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1. Topografia
1.1. Conceitos
Definição: a palavra "Topografia" deriva das palavras gregas "topos" (lugar) e "graphen" (descrever), o que significa, a descrição exata e minuciosa de um lugar. (DOMINGUES, 1979).
Finalidade: determinar o contorno, dimensão e posição relativa de uma porção limitada da superfície terrestre, do fundo dos mares ou do interior de minas, desconsiderando a curvatura resultante da esfericidade da Terra. Compete ainda à Topografia, a locação, no terreno, de projetos elaborados de Engenharia. (DOMINGUES, 1979).
Importância: ela é a base de qualquer projeto e de qualquer obra realizada por engenheiros ou arquitetos. Por exemplo, os trabalhos de obras viárias, núcleos habitacionais, edifícios, aeroportos, hidrografia, usinas hidrelétricas, telecomunicações, sistemas de água e esgoto, planejamento, urbanismo, paisagismo, irrigação, drenagem, cultura, reflorestamento etc., se desenvolvem em função do terreno sobre o qual se assentam. (DOMINGUES, 1979). Portanto, é fundamental o conhecimento pormenorizado deste terreno, tanto na etapa do projeto, quanto da sua construção ou execução; e, a Topografia, fornece os métodos e os instrumentos que permitem este conhecimento do terreno e asseguram uma correta implantação da obra ou serviço.
Diferença entre Geodésia e Topografia: a Topografia é muitas vezes confundida com a Geodésia pois se utilizam dos mesmos equipamentos e praticamente dos mesmos métodos para o mapeamento da superfície terrestre. Porém, enquanto a Topografia tem por finalidade mapear uma pequena porção daquela superfície (área de raio até 30km), a Geodésia, tem por finalidade, mapear grandes porções desta mesma superfície, levando em consideração as deformações devido à sua esfericidade. Portanto, pode-se afirmar que a Topografia, menos complexa e restrita, é apenas um capítulo da Geodésia, ciência muito mais abrangente.
1.2. Representação
A porção da superfície terrestre, levantada topograficamente, é representada através de uma Projeção Ortogonal Cotada e denomina-se Superfície Topográfica.
Isto eqüivale dizer que, não só os limites desta superfície, bem como todas as suas particularidades naturais ou artificiais, serão projetadas sobre um plano considerado horizontal.
A esta projeção ou imagem figurada do terreno dá-se o nome de Planta ou Plano Topográfico. (ESPARTEL, 1987).
A figura abaixo (ESPARTEL, 1987) representa exatamente a relação da superfície terrestre e de sua projeção sobre o papel.
Superfície Topográfica - Planta Topográfica
1.3. Divisão
O levantamento topográfico pode ser dividido em :
- Levantamento topográfico Planimétrico, compreendendo o conjunto de operações necessárias para a determinação de pontos e feições do terreno que serão projetados sobre um plano horizontal de referência através de suas coordenadas X e Y (representação bidimensional), e,
- Levantamento topográfico Altimétrico, compreendendo o conjunto de operações necessárias para a determinação de pontos e feições do terreno que, além de serem projetados sobre um plano horizontal de referência, terão sua representação em relação a um plano de referência vertical ou de nível através de suas coordenadas X, Y e Z (representação tridimensional).
Ao conjunto de métodos abrangidos pela planimetria e pela altimetria dá-se o nome de Topometria (mais conhecida como Planialtimetria).
A Topologia, por sua vez, utilizando-se dos dados obtidos através da topometria, tem por objetivo o estudo das formas da superfície terrestre e das leis que regem o seu modelado.
É conveniente ressaltar que os levantamentos planimétricos e/ou altimétricos são definidos e executados em função das especificações dos projetos. Assim, um projeto poderá exigir somente levantamentos planimétricos, ou, somente levantamentos altimétricos, ou ainda, ambos os levantamentos.
2. Modelos Terrestres
No estudo da forma e dimensão da Terra, podemos considerar quatro tipos de superfície ou modelo para a sua representação. São eles:
a)Modelo Real
Este modelo permitiria a representação da Terra tal qual ela se apresenta na realidade, ou seja, sem as deformações que os outros modelos apresentam.
No entanto, devido à irregularidade da superfície terrestre, o modelo real não dispõe, até o momento, de definições matemáticas adequadas à sua representação. Em função disso, outros modelos menos complexos foram desenvolvidos.
b)Modelo Geoidal
Permite que a superfície terrestre seja representada por uma superfície fictícia definida pelo prolongamento do nível médio dos mares (NMM) por sobre os continentes. Este modelo, evidentemente, irá apresentar a superfície do terreno deformada em relação à sua forma e posição reais.
O modelo geoidal é determinado, matematicamente, através de medidas gravimétricas (força da gravidade) realizadas sobre a superfície terrestre. Os levantamentos gravimétricos, por sua vez, são específicos da Geodésia e, portanto, não serão abordados por esta disciplina.
c)Modelo Elipsoidal
É o mais usual de todos os modelos que serão apresentados. Nele, a Terra é representada por uma superfície gerada a partir de um elipsóide de revolução, com deformações relativamente maiores que o modelo geoidal.
Entre os elipsóides mais utilizados para a representação da superfície terrestre estão os de Bessel (1841), Clarke (1858), Helmet (1907), Hayford (1909) e o Internacional 67 (1967).
No Brasil, as cartas produzidas no período de 1924 até meados da década de 80 utilizaram como referência os parâmetros de Hayford. A partir desta época, as cartas produzidas passaram a adotar como referência os parâmetros definidos pelo Geodetic Reference System - GRS 67, mais conhecido como Internacional 67. São eles:
DATUM = SAD 69 (CHUÁ); a = 6.378.160 m; f = 1 - b/a = 1 / 298,25
Onde:
DATUM: é um sistema de referência utilizado para o cômputo ou correlação dos resultados de um levantamento. Existem dois tipos de datums: o vertical e o horizontal. O datum vertical é uma superfície de nível utilizada no referenciamento das altitudes tomadas sobre a superfície terrestre. O datum horizontal, por sua vez, é utilizado no referenciamento das posições tomadas sobre a superfície terrestre. Este último é definido: pelas coordenadas geográficas de um ponto inicial, pela direção da linha entre este ponto inicial e um segundo ponto especificado, e pelas duas dimensões (a e b) que definem o elipsóide utilizado para representação da superfície terrestre.
SAD: South American Datum, oficializado para uso no Brasil em 1969, é representado pelo vértice Chuá, situado próximo à cidade de Uberaba-MG.
a: é a dimensão que representa o semi-eixo maior do elipsóide (em metros).
b: é a dimensão que representa o semi-eixo menor do elipsóide (em metros).
f: é a relação entre o semi-eixo menor e o semi-eixo maior do elipsóide, ou seja, o seu achatamento.
A figura abaixo mostra a relação existente entre a superfície topográfica ou real, o elipsóide e o geóide para uma mesma porção da superfície terrestre.
d)Modelo Esférico
Este é um modelo bastante simples, onde a Terra é representada como se fosse uma esfera. O produto desta representação, no entanto, é o mais distante da realidade, ou seja, o terreno representado segundo este modelo apresenta-se bastante deformado no que diz respeito à forma das suas feições e à posição relativa das mesmas. Um exemplo deste tipo de representação são os globos encontrados em livrarias e papelarias.
Uma vez analisados os modelos utilizados para representação da superfície terrestre e tendo como princípio que o Elipsóide de Revolução é o modelo que mais se assemelha à figura da Terra, é importante conhecer os seus elementos básicos.
A figura abaixo permite reconhecer os seguintes elementos:
Linha dos Pólos ou Eixo da Terra: é a reta que une o pólo Norte ao pólo Sul e em torno do qual a Terra gira. (Movimento de Rotação)
Equador: é o círculo máximo da Terra, cujo plano é normal à linha dos pólos.
Paralelos: são os círculos cujos planos são paralelos ao plano do equador. Os Paralelos mais importantes são: Trópico de Capricórnio ( = 23 23'S) e Trópico de Câncer ( = 23 23'N).
Meridianos: são as seções elípticas cujos planos contém a linha dos pólos e que são normais aos paralelos.
Vertical do Lugar: é a linha que passa por um ponto da superfície terrestre (em direção ao centro do planeta) e que é normal à superfície representada pelo Geóide naquele ponto. Esta linha é materializada pelo fio de prumo dos equipamentos de medição (teodolito, estação, nível, etc.), ou seja, é a direção na qual atua a força da gravidade.
Normal ao Elipsóide: é toda linha reta perpendicular à superfície do elipsóide de referência. Esta linha possui um desvio em relação à vertical do lugar.
Pontos da Vertical do Lugar: o ponto (Z = ZÊNITE) se encontra no infinito superior, e o ponto (Z' = NADIR) no infinito inferior da vertical do lugar. Estes pontos são importantes na definição de alguns equipamentos topográficos (teodolitos) que têm a medida dos ângulos verticais com origem em Z ou em Z .
Plano Horizontal do Observador: é o plano tangente à superfície terrestre ou topográfica num ponto qualquer desta superfície.
Latitude( ): de um ponto da superfície terrestre é o ângulo formado entre o paralelo deste ponto e o plano do equador. Sua contagem é feita com origem no equador e varia de 0 a 90 , positivamente para o norte (N) e negativamente para o sul (S).
Longitude( ): de um ponto da superfície terrestre é o ângulo formado entre o meridiano de origem, conhecido por Meridiano de Greenwich (na Inglaterra), e o meridiano do lugar (aquele que passa pelo ponto em questão). Sua contagem é feita de 0 a 180 , positivamente para oeste (W ou O) e negativamente para leste (E ou L).
Coordenadas Geográficas ( , ): é o nome dado aos valores de latitude e longitude que definem a posição de um ponto na superfície terrestre. Estes valores dependem do elipsóide de referência utilizado para a projeção do ponto em questão.
As cartas normalmente utilizadas por engenheiros em diversos projetos ou obras apresentam, além do sistema que expressa as coordenadas geográficas referidas anteriormente, um outro sistema de projeção conhecido por UTM Universal Transversa de Mercator.
Coordenadas UTM (E,N): é o nome dado aos valores de abcissa (E) e ordenada (N) de um ponto sobre a superfície da Terra, quando este é projetado sobre um cilindro tangente ao elipsóide de referência. O cilindro tangencia o Equador, assim dividido em 60 arcos de 6 (60 x 6 = 360 ). Cada arco representa um fuso UTM e um sistema de coordenadas com origem no meridiano central ao fuso, que para o hemisfério sul, constitui-se dos valores de 500.000m para (E) e 10.000.000m para (N).
A figura a seguir mostra um fuso de 6 , o seu meridiano central e o grid de coordenadas UTM.
A origem do sistema UTM se encontra no centro do fuso.
Para o Hemisfério Norte as ordenadas variam de 0 a 10.000 km enquanto para o Hemisfério Sul variam de 10.000 a 0 km.
As abscissas variam de 500 a 100 km à Oeste do Meridiano Central e de 500 a 700 km a Leste do mesmo.
2.1. Exercícios
1.Se as cidades de São João Batista e Imbuzinho encontram-se representadas pelos pontos P e Q, respectivamente, determine as coordenadas geográficas (f,l) destes pontos, marcados na quadrícula a seguir, utilizando o método da interpolação numérica.
2.Determine as coordenadas planas UTM (E,N) dos pontos P e Q marcados na quadrícula a seguir, utilizando o método da interpolação numérica. Note que a quadrícula UTM difere da quadrícula geográfica em tamanho e na unidade de representação (uma está em metros e a outra em valores de ângulo).
3. Erros em Topografia
Por melhores que sejam os equipamentos e por mais cuidado que se tome ao proceder um levantamento topográfico, as medidas obtidas jamais estarão isentas de erros.
Assim, os erros pertinentes às medições topográficas podem ser classificados como:
a)Naturais: são aqueles ocasionados por fatores ambientais, ou seja, temperatura, vento, refração e pressão atmosféricas, ação da gravidade, etc. Alguns destes erros são classificados como erros sistemáticos e dificilmente podem ser evitados. São passíveis de correção desde que sejam tomadas as devidas precauções durante a medição.
b)Instrumentais: são aqueles ocasionados por defeitos ou imperfeições dos instrumentos ou aparelhos utilizados nas medições. Alguns destes erros são classificados como erros acidentais e ocorrem ocasionalmente, podendo ser evitados e/ou corrigidos com a aferição e calibragem constante dos aparelhos.
c)Pessoais: são aqueles ocasionados pela falta de cuidado do operador. Os mais comuns são: erro na leitura dos ângulos, erro na leitura da régua graduada, na contagem do número de trenadas, ponto visado errado, aparelho fora de prumo, aparelho fora de nível, etc. São classificados como erros grosseiros e não devem ocorrer jamais pois não são passíveis de correção.
É importante ressaltar que alguns erros se anulam durante a medição ou durante o processo de cálculo. Portanto, um levantamento que aparentemente não apresenta erros, não significa estar necessariamente correto.
4. Grandezas Medidas num Levantamento Topográfico
Segundo GARCIA e PIEDADE (1984) as grandezas medidas em um levantamento topográfico podem ser de dois tipos: angulares e lineares.
4.1. Grandezas Angulares
São elas:
- Ângulo Horizontal (Hz): é medido entre as projeções de dois alinhamentos do terreno, no plano horizontal.
A figura a seguir exemplifica um ângulo horizontal medido entre as arestas (1 e 2) de duas paredes de uma edificação. O ângulo horizontal é o mesmo para os três planos horizontais mostrados.
- Ângulo Vertical ( ): é medido entre um alinhamento do terreno e o plano do horizonte. Pode ser ascendente (+) ou descendente (-), conforme se encontre acima (aclive) ou abaixo (declive) deste plano.
A figura a seguir exemplifica ângulos verticais medidos entre a aresta superior (Parede 1) e inferior (Parede 2) das paredes de uma edificação e o plano do horizonte. Os ângulos medidos não são iguais e dependem da posição (altura) do plano do horizonte em relação às arestas em questão.
O ângulo vertical, nos equipamentos topográficos modernos (teodolito e estação total), pode também ser medido a partir da vertical do lugar (com origem no Zênite ou Nadir), daí o ângulo denominar-se Ângulo Zenital (V ou Z) ou Nadiral (V ou Z ).
A figura abaixo (RODRIGUES, 1979) mostra a relação entre ângulos verticais e zenitais. Os processos de transformação entre eles serão estudados mais adiante.
4.2. Grandezas Lineares
São elas:
- Distância Horizontal (DH): é a distância medida entre dois pontos, no plano horizontal. Este plano pode, conforme indicado na figura a seguir (GARCIA, 1984), passar tanto pelo ponto A, quanto pelo ponto B em questão.
- Distância Vertical ou Diferença de Nível (DV ou DN): é a distância medida entre dois pontos, num plano vertical que é perpendicular ao plano horizontal. Este plano vertical pode passar por qualquer um dos pontos A/A ou B/B já mencionados.
- Distância Inclinada (DI): é a distância medida entre dois pontos, em planos que seguem a inclinação da superfície do terreno.
É importante relembrar que as grandezas representadas pela planimetria são: distância e ângulo horizontais (planta); enquanto as grandezas representadas pela altimetria são: distância e ângulo verticais, representados em planta através das curvas de nível, ou, através de um perfil.
5. Unidades de Medida
Em Topografia, são medidas duas espécies de grandezas, as lineares e as angulares, mas, na verdade, outras duas espécies de grandezas são também trabalhadas, as de superfície e as de volume.
A seguir encontram-se as unidades mais comumente utilizadas para expressar cada uma das grandezas mencionadas.
O sistema de unidades utilizado no Brasil é o Métrico Decimal, porém, em função dos equipamentos e da bibliografia utilizada, na sua grande maioria importada, algumas unidades relacionadas abaixo apresentarão seus valores correspondentes no sistema Americano, ou seja, em Pés/Polegadas.
5.1. Unidades de Medida Linear
mm(E-06), mm(E-03), cm(E-02), dm(E-01), m e Km(E+03)
polegada = 2,75 cm = 0,0275 m
polegada inglesa = 2,54 cm = 0,0254 m
pé = 30,48cm = 0,3048 m
jarda = 91,44cm = 0,9144m
milha brasileira = 2200 m
milha terrestre/inglesa = 1609,31 m
5.2. Unidades de Medida Angular
Para as medidas angulares têm-se a seguinte relação:
360 = 400g = 2p
onde p = 3,141592.
Atenção: As unidades angulares devem ser trabalhadas sempre com seis (6) casas decimais. As demais unidades, com duas (2) casas decimais.
5.3. Unidades de Medida de Superfície
cm2(E-04), m2 e Km2(E+06)
are = 100 m2
acre = 4.046,86 m2
hectare (ha) = 10.000 m2
alqueire paulista (menor) = 2,42 ha = 24.200 m2
alqueire mineiro (geométrico) = 4,84 ha = 48.400 m2
5.4. Unidades de Medida de Volume
m3
litro = 0,001 m3
5.5. Exercícios
a)Conversão entre Unidades Lineares
1.Tem-se para a medida da distância horizontal entre dois pontos o valor de 1.290,9078 polegadas. Qual seria o valor desta mesma medida em quilômetros?
2.O lado de um terreno mede 26,50 metros. Qual seria o valor deste mesmo lado em polegadas inglesas?
3.Determine o valor em milhas inglesas, para uma distância horizontal entre dois pontos de 74,9 milhas brasileiras.
b)Conversão entre Unidades de Superfície
1.Determine o valor em alqueires menor, para um terreno de área igual a 1224,567 metros quadrados.
2.Determine o valor em hectares, para um terreno de área igual a 58.675,5678 metros quadrados.
3.Determine o valor em acres, para um terreno de área igual a 18,15 alqueires paulista.
c)Conversão entre Unidades Angulares
1.Determine o valor em grados centesimais (centésimos e milésimos de grado) e em radianos para o ângulo de 157 17'30,65".
2.Para um ângulo de 1,145678 radianos, determine qual seria o valor correspondente em graus sexagesimais.
3.Para um ângulo de 203,456789 grados decimais, determine qual seria o valor correspondente em graus decimais.
d)Conversão entre Unidades de Volume
1.Determine o valor em litros, para um volume de 12,34 m3.
2.Determine o valor em m3, para um volume de 15.362,56 litros.
5.6. Exercícios Propostos
1.Dado o ângulo de 1,573498 radianos, determine o valor correspondente em grados decimais.
2.Sabendo-se que um alqueire geométrico eqüivale a um terreno de 220mx220m; que um acre eqüivale a 4046,86m2; e que uma porção da superfície do terreno medida possui 3,8 alqueires geométrico de área, determine a área desta mesma porção, em acres.
3.Dado o ângulo de 120 35 48 , determine o valor correspondente em grados centesimais.
6. Desenho Topográfico e Escala
Segundo ESPARTEL (1987) o desenho topográfico nada mais é do que a projeção de todas as medidas obtidas no terreno sobre o plano do papel.
Neste desenho, os ângulos são representados em verdadeira grandeza (VG) e as distâncias são reduzidas segundo uma razão constante.
A esta razão constante denomina-se ESCALA.
A escala de uma planta ou desenho é definida pela seguinte relação:
Onde:
"L" representa qualquer comprimento linear real, medido sobre o terreno.
" " representa um comprimento linear gráfico qualquer, medido sobre o papel, e que correspondente ao comprimento medido sobre o terreno.
"M" é denominado Título ou Módulo da escala e representa o inverso de ( / L).
A escala pode ser apresentada sob a forma de:
fração : 1/100, 1/2000 etc. ou
proporção : 1:100, 1:2000 etc.
Podemos dizer ainda que a escala é:
de ampliação : quando L (Ex.: 2:1)
natural : quando = L (Ex.: 1:1)
de redução : quando L (Ex.: 1:50)
7. Critérios para a Escolha da Escala de uma Planta
Se, ao se levantar uma determinada porção da superfície terrestre, deste levantamento, resultarem algumas medidas de distâncias e ângulos, estas medidas poderão ser representadas sobre o papel segundo:
7.1. O Tamanho da Folha Utilizada
Para a representação de uma porção bidimensional (área) do terreno, terão que ser levadas em consideração as dimensões reais desta (em largura e comprimento), bem como, as dimensões x e y do papel onde ela (a porção) será projetada. Assim, ao aplicar a relação fundamental de escala, ter-se-á como resultado duas escalas, uma para cada eixo. A escala escolhida para melhor representar a porção em questão deve ser aquela de maior módulo, ou seja, cuja razão seja menor.
É importante ressaltar que os tamanhos de folha mais utilizados para a representação da superfície terrestre seguem as normas da ABNT, que variam do tamanho A0 (máximo) ao A5 (mínimo).
7.2. O Tamanho da Porção de Terreno Levantado
Quando a porção levantada e a ser projetada é bastante extensa e, se quer representar convenientemente todos os detalhes naturais e artificiais a ela pertinentes, procura-se, ao invés de reduzir a escala para que toda a porção caiba numa única folha de papel, dividir esta porção em partes e representar cada parte em uma folha. É o que se denomina representação parcial.
A escolha da escala para estas representações parciais deve seguir os critérios abordados no item anterior.
7.3. O Erro de Graficismo ou Precisão do Levantamento
Segundo DOMINGUES (1979) o Erro de Graficismo (e), também chamado de Precisão Gráfica, é o nome dado ao raio do menor círculo no interior do qual se pode marcar um ponto com os recursos do desenho técnico.
O valor de (e), para os levantamentos topográficos desenhados manualmente, é da ordem de 0,2mm (1/5mm). Para desenhos efetuados por plotadores automáticos, este erro, em função da resolução do plotador, poderá ser maior ou menor.
Assim, a escala escolhida para representar a porção do terreno levantada, levando em consideração o erro de graficismo, pode ser definida pela relação:
Onde:
P: é a incerteza, erro ou precisão do levantamento topográfico, medida em metros, e que não deve aparecer no desenho.
Por exemplo: a representação de uma região na escala 1:50.000, considerando o erro de graficismo igual a 0,2mm, permite que a posição de um ponto do terreno possa ser determinada com um erro relativo de até 10m sem que isto afete a precisão da carta.
Analogamente, para a escala 1:5.000, o erro relativo permitido em um levantamento seria de apenas 1m.
Desta forma, pode-se concluir que o erro admissível na determinação de um ponto do terreno diminui à medida em que a escala aumenta.
7.4. Escala Gráfica
Segundo DOMINGUES (1979), a escala gráfica é a representação gráfica de uma escala nominal ou numérica.
Esta forma de representação da escala é utilizada, principalmente, para fins de acompanhamento de ampliações ou reduções de plantas ou cartas topográficas, em processos fotográficos comuns ou xerox, cujos produtos finais não correspondem à escala nominal neles registrada.
A escala gráfica é também utilizada no acompanhamento da dilatação ou retração do papel no qual o desenho da planta ou carta foi realizado. Esta dilatação ou retração se deve, normalmente, a alterações ambientais ou climáticas do tipo: variações de temperatura, variações de umidade, manuseio, armazenamento, etc.
Ainda segundo DOMINGUES (1979) a escala gráfica fornece, rapidamente e sem cálculos, o valor real das medidas executadas sobre o desenho, qualquer que tenha sido a redução ou ampliação sofrida por este.
A construção de uma escala gráfica deve obedecer os seguintes critérios:
1) Conhecer a escala nominal da planta.
2) Conhecer a unidade e o intervalo de representação desta escala.
3) Traçar uma linha reta AB de comprimento igual ao intervalo na escala da planta.
4) Dividir esta linha em 5 ou 10 partes iguais.
5) Traçar à esquerda de A um segmento de reta de comprimento igual a 1 (um) intervalo.
6) Dividir este segmento em 5 ou 10 partes iguais.
7) Determinar a precisão gráfica da escala.
Exemplo: supondo que a escala de uma planta seja 1:100 e que o intervalo de representação seja de 1m, a escala gráfica correspondente terá o seguinte aspecto:
A figura a seguir mostra outros tipos de representação da escala gráfica.
7.5. Principais Escalas e suas Aplicações
A seguir encontra-se um quadro com as principais escalas utilizadas por engenheiros e as suas respectivas aplicações.
É importante perceber que, dependendo da escala, a denominação da representação muda para planta, carta ou mapa.
Aplicação
Escala
Detalhes de terrenos urbanos
1:50
Planta de pequenos lotes e edifícios
1:100 e 1:200
Planta de arruamentos e loteamentos urbanos
1:500
1:1.000
Planta de propriedades rurais
1:1.000
1:2.000
1:5.000
Planta cadastral de cidades e grandes propriedades rurais ou industriais
1:5.000
1:10.000
1:25.000
Cartas de municípios
1:50.000
1:100.000
Mapas de estados, países, continentes etc.
1:200.000 a 1:10.000.000
7.6. Exercícios
1.Para representar, no papel, uma linha reta que no terreno mede 45m, utilizando-se a escala 1:450, pergunta-se: qual será o valor desta linha em cm?
2.A distância entre dois pontos, medida sobre uma planta topográfica, é de 520mm. Sabendo-se que, no terreno, estes pontos estão distantes 215,5m, determine qual seria a escala da planta.
3.A distância entre dois pontos, medida sobre uma planta topográfica, é de 55cm. Para uma escala igual a 1:250, qual será o valor real desta distância?
4.Se a avaliação de uma área resultou em 2575cm2 na escala 1:500, a quantos m2 corresponderá esta mesma área, no terreno?
5.A área limite de um projeto de Engenharia corresponde a 25 km2. Determine a escala do projeto em questão, se a área representada equivale a 5000 cm2.
6.Construa uma escala gráfica para a escala nominal 1:600.
7.Construa uma escala gráfica para a escala nominal 1:25.000.
8.Construa uma escala gráfica para a escala numérica 1:1.000.000.
9.Quantas folhas de papel tamanho A4 serão necessárias para representar uma superfície de 350m x 280m, na escala 1:500?
10.Quantas folhas seriam necessárias se, para o exercício anterior, fossem descontadas margens de 20mm para cada lado da folha?
11.Quantas folhas seriam necessárias se, para o exercício anterior, a folha utilizada fosse a A4 deitada?
12.Pesquise em plantas, cartas e mapas de várias escalas, as características de construção e representação das escalas gráficas utilizadas (intervalo, unidade, comprimento).
8. Medida de Distâncias
Como já foi visto, a distância horizontal (DH) entre dois pontos, em Topografia, é o comprimento do segmento de reta entre estes pontos, projetado sobre um plano horizontal.
Para a obtenção desta distância, existem alguns processos, os quais veremos a seguir.
8.1. Medida Direta de Distâncias
Alguns autores afirmam que o processo de medida de distâncias é direto, quando esta distância é determinada em comparação a uma grandeza padrão previamente estabelecida; outros autores, porém, afirmam que a medição é direta quando o instrumento de medida utilizado é aplicado diretamente sobre o terreno.
Segundo ESPARTEL (1987) os principais dispositivos utilizados na medida direta de distâncias, também conhecidos por DIASTÍMETROS, são os seguintes:
a)Fita e Trena de Aço
são feitas de uma lâmina de aço inoxidável;
a trena é graduada em metros, centímetros e milímetros só de um lado;
a fita é graduada a cada metro; o meio metro (0,5m) é marcado com um furo e somente o início e o final da fita são graduados em decímetros e centímetros;
a largura destas fitas ou trenas varia de 10 a 12mm;
o comprimento das utilizadas em levantamentos topográficos é de 30, 60, 100 e 150 metros;
o comprimento das de bolso varia de 1 a 7,50 metros (as de 5 metros são as mais utilizadas);
normalmente apresentam-se enroladas em um tambor (figura a seguir) ou cruzeta, com cabos distensores nas extremidades;
por serem leves e praticamente indeformáveis, os levantamentos realizados com este tipo de dispositivo nos fornecem uma maior precisão nas medidas, ou seja, estas medidas são mais confiáveis;
desvantagens: as de fabricação mais antiga, enferrujam com facilidade e, quando esticadas com nós, se rompem facilmente. Além disso, em caso de contato com a rede elétrica, podem causar choques;
as mais modernas, no entanto, são revestidas de nylon ou epoxy e, portanto, são resistentes à umidade, à produtos químicos, à produtos oleosos e à temperaturas extremas. São duráveis e inquebráveis.
b)Trena de Lona
é feita de pano oleado ao qual estão ligados fios de arame muito finos que lhe dão alguma consistência e invariabilidade de comprimento;
é graduada em metros, centímetros e milímetros em um ou ambos os lados e com indicação dos decímetros;
o comprimento varia de 20 a 50 metros;
não é um dispositivo preciso pois deforma com a temperatura, tensão e umidade (encolhe e mofa);
pouquíssimo utilizada atualmente.
c)Trena de Fibra de Vidro
é feita de material bastante resistente (produto inorgânico obtido do próprio vidro por processos especiais);
conforme figura a seguir, pode ser encontrada com ou sem envólucro e, este, se presente, tem o formato de uma cruzeta; sempre apresentam distensores (manoplas) nas suas extremidades;
seu comprimento varia de 20 a 50m (com envólucro) e de 20 a 100m (sem envólucro);
comparada à trena de lona, deforma menos com a temperatura e a tensão;
não se deteriora facilmente;
é resistente à umidade e à produtos químicos;
é bastante prática e segura.
Apesar da qualidade e da grande variedade de diastímetros disponíveis no mercado, toda medida direta de distância só poderá ser realizada se for feito uso de alguns ACESSÓRIOS especiais.
Segundo ESPARTEL (1987) os principais são:
a)Piquetes
são necessários para marcar, convenientemente, os extremos do alinhamento a ser medido;
são feitos de madeira roliça ou de seção quadrada com a superfície no topo plana;
são assinalados (marcados) por tachinhas de cobre;
seu comprimento varia de 15 a 30cm;
seu diâmetro varia de 3 a 5cm;
é cravado no solo, porém, parte dele (cerca de 3 a 5cm) deve permanecer visível;
sua principal função é a materialização de um ponto topográfico no terreno.
Obs.: Nos EUA, em lugar do tradicional piquete de madeira, os pontos topográficos são materializados por pinos de metal, bem mais resistentes e com a vantagem de poderem ser cravados em qualquer tipo de solo ou superfície.
b)Estacas
conforme figura abaixo (PINTO, 1988), são utilizadas como testemunhas da posição do piquete;
são cravadas próximas ao piquete cerca de 30 a 50cm;
seu comprimento varia de 15 a 40cm;
seu diâmetro varia de 3 a 5cm;
são chanfradas na parte superior para permitir uma inscrição numérica ou alfabética, que pertence ao piquete testemunhado.
c)Fichas
são utilizadas na marcação dos lances efetuados com o diastímetro quando a distância a ser medida é superior ao comprimento deste;
são hastes de ferro ou aço;
seu comprimento é de 35 ou 55cm;
seu diâmetro é de 6mm;
conforme figura a seguir, uma das extremidades é pontiaguda e a outra é em formato de argola, cujo diâmetro varia de 5 a 8cm.
d)Balizas
são utilizadas para manter o alinhamento, na medição entre pontos, quando há necessidade de se executar vários lances com o diastímetro;
conforme figura a seguir, são feitas de madeira ou ferro; arredondado, sextavado ou oitavado;
são terminadas em ponta guarnecida de ferro;
seu comprimento é de 2 metros;
seu diâmetro varia de 16 a 20mm;
são pintadas em cores contrastantes (branco e vermelho ou branco e preto) para permitir que sejam facilmente visualizadas à distância;
devem ser mantidas na posição vertical, sobre a tachinha do piquete, com auxílio de um nível de cantoneira.
e)Nível de Cantoneira
aparelho em forma de cantoneira e dotado de bolha circular que permite à pessoa que segura a baliza posicioná-la corretamente (verticalmente) sobre o piquete ou sobre o alinhamento a medir.
f)Barômetro de Bolso
aparelho que se destina à medição da pressão atmosférica (em mb = milibares) para fins de correção dos valores obtidos no levantamento;
atualmente estes aparelhos são digitais e, além de fornecerem valores de pressão, fornecem valores de altitude com precisão de 0,10m (figura a seguir).
g)Dinamômetro
aparelho que se destina à medição das tensões que são aplicadas aos diastímetros para fins de correção dos valores obtidos no levantamento;
as correções são efetuadas em função do coeficiente de elasticidade do material com que o diastímetro foi fabricado.
h)Termômetro
aparelho que se destina à medição da temperatura do ar ( C) no momento da medição para fins de correção dos valores obtidos no levantamento;
as correções são efetuadas em função do coeficiente de dilatação do material com que o diastímetro foi fabricado.
i)Nível de Mangueira
é uma mangueira d'água transparente que permite, em função do nível de água das extremidades, proceder a medida de distâncias com o diastímetro na posição horizontal. Este tipo de mangueira é também muito utilizado na construção civil em serviços de nivelamento (piso, teto, etc.).
j)Cadernetas de Campo
é um documento onde são registrados todos os elementos levantados no campo (leituras de distâncias, ângulos, régua, croquis dos pontos, etc.);
normalmente são padronizadas, porém, nada impede que a empresa responsável pelo levantamento topográfico adote cadernetas que melhor atendam suas necessidades.
Com relação aos seguintes acessórios mencionados: barômetro, termômetro e dinamômetro; pode-se afirmar que os mesmos são raramente utilizados atualmente para correções das medidas efetuadas com diastímetros. Isto se deve ao fato destes dispositivos terem sido substituídos, com o passar dos anos, pelos equipamentos eletrônicos, muito mais precisos e fáceis de operar. Contudo, os diastímetros são ainda largamente empregados em levantamentos que não exigem muita precisão, ou, simplesmente, em missões de reconhecimento.
8.2. Precisão e Cuidados na Medida Direta de Distâncias
Segundo DOMINGUES (1979) a precisão com que as distâncias são obtidas depende, principalmente:
do dispositivo de medição utilizado,
dos acessórios, e
dos cuidados tomados durante a operação.
E, segundo RODRIGUES (1979), os cuidados que se deve tomar quando da realização de medidas de distâncias com diastímetros são:
que os operadores se mantenham no alinhamento a medir,
que se assegurem da horizontalidade do diastímetro, e
que mantenham tensão uniforme nas extremidades.
A tabela abaixo fornece a precisão que é conseguida quando se utilizam diastímetros em um levantamento, levando-se em consideração os efeitos da tensão, da temperatura, da horizontalidade e do alinhamento.
Diastímetro
Precisão
Fita e trena de aço
1cm/100m
Trena plástica
5cm/100m
Trena de lona
25cm/100m
8.3. Métodos de Medida com Diastímetros
8.3.1. Lance Único - Pontos Visíveis
Segundo GARCIA (1984) e analisando a figura a seguir, na medição da distância horizontal entre os pontos A e B, procura-se, na realidade, medir a projeção de AB no plano topográfico horizontal HH'. Isto resulta na medição de A'B', paralela a AB.
Para realizar esta medição recomenda-se uma equipe de trabalho com:
duas pessoas para tensionar o diastímetro (uma em cada extremidade);
uma pessoa para fazer as anotações (dispensável).
A distância DH (entre os pontos A' e B') é igual à fração indicada pelo diastímetro.
8.3.2. Vários Lances - Pontos Visíveis
Segundo GARCIA (1984) e analisando a figura a seguir, o balizeiro de ré (posicionado em A) orienta o balizeiro intermediário, cuja posição coincide com o final do diastímetro, para que este se mantenha no alinhamento.
Depois de executado o lance, o balizeiro intermediário marca o final do diastímetro com uma ficha. O balizeiro de ré, então, ocupa a posição do balizeiro intermediário, e este, por sua vez, ocupará nova posição ao final do diastímetro. Repete-se o processo de deslocamento das balizas (ré e intermediária) e de marcação dos lances até que se chegue ao ponto B.
É de máxima importância que, durante a medição, os balizeiros se mantenham sobre o alinhamento AB.
Para realizar esta medição recomenda-se uma equipe de trabalho com:
duas pessoas para tensionar o diastímetro (uma em cada extremidade).
um balizeiro de ré (móvel).
um balizeiro intermediário (móvel).
um balizeiro de vante (fixo).
uma pessoa para fazer as anotações (dispensável).
A distância DH será dada pelo somatório das distâncias parciais (contagem do número de fichas pelo comprimento do diastímetro) mais a fração do último lance.
Observações Importantes
1. Ao ponto inicial de um alinhamento, percorrido no sentido horário, dá-se o nome de Ponto a Ré e, ao ponto final deste mesmo alinhamento, dá-se o nome de Ponto a Vante. Balizeiro de Ré e Balizeiro de Vante são os nomes dados às pessoas que, de posse de uma baliza, ocupam, respectivamente, os pontos a ré e a vante do alinhamento em questão.
2. Os balizeiros de ré e intermediário podem acumular a função de tensionar o diastímetro.
3. Para terrenos inclinados, os cuidados na medição devem ser redobrados no que se refere à horizontalidade do diastímetro.
8.3.3. Traçado de Perpendiculares
Segundo GARCIA (1984) o traçado de perpendiculares é necessário:
a)À amarração de detalhes em qualquer levantamento topográfico, e
b)Na determinação de um alinhamento perpendicular em função de um outro já existente. Ex.: locação de uma obra.
a)Amarração de Detalhes
A amarração de detalhes (feições naturais e artificiais do terreno) é realizada utilizando-se somente diastímetros. Para tanto, é necessário a montagem, no campo, de uma rede de linhas, distribuídas em triângulos principais e secundários, às quais os detalhes serão amarrados.
A esta rede de linhas denomina-se triangulação.
A figura a seguir (BORGES, 1988) ilustra uma determinada superfície já triangulada.
Nesta triangulação, observa-se que os triângulos maiores englobam os menores.
O objetivo da formação de triângulos principais (ABC e ACD) e secundários (ABE, BEG, EGF, EFH, FCD, GCF, DFH, AEH e AHI) é atingir mais facilmente todos os detalhes que se queira levantar.
Segundo BORGES (1988) a amarração dos detalhes pode ser feita:
Por perpendiculares tomadas a olho
É o caso da figura abaixo, onde se deve medir os alinhamentos Aa, ab, bc, cd, de, eB e, também, os alinhamentos aa , bb , cc , dd e ee para que o contorno da estrada fique determinado.
Por triangulação
Devendo-se medir os alinhamentos a e b, além do alinhamento principal DB, para que o canto superior esquerdo da piscina representada na figura a seguir (BORGES, 1988) fique determinado.
A referida piscina só estará completamente amarrada se os outros cantos também forem triangulados.
Obs.: para que a amarração não resulte errada, a base do triângulo amarrado deve coincidir com um dos lados do triângulo principal ou secundário, e, o vértice daquele triângulo será sempre um dos pontos definidores do detalhe levantado.
b)Alinhamentos Perpendiculares
Segundo ESPARTEL (1987) é possível levantar uma perpendicular a um alinhamento, utilizando-se um diastímetro, através dos seguintes métodos:
b.1)Triângulo Retângulo
Este método consiste em passar por um ponto A, de um alinhamento AB conhecido, uma perpendicular.
Utilizando-se os doze (12) primeiros metros de uma trena, dispõe-se, respectivamente, dos lados 3, 4 e 5 metros de um triângulo retângulo.
Como indicado na figura abaixo (GARCIA, 1984), o 0 e 12o metros estariam coincidentes em C, situado a 3 metros do ponto A. O 7o metro (soma dos lados 3 e 4) e representado pelo ponto D, se ajusta facilmente em função dos pontos A e C já marcados.
Obs.: para locar as paredes de uma casa, o mestre de obras normalmente se utiliza de uma linha com nós. Esta linha representa um triângulo retângulo de lados 0,6m : 0,8m : 1,0m; equivalente ao triângulo retângulo de 3m : 4m : 5m mencionado anteriormente.
b.2)Triângulo Equilátero
Diferentemente do anterior, este método consiste em passar uma perpendicular a um alinhamento AB conhecido, por um ponto C qualquer deste alinhamento. Deste modo, marca-se, no campo, um triângulo equilátero ao invés de um triângulo retângulo.
Assim, utilizando-se os doze (12) primeiros metros de uma trena, dispõe-se, para o triângulo equilátero, de três lados de 4 metros cada.
Como indicado na figura abaixo (GARCIA, 1984), o 0 e 12o metros estariam coincidentes em C. O 2o metro estaria sobre o alinhamento AB à esquerda de C, definindo o ponto D. O 10o metro estaria sobre o alinhamento AB à direita de C, definindo o ponto E. O ponto F, definido pelo 6o metro, se ajusta facilmente em função dos pontos D e E já marcados.
Obs.: para a marcação de triângulos no campo, normalmente utilizam-se comprimentos menores equivalentes aos citados ou esquadros de madeira.
8.3.4. Transposição de Obstáculos
Segundo GARCIA (1984), para a medida de distâncias entre pontos não intervisíveis, ou seja, em que a mesma não possa ser obtida pela existência de algum obstáculo (edificação, lago, alagado, mata, árvore etc.), costuma-se fazer uso da marcação, em campo, de triângulos semelhantes.
Como indicado na figura a seguir (GARCIA, 1984), existe uma edificação sobre o alinhamento AB, o que impede a determinação do seu comprimento pelos métodos explicitados anteriormente.
Assim, para que a distância AB possa ser determinada, escolhe-se um ponto C qualquer do terreno de onde possam ser avistados os pontos A e B. Medem-se as distâncias CA e CB e, a meio caminho de CA e de CB são marcados os pontos D e E. A distância DE também deve ser medida.
Após estabelecer a relação de semelhança entre os triângulos CAB e CDE, a distância AB será dada por:
8.3.5. Erros na Medida Direta de Distâncias
Os erros cometidos, voluntária ou involuntariamente, durante a medida direta de distâncias, devem-se:
ao comprimento do diastímetro: afetado pela tensão aplicada em suas extremidades e também pela temperatura ambiente. A correção depende dos coeficientes de elasticidade e de dilatação do material com que o mesmo é fabricado. Portanto, deve-se utilizar dinamômetro e termômetro durante as medições para que estas correções possam ser efetuadas ou, proceder a aferição do diastímetro de tempos em tempos.
A distância horizontal correta (DHc) entre dois pontos será dada dividindo-se o comprimento aferido do diastímetro ( a) pelo seu comprimento nominal ( ) e multiplicando-se pela distância horizontal medida (DHm):
ao desvio vertical ou falta de horizontalidade: ocorre quando o terreno é muito inclinado. Assim, mede-se uma série de linhas inclinadas em vez de medir as projeções destas linhas sobre o plano horizontal, como na figura a seguir (BORGES, 1988).
O erro devido ao desvio vertical (Cdv), para um único lance, pode ser encontrado através da relação entre o desnível do terreno (DN) e o comprimento do diastímetro ( ):
Este erro é cumulativo e sempre positivo. Assim, a distância horizontal correta (DHc) entre dois pontos será encontrada subtraindo-se da distância horizontal medida (DHm), o desvio vertical (Cdv) multiplicado pelo número de lances (N ) dado com o diastímetro:
à catenária: curvatura ou barriga que se forma ao tensionar o diastímetro e que é função do seu peso e do seu comprimento. Para evitá-la, é necessário utilizar diastímetros leves, não muito longos e aplicar tensão apropriada (segundo normas do fabricante) às suas extremidades.
A figura a seguir (DOMINGUES, 1979) indica a flecha (f) do arco formado pelo comprimento ( ) do diastímetro com tensão (T) aplicada nas extremidades.
O erro devido à catenária, para um único lance, pode ser encontrado através da relação:
Este erro é cumulativo, provoca uma redução do diastímetro e, consequentemente, resulta numa medida de distância maior que a real. Assim, a distância horizontal correta (DHc) entre dois pontos será encontrada subtraindo-se da distância horizontal medida (DHm), o erro da catenária (Cc) multiplicado pelo número de lances (N ) dado com o diastímetro:
à verticalidade da baliza: como indicado na figura abaixo (BORGES, 1988), é ocasionado por uma inclinação da baliza quando esta se encontra posicionada sobre o alinhamento a medir. Provoca o encurtamento ou alongamento deste alinhamento caso esteja incorretamente posicionada para trás ou para frente respectivamente. Este tipo de erro só poderá ser evitado se for feito uso do nível de cantoneira.
ao desvio lateral do alinhamento: ocasionado por um descuido no balizamento intermediário, mede-se uma linha cheia de quebras em vez de uma linha reta. Para evitar este tipo de erro é necessário maior atenção por parte dos balizeiros.
A figura a seguir (ESPARTEL, 1987), indica como o balizeiro intermediário (C) deve se posicionar em relação aos balizeiros de ré (A) e vante (B) para que não haja desvio lateral do alinhamento.
8.3.6. Exercícios
1.Amarre a posição das árvores, da edificação e das calçadas em relação ao lado AB de um triângulo marcado no campo, como mostra a figura abaixo. Utilize o método da triangulação, das perpendiculares, ou ambos.
2.Qual será o erro no comprimento de um alinhamento, em mm, devido ao desvio vertical do diastímetro, sabendo-se que: o desnível do terreno, para cada lance, é de 0,25m e que o comprimento do alinhamento medido resultou em 50,00m? O comprimento do diastímetro é de 25,00m. O erro encontrado é desprezível?
3.Em relação ao exercício anterior, qual será o erro para um desnível do terreno igual a 1,00m para cada lance? O erro encontrado é desprezível?
4.Qual será o erro provocado por uma flecha de 30cm em uma trena de 20m de comprimento? Este tipo de erro provoca uma redução ou uma ampliação da trena? O erro encontrado é desprezível? O erro cresce ou decresce com o comprimento da trena? Qual o valor da distância correta, para uma distância medida de 127,44m?
5.Uma linha AB foi medida com uma trena de comprimento nominal igual a 20m, obtendo-se, após vários lances, o valor de 92,12m. Qual o comprimento real da linha, ao constatar-se que a trena se encontrava dilatada de 6cm?
6.Uma linha medida com uma trena de lona resultou em 284,40m. Mas, a trena, cujo comprimento nominal é de 20m, encontra-se com um comprimento aferido de 19,95m. Determine o comprimento correto da linha medida.
7.Deve-se marcar, sobre o terreno, um alinhamento de 193,54m. Mas, a trena de plástico a ser usada está dilatada em 35mm. Em função disso, determine qual seria o comprimento aparente a marcar, se o comprimento nominal desta trena é 25m.
8.4. Medida Indireta de Distâncias
Segundo DOMINGUES (1979) diz-se que o processo de medida de distâncias é indireto quando estas distâncias são calculadas em função da medida de outras grandezas, não havendo, portanto, necessidade de percorrê-las para compará-las com a grandeza padrão.
Os equipamentos utilizados na medida indireta de distâncias são, principalmente:
Teodolito e/ou Nível: o teodolito é utilizado na leitura de ângulos horizontais e verticais e da régua graduada; o nível é utilizado somente para a leitura da régua.
A figura a seguir ilustra três gerações de teodolitos: o trânsito (mecânico e de leitura externa); o ótico (prismático e com leitura interna); e o eletrônico (leitura digital).
Acessórios: entre os acessórios mais comuns de um teodolito ou nível estão: o tripé (serve para estacionar o aparelho); o fio de prumo (serve para posicionar o aparelho exatamente sobre o ponto no terreno); e a lupa (para leitura dos ângulos).
A figura a seguir ilustra um tripé de alumínio, normalmente utilizado com o trânsito; e um de madeira, utilizado com teodolitos óticos ou eletrônicos. É interessante salientar que para cada equipamento de medição existe um tripé apropriado.
Mira ou Régua graduada: é uma régua de madeira, alumínio ou PVC, graduada em m, dm, cm e mm; utilizada na determinação de distâncias horizontais e verticais entre pontos.
A figura a seguir (BORGES, 1988), ilustra parte de uma régua de quatro metros de comprimento e as respectivas divisões do metro: dm, cm e mm.
Nível de cantoneira: já mencionado na medida direta de distâncias, tem a função de tornar vertical a posição da régua graduada.
Baliza: já mencionada na medida direta de distâncias, é utilizada com o teodolito para a localização dos pontos no terreno e a medida de ângulos horizontais.
Ao processo de medida indireta denomina-se ESTADIMETRIA ou TAQUEOMETRIA, pois é através do retículo ou estádia do teodolito que são obtidas as leituras dos ângulos verticais e horizontais e da régua graduada, para o posterior cálculo das distâncias horizontais e verticais.
Como indicado na figura abaixo (BORGES, 1988), a estádia do teodolito é composta de:
3 fios estadimétricos horizontais (FS, FM e FI)
1 fio estadimétrico vertical
8.5. Métodos de Medida Indireta
Segundo GARCIA e PIEDADE (1984) os métodos indiretos de medida de distâncias são:
8.5.1. Distância Horizontal - Visada Horizontal
A figura a seguir (GARCIA, 1984) ilustra um teodolito estacionado no ponto P e a régua graduada no ponto Q. Do ponto P visa-se o ponto Q com o círculo vertical do teodolito zerado, ou seja, com a luneta na posição horizontal. Procede-se a leitura dos fios estadimétricos inferior (FI), médio (FM) e superior (FS). A distância horizontal entre os pontos será deduzida da relação existente entre os triângulos a'b'F e ABF, que são semelhantes e opostos pelo vértice.
Da figura tem-se:
f = distância focal da objetiva
F = foco exterior à objetiva
c = distância do centro ótico do aparelho à objetiva
C = c + f = constante do instrumento
d = distância do foco à régua graduada
H = AB = B - A = FS - FI = diferença entre as leituras
M = FM = leitura do retículo médio
Pelas regras de semelhança pode-se escrever que:
fornecido pelo fabricante
d = 100 . H
DH = d + C
Portanto,
DH = 100 . H + C
C é a constante de Reichembach, que assume valor
Antonia
