) Quantas pessoas sabem o resultado do jogo ap s 4 horas? b) Quantas pessoas sabem o resultado do jogo ap s um dia? c) Ap s 5. quantas horas de sua realiza o, 30 mil pessoas tomam conhecimento do resultado do jogo? A velocidade m dia de um autom vel em uma estrada de 90 Km/h. Responda: a) Qual a dist ncia percorrida pelo autom vel em uma hora? b) Em quanto tempo o autom vel percorre a dist ncia de 360 Km? c) Qual 6. a express o matem tica que relaciona a dist ncia percorrida (d) em fun o do tempo (t)? Um professor prop e a sua turma um exerc cio-desafio, comprometendo-se a dividir um pr mio de R$120,00 entre os acertadores. Seja x o n mero de acertadores (x = 1, 2, ., 40) e y a quantia recebida por cada acertador (R$). Responda: a) y fun o de x? Por qu ? b) Quais os valores de y para x=2, x=8, x=20 e x=25? c) Qual o valor m ximo que y assume? d) Qual a lei de correspond ncia entre x e y?

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2

2.1

AN LISE COMBINAT RIA

Introdu o: A necessidade de calcular o n mero de possibilidades existentes nos

chamados jogos de azar levou ao desenvolvimento da An lise Combinat ria. Trata-se de uma parte da Matem tica que estuda os m todos de contagem. Esses estudos foram iniciados j no s culo XVI, pelo matem tico italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia. Depois dele vieram os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662).

Pascal

Fermat

Tartaglia

A An lise Combinat ria visa desenvolver m todos que permitam contar - de uma forma indireta - o n mero de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condi es. Consideremos o seguinte problema: Uma lanchonete oferece a seus clientes apenas dois tipos de sandu ches: hot dog e hamb rger. Como sobremesa, h tr s op es: sorvete, torta ou salada de frutas. Pergunta-se: quantas s o as possibilidades de uma pessoa fazer uma refei o incluindo um sandu che e uma sobremesa? Podemos ter as seguintes refei es: a) b) hot dog e sorvete hot dog e torta

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c) d) e) f)

hot dog e salada de frutas hamb rger e sorvete hamb rger e torta hamb rger e salada de frutas

A determina o de tais possibilidades pode ser simplificada atrav s de um diagrama, em que, na 1 coluna, representaremos as possibilidades de escolha do sandu che e, na 2 coluna, as possibilidades de escolha da sobremesa. 1 coluna sorvete hot dog torta salada de frutas sorvete hamb rger torta salada de frutas 2 coluna Refei o 1 Refei o 2 Refei o 3 Refei o 4 Refei o 5 Refei o 6

Este esquema conhecido como diagrama de rvore. Fazendo a leitura de todas as "ramifica es" da rvore, obtemos as poss veis refei es. Notemos que fazer uma refei o completa representa uma a o constitu da de duas etapas sucessivas: 1 2 escolha do tipo de sandu che: h duas possibilidades de fazer tal escolha. escolha da sobremesa: para cada uma das possibilidades anteriores, h tr s maneiras de escolher a sobremesa. Assim, a realiza o da a o (duas etapas sucessivas) pode ser feita de 2 x 3 = 6 maneiras distintas que foram anteriormente indicadas. 2.2 Para Fatorial de um n mero natural resolver problemas de An lise Combinat ria precisamos utilizar uma

ferramenta matem tica chamada Fatorial. Seja n um n mero inteiro n o negativo. Definimos o fatorial de n (indicado pelo s mbolo n!) como sendo: para n 2.

n! = n . (n-1) . (n-2) . . . 4 . 3 . 2 . 1 Se n = 1, ent o 1! = 1. Se n = 0, ent o 0! = 1.

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Exemplos: a) 6! = 6 . 5! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720 b) 4! = 4. 3! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 c) 7! = 7 . 6! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5040 d) 10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 e) 3! = 3 . 2 . 1 = 6 Perceba que 7! = 7 . 6 . 5 . 4!, ou que 6! = 6 . 5 . 4 . 3!, e assim sucessivamente. Rela o de correspond ncia:

N! = n . (n 1)! ,

n

N*

e

n 2

Exerc cios: 1) efetuar:

8! 6! (8!+7! ) 6! (n + 1)! (n - 1)! (n - 4)! (n - 3)! (6!-5! ) + 0! 5! (n + 2)! (n + 1)! (10!+9! ) 11! 7! 6! 8! + + 6! 7! 6!

2) efetuar:

3) efetuar:

4) efetuar:

5) efetuar:

6) efetuar:

7) efetuar:

8) efetuar:

9) efetuar: 6! - 20 10) Resolva a equa o: (n+2)! = 6n! 11) Resolva a equa o: 2.3

(2n)! = 12 (2n - 2)!

Princ pio fundamental da contagem - PFC Suponhamos que uma a o seja constitu da de duas etapas sucessivas. A

primeira etapa pode ser realizada de p maneiras distintas. Para cada uma

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dessas possibilidades, a 2 etapa pode ser realizada de q maneiras distintas. Ent o, o n mero de possibilidades de se efetuar a a o completa dado por p x q. Esse princ pio pode ser generalizado para a es constitu das de mais de duas etapas sucessivas. Se determinado acontecimento ocorre em etapas independentes, e se a primeira maneiras etapa pode ocorrer e assim de k1 maneiras diferentes, ent o o a segunda total de T k2 de diferentes, sucessivamente, n mero

maneiras de ocorrer o acontecimento, composto por n etapas, dado por: T = k1. k2 . k3 . . . kn Exemplo 1 No Brasil as placas dos ve culos s o confeccionadas usando-se 3 letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o n mero m ximo de ve culos que poder ser licenciado? Imaginemos a seguinte situa o: Placa ACD 2172. Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema num rico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a 1 posi o, temos 26 alternativas, e como pode haver repeti o, para a 2 , e 3 tamb m teremos 26 alternativas. Com rela o aos algarismos, conclu mos facilmente que temos 10 alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos ent o afirmar que o n mero total de ve culos que podem ser licenciados ser igual a: 26 . 26 . 26 . 10 . 10 . 10 . 10 = 175.760.000. Exemplo 2 No Brasil, antes da altera o do sistema de emplacamento de autom veis, as placas dos ve culos eram confeccionadas usando-se 2 letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o n mero m ximo de ve culos que podia ser licenciado neste sistema? Imaginemos a seguinte situa o: Placa AC 2172. Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema num rico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a 1 posi o, temos 26 alternativas, e como pode haver repeti o, para a 2 , tamb m teremos 26 alternativas. Com rela o aos algarismos, conclu mos facilmente que temos 10 alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos ent o afirmar que o n mero total de ve culos que podem ser licenciados ser igual a: 26 . 26 . 10 . 10 . 10 . 10 = 6.760.000.

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Percebe-se que a inclus o de apenas uma letra faz com que sejam licenciados, aproximadamente, mais 170.000.000 de ve culos. Exemplo 3 H quatro estradas ligando as cidades e A e B, e tr s estradas ligando as cidades B e C. De quantas maneiras distintas pode-se ir de A a C, passando por B? Fazer a viagem de A a C pode ser considerado uma a o constitu da de duas etapas sucessivas: 1 2 ir de A at B: teremos quatro possibilidades ir de B a C: para cada uma das possibilidades anteriores, h tr s =12.

maneiras de chegar a C, a partir de B. Assim, o resultado procurado 4 x 3 Exemplo 4 Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos n meros de tr s algarismos distintos podemos formar? Formar um n mero de tr s algarismos pode ser considerado uma a o constitu da de tr s etapas sucessivas: 1 2 escolha do algarismo das centenas: s o seis possibilidades. escolha do algarismo das dezenas: como n o pode haver repeti o de

algarismo, devemos ter um algarismo diferente do algarismo escolhido para a centena. Assim, h cinco possibilidades. 3 escolha do algarismo das unidades: devemos ter um algarismo diferente dos dois algarismos escolhidos para a centena e para a dezena. Assim, h quatro possibilidades. Pelo PFC, o resultado : 6 x 5 x 6 = 120 n meros. Exemplo 5 Uma prova consta de 10 quest es do tipo V ou F. De quantas maneiras distintas ela pode ser resolvida? Resolver a prova representa uma a o constitu da de 10 etapas sucessivas, que correspondem resolu o das 10 quest es propostas. Para cada quest o, h duas possibilidades de escolha de resposta: V ou F. Logo, pelo PFC, o resultado : 2 x 2 x 2 . x 2 = 210 = 1.024 possibilidades.

10 vezes

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Exemplo 6 Quantos n meros de tr s algarismos podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7? Algarismo das centenas: com exce o do zero, qualquer um dos algarismos dados pode ser escolhido, havendo, portanto, sete possibilidades. Algarismo das dezenas: n o h restri o alguma, pois pode haver repeti o de algarismos. Assim, h oito possibilidades. Algarismo das unidades: analogamente ao anterior, h oito possibilidades. Logo, pelo PFC: Exemplo 7 Quantos n meros mpares de tr s algarismos distintos podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7? Algarismo das unidades: h quatro possibilidades (1, 3, 5 e 7). Algarismo das centenas: h seis possibilidades devemos excluir o zero e o algarismo escolhido para a unidade. Algarismo das dezenas: h seis possibilidades devemos escolher algarismos diferentes dos algarismos escolhidos para a centena e unidade. Assim, pelo PFC, temos: 6 x 6 x 4 = 144 n meros. Todo problema de contagem pode, pelo menos teoricamente, ser resolvido pelo PFC. Por m, na pr tica, a resolu o de alguns desses problemas pode se tornar muito complicada. Dessa forma, estudaremos t cnicas de contagem de determinados agrupamentos baseados no PFC as quais simplificar o a resolu o de muitos problemas. Consideraremos combina es. Exemplo 8 Determine acento). Solu o: Temos 10 elementos, com repeti o. Observe que a letra M est repetida duas vezes, a letra A tr s , a letra T, duas vezes. Na f rmula anterior, teremos: n=10, a=2, b=3 e c=2. Sendo k o n mero procurado, podemos escrever: k= 10! / (2!.3!.2!) = 151.200 anagramas o n mero de anagramas da palavra MATEM TICA.(n o considere o sempre os agrupamentos simples: arranjos, permuta es e 7 x 8 x 8 = 448.

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2.4

Arranjos simples

Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se arranjo dos n elementos, tomados k a k, a qualquer seq ncia ordenada de k elementos distintos escolhidos entre os n existentes. Temos um Arranjo quando os agrupamentos conseguidos ficam diferentes ao se inverter a posi o dos seus elementos. Perceba que para formar centenas com algarismos distintos, utilizando apenas os 5 primeiros algarismos mpares (1; 3; 5; 7; 9) teremos as seguintes centenas: 135; 137; 139; 153, 157, e assim sucessivamente. Se invertermos a posi o dos elementos de qualquer uma destas centenas conseguiremos outra centena diferente: 135 351. Temos ent o um ARRANJO de cinco elementos tomados de tr s em tr s. Exemplo 1 Dado o conjunto A = (1, 2, 3, 4), vamos escrever todos os arranjos desses quatro elementos tomados dois a dois. (1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 1); (2, 3); (2, 4); (3, 1); (3, 2); (3, 4); (4, 1); (4, 2); (4, 3) Notamos que (2, 3) (3, 2), isto , a troca na ordem dos elementos de um poss vel agrupamento gera um agrupamento diferente. Exemplo 2 Um cofre possui um disco marcado com os d gitos 0,1,2,.,9. O segredo do cofre marcado por uma seq ncia de 3 d gitos distintos. Se uma pessoa tentar As abrir o cofre, ser o do quantas tipo tentativas Para a dever fazer(no m ximo) para 10 conseguir abri-lo? seq ncias xyz. primeira posi o teremos alternativas, para a segunda, 9 e para a terceira, 8. Aplicando a f rmula de arranjos pelo PFC, chegaremos ao mesmo resultado: 10.9.8 = 720. Observe que 720 = A10,3 2.5 C lculo do n mero de arranjos

Seja um conjunto de n elementos distintos. Vamos encontrar uma express o para o n mero de arranjos dos n elementos tomados k a k (An,k). Escrever um arranjo de n elementos formados k a k significa escrever uma seq ncia ordenada de k elementos distintos (k n), escolhidos entre os n

23

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dispon veis. Assim, pelo PFC, a a o pedida consta de k etapas sucessivas, que correspondem s escolhas dos k elementos.

1 etapa etapa

(h n elementos para serem escolhidos)

2 etapa

(como os elementos devem ser distintos, h n-1 possibilidades)

3 etapa

.

k- sima

n

n 1

n 2

n (k 1)

Desta forma, o n mero total de arranjos dos n elementos tomados k a k : An,k = n . (n 1) . (n 2) . (n - k +1) Multiplicando e dividindo a express o acima por (n k)! = (n k) (n k 1) . 3 . 2 . 1 An,k = n (n 1) (n 2) . (n - k +1) . Isto : An,k = vem:

(n - k )(n - k - 1).3.2.1 , (n - k )(n - k - 1).3.2.1

n! (n - k )!

n

k

Exemplo 3 Obter o valor de A4,2 + A7,3.

Temos

A4,2 =

4! 4! 4.3.2! = = = 12 (4 - 2)! 2! 2! 7! 7! 7.6.5.4! = = = 210 (7 - 3)! 4! 4!

A7,3 =

Exemplo 4 O quadrangular de um torneio mundial de basquete disputado por quatro sele es: Brasil, China, Holanda e It lia. De quantas maneiras distintas podemos ter os tr s primeiros colocados? Um poss vel resultado do torneio Holanda (campe ), Brasil (2 ) e It lia (3 ). Se trocarmos a ordem desses elementos, obtemos, entre outras, Brasil

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(campe o), It lia (2 ) e Holanda (3 ), que um resultado diferente do anterior. Dessa forma, cada resultado do torneio um arranjo das quatro equipes tomadas tr s a tr s. Assim, o n mero de possibilidades : An,k =

n! (n - k )!

A4,3 =

4! (4 - 3)!

=

4! 1!

=

24

Exemplo 5 A senha de um cart o de banco formada por duas letras distintas seguidas por uma seq ncia de tr s algarismos distintos. Quantas senhas poderiam ser confeccionadas? Como importa a ordem que s o escolhidas as letras, o n mero de maneiras de escolh -las dado por A26,2. Analogamente, a seq ncia de tr s algarismos distintos pode ser escolhida de A10,3. Pelo PFC, o n mero de senhas que podem ser confeccionas : A26,2

x

A10,3

=

650 x 720

=

468.000.

Exemplo 6 Usando-se as 26 letras do alfabeto (A,B,C,D,.,Z), quantos arranjos distintos com 3 letras podem ser montados? An,k =

n! (n - k )!

,

n=26, k=3

Resposta: A =

26! 26 . 25 . 24 . 23! = = 26.25.24 = 15600 23! 23!

2.6

Permuta es simples

Permuta es simples de n elementos distintos s o os agrupamentos formados com todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos. De outro modo, podemos entender permuta o simples como um caso especial de arranjo, onde n = k, ou seja: An,k =

n! (n - k )!

=

n! 0!

=

n! = n! 1

Pn

=

Chega-se ent o rela o:

n! 25

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Notemos que a permuta o um caso particular de arranjo, pois, dado um conjunto de n elementos distintos, selecionamos exatamente n elementos para forma a seq ncia ordenada. Exemplo 1 Escrever todos os anagramas da palavra SOL. Um anagrama da palavra SOL qualquer permuta o das letras S, O, L de modo que se forme uma palavra com ou sem sentido. Assim, temos: Exemplo 2 De quantas maneiras cinco pessoas, A, B, C, D e E fila indiana? Cada maneira de compor a fila uma permuta o das cinco pessoas, pois qualquer fila obtida uma seq ncia ordenada na qual comparecem sempre as cinco pessoas. Assim, o resultado esperado : Exemplo 3 Baseado no exemplo anterior, quantas filas podem ser compostas come ando por A ou B? A 1 posi o da fila pode ser escolhidas de duas maneiras (pois tanto A como B pode inici -la). Definido o in cio da fila, restar o sempre quatro lugares para serem = 24 preenchidos pelas quatro pessoas restantes, num total de P4 = 4! possibilidades. Pelo PFC, o resultado : 2 x 24 = 48. Exemplo 4 Oito pessoas, entre elas, Antonio e Pedro, v o posar para uma foto. De quantas maneiras elas podem ser dispostas se Antonio e Pedro se recusarem-se a ficar lado a lado? Caso n o houvesse a restri o mencionada, o n mero total de possibilidades seria: P8 = 8! = 40.320. Para determinar o n mero de possibilidades em que Antonio e Pedro aparecem juntos, vamos consider -los uma s pessoa, que ir permutar com as seis restantes, num total de: P5 = 5! = 120 podem ser dispostas em SOL, SLO, OSL, OLS, LOS, LSO.

26

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P7 = 7! = 5.040 maneiras. Por m, para cada uma das possibilidades acima, Antonio e Pedro podem trocar de lugar entre si, num total de: P2 = 2! = 2. Desta forma, o n mero de possibilidades em que Antonio e Pedro aparecem juntos : 2x 5.040 A diferen a = 10.080. fornece o n mero de situa es em que 40.320 10.080 = 30.240

Antonio e Pedro n o aparecem lado a lado. Exemplo 5 Quantas possibilidades de agrupamentos h com os elementos A,B,C? S o poss veis as seguintes permuta es: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA. De forma matem tica: P3 = 3! = 3 . 2 . 1 = 6 Exemplo 6 Calcule o n mero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um banco retangular de cinco lugares. P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 Exemplo 7 Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que podem ter ou n o significado na linguagem comum. Os poss veis anagramas da palavra REI s o: REI, RIE, ERI, EIR, IRE e IER. Calcule o n mero de anagramas da palavra MUNDIAL. P7 = 7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5040 2.7 Permuta es com elementos repetidos

Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b elementos repetidos, c elementos repetidos e assim sucessivamente, o n mero total de permuta es que podemos formar dado por: Pn

(a,b,c)

=

n! a!b! c!

Exemplo 1 Determine acento) Temos 10 elementos, com repeti es. A letra M est repetida duas vezes, a o n mero de anagramas da palavra MATEM TICA.(n o considere o

27

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letra A tr s, a letra T, duas vezes. Na f rmula anterior, teremos: n=10, a=2, b=3 e c=2. P = 10! / (2!.3!.2!) = 151200 Exemplo 2 Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra MARIA? Neste problema temos n = 5 (cinco letras) e a = 2 (a letra A se repete duas vezes) P = 5!/2! = 5.4.3 = 60 Exemplo 3 Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra ARARA? Neste problema temos n = 5 (cinco letras), a = 2 (a letra R se repete duas vezes) e b = 3 (a letra A se repete tr s vezes). P = 5!/(3!.2!) = 5.4.3!/(3!.2) = 10 2.8 Combina es simples

Dado um conjunto A com n elementos distintos, chama-se combina o dos n elementos de A, tomados k a k, a qualquer subconjunto formado por k elementos, isto , temos uma combina o quando os agrupamentos conseguidos permanecem iguais ao se inverter a posi o dos seus elementos. Perceba que se houver cinco pessoas entre as quais desejamos formar grupos de tr s, o grupo formado por Jo o, Pedro e Lu s o mesmo grupo formado por Lu s, Pedro e Jo o. Temos, ent o, uma COMBINA O de cinco elementos em grupos de tr s. C lculo do n mero de combina es Considere o seguinte problema: Uma turma formada por 10 alunos. Deseja-se formar uma comiss o de tr s alunos para representa o discente na universidade. De quantas maneiras podemos fazer tal escolha? Calculemos inicialmente o n mero de triplas ordenadas de alunos: A10,3 =

10! = 720 seq ncias ordenadas. 7!

Suponhamos que A, B, C estejam entre os 10 alunos da turma. Essas 720 possibilidades incluem, entre outras, os seguintes arranjos:

28

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(A,B,C), (A,C,B), (B,A,C), (B,C,A), (C,A,B) e (C,B,A) Em cada um desses casos que diferem entre si apenas pela ordem os alunos A, B e C far o parte da comiss o. Assim, os seis arranjos acima passam a ser equivalentes entre si, correspondendo a uma nica combina o determinam sempre a mesma comiss o. Desta forma, aos seis arranjos corresponde uma combina o; ent o, para os 720 arranjos, teremos x combina es: 6 arranjos 720 arranjos 1 combina o x combina es

{A, B, C} ,

pois

Logo,

720 x = = 120 comiss es 6

N mero de arranjos dos 10 alunos tomados tr s a tr s

N mero de permuta es da tripla (A,B,C)

De modo geral, qualquer permuta o de uma determinada seq ncia ordenada d origem e uma nica combina o. Representando por Cn,k o n mero total de combina es de n elementos tomados k a k (taxa k), temos:

Cn,k =

A n, k Pk

ou

Cn,k =

n! k! (n - k )!

,n k

Exemplo 1 Escrever todas as combina es dos cinco elementos do conjunto M =

{a, e, i, o, u}

tomados dois a dois.

Devemos determinar todos os subconjuntos de M formados por dois elementos. Lembremos que n o importa a ordem dos elementos escolhidos: exemplo. Assim, as combina es pedidas s o:

{a, e}

=

{e, a},

por

{a, e}, {a, i}, {a, o}, {a, u}, {e, i}, {e, o} , {e, u}, {i, o}, {i, u}, {o, u}

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Exemplo 2 Cinco alunos Pedro, Lu s, Jos , Abel e M rcio participam de um concurso que ser o sorteadas tr s bicicletas. Quais os poss veis resultados do concurso? Sortear

{Pedro, Jos , M rcio}

o mesmo que sortear

{Jos , M rcio, Pedro},

pois

nas duas situa es, esses alunos ganhar o as bicicletas. Desta forma, cada resultado do sorteio uma combina o dos cinco alunos tomados tr s a tr s. Os poss veis resultados do concurso s o:

{P, J , M } {P, J , A} {P, M , A} {P, L, J } {P, L, M } {P, L, A} {L, J , A} {L, J , M } {J , A, M } {L, A, M }

, , , , , , , ,

,

Exemplo 3 Uma prova consta de 15 quest es das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poder escolher as 10 quest es? Observe que a ordem das quest es n o muda o teste. Logo, podemos concluir que trata-se de um problema de combina o de 15 elementos com taxa 10. Aplicando simplesmente a f rmula chegaremos a: C15,10 = 15! / [(15-10)! . 10!] = 15! / (5! . 10!) = 15.14.13.12.11.10! / 5.4.3.2.1.10! = 3003 Tanto arranjo como combina o s o agrupamentos de k elementos escolhidos a partir de um conjunto de n elementos. A diferen a que, no arranjo, se mudarmos a ordem dos elementos de certo agrupamento, obteremos um novo agrupamento; na combina o, mudando a ordem dos elementos de certo agrupamento, obtemos o mesmo agrupamento.

Exemplo 3 Uma prova consta de 15 quest es das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poder escolher as 10 quest es? Observe que a ordem das quest es n o muda o teste. Logo, podemos concluir que trata-se C15,10 = de um problema = de combina o = de 15 elementos com taxa = 10. 3003

15! (15 - 10)!.10!

15! 5!.10!

15.14.13.12.11.10! 5.4.3.2.1.10!

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Exemplo 4 Um coquetel preparado com tr s bebidas distintas. Se existem 7 bebidas distintas, quantos coquet is diferentes podem ser preparados?

C7,3 =

7! (7 - 3)!.3!

=

7! 4!.3!

=

7.6.5.4! 4!.3.2.1

=

35

Exemplo 5 Sobre uma circunfer ncia s o marcados 9 pontos, dois a dois distintos. Quantas retas podem ser constru das passando por estes 9 pontos? C9,2 =

9! (9 - 2)!.2!

=

9! 7!.2!

=

9.8.7! 7!.2.1

=

36

Exemplo 6 Uma pizzaria oferece 15 sabores de pizzas diferentes. a) De quantas maneiras se pode escolher tr s desses sabores? b) Suponha que uma fam lia sempre opte por mussarela. Como poder o ser escolhidos os outros dois sabores? Resp. a) Escolher as pizzas tr s: C15,3 =

{P1, P 2, P3}

o mesmo que escolher as pizzas

{P3, P 2, P1}.

Assim, cada poss vel escolha uma combina o das 15 pizzas tomadas tr s a

15! 3!12!

=

15.14.13.12! 3.2.1.12!

=

455

Resp. b) Como um dos sabores j foi definido, os outros dois sabores ser o escolhidos entre os 14 restantes. C14,2 =

14! 12!2!

=

14.13.12! 12!.2.1

=

91

Exemplo 7 Uma turma tem 15 alunos, sendo 9 meninos e 6 meninas. a) Quantas comiss es de dois meninos e duas meninas podem ser formadas? O n mero de escolher os meninos O n mero de escolher as meninas Pelo PFC, temos: C9,2 x C6,2

=

C9,2. C6,2. 540

36 x 15 =

31

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b) Quantas comiss es de quatro pessoas t m pelo menos um menino? O n mero total de comiss es de quatro pessoas, sem nenhuma restri o, C15,4. O n mero de comiss es onde n o aparecem meninos C6,4, pois as vagas ser o preenchidas pelas meninas. Assim, o n mero de comiss es onde h pelo menos um menino : C15,4 C6,4 = 1.365 15 = 1.350 Exemplo 8 Marcam-se cinco pontos sobre uma reta r. Sobre outra reta s, paralela a r, marcam-se quatro pontos. Quantos tri ngulos podem ser formados com v rtices em tr s quaisquer desses pontos? Observando a figura, vemos que para construir um tri ngulo n o importa a ordem dos pontos escolhidos, pois, por exemplo, o mesmo tri ngulo.

B A

{A, B, C}

e

{B, C , A}

determinam

C

Por outro lado, podemos construir um tri ngulo se escolhermos: 1 caso: dois pontos de r e um ponto de s

C5,2 = 10 possibilidades

C4,1 = 4 possibilidades

Pelo PFC, h 10 x 4 = 40 possibilidades. 2 caso: um ponto de r

C5,1 = 5 possibilidades

e

dois pontos de s

C4,2 = 6 possibilidades

Pelo PFC, h 5 x 6 = 430 possibilidades. Dessa forma, o n mero total de tri ngulos que podem ser constru dos : 40 + 30 = 70.

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Exemplo 9 Um sal o tem 6 portas. De quantos modos distintos esse sal o pode estar aberto? Para a primeira porta temos duas op es: aberta ou fechada Para a segunda porta temos tamb m, duas op es, e assim sucessivamente. Para as seis portas, teremos ent o, pelo PFC: N = 2.2.2.2.2.2 = 64 Lembrando que uma dessas op es corresponde a todas as duas portas fechadas, teremos ent o que o n mero procurado igual a 64 - 1 = 63. Resposta: o sal o pode estar aberto de 63 modos poss veis.

2.9

Exerc cios

01 - Um coquetel preparado com duas ou mais bebidas distintas. Se existem 7 bebidas Resp: 120 02 Sobre uma circunfer ncia s o marcados 9 pontos distintos. Quantos podem ser constru dos com v rtices nos 9 pontos marcados? distintas, quantos coquet is diferentes podem ser preparados?

tri ngulos Resp: 84

03 - Uma fam lia com 5 pessoas possui um autom vel de 5 lugares. Sabendo que somente 2 pessoas sabem dirigir, de quantos modos poder o se acomodar para uma viagem? Resp: 48

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3

PROBABILIDADE

Todas as vezes que se estudam fen menos de observa o, cumpre-se

distinguir o pr prio fen meno e o modelo matem tico que melhor o explique. Os fen menos estudados pela Estat stica s o fen menos cujos resultados, mesmo em condi es normais de experimenta o variam de uma observa o para outra.

Para

a

explica o

desses

fen menos

fen menos

aleat rios

adota-se um modelo matem tico probabil stico. Nesse caso, o modelo utilizado ser o C LCULO DAS PROBABILIDADES. 3.1 Experimento aleat rio

Todo experimento que, repetido em condi es id nticas, pode apresentar diferentes A fim resultados, de se recebe o nome a de experimento desses aleat rio. A variabilidade de resultados deve-se ao acaso. entender melhor caracteriza o experimentos, conv m observar o que h de comum nos seguintes experimentos: E1: Retirar uma carta de um baralho com 52 cartas e observar seu naipe. E2: Jogar uma moeda 10 vezes e observar o n mero de coroas obtidas. E3: Retirar com ou sem reposi o, bolas de uma urna que cont m 5 bolas brancas e seis pretas. E4: Jogar um dado e observar o n mero mostrado na face de cima. E5: Contar o n mero de pe as defeituosas da produ o di ria da m quina A. A an lise desses experimentos revela: a) Cada experimento poder ser repetido indefinidamente sob as mesmas condi es. b) N o se conhece um particular valor do experimento "a priori" , por m pode-se descrever todos os poss veis resultados as possibilidades.

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c) Quando o experimento for repetido um grande n mero de vezes surgir uma regularidade, sucessos. 3.2 Espa o amostral Para cada experimento aleat rio E, define-se espa o amostral o conjunto de todos os resultados poss veis desse experimento. Consideremos um experimento aleat rio. O conjunto de todos os poss veis resultados desse experimento chamado espa o amostral e indicado por (letra grega que se l : "omega"). Indicaremos o n mero de elementos de um espa o amostral por n(). isto , haver uma estabilidade da fra o f = r/n (freq ncia relativa), onde n o n mero de repeti es e r o n mero de

Exemplo 1 a) E = Jogar um dado e observar o n mero mostrado na face de cima

= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

b) E = jogar duas moedas e observar os resultados.

= {(C,C), (C,K), (K,C), (K,K)} onde C = cara e K = coroa.

Exemplo 2 Lan amos uma moeda honesta e observamos a face voltada para cima: Temos:

= {K,C}, onde K: cara; e C: coroa; n() = 2.

Chamamos cada um dos resultados poss veis de ponto amostral. Exemplo 3 Uma urna cont m cinco bolas vermelhas e quatro brancas. Duas bolas s o extra das, ao acaso, sucessivamente e sem reposi o. Observamos a seq ncia de cores das bolas sorteadas. Para determinar , vamos construir um diagrama de rvore: 1 extra o vermelha 2 extra o vermelha branca Vermelha branca branca

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Indicando vermelha por V e branca por B, temos:

=

{(V , V ), (V , B), ( B, V ), ( B, B)}

n() = 4.

Cada par acima um dos pontos amostrais de . 3.3 Evento Evento um conjunto de resultados do experimento, em termos de

conjuntos, um subconjunto de . Em particular, e (conjunto vazio) s o eventos. dito o evento certo e o evento imposs vel. Usando as opera es em conjunto, podemos formar novos eventos: A A Exemplo 1 a) Seja o experimento E: jogar tr s moedas e observar os resultados:

UB IB

o evento que ocorre se A ocorre ou B ocorre ou ambos ocorrem. o evento que ocorre se A e B ocorrem. o evento que ocorre se A n o ocorre.

= {(c,c,c), (c,c,k), (c,k,c), (k,c,c), (k,k,k), (k,k,c), (k,c,k), (c,k,k)}

Seja E1 o evento: ocorrer pelo menos duas caras. Ent o, E1 = {(c,c,c),(c,c,k), (c,k,c), (k,c,c)} b) Seja o evento E2: lan ar um dado e observar o n mero de cima. Ent o, E2 = = {1, 2, 3, 4, 5, 6} um evento certo. E3: ocorr ncia de n mero maior que 8. E3 = um evento imposs vel. Seja E4: ocorrer m ltiplo de 2. Ent o E4 = {2, 4, 6}; observe que E4 . Seja E5: ocorrer n mero mpar. Ent o E5 = {1, 3, 5}; observe que E5 . 3.4 Probabilidade de um Evento Agora podemos quantificar o grau de confian a de qualquer evento.

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Probabilidade e Estat stica

Luiz Roberto

Atribu mos a cada evento um n mero obtido da soma das imagens de cada um de seus elementos na rela o de freq ncia. Este n mero chama-se probabilidade do evento. Observe como se resolve o seguinte caso. Exemplo: O experimento consiste em extrair uma bola do interior de uma caixa e observar sua cor. H um total de nove bolas na caixa: duas brancas, tr s vermelhas e quatro pretas.

Qual ser a probabilidade de tirar uma bola que n o seja preta? Para solucionar esta quest o, preparamos o esquema da figura acima: O espa o amostral da figura acima : Elemento (B) branca (V) vermelha (P) preta Imagem 2/9 3/9 4/9 = {branca, vermelha, preta}

O evento "tirar uma bola de cor diferente do preto", A = {B,V}, consta de dois elementos. Como foi dito na defini o de probabilidade, atribu mos a cada evento um n mero obtido da soma das imagens de cada elemento na rela o de freq ncia. Portanto, se somarmos as imagens da bola branca, 2/9, e da vermelha, 3/9, que aparecem na rela o de freq ncia deste exemplo, vamos conhecer o valor da probabilidade do evento A, indicado por P(A). Assim, p(A) =

2 3 5 + = 9 9 9

Em alguns experimentos aleat rios, cada um dos resultados (eventos elementares) tem a mesma freq ncia relativa esperada.

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Probabilidade e Estat stica

Luiz Roberto

Este o caso de lan ar uma moeda ou um dado e comprovar o resultado. Dizemos, ent o, que o espa o amostral equiprov vel, e que sua probabilidade uniforme. 3.5 Evento complementar Consideremos um evento E relativo a um espa o amostral . Chamamos evento complementar de indicado por

E

ao evento que ocorre quando se,

e somente se, E n o ocorre. Observe o seguinte diagrama:

Notemos que E Exemplo 1

I

E

= e E

U

E

=

Uma urna cont m 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retira-se da urna, ao acaso, uma bola. Se E o evento "ocorre m ltiplo de 3", ent o Temos:

E

ser :

= {1, 2, 3, ., 10} e E = {3, 6, 9}; logo: o evento "n o ocorre m ltiplo de 3".

E

= {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10}

Notemos que E

U

E

= .

3.6

Probabilidade