Apostila de Resistência dos Materiais

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Universidade Federal de Santa Catarina Departamento de Engenharia Mecânica Grupo de Análise e Projeto Mecânico CURSO DE MECÂNICA DOS SÓLIDOS A Prof. José Carlos Pereira Agosto de 2003 SUMÁRIO 1 CÁLCULO DAS REAÇÕES .1 1.1 Tipos de suportes (ou apoios) .1 1.2 Tipos de carregamentos .2 1.3 Classificação de vigas. 3 1.4 Cálculo das reações nas vigas .4 2 DIAGRAMAS DE FORÇA AXIAL, CORTANTE E DE MOMENTOS .6 2.1 Método das seções .6 2.1.1 Força cortante nas vigas (V) .6 2.1.2 Força axial nas vigas (P) .7 2.1.3 Momento fletor (M) .7 2.1.4 Diagramas de forças cortante e axial e do momento fletor .8 2.2 Método do somatório. 21 2.2.1 Equações diferenciais de equilíbrio .21 3 TENSÃO .28 3.1 Definição de Tensão .28 3.2 Tensor de Tensões .28 3.3 Tensões em membros com carregamento axial .29 3.3.1 Carga axial .29 3.3.2 Tensão média de cisalhamento .30 3.4 Tensões Admissíveis; Fator de segurança .35 3.5 Projeto de membros e pinos com carregamento axial .36 4 DEFORMAÇÃO .44 4.1 Significado físico da deformação .44 4.2 Definição matemática de deformação .44 4.3 Propriedades mecânicas dos materiais isotrópicos .46 4.3.1 Diagrama tensão-deformação .46 4.3.2 Coeficiente de poisson para materiais isotrópicos. 51 4.3.3 Lei de Hooke para materiais isotrópicos (Estado triaxial de tensões) .52 4.4 Energias de deformação elástica .54 4.4.1 Energia de deformação elástica para tensão uniaxial .54 4.4.2 Energia de deformação elástica para tensão de cisalhamento .54 4.4.3 Energia de deformação elástica para um estado de tensão multiaxial .55 4.5 Deformação de membros carregados axialmente .55 4.6 Tensões Residuais. 62 5 TORÇÃO .67 5.1 Aplicação do método das seções .67 5.2 Premissas Básicas .67 5.3 A fórmula da torção .68 5.4 Observações sobre a fórmula da torção .69 5.5 Projeto de membros circulares em torção. 73 5.6 Ângulo de torção de membros circulares .74 5.7 Fórmula da torção para eixos com diferentes materiais. 81 5.8 Membros maciços não circulares .84 6 TENSÃO DE FLEXÃO EM VIGAS .85 6.1 Premissa cinemática básica .85 6.2 Fórmula da flexão elástica .86 6.3 Centróide de área .88 6.4 Momento de inércia de área .90 6.5 Flexão pura de vigas com seção assimétrica .94 6.6 Tensão de flexão em vigas com diferentes materiais (Método da rigidez equivalente) .97 7 TENSÃO DE CISALHAMENTO EM VIGAS .102 7.1 Preliminares .102 7.2 Fórmula da tensão de cisalhamento em vigas .102 7.3 Distribuição da tensão de cisalhamento em vigas .105 7.4 Tensão de cisalhamento em vigas com diferentes materiais (Método da rigidez equivalente) .109 7.5 Fluxo de cisalhamento .113 8 TENSÕES COMPOSTAS.120 8.1 Superposição e suas limitações .120 8.2 Flexão oblíqua .123 8.3 Elementos estruturais com carregamento excêntrico .126 8.4 Superposição de tensões de cisalhamento.129 9 TRANSFORMAÇÃO DE TENSÔES .133 9.1 Introdução .133 9.2 Equações gerais para transformação de tensão plana .137 9.3 Círculo de tensões de Mohr .139 9.3 Construção do círculo de tensões de Mohr.141 9.4 Importante transformação de tensão .146 9.6 Tensões principais para o estado geral de tensões .148 9.7 Círculo de Mohr para o estado geral de tensões .150 9.7 Critérios de escoamento e de fratura .151 9.7.1 Observações preliminares .151 9.7.2 Teoria da máxima tensão de cisalhamento (Tresca) (mat. dúcteis) .152 9.7.3 Teoria da máxima energia de distorção (von Mises) (mat. dúcteis) .155 9.7.4 Teoria da máxima tensão normal (mat. frágeis) .159 Curso de Mecânica dos Sólidos A 1 1 CÁLCULO DAS REAÇÕES 1.1 Tipos de suportes (ou apoios) a) Articulação: (Resiste à uma força em apenas uma direção) pinos B RB A b) Rolete: (Resiste à uma força em apenas uma direção) viga rolete A viga viga A RA 90 RA roletes c) Pino: (Resiste à uma força que age em qualquer direção) pino RAx A RAx RAy =A RAy d) Engastamento: (Resiste à uma força que age em qualquer direção e à um momento) MA A RAx RAy 2 Cálculo das reações 1.2 Tipos de carregamentos a) Forças concentradas P RAx A W B =RAy P W RB b) Carga uniforme distribuída carga RAx A =B RAy L RB w(kgf/m) Observação: Para o cálculo das reações de apoio, a carga uniforme distribuída é substituída por uma força concentrada equivalente W igual a área da figura geométrica da carga e que passa pelo seu centróide: W =p .L c) Carga uniformemente variável carga RAx A B =RAy L RB w (kgf/m) Curso de Mecânica dos Sólidos A 3 Observação: Para o cálculo das reações de apoio, a carga uniforme variável é substituída por uma força concentrada equivalente W igual a área da figura geométrica da carga e que passa pelo seu centróide: W =(p .L) /2 d) Momento concentrado W A W B d =RAy M =W.d RB RAx 1.3 Classificação de vigas a) Simplesmente apoiadas P w (kgf/m) L L b) Bi-engastada (fixa) P L c) Engastada- Apoiada P P L 4 Cálculo das reações d) Em balanço w (kgf/m) L e) Em balanço nas extremidades P w (kgf/m) L 1.4 Cálculo das reações nas vigas Equações de equilíbrio estático (forças aplicadas em um plano): Fx =0 ,Fy =0 e M A ou B =0 ou Fx =0, M A =0 e M B =0 Exemplo 1.1: Calcular as reações nos apoios da viga. Desprezar o peso da viga. 200 kgf.m A 0,5 m 0,5 m 0,5 m 0,5 m 100 kgf 160 kgf B Diagrama de corpo livre (D.C.L.): 200 kgf.m RAx A B 0,5 m RAy 0,5 m 0,5 m 0,5 m RB 100 kgf 160 kgf Curso de Mecânica dos Sólidos A 5 Fx =0 MA =0 ,RAx =0 200 +100 .1+160 .1,5 RB .2 =0 RB =270 kgf Fy =0 ,RAy -100 -160 +270 =0 RAy =10 kgf Verificação: M B =0 -10 .2 +200 -100 .1-160 .0,5 =0 OK Observação: Nenhum momento é transmitido por uma junta articulada, apenas as forças horizontais e verticais são transmitidas. L/2 A L B a C P articulação Diagrama de corpo livre (D.C.L.): L/2 A P/2 L P B P/2 a C P/2 P/2 Mc =P/2.a 6 Diagramas de força axial, cortante e de momento 2 DIAGRAMAS DE FORÇA AXIAL, CORTANTE E DE MOMENTOS 2.1 Método das seções O método das seções estabelece procedimentos para a determinação dos esforços internos ao longo do comprimento da viga. O conceito de equilíbrio das partes de um corpo é utilizado quando o corpo com um todo está em equilíbrio. a P2 a A RAy w1 P1 w2 B RAx RB P2 V P M P1 M w1 P V A RAy .1 Esforços internos em vigas onde V é a força cortante, P é a força axial e M é o momento fletor. RAx w2 B RB 2.1.1 Força cortante nas vigas (V) A força cortante V, perpendicular ao eixo da viga, deve ser introduzida na seção: A-A para satisfazer a equação de equilíbrio F y =0 .Curso de Mecânica dos Sólidos A 7 A força cortante é definida positiva quando girar a seção no sentido antihorário. a +V a b b +V .2 Força cortante 2.1.2 Força axial nas vigas (P) A força axial P, paralela ao eixo da viga e que passa pelo centróide da seção, deve ser introduzida na seção A-A para satisfazer a equação de equilíbrio Fx =0 .A força axial é definida positiva ou de tração quando agir de dentro para fora da seção e negativa ou de compressão em caso contrário. a +P a b b +P .3 Força axial 2.1.3 Momento fletor (M) O momento fletor M, que gira em torno de um eixo perpendicular ao plano que contêm a viga, deve ser introduzido na seção A-A para satisfazer a equação de equilíbrio Mz =0 .Para isto, o momento provocado pelas forças é normalmente calculado em torno do ponto de interseção de V e P. O momento fletor é definido positivo quando tracionar a parte interior da viga e comprimir a parte superior da viga ,e negativo em caso contrário. M a a b b +M .4 Momento fletor 8 Diagramas de força axial, cortante e de momento 2.1.4 Diagramas de forças cortante e axial e do momento fletor Os diagramas de esforços internos são traçados para se determinar a evolução das forças cortante e axial e do momento fletor ao longo da viga, respectivamente. Exemplo 2.1: Traçar os diagramas de forças cortante, força axial e de momento fletor para a viga abaixo, sujeita à força inclinada de P =5 t .Desprezar o peso da viga. P=5t 3 5m a -Determinar as reações de apoio. Diagrama de corpo livre (D.C.L.): 4t RAx RAy 3t 4 B 5m A RB Fx =0 M B =0 Fy =0 M A ,RAx 3 =0 ,RAx =3 t ,RAy =2 t ,RAy .10 4 .5 =0 ,2 4 +RAB =0 ,RB =2 t Verificação: 4 .5 2 .10 =0 (OK) b -Determinar as forças cortante e axial e o momento fletor em seções entre duas forças concentradas. Seção c-c (0 x 5): Curso de Mecânica dos Sólidos A 9 c 3t 2t 3t 2t x V c M 4t 3t 2t P Fx =0 ,Fy =0 ,M c =0, P+3=0 ,V+2=0 ,P =3 (t) V =2 (t) M =2 x (t.m) -2 .x +M =0 ,Seção d-d (5 x 10): 4t 3t 2t P x 3t d M d 2t V 2t Fx =0 ,Fy =0 ,P =0 -V+2=0, V =2 (t) M =2 x +20 (t.m) Md =0 ,2 .( 10 x ) +M =0 ,c -Traçar os diagramas de força cortante, força axial e do momento fletor. 10 Diagramas de força axial, cortante e de momento 4t 3t 2t +Força cortante (t) -2 Força axial (t) -3 4 3t 2t +2 3 10 Momento fletor (t.m) +Conclusões Importantes: Ponto de força concentrada vertical Discontinuidade no diagrama de força cortante igual a força concentrada vertical. Ponto de força concentrada axial Discontinuidade no diagrama de força axial igual a força concentrada axial. Exemplo 2.2: Traçar os diagramas de força cortante e de momento fletor para a viga apresentada abaixo, sujeita à uma força distribuída e a um momento concentrado. w =2 t/m M =8 t.m B 2m 2m A 2m a -Determinar as reações nos apoios (D.C.L.): Curso de Mecânica dos Sólidos A 11 4t 2 t/m 8 t.m 2m RA 2m 2m RBx RBy Fx Fy =0 ,RBx =0 ,4 .5 +RA .4 +8 =0 ,RA =3 t MB =0 =0 ,4 +3 +RBy =0 ,RBy =1 t Verificação: M A =4.1+8-1.4 =0 (OK) 2 -Determinar as forças cortante e o momento fletor em seções entre forças e momentos concentrados e ao longo de uma carga distribuída. Seção c-c (0 x 2): c 2 t/m 8 t.m c x 2x V M P 3t 1t Fx Fy =0, 0, P =0 -2.x +V =0 ,V =2 x (t) M =x2 (t.m) MC =0 ,2.x.x/2+M=0, 12 Diagramas de força axial, cortante e de momento Seção d-d (2 x 4): d 2 t/m 8 t.m d x 4t V M P 3t 1t 3t Fx Fy =0, 0 ,P =0 -4+3+V=0 ,V =1 (t) M =x -2 (t.m) Md =0 ,4 .(x 1) 3 .( x 2) +M =0 ,Seção e-e (4 x 6): e 2 t/m 8 t.m x 3t P M V e 1t 1t Fx Fy =0, 0, P =0 -V+1=0 ,V =1 (t) M =x +6 (t.m) ME =0 ,1.(6 x)+M=0, Curso de Mecânica dos Sólidos A 13 c -Traçar os diagramas de força cortante e do momento fletor. 8 t.m 2 t/m 3t Força cortante (t) 3 +8 +1t Momento fletor (t.m) Conclusões Importantes (além das anteriores): Ponto de momento concentrado Discontinuidade no diagrama de momento fletor igual ao momento concentrado. Exemplo 2.3: Os skis suportam um homem de 80 kg. Se o carregamento da neve na superfície inferior de um ski é trapezoidal como mostrado abaixo, determine a intensidade w e traçe os diagramas de força cortante e de momento fletor para um ski. Tome g=10 m/s2. P 1m A B w 0,5 m 1m C D w 0,5 m ,w =266,67 N/m E Fy =0 ,0,25 w +w +0,25 w 400 =0 14 Diagramas de força axial, cortante e de momento Trecho AB x V M w' w x / 0,5 w' x / 2 Fy =0 ,wx x +V =0 ,V =266,67 x2 (N) 0,5 2 p / x =0, V =0 p / x =0,5 ,V =66,67 N wx x x +M =0 ,M =88,89 x3 (N.m) 0,5 2 3 M =0 ,p / x =0, M =0 p / x =0,5 ,M =11,11 Nm Trecho BC 0,5 x V M w 0,5/ 2 w.x Fy =0 ,w 0,5 +w x +V =0 ,V =266,67 x 66,67 (N) 2 p / x =0, V =66,67 N p / x =0,5 ,V =200 N w 0,5 1 x 2 0,5 +x -w x +M =0 ,M =133,34x +66,67x +11,11 2 3 2 M =0 ,p / x =0, M =11,11 N.m p / x =0,5 ,M =77,78 N.m Curso de Mecânica dos Sólidos A 15 Devido à simetria temos: 400 N 200 66,67 +Força cortante (N) -66,67 77,78 Momento fletor (N.m) 11,11 +400 -200 +11,11 +Exemplo 2.4: Determine os diagramas de força cortante e de momento fletor para a viga abaixo. 0,5 m 4t 2,5 m 1t Força total B C D 0,5 m 1,25 m Força E F total A 3m 2,5 m 3,75 m Diagrama de Corpo Livre (DCL): Viga CDE: 16 Diagramas de força axial, cortante e de momento 4t 0,5 m 2,5 m 1t 5t C D 2,5 m E =D 2,5 m C 2,5 t.m E Fx Fy =0, Rcx REx =0 Rcx =REx REy =2 t MC =0 ,REx .2,5 1 .3 4 .0,5 =0 =0, Rcy +REy 4 1 =0 Rcy =3 t Viga ABC: 6t Rcy =3 t A 3m B C Fx MA Fy =0, RBx RCx =0 RBx =RCx RBy =6,5 t =0 ,RBy .3 6 .1,5 Rcy .3,5 =0 =0, RAy +REy 6 RCy =0 RAy =2,5 t Viga EFG: REy=2 REx E F 1,25 m 3,75 m RFy RGy 0,5 m 1t Curso de Mecânica dos Sólidos A 17 Fx Fy =0, REx =0 RBx =RCx =REx =0 2 .(1,25 +3,75) RFy .3,75 +1 .3,75/3 =0 RFy =3 t 6 +RFy 1 +RGy =0 RGy =0 t ME =0 ,0, Viga ABC Trecho AB (0 x 3): 2x w =2 V M w .3 =6 t (força total) w =2 t/m x 2,5 Fy =0 ,2,5 2 x +V =0 V =2 x 2,5 (t) p/ x =0 ,VA =2,5 t p/ x =3 ,VB =3,5 t M =0 ,2,5 x +2 x x / 2 +M =0 M =x2 +2,5 x (t.m) p/ x =0 ,MA =0 t.m p/ x =3 ,MB =1,5 t.m Momento máximo: dM =0 ,2 x +2,5 =0 x =1,25 m dx Mmax =1,5625 (t.m) Mmax (x =1,25m) =(1,25)2 +2,5 .1,25 Trecho BC (0 x 0,5): M x V Fy =0 ,3 V =0 V =3 (t) 18 Diagramas de força axial, cortante e de momento p/ x =0 ,VB =3 t p/ x =0,5 ,VC =3 t M =0, 3 .(0,5 x) M =0 M =3 x 1,5 (t.m) p/ x =0 ,MB =1,5 t.m p/ x =0,5 ,MC =0 t.m Viga CDE Trecho CD (0 x 0,5): M x 3 V Fy =0 ,3 +V =0 V =3 (t) p/ x =0 ,VC =3 t p/ x =0,5 ,VD =3 t M =0, 3 x +M =0 M =3 x (t.m) p/ x =0 ,MC =0 t.m p/ x =0,5 ,MD =1,5 t.m Trecho DE (0 x 2): M x V 2 Fy =0 ,V +2 =0 V =2 (t) p/ x =0 ,VD =2 t p/ x =2 ,VE =2 t M =0 ,2 .(2 x) M =0 M =2 x +4 (t.m) p/ x =0 ,MD =4 t.m p/ x =2 ,ME =0 t.m Curso de Mecânica dos Sólidos A 19 Viga EFG Trecho EF (0 x 1,25): 2 M x V Fy =0 ,2 +V =0 V =2 (t) p/ x =0 ,VE =2 t p/ x =1,25 ,VF =2 t M =0 ,2 x +M =0 M =2 x (t.m) p/ x =0 ,ME =0 t.m p/ x =1,25 ,MF =2,5 t.m Trecho FG (0 x 3,75): w.3,75 =1 ( total) 2 w= 2 ( t.m) 3,75 1,25 3 x 2 w'x / 2 w' M w 3,75 w x w =x V 2 3,75 2 F y =0 ,2 +3 w' x / 2 +V =0 V =x2 3,75 2 -x (t) p/ x =0 ,VF =1 t p/ x =3,75 ,VG =0 t x3 3. 3,75 2 M =0 ,2.(1,25 +x) 3.x +(w' x / 2).x/3 +M =0 M =p/ x =0 ,MF =2,5 t.m p/ x =3,75 ,MG =0 t.m +x -2,5 (t.m) 20 Diagramas de força axial, cortante e de momento Viga ABC: A B Rcy =3 t C RAy 3 6 Força cortante (t) 2,5 1,5625 Momento fletor (t.m) -3 -1,5 Viga CDE 5t C D 2,5 t.m E 2t Força cortante (t) -3 t 4 Momento fletor (t.m) 1,5 2,5 Viga EFG: Curso de Mecânica dos Sólidos A 21 1t REy=2 REx E F RFy Força cortante (t) 2 -1 Momento fletor (t.m) -2,5 3 RGy 2.2 Método do somatório. 2.2.1 Equações diferenciais de equilíbrio Considere a viga com uma carga distribuída w(x). y w(x) x x +w(x) y M A x V+V M+M V x 22 Diagramas de força axial, cortante e de momento Pelas condições de equilíbrio das forças verticais ( F y =0 ) e dos momentos ( M =0 ) temos: Fy =0 ,V +w .x +( V +V ) =0 V =w x (2.1) (2.2) MA =0 ,M -V .x +w .x .x M x -(M +M) =0 =V +w .2 x 2 As eqs. (2.1) e (2.2) sendo avaliadas no limite, quando x 0, fornecem as duas equações diferenciais básicas: V dV =w x 0 x dx lim e M dM lim =V M( x ) =V( x ) .dx +C 2 x 0 x dx 0 x x V( x ) =w( x ) .dx +C1 0 (2.3) (2.4) Exemplo 2.5: Traçar os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga usando o método do somatório. P A L/4 RA a -Determinar as reações nos apoios. L/2 L/4 RB P B MA =0 ,P .L 3L -P .R B .L =0 RB =P 4 4 RA =P Fy =0 ,RA -P P +P =0 Da eq. (2.3), sabendo que w(x) =0 V(x) =constante =V. Da eq.(2.4), como V é constante, a equação de momento fletor no trecho é da forma: M(x) =V x +C2 Curso de Mecânica dos Sólidos A 23 b -Traçar os diagramas de força cortante e momento fletor. P A P B P Força Cortante P +P +P PL/4 Momento Fletor +Exemplo 2.6: Construir os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga com o carregamento mostrado abaixo, usando o método do somatório. 10 t 2 t/m 3 C 3m A 3m D 1m B 1m E 2m F 1m 4 1 t/m G a -Determinar as reações nos apoios. 3t 2 t/m 8t 10 t 2t 6t C RAx 3m RAy A 3m D B 1m E 2m F 1m 1 t/m G RB 1m 24 Diagramas de força axial, cortante e de momento Fx =0 ,RAx 6 =0 RAx =6 t ,3 .2 -8 .3 +RB .4 2 .6 =0 RB =7,5 t MA =0 Fy =0 ,3 +RAy 8 +7,5 2 =0 RAy =5,5 t b -Determinar as funções da força cortante V(x) e do momento fletor M(x) para cada trecho da viga. Partir da extremidade mais a esquerda, ponto C: Trecho C-A: V( x ) =w( x ) dx +C1 0 x w( x ) =ax +b p / x =0 ,w =2 b =2 p/x =3, w =0 a =2 3 w( x ) =2 x -2 (t/m) 3 x 2 V( x ) =x -2 dx +C1 3 0 V( x ) =2 x2 +2x +C1 (t) 3 2 p/ x =0 ,Vc =0 C1 =0 (não há força concentrada em C) x2 V( x ) =2x 3 p/ x =3 VA =3 t 2 x2 M( x ) =V( x ) dx +C2 M( x ) =2x dx +C2 3 2 0 0 1 x3 2 2 M( x ) =x +C2 3 3 2 p/ x =0 ,Mc =0 C2 =0 (não há momento concentrado em C) M( x ) =x3 -x 2 (t.m) 9 x x p/ x =3 MA =6 t .m Curso de Mecânica dos Sólidos A 25 força axial: P =O Trecho A-D: V( x ) =w( x ) dx +C1 0 x como w(x) =0 V(x) =constante =C1 =2,5 t x x M( x ) =V( x ) dx +C2 ,M( x ) =(- 2,5 ) dx +C2 M( x ) =2,5 x +C2 0 0 p/ x =0 ,MA =6 C2 =6 (não há momento concentrado em A) M( x ) =2,5 x -6 (t.m) p/ x =3 MD =1,5 t .m força axial: P =6 t Trecho D-B: V( x ) =w( x ) dx +C1 0 x como w(x) =0 V(x) =constante =C1 =5,5 t M( x ) =V( x ) dx +C2 ,M( x ) =5,5 dx +C2 M( x ) =5,5 x +C2 0 0 x x p/ x =0 ,MD =1,5 C2 =1,5 (não há momento concentrado em D) M(x) =5,5 x +1,5 (t.m) p/ x =1 MB =4 t .m Força axial P =0 Trecho B-E: V( x ) =w( x ) dx +C1 0 x 26 Diagramas de força axial, cortante e de momento como w(x) =0 V(x) =constante =C1 =2 V =2 t x x M( x ) =V( x ) dx +C2 ,M( x ) =( -2) dx +C2 M( x ) =2 x +C2 0 0 p/ x =0 ,MB =4 C2 =4 (não há momento concentrado em B) M(x) =2 x -4 (t.m) p/ x =1 ME =2 t .m Força axial P =0 Trecho E-F: V( x ) =w( x ) dx +C1 ,V( x ) =( -1) dx +C1 V( x ) =x -C1 0 0 x x p/ x =0 ,VE =2 C1 =2 (não há força concentrado em E) V( x ) =x -2 p/ x =2 VF =0 x x M( x ) =V( x ) dx +C2 ,M( x ) =( x -2) dx +C2 M( x ) =0 0 x2 +2x +C2 2 p/ x =0 ,ME =2 C2 =2 (não há momento concentrado em E) M( x ) =x2 +2x -2 (t.m) 2 p/ x =2 MF =0 t .m Força axial P =0 não há forças e momentos concentrados: V =0 ,M =0 ,P =0 Traçar os diagramas de forças cortante e axial e de momento fletor. Curso de Mecânica dos Sólidos A 27 8t 2 t/m C 6t 5,5 t 3 Força cortante (t) +2,5 5,5 A D 10 t 6t B 7,5 t E 1 t/m F G +2 1,5 Momento fletor (t.m) -4 -6 Força axial (t) -6 -2 -28 Tensão 3 TENSÃO 3.1 Definição de Tensão Considere um o corpo seccionado, submetido à forças externas P1 e P2 e à forças internas P atuantes em áreas infinitesimais A, Fig.3.1. y Py P A Px Pz z x .1 Esforços externos einternos num corpo seccionado A tensão normal à face seccionada é por definição da forma: xx =x =lim Px A 0 A (3.1) e, as tensões de cisalhamento que atuam na face seccionada são por definição da forma: xy =lim xz Py (3.2) A Pz =lim A 0 A A 0 O primeiro índice da tensão de cisalhamento indica o eixo que é perpendicular à face onde atua a tensão e o segundo indica a direção da tensão. 3.2 Tensor de Tensões Curso de Mecânica dos Sólidos A 29 Considere um elemento infinitesimal de dimensões x, y e z com todas as tensões que atuam sobre ele, Fig. 3.2. y y z yz y z y xy x x x zx xz y z x y z x z .2 Elemento infinitesimal solicitado triaxialmente O tensor de tensões é uma matriz de dimensão (3x3) onde são colocadas todas as tensões atuantes num elemento infinitesimal: xx yx zx xy yy zy xz x yz =yx zz zx xy y zy xz yz z (3.3) Verifica-se que o tensor de tensões é simétrico: yx =xy ,zx =xz ,yz =zy. Demonstração: Meixo z =0 ,(yx .x .z ) y -(xy .y .z ) x =0 yx =xy 3.3 Tensões em membros com carregamento axial 3.3.1 Carga axial Considere uma barra sem peso e em equilíbrio, sujeita à duas forças F (tração ou compressão) em suas extremidades. 30 Tensão F F a a P A F .3 Barra solicitada axialmente A área da seção transversal no ponto onde se seccionou a barra é A e a força interna é igual a P e positiva (se tracionada) ou negativa (se comprimida), logo a tensão normal é da forma: P A (3.4) No caso da barra estar sendo comprimida, seu comprimento deve ser suficientemente pequeno para que não ocorra flambagem. 3.3.2 Tensão média de cisalhamento Considere um corpo sendo arrastado sobre outro corpo por uma P. P P V=P A .4 Corpo sendo cisalhado Curso de Mecânica dos Sólidos A 31 Se o corpo que está sendo arrastado tem área A na interface de contato entre os corpos, a tensão média de cisalhamento1 é da forma: m =V A (3.5) A eq. (3.5) é frequentemente utilizada para dimensionar pinos, parafusos, rebites, etc. que estão sendo solicitados por esforços cisalhantes. Corpos podem ser cisalhados de formas diferentes. Um corpo pode estar sendo submetido à um cisalhamento simples quando, Fig. 3.5: P P .5 Corpo submetido à um cisalhamento simples O rebite que une os dois corpos que estão sendo tracionados é cisalhado na interface da seguinte forma, Fig. 3.6: V=P A P .6 Rebite com cisalhamento simples Se o rebite tem área A na interface e a força cortante V é P, a tensão de cisalhamento média é: m =V P =A A (3.6) Um corpo pode estar sendo submetido à um cisalhamento duplo quando, Fig. 3.7: 1 A tensão de cisalhamento é média pois a força que atua em cada área infinitesimal não é a mesma. 32 Tensão P/2 P P/2 .7 Corpo submetido à um cisalhamento duplo O rebite que une os três corpos que estão sendo tracionados é cisalhado na interface entre cada corpo é da forma, Fig. 3.8: V =P/2 V =P/2 A .8 Rebite com cisalhamento duplo Se o rebite tem área A na interface entre cada corpo, e a força cortante V é P/2, a tensão de cisalhamento média é: m =A P V P =A 2A (3.7) Exemplo 3.1: A barra abaixo tem largura de 35 mm e espessura de 10 mm, constantes ao longo de seu comprimento. Determine as tensões normais nos diferentes trechos da barra para o carregamento abaixo. B 9 kN 12 kN A C 4 kN D 22 kN 9 kN Trecho AB: 12 kN A P =12 kN 4 kN Curso de Mecânica dos Sólidos A 33 AB =P 12000 N N =34285714 A 0,035.0,010 m 2 m2 AB =34285714 Pa =34,3 MPa Trecho BC: B 9 kN 12 kN A P =30 kN 9 kN BC P 30000 N =85,7 MPa A 0,035.0,010 m 2 Trecho CD: P =22 kN D 22 kN CD =P 22000 N =62,4 MPa A 0,035.0,010 m 2 Exemplo 3.2: Determine as tensões nos pinos localizados em A e B com diâmetros d =8 mm e a tensão na barra BC para o conjunto abaixo: A C 15 kN A 2m 1m B B 3 4 b =10 mm t =5 mm 34 Tensão DCL da Barra AB: 15 kN B RAx A RB .3 .3 -15 .2 =0 5 3 =0 5 RA RAy RB 3 4 MA =0 ,RB =16,7 kN RAy =5 kN RAy =13,4 kN FY Fx =0 ,0 ,R Ay -15 +R B .R Ax +R B .4 =0 5 Pino A: R A =5 2 +13,4 2 =14,3 kN RA =14,3 kN V =RA/2 RA=14,3 kN V =RA/2 V 14300 / 2 N =A 8 2 mm 2 4 A =A =142,2 MPa Pino B: V =RB RB =16,7 kN Curso de Mecânica dos Sólidos A 35 B =V 16700 N =A 82 mm 2 4 BC =332,2 MPa Barra BC: P =RB RB BC =P 16700 N =334 MPa A 10,5 mm 2 3.4 Tensões Admissíveis; Fator de segurança Para garantir a segurança de uma estrutura, é necessário escolher uma tensão admissível que restrinja a carga aplicada, a uma que seja menor que aquela que a estrutura possa suportar. Há vários motivos para isso: imprecisão de cálculo, imperfeições oriundas do processo de fabricação, variabilidade nas propriedades mecânicas dos materiais, degradação do material, etc. Uma das maneiras de especificar a tensão admissível é definir um coeficiente de segurança dado por: escoamento admissível ruptura admissível (3.8) As tensões de ruptura são determinadas experimentalmente e o coeficiente de segurança é selecionado baseado no tipo de estrutura e em suas aplicações. 36 Tensão 3.5 Projeto de membros e pinos com carregamento axial Exemplo 3.3: Determine o diâmetro da barra BC, se a tensão admissível é adm =155 MPa. A viga é assumida ser parafusada em A. C 15 kN/m m B 3m 1,5 m A D.C.L da barra AB: 22,5 kN 11,25 kN 2 RB 1 RA MA adm =0 ,R B .4,5 +22,5 .2,5 +11,25 .1 =0 RB =15 kN RB A BC ,155 N mm 2 =15000 dBC 2 4 dBC =11,1 mm Exemplo 3.4: Duas vigas de madeira são conectadas por um parafuso em B. Assumindo que as conexões em A, B, C, e D exercem somente forças verticais nas vigas. Determine o diâmetro do parafuso em B e o diâmetro externo de sua arruela se a tensão admissível do parafuso é adm p. 150 MPa e a tensão admissível da madeira é adm m. 28 MPa. Curso de Mecânica dos Sólidos A 37 3 kN 2m 2m A C 1,5 m 1,5 kN 1,5 m 1,5 m 2 kN 1,5 m D B D.C.L. da Viga AB: 3 kN RC RA RB MA =0 ,3 .2 -RC .4 +RB .5,5 =0 Rc =1,375 RB 1,5 D.C.L. da Viga CD: RB 1,5 kN 2 kN RC RD MD =0 ,RC .6 +RB .4,5 +1,5 .3 +2 .1,5 =0 RB =4,4 kN -(1,375 RB 1,5) .6 +RB .4,5 +4,5 .3 +3 =0 Parafuso: adm P. RB dP 4 2 ,150 =4400 dP 4 2 dP =6,1 mm Arruela: 38 Tensão de A 6,1 mm adm P. RB d 2 e A dP 2 -4 4 ,26 =4400 d 2 e A 6,12 -4 4 de A =15,4 mm Exemplo 3.5: Determine a máxima força F que pode ser aplicada na estrutura se as áreas das seções transversais das barras são A =5000 mm2 e a tensão admissível de tração é adm t =14 kgf/mm2 e a tensão admissível de compressão é adm c =10,5 kgf/mm2 .E 9m F B 3m A R Ax 3m R Ay C D 9m R Dy Fx MA Fy =0 R Ax =0 =0 =0 ,R Dy .3 F .12 =0 R Dy =4 F ,R Ay +R Dy F =0 R Ay =3 F Ponto E: E FBE FC 45 F cos =4 ,5 sen =3 5 Curso de Mecânica dos Sólidos A 39 Fy =0 Fx ,F FCE cos 45 FBE sen =0 Fce =5,66 F (compressão) =0 ,FBE cos FCE sen 45 =0 Fbe =5 F (tração) Ponto C: FC FCB C 45 FCD Fy =0 ,FCD FCE sen 45 =0 FCD =4 F (compressão) Fx =0 ,FCB FCE cos 45 =0 Fcb =4 F (compressão) Ponto B: B FBE FBC 45 FBA FBD FBD =0 Fx Fy =0 ,FBD cos 45 FBC +FBE cos =0 =0 ,FBA +FBE sen =0 FBA =3 F (tração) Ponto A: A RAx FBA FAD RAy Fx Fy =0 ,RAx +FAD =0 =0 ,RAy +FBA =0 FAD =0 FBA =3 F (tração) 40 Tensão barra CE: adm c =5,66 F FCE ,10,5 =F =9.276 kgf A 5000 FBE 5F ,14 =F =14.000 kgf A 5000 FCD 4F ,10,5 =F =13.125 kgf A 5000 FCB 4F ,10,5 =F =13.125 kgf A 5000 FBA 3F ,14 =F =23.333 kgf A 5000 barra BE: adm t =barra CD: adm c =barra CB: adm c =barra BA: adm t =Resposta: A máxima força F é a de F =9.276 kgf, pois qualquer força maior que está produziria uma tensão superior a tensão admissível. Exemplo 3.6: A estrutura treliçada abaixo suporta duas forças de 12 t. Se as tensões admissíveis são adm t =14 kgf/mm2 em tração e adm c =10,5 kgf/mm2 em compressão, determine a menor seção transversal possível para as barras. B 1,5 m A R Ax RAy 2m F C 2m 12 t E 2m R Fy D 12 t Fx Fy =0 R Ax =0 ,R Fy .6 12 .4 12 .2 =0 ,R Ay +R Fy 12 12 =0 R Fy =12 t MA =0 =0 R Ay =12 F Curso de Mecânica dos Sólidos A 41 Ponto A: FAB RA E RAy FAC cos =2 ,2,5 sen =1,5 2,5 Fy =0 ,RAy FAB sen =0 FAB =20 t (compressão) FAC =16 t (tração) Fx =0 ,RAx FAB cos +FAC =0 Ponto C: FBC C 12 FAC FC Fy =0 ,FBC 12 =0 FBC =12 t (tração) Fx =0 ,FAC +FCE =0 FCE =16 t (tração) Ponto B: B FBC FBD FBE FBE =0 t FA Fy =0 ,FAB sen FBC +FBE sen =0 Fx =0 ,FAB cos FBE cos +FBD =0 FBD =16 t (compressão) Ponto D: FBD D FDE FDF FDF =20 t (compressão) Fx =0 ,FBD FDF cos =0 42 Tensão Fy =0 ,FDE +FDF sen =0 FDE =12 t (tração) Ponto E: FBE FCE 12 E FEF FDE Fy =0 ,12 +FDE +FBE sen =0 (ok) FEF =16 t (tração) Fx =0 ,FCE FBE cos +FEF =0 Ponto F: FDF FEF RFy F Fy =0 ,RFy FDF sen =0 (ok) (ok) Fx =0 ,FEF +FDF cos =0 barra AB: adm c FAB 20.103 =10,5 =AAB =1904,8 mm2 A AB A AB barra AC: adm t =FAC 16.103 ,14 =AAC =1142,9 mm2 A AC A AC barra BC: adm t =FBC 12.103 ,14 =ABC =857,2 mm2 A BC ABC barra CE: adm t FCE 16.103 =14 =ACE =1142,9 mm2 A CE A CE Curso de Mecânica dos Sólidos A 43 barra BD: adm c =FBD 16.103 ,10,5 =ABD =1523,8 mm2 A BD ABD barra DF: adm c FDF 20.103 =10,5 =ADF =1904,8 mm2 A DF ADF barra DE: adm t =FDE 12.103 ,14 =ADE =857,2 mm2 A DE ADE barra EF: adm t =FEF 16.103 ,14 =AEF =1142,9 mm2 A EF AEF Resposta: A menor área possível é a de 1904,8 mm2, pois qualquer área menor que está produziria uma tensão superior a tensão admissível. 44 Deformação 4 DEFORMAÇÃO 4.1 Significado físico da deformação Um corpo sólido se deforma quando sujeito à mudanças de temperatura ou a uma carga externa, como mostrado abaixo. Lo P P L .1 Representação gráfica da deformação linear Se Lo é o comprimento inicial e L é o comprimento final do corpo sob tração, o alongamento é L =L -L0 e o alongamento por unidade de comprimento, chamado deformação linear, é definido como: L dL L =Lo Lo o (4.1) 4.2 Definição matemática de deformação Considere dois pontos localizados em uma direção x de um corpo sólido na qual uma deformação linear está sendo considerada. A 0 u x .2 Representação matemática da deformação linear Assim a definição de deformação linear no ponto A quando x 0 é definida como: A' B u+u B' x,u Curso de Mecânica dos Sólidos A 45 =lim x 0 u du =x dx (4.2) Se 0 =Alongação e 0 =Contração. Se o corpo se deforma em três direções ortogonais x, y, e z e u, v, e w são as três componentes do deslocamento nestas direções, as deformações lineares são respectivamente: u x v y =y w z =z x =(4.3) Além da deformação linear, um corpo pode sofrer uma deformação angular, como mostrado na Fig. 4.3. y, v u u+ dy y u y E dy v x u dx C v+ v dx x x, u v A .3 Representação gráfica da deformação angular Assim, para pequenas mudanças de ângulo, a deformação angular associada ao plano xy é definida por: xy =yx =v u +x y (4.4) 46 Deformação Se o corpo se deforma em mais planos ortogonais xz e yz, as deformações angulares nestes planos são: xz =zx =yz =zy w u +x z w v =y z (4.5) 4.3 Propriedades mecânicas dos materiais isotrópicos 4.3.1 Diagrama tensão-deformação Muitas propriedades de um material podem ser determinadas a partir de um ensaio de tração ou compressão, a partir de uma amostra do material, Fig. 4.4. O resultado desse ensaio pode ser representado num diagrama tensão-deformação. P Lo Ao P .4 Corpo-de-prova padronizado para ensaios de tração O diagrama tensão-deformação é executado num corpo-de-prova padronizado, tendo como dimensões originais, a seção transversal A0 e o comprimento L0. A tensão considerada no diagrama é a força aplicada P na seção transversal original A0: Curso de Mecânica dos Sólidos A 47 =P A0 (4.6) Da mesma forma, a deformação é obtida diretamente da leitura do extensômetro, ou pela divisão da variação de comprimento L pelo comprimento original L0. L L0 (4.7) O diagrama tensão-deformação é o gráfico dos correspondentes valores de e ,onde o eixo das ordenadas representa as tensões e o eixo das abcissas representa as deformações .É importante ressaltar que dois diagramas de dois corpos- de-prova de um mesmo material não são exatamente idênticos, pois os resultados dependem de várias variáveis como, composição do material, imperfeições microscópicas, fabricação, velocidade de aplicação da carga e temperatura do ensaio. A Fig. 4.5 apresenta um diagrama tensão-deformação de um aço usualmente utilizado na engenharia, no qual pode-se distinguir diferentes regiões. tensão de ruptura verdadeira tensão última U R Y P tensão de ruptura limite de proporcionalidade limite elástico tensão de escoamento E região escoamento elástic comportamento deformação específica de endurecimento comportamento plástico estricção .5 Diagrama tensão-deformação em um ensaio de tração 48 Deformação O comportamento do corpo-de-prova pode ser de diferentes formas, dependendo da intensidade da carga aplicada e do seu grau de deformação. Comportamento elástico: Quando o corpo-de-prova retorna à sua forma original quando a carga aplicada é removida. O material é considerado linearmente elástico até o limite superior da tensão, chamado de limite de proporcionalidade, P. Até esse limite de proporcionalidade, a lei de Hooke, que relaciona a tensão com a deformação pelo módulo de elasticidade E do material é válida: E (4.8) O material pode ainda se comportar elasticamente até o limite elástico, mesmo se exceder ligeiramente este limite de proporcionalidade. Neste caso porém, o comportamento não é mais linear. Escoamento: Um leve aumento na tensão, acima do limite elástico, resultará numa acomodação do material causando uma deformação permanente. A tensão que causa o escoamento é chamada de tensão de escoamento, Y. Neste caso, mesmo se a carga for removida, o corpo-de-prova continuará deformado. O corpo-de-prova poderá continuar a se alongar mesmo sem qualquer aumento de carga. Nesta região, o material é denominado perfeitamente plástico. Deformação específica por endurecimento: Se ao término do escoamento, uma carga adicional for aplicada ao corpo-de-prova, a tensão continuará a aumentar com a deformação específica continuamente até atingir um valor de tensão máxima, referida por tensão última, U. Durante a execução do ensaio nesta região, enquanto o corpo-de-prova é alongado, sua área da seção transversal diminui ao longo de seu comprimento nominal, até o ponto que a deformação corresponda a tensão última. Estricção: Ao atingir a tensão última, a área da seção transversal começa a diminuir em uma região localizada do corpo-de-prova, e não mais ao longo do seu comprimento nominal. Este fenômeno é causado pelo deslizamento de planos no interior do material e as deformações reais produzidas pela tensão cisalhante (necking). Uma vez que a área da seção transversal diminui constantemente, esta área só pode sustentar uma carga menor. Assim, o diagrama tensão-deformação tende a curvar-se para baixo até a ruptura do corpo-de-prova com uma tensão de ruptura, R. Curso de Mecânica dos Sólidos A 49 O comportamento do corpo-de-prova pode ser de diferentes formas, dependendo da intensidade da carga aplicada e do seu grau de deformação. Comportamento elástico: Quando o corpo-de-prova retorna à sua forma original quando a carga aplicada é removida. O material é considerado linearmente elástico até o limite superior da tensão, chamado de limite de proporcionalidade, P. Até esse limite de proporcionalidade, a lei de Hooke, que relaciona a tensão com a deformação pelo módulo de elasticidade E do material é válida: E (4.8) O material pode ainda se comportar elasticamente até o limite elástico, mesmo se exceder ligeiramente este limite de proporcionalidade. Neste caso porém, o comportamento não é mais linear. Escoamento: Um leve aumento na tensão, acima do limite elástico, resultará numa acomodação do material causando uma deformação permanente. A tensão que causa o escoamento é chamada de tensão de escoamento, Y. Neste caso, mesmo se a carga for removida, o corpo-de-prova continuará deformado. O corpo-de-prova poderá continuar a se alongar mesmo sem qualquer aumento de carga. Nesta região, o material é denominado perfeitamente plástico. Deformação específica por endurecimento: Se ao término do escoamento, uma carga adicional for aplicada ao corpo-de-prova, a tensão continuará a aumentar com a deformação específica continuamente até atingir um valor de tensão máxima, referida por tensão última, U. Durante a execução do ensaio nesta região, enquanto o corpo-de-prova é alongado, sua área da seção transversal diminui ao longo de seu comprimento nominal, até o ponto que a deformação corresponda a tensão última. Estricção: Ao atingir a tensão última, a área da seção transversal começa a diminuir em uma região localizada do corpo-de-prova, e não mais ao longo do seu comprimento nominal. Este fenômeno é causado pelo deslizamento de planos no interior do material e as deformações reais produzidas pela tensão cisalhante (necking), Fig. 4.6. Uma vez que a área da seção transversal diminui constantemente, esta área só pode sustentar uma carga menor. Assim, o diagrama tensão-deformação tende a curvar-se para baixo até a ruptura do corpo-de-prova com uma tensão de ruptura, R. 50 Deformação .6 Estricção da seção transversal do corpo-de-prova A área sob a curva tensão-deformação representa a energia de deformação absorvida pelo material. Quando a tensão atinge o limite de proporcionalidade, P, a energia de deformação é denominada módulo de resiliência. Quando a tensão atingir a tensão de ruptura, R, a energia de deformação é denominada de tenacidade. Os materiais com alta tenacidade são os mais utilizados em projetos estruturais, pois materiais com baixa tenacidade podem romper subitamente sem dar sinais de um rompimento iminente. Exemplo 4.1: O diagrama tensão-deformação de um material é mostrado abaixo. Se um corpo-de-prova é carregado até 600 MPa, determine a deformação permanente remanescente quando o corpo é descarregado. Calcule também o módulo de resiliência antes e após a aplicação do carregamento. O módulo de elasticidade E é obtido pela inclinação da reta OA: E= Y 450 MPa =75 GPa Y 0,006 mm / mm Do triângulo CBD, temos: E= BD 600 MPa =75 GPa CD =0,008 mm/mm CD CD Curso de Mecânica dos Sólidos A 51 (MPa) F 600 Y= 450 A B E E O C D 0,01 0,02 Y =0,006 OC 0,03 0,04 0,023 (mm/mm) A deformação dada pelo segmento CD é a deformação elástica recuperada. A deformação permanente, OC, é portanto: OC =0,023 0,008 =0,0150 mm/mm Os módulos de resiliência inicial e final são: uinicial =ufinial =1 1 N N Y Y =450 0,006 mm / mm =1,35 2 2 2 mm mm2 1 1 N N P P =600 0,008 mm / mm =2,40 2 2 2 mm mm2 4.3.2 Coeficiente de poisson para materiais isotrópicos Considere um corpo sólido submetido à uma força axial como mostra a Fig. 4.7. Pela definição, a deformação axial do corpo é da forma: x =L Lo (4.9) e, a deformação lateral do corpo é da forma: 52 Deformação y =b bo (4.10) y x b0 b L0 L .7 Corpo sólido solicitado uniaxialmente A relação entre o valor da deformação lateral e a deformação axial é conhecida como coeficiente de poisson: y x =z x P P (4.11) 4.3.3 Lei de Hooke para materiais isotrópicos (Estado triaxial de tensões) Considere um corpo submetido à um estado triaxial de tensões x, y e z. y z x x z y .8 Corpo sólido solicitado triaxialmente O estado triaxial de tensões pode ser considerado como a superposição de três estados de tensão uniaxial analisados separadamente: Curso de Mecânica dos Sólidos A 53 1. Deformações devido à x: x ,y =x ,z =x (4.12) 2. Deformações devido à y: y ,x =y ,z =y 3. Deformações devido à z :z ,x =z ,y =z (4.13) (4.14) Superpondo todas as deformações, temos: x =x +x +x =x -y -z y =y +y +y =x +y -z z =z +z +z =x -y +y (4.15) Da Lei de Hooke, eq. (4.8), as deformações devido à x, y e z são colocadas da seguinte forma: x =1 [ x -( y +z )] E 1 y =[ y -( x +z )] E 1 z =[ z -( x +y )] E (4.16) Para o caso do corpo ser submetido a esforços de cisalhamento as relações deformação-tensão são colocadas da forma: xy =yz xz 1 xy G 1 =yz G 1 =xz G (4.17) O módulo de cisalhamento G está relacionado a E e por: G= E 2 (1 +) (4.18) 54 Deformação 4.4 Energias de deformação elástica 4.4.1 Energia de deformação elástica para tensão uniaxial O trabalho interno armazenado em um corpo deformável como energia elástica de deformação ou energia de deformação elástica, é o produto da força média que atua sobre o corpo enquanto ocorre a deformação, multiplicada pela distância na qual ela age. Neste contexto, considere então o elemento de volume infinitesimal dx, dy, dz submetido à um esforço normal x: y x z x x dy dz dx .9 Corpo sólido solicitado uniaxialmente A densidade de energia de deformação Uo é interpretada graficamente como sendo a área sob a linha inclinada do diagrama tensão-deformação. dU =Uo =x x dV 2 x (4.19) E x .10 Diagrama tensão-deformação 4.4.2 Energia de deformação elástica para tensão de cisalhamento Considere um elemento de volume infinitesimal dx, dy e dz, submetido à um esforço cisalhante. A energia de deformação elástica pode ser colocada da forma: Curso de Mecânica dos Sólidos A 55 1 1 dU =xy dxdz ( xy dy ) =xy xydV 2 2 (4.20) A densidade de energia de deformação pode ser colocada da seguinte forma: dU 1 =xy xy dV 2 (4.21) 4.4.3 Energia de deformação elástica para um estado de tensão multiaxial A densidade de energia de deformação elástica de um corpo solicitado triaxialmente pode ser da seguinte forma: dU 1 1 1 1 1 1 =dUo =x x +y y +z z +xy xy +yz yz +xz xz dV 2 2 2 2 2 2 (4.22) Substituindo a eq. (4.16) na eq. (4.22), a expressão que fornece a densidade de energia de deformação é da forma: Uo =1 1 2 2 2 2 x +y +z -( x y +yz +z x ) +xz +2 yz +2 xz 2E E 2G ( ) ( ) (4.23) Em geral, para um corpo elástico sob tensão, a energia de deformação total é obtida pela integração volumétrica da densidade de energia de deformação elástica, eq. (4.23): U =Uo d x d y d z V (4.24) 4.5 Deformação de membros carregados axialmente Usando a Lei de Hooke e as definições de tensão e deformação, será desenvolvida uma equação que pode ser usada para determinar a deformação elástica de membros submetidos à cargas axiais. Assim, considere uma barra de seção transversal variável ao longo de seu comprimento, Fig. 4.11. A barra é solicitada por duas forças concentradas nas extremidades e por diferentes forças aplicadas ao longo de seu comprimento. 56 Deformação x P1 dx P2 P(x) P(x) L u dx du .11 Barra de seção variável solicitada axialmente Num ponto distante x da extremidade, as seguintes relações são válidas: P( x ) A( x ) du =dx =Substituindo a eq. (4.25) na Lei de Hooke =E ,temos: P( x ) du =E A( x ) dx (4.26) (4.25) A integração da variação de comprimento du ao longo do comprimento da barra fornece: u= L P dx A( x ) E o (4.27) Para o caso da força e da seção transversal serem constantes ao longo do comprimento do membro, tem-se: u= PL AE (4.28) Exemplo 4.2: A viga rígida AB está apoiada em duas colunas curtas como apresentado abaixo. A coluna AC é de aço e tem diâmetro de 20 mm, e a coluna BD é de alumínio e tem diâmetro de 40 mm. Determine o deslocamento do ponto F na Curso de Mecânica dos Sólidos A 57 viga AB se a carga de 90 kN é aplicada sobre este ponto. Tome Eaço =200 Gpa, Eal =70 Gpa. 90 kN 200 mm A F 400 mm B 300 mm C D 1 Determinar as reações das colunas AC e BD na viga AB. 90 kN 200 mm A RAC 400 mm B RBD MA =0 ,RBD .600 90 .200 =0 ,RBD =30 kN ,RAC 90 +30 =0 ,RAC =60 kN Fy =0 2 Determinar os deslocamentos das colunas. Coluna AC: uA =R AC .L AC =Eaço .A AC 60.103. 300 =0,286 mm 2 3 20 200.10 .4 Coluna BD: uB =RBD .LBD 30.103. 300 =0,102 mm 2 Eal .A BD 3 40 70.10 .4 3 Determinar o deslocamento do ponto F. 58 Deformação 200 mm A uB =0,286 mm F 400 mm B uB =0,102 mm uF Por semelhança de triângulos: (0,286 -0,102) uF' (200 +400) 400 ,uF =0,123 mm uF =0,102 +0,123 =0,225 mm Exemplo 4.3: O conjunto abaixo consiste de um tubo de alumínio AB tendo uma área de 400 mm2. Uma haste de aço de diâmetro 10 mm é conectada ao tubo AB por uma arruela e uma porca em B. Se uma força de 80 kN é aplicada na haste, determine o deslocamento da extremidade C. Tome Eaço =200 GPa e Eal =70 GPa. 400 mm C 80 kN B 600 mm A Haste BC: PBC =80 kN 80 kN uC / B =PBC LBC 80000 .600 =Eaço ABC 102 200.103 4 ,uC/B =3,06 mm Tubo AB: Curso de Mecânica dos Sólidos A 59 80 kN PAB =80 kN uB / A =PAB L AB 80000 .400 =uB/A =1,14 mm Eal A AB 70.103 400 ,uC =4,2 mm uc =uC/B +uB/A =3,06 +1,14 Exemplo 4.4: O conjunto abaixo consiste de duas barras rígidas originalmente horizontais. Elas são suportadas por duas barras de área 25 mm2 e E =200 GPa. Se uma força vertical de 50 kN é aplicada na barra AB, determine o deslocamento em C, B e E. 200 mm 200 mm A C 600 mm 600 mm 50 kN Diagrama de corpo rígido da barra AB: RA A 600 mm 600 mm 50 kN Devido a simetria: RA =RB =25 kN Diagrama de corpo rígido da barra CB: B RB 800 mm E D 150 mm B 6