Apostila de Resistência dos Materiais

Universidade Federal de Santa Catarina Departamento de Engenharia Mec nica Grupo de An lise e Projeto Mec nico

CURSO DE MEC NICA DOS S LIDOS A

Prof. Jos Carlos Pereira

Agosto de 2003

SUM RIO

1 C LCULO DAS REA ES . 1 1.1 Tipos de suportes (ou apoios) . 1 1.2 Tipos de carregamentos . 2 1.3 Classifica o de vigas. 3 1.4 C lculo das rea es nas vigas . 4 2 DIAGRAMAS DE FOR A AXIAL, CORTANTE E DE MOMENTOS . 6 2.1 M todo das se es . 6 2.1.1 For a cortante nas vigas (V) . 6 2.1.2 For a axial nas vigas (P) . 7 2.1.3 Momento fletor (M) . 7 2.1.4 Diagramas de for as cortante e axial e do momento fletor . 8 2.2 M todo do somat rio. . 21 2.2.1 Equa es diferenciais de equil brio . 21 3 TENS O . 28 3.1 Defini o de Tens o . 28 3.2 Tensor de Tens es . 28 3.3 Tens es em membros com carregamento axial . 29 3.3.1 Carga axial . 29 3.3.2 Tens o m dia de cisalhamento . 30 3.4 Tens es Admiss veis; Fator de seguran a . 35 3.5 Projeto de membros e pinos com carregamento axial . 36 4 DEFORMA O . 44 4.1 Significado f sico da deforma o . 44 4.2 Defini o matem tica de deforma o . 44 4.3 Propriedades mec nicas dos materiais isotr picos . 46 4.3.1 Diagrama tens o-deforma o . 46 4.3.2 Coeficiente de poisson para materiais isotr picos. 51 4.3.3 Lei de Hooke para materiais isotr picos (Estado triaxial de tens es) . 52 4.4 Energias de deforma o el stica . 54 4.4.1 Energia de deforma o el stica para tens o uniaxial . 54 4.4.2 Energia de deforma o el stica para tens o de cisalhamento . 54

4.4.3 Energia de deforma o el stica para um estado de tens o multiaxial . 55 4.5 Deforma o de membros carregados axialmente . 55 4.6 Tens es Residuais. 62 5 TOR O . 67 5.1 Aplica o do m todo das se es . 67 5.2 Premissas B sicas . 67 5.3 A f rmula da tor o . 68 5.4 Observa es sobre a f rmula da tor o . 69 5.5 Projeto de membros circulares em tor o. 73 5.6 ngulo de tor o de membros circulares . 74 5.7 F rmula da tor o para eixos com diferentes materiais. 81 5.8 Membros maci os n o circulares . 84 6 TENS O DE FLEX O EM VIGAS . 85 6.1 Premissa cinem tica b sica . 85 6.2 F rmula da flex o el stica . 86 6.3 Centr ide de rea . 88 6.4 Momento de in rcia de rea . 90 6.5 Flex o pura de vigas com se o assim trica . 94 6.6 Tens o de flex o em vigas com diferentes materiais (M todo da rigidez equivalente) . 97 7 TENS O DE CISALHAMENTO EM VIGAS .102 7.1 Preliminares .102 7.2 F rmula da tens o de cisalhamento em vigas .102 7.3 Distribui o da tens o de cisalhamento em vigas .105 7.4 Tens o de cisalhamento em vigas com diferentes materiais (M todo da rigidez equivalente) .109 7.5 Fluxo de cisalhamento .113 8 TENS ES COMPOSTAS.120 8.1 Superposi o e suas limita es .120 8.2 Flex o obl qua .123 8.3 Elementos estruturais com carregamento exc ntrico .126 8.4 Superposi o de tens es de cisalhamento.129 9 TRANSFORMA O DE TENS ES .133 9.1 Introdu o .133

9.2 Equa es gerais para transforma o de tens o plana .137 9.3 C rculo de tens es de Mohr .139 9.3 Constru o do c rculo de tens es de Mohr.141 9.4 Importante transforma o de tens o .146 9.6 Tens es principais para o estado geral de tens es .148 9.7 C rculo de Mohr para o estado geral de tens es .150 9.7 Crit rios de escoamento e de fratura .151 9.7.1 Observa es preliminares .151 9.7.2 Teoria da m xima tens o de cisalhamento (Tresca) (mat. d cteis) .152 9.7.3 Teoria da m xima energia de distor o (von Mises) (mat. d cteis) .155 9.7.4 Teoria da m xima tens o normal (mat. fr geis) .159

Curso de Mec nica dos S lidos A

1

1 C LCULO DAS REA ES 1.1 Tipos de suportes (ou apoios) a) Articula o: (Resiste uma for a em apenas uma dire o) pinos B RB A b) Rolete: (Resiste uma for a em apenas uma dire o) viga

rolete

A

viga

viga

A

RA 90

RA

roletes

c) Pino: (Resiste uma for a que age em qualquer dire o) pino RAx A RAx RAy = = A

RAy

d) Engastamento: (Resiste uma for a que age em qualquer dire o e um momento) MA A

RAx

RAy

2

C lculo das rea es

1.2 Tipos de carregamentos a) For as concentradas

P RAx A W B = RAy

P

W

RB

b) Carga uniforme distribu da carga RAx A = B RAy L RB w(kgf/m)

Observa o: Para o c lculo das rea es de apoio, a carga uniforme distribu da substitu da por uma for a concentrada equivalente W igual a rea da figura geom trica da carga e que passa pelo seu centr ide: W = p . L c) Carga uniformemente vari vel carga RAx A B = RAy L RB

w (kgf/m)

Curso de Mec nica dos S lidos A

3

Observa o: Para o c lculo das rea es de apoio, a carga uniforme vari vel substitu da por uma for a concentrada equivalente W igual a rea da figura geom trica da carga e que passa pelo seu centr ide: W = (p . L) /2 d) Momento concentrado W A W B d = RAy M = W.d RB RAx

1.3 Classifica o de vigas a) Simplesmente apoiadas P w (kgf/m)

L

L

b) Bi-engastada (fixa) P

L

c) Engastada- Apoiada P P

L

4

C lculo das rea es

d) Em balan o

w (kgf/m)

L

e) Em balan o nas extremidades P w (kgf/m)

L

1.4 C lculo das rea es nas vigas Equa es de equil brio est tico (for as aplicadas em um plano):

Fx = 0 ,

Fy = 0

e

M A ou B = 0

ou

Fx

= 0,

M A = 0 e M B = 0

Exemplo 1.1: Calcular as rea es nos apoios da viga. Desprezar o peso da viga. 200 kgf.m A 0,5 m 0,5 m 0,5 m 0,5 m 100 kgf 160 kgf B

Diagrama de corpo livre (D.C.L.): 200 kgf.m RAx A B 0,5 m RAy 0,5 m 0,5 m 0,5 m RB 100 kgf 160 kgf

Curso de Mec nica dos S lidos A

5

Fx = 0 MA

=0 ,

RAx = 0 200 + 100 . 1+160 . 1,5 RB . 2 = 0 RB = 270 kgf

Fy = 0

, RAy - 100 - 160 + 270 = 0

RAy = - 10 kgf

Verifica o:

M B = 0

- 10 . 2 + 200 - 100 . 1-160 . 0,5 = 0

OK

Observa o: Nenhum momento transmitido por uma junta articulada, apenas as for as horizontais e verticais s o transmitidas. L/2 A L B a C P articula o

Diagrama de corpo livre (D.C.L.): L/2 A P/2 L P B P/2 a C P/2 P/2 Mc = P/2.a

6

Diagramas de for a axial, cortante e de momento

2 DIAGRAMAS DE FOR A AXIAL, CORTANTE E DE MOMENTOS 2.1 M todo das se es O m todo das se es estabelece procedimentos para a determina o dos esfor os internos ao longo do comprimento da viga. O conceito de equil brio das partes de um corpo utilizado quando o corpo com um todo est em equil brio. a P2 a A RAy w1

P1 w2 B RAx RB

P2 V

P

M

P1 M w1 P V A RAy .1 Esfor os internos em vigas onde V a for a cortante, P a for a axial e M o momento fletor. RAx w2 B RB

2.1.1 For a cortante nas vigas (V) A for a cortante V, perpendicular ao eixo da viga, deve ser introduzida na se o: A-A para satisfazer a equa o de equil brio

F y = 0

.

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7

A for a cortante definida positiva quando girar a se o no sentido antihor rio. a +V a b

b +V

.2 For a cortante 2.1.2 For a axial nas vigas (P) A for a axial P, paralela ao eixo da viga e que passa pelo centr ide da se o, deve ser introduzida na se o A-A para satisfazer a equa o de equil brio

Fx = 0

.

A for a axial definida positiva ou de tra o quando agir de dentro para fora da se o e negativa ou de compress o em caso contr rio. a +P a b b +P

.3 For a axial 2.1.3 Momento fletor (M) O momento fletor M, que gira em torno de um eixo perpendicular ao plano que cont m a viga, deve ser introduzido na se o A-A para satisfazer a equa o de equil brio

Mz = 0 .

Para isto, o momento provocado pelas for as normalmente

calculado em torno do ponto de interse o de V e P. O momento fletor definido positivo quando tracionar a parte interior da viga e comprimir a parte superior da viga , e negativo em caso contr rio. +M a a b b +M

.4 Momento fletor

8

Diagramas de for a axial, cortante e de momento

2.1.4 Diagramas de for as cortante e axial e do momento fletor Os diagramas de esfor os internos s o tra ados para se determinar a evolu o das for as cortante e axial e do momento fletor ao longo da viga, respectivamente. Exemplo 2.1: Tra ar os diagramas de for as cortante, for a axial e de momento fletor para a viga abaixo, sujeita for a inclinada de P = 5 t . Desprezar o peso da viga. P=5t 3 5m a - Determinar as rea es de apoio. Diagrama de corpo livre (D.C.L.): 4t RAx RAy 3t 4 B 5m

A

RB

Fx = 0

M B = 0 Fy = 0 M A

, RAx 3 = 0

, RAx = 3 t , RAy = 2 t

, RAy . 10 4 . 5 = 0

, 2 4 + RAB = 0

, RB = 2 t

Verifica o: = 4 . 5 2 . 10 = 0 (OK)

b - Determinar as for as cortante e axial e o momento fletor em se es entre duas for as concentradas. Se o c-c (0 x 5):

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9

c 3t 2t 3t 2t x V c M

4t 3t

2t P

Fx = 0 ,

Fy = 0 , M c = 0,

P+3=0 , V+2=0 ,

P = - 3 (t) V = - 2 (t) M = 2 x (t.m)

-2 . x + M = 0 ,

Se o d-d (5 x 10): 4t 3t 2t P x 3t d M d

2t

V

2t

Fx = 0 ,

Fy = 0 ,

P =0 -V+2=0, V = 2 (t) M = - 2 x + 20 (t.m)

Md = 0 ,

-2 . ( 10 x ) + M = 0 ,

c - Tra ar os diagramas de for a cortante, for a axial e do momento fletor.

10

Diagramas de for a axial, cortante e de momento

4t 3t 2t + For a cortante (t) -2 For a axial (t) -3 4 3t

2t +2

3 10

Momento fletor (t.m)

+

+

Conclus es Importantes: Ponto de for a concentrada vertical Discontinuidade no diagrama de for a cortante igual a for a concentrada vertical. Ponto de for a concentrada axial Discontinuidade no diagrama de for a axial igual a for a concentrada axial. Exemplo 2.2: Tra ar os diagramas de for a cortante e de momento fletor para a viga apresentada abaixo, sujeita uma for a distribu da e a um momento concentrado.

w = 2 t/m

M =8 t.m B 2m 2m

A 2m

a - Determinar as rea es nos apoios (D.C.L.):

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11

4t 2 t/m 8 t.m

2m RA

2m

2m

RBx RBy

Fx

Fy

= 0 , RBx = 0 , - 4 . 5 + RA .4 + 8 = 0 , RA = 3 t

MB = 0

= 0 , - 4 + 3 + RBy = 0 ,

RBy = 1 t

Verifica o:

M A

=-4.1+8-1.4 =0

(OK)

2 - Determinar as for as cortante e o momento fletor em se es entre for as e momentos concentrados e ao longo de uma carga distribu da. Se o c-c (0 x 2): c 2 t/m 8 t.m

c x 2x V M P 3t 1t

Fx

Fy

= 0,

= 0,

P =0 - 2.x + V = 0 , V = 2 x (t) M = - x2 (t.m)

MC = 0 ,

2.x.x/2+M=0,

12

Diagramas de for a axial, cortante e de momento

Se o d-d (2 x 4): d 2 t/m 8 t.m

d x 4t V M P 3t 1t

3t

Fx

Fy

= 0,

=0 ,

P =0 -4+3+V=0 , V = 1 (t) M = - x - 2 (t.m)

Md = 0 ,

4 . (x 1) 3 . ( x 2) + M = 0 ,

Se o e-e (4 x 6): e 2 t/m 8 t.m

x 3t P M V

e 1t

1t

Fx

Fy

= 0,

= 0,

P =0 -V+1=0 , V = 1 (t) M = - x + 6 (t.m)

ME = 0 ,

-1.(6 x)+M=0,

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13

c -Tra ar os diagramas de for a cortante e do momento fletor. 8 t.m

2 t/m

3t For a cortante (t) 3 + + + 8 +

1t

Momento fletor (t.m)

Conclus es Importantes (al m das anteriores): Ponto de momento concentrado Discontinuidade no diagrama de momento fletor igual ao momento concentrado. Exemplo 2.3: Os skis suportam um homem de 80 kg. Se o carregamento da neve na superf cie inferior de um ski trapezoidal como mostrado abaixo, determine a intensidade w e tra e os diagramas de for a cortante e de momento fletor para um ski. Tome g=10 m/s2. P 1m A B w 0,5 m 1m C D w 0,5 m , w = 266,67 N/m E

Fy

= 0 , 0,25 w + w + 0,25 w 400 = 0

14

Diagramas de for a axial, cortante e de momento

Trecho AB

x V

M

w' = w x / 0,5 w' x / 2

Fy

=0 ,

wx x + V = 0 , V = - 266,67 x2 (N) 0,5 2

p / x = 0, V = 0 p / x = 0,5 , V = -66,67 N wx x x + M = 0 , M = 88,89 x3 (N.m) 0,5 2 3

M = 0 , -

p / x = 0, M = 0 p / x = 0,5 , M = 11,11 Nm Trecho BC 0,5

x V M

w 0,5/ 2

w.x

Fy

=0 ,

w 0,5 + w x + V = 0 , V = - 266,67 x 66,67 (N) 2

p / x = 0, V = -66,67 N p / x = 0,5 , V = -200 N w 0,5 1 x 2 0,5 + x - w x + M = 0 , M = 133,34x + 66,67x +11,11 2 3 2

M = 0 , -

p / x = 0, M = 11,11 N.m p / x = 0,5 , M = 77,78 N.m

Curso de Mec nica dos S lidos A

15

Devido simetria temos: 400 N

200 66,67 + For a cortante (N) -66,67 77,78 Momento fletor (N.m) 11,11 + + + 400 -200 +

11,11 +

Exemplo 2.4: Determine os diagramas de for a cortante e de momento fletor para a viga abaixo.

0,5 m

4t 2,5 m

1t

For a

total B C D

0,5 m 1,25 m

For a E F

total

A 3m

2,5 m

3,75 m

Diagrama de Corpo Livre (DCL): Viga CDE:

16

Diagramas de for a axial, cortante e de momento

4t

0,5 m

2,5 m

1t

5t C D 2,5 m E = D 2,5 m C 2,5 t.m E

Fx Fy

= 0,

Rcx REx = 0 Rcx = REx REy = 2 t

MC = 0 , REx . 2,5 1 . 3 4 . 0,5 = 0

= 0,

Rcy + REy 4 1 = 0 Rcy = 3 t

Viga ABC:

6t Rcy = 3 t A 3m B C

Fx MA Fy

= 0,

RBx RCx = 0 RBx = RCx RBy = 6,5 t

= 0 , RBy . 3 6 . 1,5 Rcy . 3,5 = 0

= 0,

RAy + REy 6 RCy = 0 RAy = 2,5 t

Viga EFG: REy=2 REx E F

1,25 m

3,75 m RFy RGy

0,5 m

1t

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17

Fx Fy

= 0,

REx = 0 RBx = RCx = REx = 0 2 . (1,25 + 3,75) RFy . 3,75 + 1 . 3,75/3 = 0 RFy = 3 t 6 + RFy 1 + RGy = 0 RGy = 0 t

ME = 0 ,

= 0,

Viga ABC Trecho AB (0 x 3):

2x w =2 V M

w . 3 = 6 t (for a total) w = 2 t/m

x 2,5

Fy

= 0 , 2,5 2 x + V = 0 V = 2 x 2,5 (t)

p/ x = 0 , VA = 2,5 t p/ x = 3 , VB = 3,5 t

M = 0 ,

2,5 x + 2 x x / 2 + M = 0 M = x2 + 2,5 x (t.m)

p/ x = 0 , MA = 0 t.m p/ x = 3 , MB = 1,5 t.m Momento m ximo:

dM = 0 , 2 x + 2,5 = 0 x = 1,25 m dx Mmax = 1,5625 (t.m)

Mmax (x = 1,25m) = (1,25)2 + 2,5 . 1,25 Trecho BC (0 x 0,5): M

x

V

Fy = 0 ,

3 V = 0 V = 3 (t)

18

Diagramas de for a axial, cortante e de momento

p/ x = 0 , VB = 3 t p/ x = 0,5 , VC = 3 t

M = 0,

3 . (0,5 x) M = 0

M = 3 x 1,5 (t.m)

p/ x = 0 , MB = 1,5 t.m p/ x = 0,5 , MC = 0 t.m Viga CDE Trecho CD (0 x 0,5): M

x 3

V

Fy

= 0 , 3 + V = 0 V = 3 (t)

p/ x = 0 , VC = 3 t p/ x = 0,5 , VD = 3 t

M = 0,

3 x + M = 0 M = 3 x (t.m)

p/ x = 0 , MC = 0 t.m p/ x = 0,5 , MD = 1,5 t.m Trecho DE (0 x 2):

M

x

V 2

Fy

= 0 , V + 2 = 0 V = 2 (t)

p/ x = 0 , VD = 2 t p/ x = 2 , VE = 2 t

M = 0 ,

2 . (2 x) M = 0 M = 2 x + 4 (t.m)

p/ x = 0 , MD = 4 t.m p/ x = 2 , ME = 0 t.m

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19

Viga EFG Trecho EF (0 x 1,25):

2 M

x

V

Fy

= 0 , 2 + V = 0 V = 2 (t)

p/ x = 0 , VE = 2 t p/ x = 1,25 , VF = 2 t

M = 0 ,

2 x + M = 0 M = 2 x (t.m)

p/ x = 0 , ME = 0 t.m p/ x = 1,25 , MF = - 2,5 t.m Trecho FG (0 x 3,75): w.3,75 = 1 ( total) 2 w= 2 ( t.m) 3,75

1,25 3

x

2

w'x / 2 w' M

w 3,75 w x

w =

'

'

x

V

2 3,75 2

F y = 0 , 2 + 3 w' x / 2 + V = 0 V =

x2 3,75 2

- x (t)

p/ x = 0 , VF = 1 t p/ x = 3,75 , VG = 0 t x3 3. 3,75 2

M = 0 , 2.(1,25 + x) 3.x + (w' x / 2).x/3 + M = 0 M = -

p/ x = 0 , MF = 2,5 t.m p/ x = 3,75 , MG = 0 t.m

+ x - 2,5 (t.m)

20

Diagramas de for a axial, cortante e de momento

Viga ABC: A B

Rcy = 3 t C

RAy 3 6 For a cortante (t) 2,5 1,5625 Momento fletor (t.m) -3

-1,5

Viga CDE 5t C D 2,5 t.m E

2t For a cortante (t) -3 t 4 Momento fletor (t.m) 1,5 2,5

Viga EFG:

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21

1t REy=2 REx E F

RFy For a cortante (t) 2 -1 Momento fletor (t.m) -2,5 3

RGy

2.2 M todo do somat rio.

2.2.1 Equa es diferenciais de equil brio Considere a viga com uma carga distribu da w(x). y

w(x)

x

x

+w(x) y M A x V+V M+M V x

22

Diagramas de for a axial, cortante e de momento

Pelas condi es de equil brio das for as verticais ( F y = 0 ) e dos momentos ( M = 0 ) temos:

Fy

= 0 , - V + w . x + ( V + V ) = 0

V = -w x

(2.1) (2.2)

MA

= 0 , M - V . x + w . x .

x M x - (M + M) = 0 = -V + w . 2 x 2

As eqs. (2.1) e (2.2) sendo avaliadas no limite, quando x 0, fornecem as duas equa es diferenciais b sicas: V dV = -w x 0 x dx lim e M dM lim = - V M( x ) = - V( x ) . dx + C 2 x 0 x dx 0

x x

V( x ) = - w( x ) . dx + C1

0

(2.3)

(2.4)

Exemplo 2.5: Tra ar os diagramas de for a cortante e momento fletor para a viga usando o m todo do somat rio. P A L/4 RA a - Determinar as rea es nos apoios. L/2 L/4 RB P B

MA

= 0 , -P .

L 3L -P . + R B . L = 0 RB = P 4 4 RA = P

Fy = 0

, RA - P P + P = 0

Da eq. (2.3), sabendo que w(x) = 0 V(x) = constante = V. Da eq.(2.4), como V constante, a equa o de momento fletor no trecho da forma: M(x) = - V x + C2

Curso de Mec nica dos S lidos A

23

b - Tra ar os diagramas de for a cortante e momento fletor. P A P B

P For a Cortante

P

+

-P

+P

PL/4

Momento Fletor +

Exemplo 2.6: Construir os diagramas de for a cortante e momento fletor para a viga com o carregamento mostrado abaixo, usando o m todo do somat rio.

10 t 2 t/m 3 C 3m A 3m D 1m B 1m E 2m F 1m 4 1 t/m G

a - Determinar as rea es nos apoios. 3t 2 t/m 8t 10 t 2t 6t C RAx 3m RAy A 3m D B 1m E 2m F 1m 1 t/m G

RB 1m

24

Diagramas de for a axial, cortante e de momento

Fx

= 0 , RAx 6 = 0 RAx = 6 t , 3 . 2 - 8 . 3 + RB .4 2 . 6 = 0 RB = 7,5 t

MA = 0

Fy = 0

, - 3 + RAy 8 + 7,5 2 = 0 RAy = 5,5 t

b - Determinar as fun es da for a cortante V(x) e do momento fletor M(x) para cada trecho da viga. Partir da extremidade mais a esquerda, ponto C: Trecho C-A: V( x ) = - w( x ) dx + C1

0 x

w( x ) = ax + b

p / x = 0 , w = -2 b = -2 p/x = 3, w = 0 a = 2 3

w( x ) =

2 x - 2 (t/m) 3

x

2 V( x ) = - x - 2 dx + C1 3 0

V( x ) = -

2 x2 + 2x + C1 (t) 3 2

p/ x = 0 , Vc = 0 C1 = 0 (n o h for a concentrada em C) x2 V( x ) = - + 2x 3 p/ x = 3 VA = 3 t 2 x2 M( x ) = - V( x ) dx + C2 M( x ) = - - + 2x dx + C2 3 2 0 0 1 x3 2 2 M( x ) = - - + x + C2 3 3 2 p/ x = 0 , Mc = 0 C2 = 0 (n o h momento concentrado em C) M( x ) = x3 - x 2 (t.m) 9

x x

p/ x = 3 MA = -6 t . m

Curso de Mec nica dos S lidos A

25

for a axial: P = O Trecho A-D: V( x ) = - w( x ) dx + C1

0 x

como w(x) = 0 V(x) = constante = C1 = - 2,5 t

x x

M( x ) = - V( x ) dx + C2 , M( x ) = - (- 2,5 ) dx + C2 M( x ) = 2,5 x + C2

0 0

p/ x = 0 , MA = -6 C2 = - 6 (n o h momento concentrado em A) M( x ) = 2,5 x - 6 (t.m) p/ x = 3 MD = 1,5 t . m for a axial: P = - 6 t Trecho D-B: V( x ) = - w( x ) dx + C1

0 x

como w(x) = 0 V(x) = constante = C1 = 5,5 t M( x ) = - V( x ) dx + C2 , M( x ) = - 5,5 dx + C2 M( x ) = -5,5 x + C2

0 0 x x

p/ x = 0 , MD = 1,5 C2 = 1,5 (n o h momento concentrado em D) M(x) = 5,5 x + 1,5 (t.m) p/ x =1 MB = - 4 t . m For a axial P = 0 Trecho B-E: V( x ) = - w( x ) dx + C1

0 x

26

Diagramas de for a axial, cortante e de momento

como w(x) = 0 V(x) = constante = C1 = - 2 V = - 2 t

x x

M( x ) = - V( x ) dx + C2 , M( x ) = - ( -2) dx + C2 M( x ) = 2 x + C2

0 0

p/ x = 0 , MB = - 4 C2 = - 4 (n o h momento concentrado em B) M(x) = 2 x - 4 (t.m) p/ x =1 ME = - 2 t . m For a axial P = 0 Trecho E-F: V( x ) = - w( x ) dx + C1 , V( x ) = - ( -1) dx + C1 V( x ) = x - C1

0 0 x x

p/ x = 0 , VE = - 2 C1 = - 2 (n o h for a concentrado em E) V( x ) = x - 2 p/ x = 2 VF = 0

x x

M( x ) = - V( x ) dx + C2 , M( x ) = - ( x - 2) dx + C2 M( x ) = -

0 0

x2 + 2x + C2 2

p/ x = 0 , ME = -2 C2 = - 2 (n o h momento concentrado em E) M( x ) = - x2 + 2x - 2 (t.m) 2

p/ x = 2 MF = 0 t . m For a axial P = 0 n o h for as e momentos concentrados: V = 0 , M = 0 , P = 0 Tra ar os diagramas de for as cortante e axial e de momento fletor.

Curso de Mec nica dos S lidos A

27

8t 2 t/m C 6t 5,5 t 3 For a cortante (t) + 2,5 5,5 A D

10 t 6t B 7,5 t E 1 t/m F G

+ -

2

1,5 Momento fletor (t.m) -4 -6 For a axial (t) -6

-

-

-2

-

28

Tens o

3 TENS O 3.1 Defini o de Tens o

Considere um o corpo seccionado, submetido for as externas P1 e P2 e for as internas P atuantes em reas infinitesimais A, Fig.3.1. y

Py

P A Px

Pz z

x

.1 Esfor os externos einternos num corpo seccionado A tens o normal face seccionada por defini o da forma:

xx = x = lim Px A 0 A

(3.1)

e, as tens es de cisalhamento que atuam na face seccionada s o por defini o da forma: xy = lim xz Py (3.2) A Pz = lim A 0 A

A 0

O primeiro ndice da tens o de cisalhamento indica o eixo que perpendicular face onde atua a tens o e o segundo indica a dire o da tens o.

3.2 Tensor de Tens es

Curso de Mec nica dos S lidos A

29

Considere um elemento infinitesimal de dimens es x, y e z com todas as tens es que atuam sobre ele, Fig. 3.2. y

y z yz y z y xy x

x

x

zx xz y z x y z

x

z

.2 Elemento infinitesimal solicitado triaxialmente O tensor de tens es uma matriz de dimens o (3x3) onde s o colocadas todas as tens es atuantes num elemento infinitesimal:

xx yx zx xy yy zy xz x yz = yx zz zx xy y zy xz yz z

(3.3)

Verifica-se que o tensor de tens es sim trico: yx = xy , zx = xz , yz = zy. Demonstra o:

Meixo z

= 0 , (yx . x . z ) y - (xy . y . z ) x = 0 yx = xy

3.3 Tens es em membros com carregamento axial

3.3.1 Carga axial Considere uma barra sem peso e em equil brio, sujeita duas for as F (tra o ou compress o) em suas extremidades.

30

Tens o

F

F

a

a P A F .3 Barra solicitada axialmente

A rea da se o transversal no ponto onde se seccionou a barra A e a for a interna igual a P e positiva (se tracionada) ou negativa (se comprimida), logo a tens o normal da forma:

=

P A

(3.4)

No caso da barra estar sendo comprimida, seu comprimento deve ser suficientemente pequeno para que n o ocorra flambagem.

3.3.2 Tens o m dia de cisalhamento Considere um corpo sendo arrastado sobre outro corpo por uma P.

P

P

V=P A .4 Corpo sendo cisalhado

Curso de Mec nica dos S lidos A

31

Se o corpo que est sendo arrastado tem rea A na interface de contato entre os corpos, a tens o m dia de cisalhamento1 da forma:

m =

V A

(3.5)

A eq. (3.5) frequentemente utilizada para dimensionar pinos, parafusos, rebites, etc. que est o sendo solicitados por esfor os cisalhantes. Corpos podem ser cisalhados de formas diferentes. Um corpo pode estar sendo submetido um cisalhamento simples quando, Fig. 3.5: P

P

.5 Corpo submetido um cisalhamento simples O rebite que une os dois corpos que est o sendo tracionados cisalhado na interface da seguinte forma, Fig. 3.6: V=P A P

.6 Rebite com cisalhamento simples Se o rebite tem rea A na interface e a for a cortante V P, a tens o de cisalhamento m dia :

m =

V P = A A

(3.6)

Um corpo pode estar sendo submetido um cisalhamento duplo quando, Fig. 3.7:

1

A tens o de cisalhamento m dia pois a for a que atua em cada rea infinitesimal n o a mesma.

32

Tens o

P/2

P

P/2 .7 Corpo submetido um cisalhamento duplo O rebite que une os tr s corpos que est o sendo tracionados cisalhado na interface entre cada corpo da forma, Fig. 3.8: V = P/2 V = P/2 A .8 Rebite com cisalhamento duplo Se o rebite tem rea A na interface entre cada corpo, e a for a cortante V P/2, a tens o de cisalhamento m dia :

m =

A P

V P = A 2A

(3.7)

Exemplo 3.1: A barra abaixo tem largura de 35 mm e espessura de 10 mm, constantes ao longo de seu comprimento. Determine as tens es normais nos diferentes trechos da barra para o carregamento abaixo. B 9 kN 12 kN A C 4 kN D 22 kN

9 kN Trecho AB: 12 kN A P = 12 kN

4 kN

Curso de Mec nica dos S lidos A

33

AB =

P 12000 N N = = 34285714 A 0,035.0,010 m 2 m2

AB = 34285714 Pa = 34,3 MPa

Trecho BC: B 9 kN 12 kN A P = 30 kN

9 kN

BC

P 30000 N = = = 85,7 MPa A 0,035.0,010 m 2

Trecho CD: P = 22 kN D 22 kN

CD =

P 22000 N = = 62,4 MPa A 0,035.0,010 m 2

Exemplo 3.2: Determine as tens es nos pinos localizados em A e B com di metros d = 8 mm e a tens o na barra BC para o conjunto abaixo: A C

15 kN A 2m 1m B B 3 4

b = 10 mm

t = 5 mm

34

Tens o

DCL da Barra AB: 15 kN B RAx A RB . 3 . 3 - 15 . 2 = 0 5 3 = 0 5

RA

RAy

RB 3 4

MA = 0 ,

RB = 16,7 kN RAy = 5 kN RAy = 13,4 kN

FY Fx

=0 , =0 ,

R Ay - 15 + R B .

- R Ax + R B .

4 = 0 5

Pino A:

R A = 5 2 + 13,4 2 = 14,3 kN

RA = 14,3 kN

V = RA/2 RA=14,3 kN V = RA/2 V 14300 / 2 N = A 8 2 mm 2 4

A =

A = 142,2 MPa

Pino B: V = RB RB = 16,7 kN

Curso de Mec nica dos S lidos A

35

B =

V 16700 N = A 82 mm 2 4

BC = 332,2 MPa

Barra BC: P = RB

RB

BC =

P 16700 N = = 334 MPa A 10,5 mm 2

3.4 Tens es Admiss veis; Fator de seguran a

Para garantir a seguran a de uma estrutura, necess rio escolher uma tens o admiss vel que restrinja a carga aplicada, a uma que seja menor que aquela que a estrutura possa suportar. H v rios motivos para isso: imprecis o de c lculo, imperfei es oriundas do processo de fabrica o, variabilidade nas propriedades mec nicas dos materiais, degrada o do material, etc. Uma das maneiras de especificar a tens o admiss vel definir um coeficiente de seguran a dado por:

= = escoamento admiss vel ruptura admiss vel

(3.8)

As tens es de ruptura s o determinadas experimentalmente e o coeficiente de seguran a selecionado baseado no tipo de estrutura e em suas aplica es.

36

Tens o

3.5 Projeto de membros e pinos com carregamento axial

Exemplo 3.3: Determine o di metro da barra BC, se a tens o admiss vel adm = 155 MPa. A viga assumida ser parafusada em A.

C 15 kN/m m B 3m 1,5 m A

D.C.L da barra AB:

22,5 kN

11,25 kN

2 RB

1

RA

MA

adm =

=0 ,

- R B . 4,5 + 22,5 . 2,5 + 11,25 . 1 = 0 RB = 15 kN

RB A BC

,

155

N mm 2

=

15000 dBC 2 4

dBC = 11,1 mm

Exemplo 3.4:

Duas vigas de madeira s o conectadas por um parafuso em B.

Assumindo que as conex es em A, B, C, e D exercem somente for as verticais nas vigas. Determine o di metro do parafuso em B e o di metro externo de sua arruela se a tens o admiss vel do parafuso adm p. = 150 MPa e a tens o admiss vel da madeira adm m. = 28 MPa.

Curso de Mec nica dos S lidos A

37

3 kN 2m 2m A C 1,5 m

1,5 kN 1,5 m 1,5 m

2 kN 1,5 m D

B

D.C.L. da Viga AB: 3 kN RC

RA

RB

MA

= 0 , -3 . 2 - RC . 4 + RB . 5,5 = 0 Rc = 1,375 RB 1,5

D.C.L. da Viga CD: RB 1,5 kN 2 kN

RC

RD

MD = 0

, - RC . 6 + RB . 4,5 + 1,5 . 3 + 2 . 1,5 = 0 RB = 4,4 kN

- (1,375 RB 1,5) . 6 + RB . 4,5 + 4,5 . 3 + 3 = 0 Parafuso: adm P. = RB dP 4

2

,

150 =

4400 dP 4

2

dP = 6,1 mm

Arruela:

38

Tens o

de A

6,1 mm

adm P. =

RB d 2 e A dP 2 - 4 4

,

26 =

4400 d 2 e A 6,12 - 4 4

de A = 15,4 mm

Exemplo 3.5: Determine a m xima for a F que pode ser aplicada na estrutura se as reas das se es transversais das barras s o A = 5000 mm2 e a tens o admiss vel de tra o adm t = 14 kgf/mm2 e a tens o admiss vel de compress o adm c = 10,5 kgf/mm2 . E 9m F

B 3m A R Ax 3m R Ay

C D 9m R Dy

Fx MA

Fy

= 0 R Ax = 0 =0

=0

, R Dy . 3 F . 12 = 0

R Dy = 4 F

, R Ay + R Dy F = 0 R Ay = 3 F

Ponto E: E FBE FC 45 F cos = 4 , 5 sen = 3 5

Curso de Mec nica dos S lidos A

39

Fy = 0 Fx

, F FCE cos 45 FBE sen = 0

Fce = 5,66 F (compress o)

= 0 , FBE cos FCE sen 45 = 0

Fbe = 5 F (tra o)

Ponto C: FC FCB C 45

FCD

Fy

=0

, FCD FCE sen 45 = 0

FCD = 4 F (compress o)

Fx

= 0 , FCB FCE cos 45 = 0

Fcb = 4 F (compress o)

Ponto B: B

FBE FBC 45 FBA FBD FBD = 0

Fx

Fy

= 0 , FBD cos 45 FBC + FBE cos = 0

=0

, FBA + FBE sen = 0

FBA = 3 F (tra o)

Ponto A: A RAx

FBA FAD

RAy

Fx

Fy

= 0 , RAx + FAD = 0

= 0 , RAy + FBA = 0

FAD = 0 FBA = 3 F (tra o)

40

Tens o

barra CE:

adm c = 5,66 F FCE , 10,5 = , F = 9.276 kgf A 5000 FBE 5F , 14 = , F = 14.000 kgf A 5000 FCD 4F , 10,5 = , F = 13.125 kgf A 5000 FCB 4F , 10,5 = , F = 13.125 kgf A 5000 FBA 3F , 14 = , F = 23.333 kgf A 5000

barra BE:

adm t =

barra CD:

adm c =

barra CB:

adm c =

barra BA:

adm t =

Resposta: A m xima for a F a de F = 9.276 kgf, pois qualquer for a maior que est produziria uma tens o superior a tens o admiss vel. Exemplo 3.6: A estrutura treli ada abaixo suporta duas for as de 12 t. Se as tens es admiss veis s o adm

t

= 14 kgf/mm2

em tra o e adm

c

= 10,5 kgf/mm2 em

compress o, determine a menor se o transversal poss vel para as barras. B 1,5 m A R Ax RAy 2m F C 2m 12 t E 2m R Fy D

12 t

Fx

Fy

= 0 R Ax = 0 , R Fy . 6 12 . 4 12 . 2 = 0 , R Ay + R Fy 12 12 = 0 R Fy = 12 t

MA = 0

=0

R Ay = 12 F

Curso de Mec nica dos S lidos A

41

Ponto A: FAB RA E RAy FAC cos = 2 , 2,5 sen = 1,5 2,5

Fy

=0

, RAy FAB sen = 0

FAB = 20 t (compress o) FAC = 16 t (tra o)

Fx

= 0 , RAx FAB cos + FAC = 0

Ponto C: FBC C 12

FAC

FC

Fy

=0

, FBC 12 = 0

FBC = 12 t (tra o)

Fx

= 0 , FAC + FCE = 0

FCE = 16 t (tra o)

Ponto B: B FBC FBD FBE FBE = 0 t

FA

Fy

=0

, FAB sen FBC + FBE sen = 0

Fx

= 0 , FAB cos FBE cos + FBD = 0

FBD = 16 t (compress o)

Ponto D: FBD D FDE FDF FDF = 20 t (compress o)

Fx

= 0 , FBD FDF cos = 0

42

Tens o

Fy

=0

, FDE + FDF sen = 0

FDE = 12 t (tra o)

Ponto E: FBE FCE 12 E FEF FDE

Fy

= 0 , 12 + FDE + FBE sen = 0

(ok) FEF = 16 t (tra o)

Fx

= 0 , FCE FBE cos + FEF = 0

Ponto F: FDF FEF RFy F

Fy

=0

, RFy FDF sen = 0

(ok) (ok)

Fx

= 0 , FEF + FDF cos = 0

barra AB:

adm c FAB 20.103 = , 10,5 = , AAB = 1904,8 mm2 A AB A AB

barra AC:

adm t = FAC 16.103 , 14 = , AAC = 1142,9 mm2 A AC A AC

barra BC:

adm t = FBC 12.103 , 14 = , ABC = 857,2 mm2 A BC ABC

barra CE:

adm t FCE 16.103 = , 14 = , ACE = 1142,9 mm2 A CE A CE

Curso de Mec nica dos S lidos A

43

barra BD:

adm c = FBD 16.103 , 10,5 = , ABD = 1523,8 mm2 A BD ABD

barra DF:

adm c FDF 20.103 = , 10,5 = , ADF = 1904,8 mm2 A DF ADF

barra DE:

adm t = FDE 12.103 , 14 = , ADE = 857,2 mm2 A DE ADE

barra EF:

adm t = FEF 16.103 , 14 = , AEF = 1142,9 mm2 A EF AEF

Resposta: A menor rea poss vel a de 1904,8 mm2, pois qualquer rea menor que est produziria uma tens o superior a tens o admiss vel.

44

Deforma o

4 DEFORMA O 4.1 Significado f sico da deforma o

Um corpo s lido se deforma quando sujeito mudan as de temperatura ou a uma carga externa, como mostrado abaixo. Lo

P

P

L .1 Representa o gr fica da deforma o linear Se Lo o comprimento inicial e L o comprimento final do corpo sob tra o, o alongamento L = L - L0 e o alongamento por unidade de comprimento, chamado deforma o linear, definido como: =

L

dL L = Lo Lo o

(4.1)

4.2 Defini o matem tica de deforma o

Considere dois pontos localizados em uma dire o x de um corpo s lido na qual uma deforma o linear est sendo considerada. A 0 u x .2 Representa o matem tica da deforma o linear Assim a defini o de deforma o linear no ponto A quando x 0 definida como: A' B u+u B' x,u

Curso de Mec nica dos S lidos A

45

= lim

x 0

u du = x dx

(4.2)

Se 0 = Alonga o e 0 = Contra o. Se o corpo se deforma em tr s dire es ortogonais x, y, e z e u, v, e w s o as tr s componentes do deslocamento nestas dire es, as deforma es lineares s o respectivamente: u x v y = y w z = z x =

(4.3)

Al m da deforma o linear, um corpo pode sofrer uma deforma o angular, como mostrado na Fig. 4.3. y, v u u+ dy y u y

E dy

v x u dx C v+ v dx x x, u

v A

.3 Representa o gr fica da deforma o angular Assim, para pequenas mudan as de ngulo, a deforma o angular associada ao plano xy definida por: xy = yx = v u + x y (4.4)

46

Deforma o

Se o corpo se deforma em mais planos ortogonais xz e yz, as deforma es angulares nestes planos s o: xz = zx = yz = zy w u + x z w v = + y z

(4.5)

4.3 Propriedades mec nicas dos materiais isotr picos

4.3.1 Diagrama tens o-deforma o Muitas propriedades de um material podem ser determinadas a partir de um ensaio de tra o ou compress o, a partir de uma amostra do material, Fig. 4.4. O resultado desse ensaio pode ser representado num diagrama tens o-deforma o. P

Lo Ao

P .4 Corpo-de-prova padronizado para ensaios de tra o O diagrama tens o-deforma o executado num corpo-de-prova

padronizado, tendo como dimens es originais, a se o transversal A0 e o comprimento L0. A tens o considerada no diagrama a for a aplicada P na se o transversal original A0:

Curso de Mec nica dos S lidos A

47

=

P A0

(4.6)

Da mesma forma, a deforma o obtida diretamente da leitura do extens metro, ou pela divis o da varia o de comprimento L pelo comprimento original L0. = L L0 (4.7)

O diagrama tens o-deforma o o gr fico dos correspondentes valores de e , onde o eixo das ordenadas representa as tens es e o eixo das abcissas representa as deforma es . importante ressaltar que dois diagramas de dois corpos- de-prova de um mesmo material n o s o exatamente id nticos, pois os resultados dependem de v rias vari veis como, composi o do material, imperfei es microsc picas, fabrica o, velocidade de aplica o da carga e temperatura do ensaio. A Fig. 4.5 apresenta um diagrama tens o-deforma o de um a o usualmente utilizado na engenharia, no qual pode-se distinguir diferentes regi es.

tens o de ruptura verdadeira tens o ltima

U R Y P

tens o de ruptura

limite de proporcionalidade limite el stico tens o de escoamento

E

regi o escoamento el stic comportamento

deforma o espec fica de endurecimento comportamento pl stico

estric o

.5 Diagrama tens o-deforma o em um ensaio de tra o

48

Deforma o

O comportamento do corpo-de-prova pode ser de diferentes formas, dependendo da intensidade da carga aplicada e do seu grau de deforma o. Comportamento el stico: Quando o corpo-de-prova retorna sua forma original quando a carga aplicada removida. O material considerado linearmente el stico at o limite superior da tens o, chamado de limite de proporcionalidade, P. At esse limite de proporcionalidade, a lei de Hooke, que relaciona a tens o com a deforma o pelo m dulo de elasticidade E do material v lida: =E (4.8)

O material pode ainda se comportar elasticamente at o limite el stico, mesmo se exceder ligeiramente este limite de proporcionalidade. Neste caso por m, o comportamento n o mais linear. Escoamento: Um leve aumento na tens o, acima do limite el stico, resultar numa acomoda o do material causando uma deforma o permanente. A tens o que causa o escoamento chamada de tens o de escoamento, Y. Neste caso, mesmo se a carga for removida, o corpo-de-prova continuar deformado. O corpo-de-prova poder continuar a se alongar mesmo sem qualquer aumento de carga. Nesta regi o, o material denominado perfeitamente pl stico. Deforma o espec fica por endurecimento: Se ao t rmino do escoamento, uma carga adicional for aplicada ao corpo-de-prova, a tens o continuar a aumentar com a deforma o espec fica continuamente at atingir um valor de tens o m xima, referida por tens o ltima, U. Durante a execu o do ensaio nesta regi o, enquanto o corpo-de-prova alongado, sua rea da se o transversal diminui ao longo de seu comprimento nominal, at o ponto que a deforma o corresponda a tens o ltima. Estric o: Ao atingir a tens o ltima, a rea da se o transversal come a a diminuir em uma regi o localizada do corpo-de-prova, e n o mais ao longo do seu comprimento nominal. Este fen meno causado pelo deslizamento de planos no interior do material e as deforma es reais produzidas pela tens o cisalhante (necking). Uma vez que a rea da se o transversal diminui constantemente, esta rea s pode sustentar uma carga menor. Assim, o diagrama tens o-deforma o tende a curvar-se para baixo at a ruptura do corpo-de-prova com uma tens o de ruptura, R.

Curso de Mec nica dos S lidos A

49

O comportamento do corpo-de-prova pode ser de diferentes formas, dependendo da intensidade da carga aplicada e do seu grau de deforma o. Comportamento el stico: Quando o corpo-de-prova retorna sua forma original quando a carga aplicada removida. O material considerado linearmente el stico at o limite superior da tens o, chamado de limite de proporcionalidade, P. At esse limite de proporcionalidade, a lei de Hooke, que relaciona a tens o com a deforma o pelo m dulo de elasticidade E do material v lida: =E (4.8)

O material pode ainda se comportar elasticamente at o limite el stico, mesmo se exceder ligeiramente este limite de proporcionalidade. Neste caso por m, o comportamento n o mais linear. Escoamento: Um leve aumento na tens o, acima do limite el stico, resultar numa acomoda o do material causando uma deforma o permanente. A tens o que causa o escoamento chamada de tens o de escoamento, Y. Neste caso, mesmo se a carga for removida, o corpo-de-prova continuar deformado. O corpo-de-prova poder continuar a se alongar mesmo sem qualquer aumento de carga. Nesta regi o, o material denominado perfeitamente pl stico. Deforma o espec fica por endurecimento: Se ao t rmino do escoamento, uma carga adicional for aplicada ao corpo-de-prova, a tens o continuar a aumentar com a deforma o espec fica continuamente at atingir um valor de tens o m xima, referida por tens o ltima, U. Durante a execu o do ensaio nesta regi o, enquanto o corpo-de-prova alongado, sua rea da se o transversal diminui ao longo de seu comprimento nominal, at o ponto que a deforma o corresponda a tens o ltima. Estric o: Ao atingir a tens o ltima, a rea da se o transversal come a a diminuir em uma regi o localizada do corpo-de-prova, e n o mais ao longo do seu comprimento nominal. Este fen meno causado pelo deslizamento de planos no interior do material e as deforma es reais produzidas pela tens o cisalhante (necking), Fig. 4.6. Uma vez que a rea da se o transversal diminui constantemente, esta rea s pode sustentar uma carga menor. Assim, o diagrama tens o-deforma o tende a curvar-se para baixo at a ruptura do corpo-de-prova com uma tens o de ruptura, R.

50

Deforma o

.6 Estric o da se o transversal do corpo-de-prova A rea sob a curva tens o-deforma o representa a energia de deforma o absorvida pelo material. Quando a tens o atinge o limite de proporcionalidade, P, a energia de deforma o denominada m dulo de resili ncia. Quando a tens o atingir a tens o de ruptura, R, a energia de deforma o denominada de tenacidade. Os materiais com alta tenacidade s o os mais utilizados em projetos estruturais, pois materiais com baixa tenacidade podem romper subitamente sem dar sinais de um rompimento iminente. Exemplo 4.1: O diagrama tens o-deforma o de um material mostrado abaixo. Se um corpo-de-prova carregado at 600 MPa, determine a deforma o permanente remanescente quando o corpo descarregado. Calcule tamb m o m dulo de resili ncia antes e ap s a aplica o do carregamento. O m dulo de elasticidade E obtido pela inclina o da reta OA:

E= Y 450 MPa = = 75 GPa Y 0,006 mm / mm

Do tri ngulo CBD, temos: E= BD 600 MPa = = 75 GPa CD = 0,008 mm/mm CD CD

Curso de Mec nica dos S lidos A

51

(MPa)

F 600 Y= 450 A B

E E O C D 0,01 0,02 Y = 0,006 OC 0,03 0,04

0,023

(mm/mm)

A deforma o dada pelo segmento CD a deforma o el stica recuperada. A deforma o permanente, OC, portanto: OC = 0,023 0,008 = 0,0150 mm/mm Os m dulos de resili ncia inicial e final s o:

uinicial = ufinial = 1 1 N N Y Y = 450 0,006 mm / mm = 1,35 2 2 2 mm mm2 1 1 N N P P = 600 0,008 mm / mm = 2,40 2 2 2 mm mm2

4.3.2 Coeficiente de poisson para materiais isotr picos Considere um corpo s lido submetido uma for a axial como mostra a Fig. 4.7. Pela defini o, a deforma o axial do corpo da forma: x = L Lo (4.9)

e, a deforma o lateral do corpo da forma:

52

Deforma o

y =

b bo

(4.10)

y x b0 b L0 L .7 Corpo s lido solicitado uniaxialmente A rela o entre o valor da deforma o lateral e a deforma o axial conhecida como coeficiente de poisson:

=- y x =- z x

P

P

(4.11)

4.3.3 Lei de Hooke para materiais isotr picos (Estado triaxial de tens es) Considere um corpo submetido um estado triaxial de tens es x, y e z.

y z

x

x

z

y

.8 Corpo s lido solicitado triaxialmente O estado triaxial de tens es pode ser considerado como a superposi o de tr s estados de tens o uniaxial analisados separadamente:

Curso de Mec nica dos S lidos A

53

1. Deforma es devido x:

' x , ' y = - ' x , ' z = - ' x

(4.12)

2. Deforma es devido y: ' ' y , ' ' x = - ' ' y , ' ' z = - ' ' y 3. Deforma es devido z :

' ' ' z , ' ' ' x = - ' ' ' z , ' ' ' y = - ' ' ' z

(4.13)

(4.14)

Superpondo todas as deforma es, temos: x = ' x + ' ' x + ' ' ' x = ' x - ' ' y - ' ' ' z y = ' y + ' ' y + ' ' ' y = - ' x + ' ' y - ' ' ' z z = ' z + ' ' z + ' ' ' z = - ' x - ' ' y + ' ' ' y (4.15)

Da Lei de Hooke, eq. (4.8), as deforma es devido x, y e z s o colocadas da seguinte forma: x =

1 [ x - ( y + z )] E 1 y = [ y - ( x + z )] E 1 z = [ z - ( x + y )] E

(4.16)

Para o caso do corpo ser submetido a esfor os de cisalhamento as rela es deforma o-tens o s o colocadas da forma: xy = yz xz 1 xy G 1 = yz G 1 = xz G

(4.17)

O m dulo de cisalhamento G est relacionado a E e por: G= E 2 (1 + ) (4.18)

54

Deforma o

4.4 Energias de deforma o el stica

4.4.1 Energia de deforma o el stica para tens o uniaxial O trabalho interno armazenado em um corpo deform vel como energia el stica de deforma o ou energia de deforma o el stica, o produto da for a m dia que atua sobre o corpo enquanto ocorre a deforma o, multiplicada pela dist ncia na qual ela age. Neste contexto, considere ent o o elemento de volume infinitesimal dx, dy, dz submetido um esfor o normal x: y x z x x dy dz dx .9 Corpo s lido solicitado uniaxialmente A densidade de energia de deforma o Uo interpretada graficamente como sendo a rea sob a linha inclinada do diagrama tens o-deforma o. dU = Uo = x x dV 2 x (4.19)

E x .10 Diagrama tens o-deforma o

4.4.2 Energia de deforma o el stica para tens o de cisalhamento Considere um elemento de volume infinitesimal dx, dy e dz, submetido um esfor o cisalhante. A energia de deforma o el stica pode ser colocada da forma:

Curso de Mec nica dos S lidos A

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1 1 dU = xy dxdz ( xy dy ) = xy xydV 2 2

(4.20)

A densidade de energia de deforma o pode ser colocada da seguinte forma: dU 1 = xy xy dV 2 (4.21)

4.4.3 Energia de deforma o el stica para um estado de tens o multiaxial

A densidade de energia de deforma o el stica de um corpo solicitado triaxialmente pode ser da seguinte forma: dU 1 1 1 1 1 1 = dUo = x x + y y + z z + xy xy + yz yz + xz xz dV 2 2 2 2 2 2 (4.22)

Substituindo a eq. (4.16) na eq. (4.22), a express o que fornece a densidade de energia de deforma o da forma: Uo = 1 1 2 2 2 2 x + y + z - ( x y + yz + z x ) + xz + 2 yz + 2 xz 2E E 2G

(

)

(

)

(4.23)

Em geral, para um corpo el stico sob tens o, a energia de deforma o total obtida pela integra o volum trica da densidade de energia de deforma o el stica, eq. (4.23): U = Uo d x d y d z

V

(4.24)

4.5 Deforma o de membros carregados axialmente

Usando a Lei de Hooke e as defini es de tens o e deforma o, ser desenvolvida uma equa o que pode ser usada para determinar a deforma o el stica de membros submetidos cargas axiais. Assim, considere uma barra de se o transversal vari vel ao longo de seu comprimento, Fig. 4.11. A barra solicitada por duas for as concentradas nas extremidades e por diferentes for as aplicadas ao longo de seu comprimento.

56

Deforma o

x P1

dx P2 P(x) P(x)

L

u

dx

du

.11 Barra de se o vari vel solicitada axialmente Num ponto distante x da extremidade, as seguintes rela es s o v lidas: P( x ) A( x ) du = dx = Substituindo a eq. (4.25) na Lei de Hooke = E , temos: P( x ) du =E A( x ) dx (4.26)

(4.25)

A integra o da varia o de comprimento du ao longo do comprimento da barra fornece: u=

L

P dx A( x ) E o

(4.27)

Para o caso da for a e da se o transversal serem constantes ao longo do comprimento do membro, tem-se: u= PL AE (4.28)

Exemplo 4.2: A viga r gida AB est apoiada em duas colunas curtas como apresentado abaixo. A coluna AC de a o e tem di metro de 20 mm, e a coluna BD de alum nio e tem di metro de 40 mm. Determine o deslocamento do ponto F na

Curso de Mec nica dos S lidos A

57

viga AB se a carga de 90 kN aplicada sobre este ponto. Tome Ea o = 200 Gpa, Eal = 70 Gpa. 90 kN 200 mm A F 400 mm B

300 mm C D

1 Determinar as rea es das colunas AC e BD na viga AB. 90 kN 200 mm A RAC 400 mm B RBD

MA

= 0 , RBD . 600 90 . 200 = 0 , RBD = 30 kN , RAC 90 + 30 = 0 , RAC = 60 kN

Fy = 0

2 Determinar os deslocamentos das colunas. Coluna AC: uA = R AC . L AC = Ea o . A AC 60.103. 300 = 0,286 mm 2 3 20 200.10 . 4

Coluna BD: uB = RBD . LBD 30.103. 300 = = 0,102 mm 2 Eal . A BD 3 40 70.10 . 4

3 Determinar o deslocamento do ponto F.

58

Deforma o

200 mm A uB = 0,286 mm F

400 mm B uB = 0,102 mm uF

Por semelhan a de tri ngulos: (0,286 - 0,102) uF' = (200 + 400) 400 , uF = 0,123 mm

uF = 0,102 + 0,123 = 0,225 mm Exemplo 4.3: O conjunto abaixo consiste de um tubo de alum nio AB tendo uma rea de 400 mm2. Uma haste de a o de di metro 10 mm conectada ao tubo AB por uma arruela e uma porca em B. Se uma for a de 80 kN aplicada na haste, determine o deslocamento da extremidade C. Tome Ea o = 200 GPa e Eal = 70 GPa. 400 mm

C 80 kN

B

600 mm

A

Haste BC: PBC = 80 kN 80 kN

uC / B =

PBC LBC 80000 . 600 = Ea o ABC 102 200.103 4

, uC/B = 3,06 mm

Tubo AB:

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80 kN

PAB = 80 kN

uB / A =

PAB L AB 80000 . 400 = , uB/A = 1,14 mm Eal A AB 70.103 400 , uC = 4,2 mm

uc = uC/B + uB/A = 3,06 + 1,14

Exemplo 4.4: O conjunto abaixo consiste de duas barras r gidas originalmente horizontais. Elas s o suportadas por duas barras de rea 25 mm2 e E = 200 GPa. Se uma for a vertical de 50 kN aplicada na barra AB, determine o deslocamento em C, B e E.

200 mm 200 mm A C 600 mm 600 mm 50 kN Diagrama de corpo r gido da barra AB: RA A 600 mm 600 mm 50 kN Devido a simetria: RA = RB = 25 kN Diagrama de corpo r gido da barra CB: B RB 800 mm E D

150 mm B

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