Apostla Completa de Matematica

MATEM TICA PARA CONCURSOS

Matem tica para Concursos

Sum rio

N meros Naturais -03

Conjuntos num ricos: racionais e reais - 05 Divisibilidade - 10 N meros Primos - 12 M ximo Divisor Comum (mdc mmc) - 13 N meros Racionais - 15 N meros Fracion rios - 16 N meros Decimais - 21 Potencia o -Raz es e Propor es -M dia - 25 Produtos Not veis - 27 Divis o Proporcional -28 Regra de Tr s: Simples e Composta - 29 Porcentagens - 31 Juros Simples -32 Juros Compostos - 34 Sistemas de Medidas - 35 Sistema M trico Decimal - 45 Equa es do 1. grau - 47 Equa es do 2. grau - 51 Sistemas - 56 Equa es -Progress o geom trica -57 64 Progress o aritm tica - 62 No es de trigonometria - 65 Teorema de Pit goras - 68 Fun es exponenciais - 69 Logaritmos -Polin mios -Geometria -No es de estat sticas -71 76 No es de probabilidade - 73 23 Radicia o - 24

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Editado por: Fl vio Nascimento

N meros Naturais

Conjunto dos N meros Inteiros Este mais um conjunto num rico que devemos conhecer para futuros estudos, representado pela letra Z. Conjunto dos N meros Naturais representado pela letra N. O conjunto N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14.}, este conjunto infinito ou seja n o tem fim. Este ficou pequeno para a matem tica, observe os exemplos: a) 9 - 12 = ? b) 8 - 100 = ? Dentro do conjunto dos n mero naturais n o existe resposta para estas perguntas, ou seja as respostas est o dentro do conjunto dos n meros inteiros. Vamos conhecer este conjunto: O conjunto Z = {.-5,-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,+4,+5.}, observe que este conjunto formado por n meros negativos, zero e n meros positivos. Vale lembrar que zero um n mero nulo ou neutro, n o negativo e nem positivo. No seu dia a dia voc j dever ter deparado com n meros inteiros. Quando temos um cr dito temos um n mero positivo, um d bito um n mero negativo, temperaturas acima de zero s o positivas, abaixo de zero s o negativas, tamb m em rela o ao n vel do mar, os pa ses que est o acima do n vel do mar tem altitudes positivas, abaixo do n vel do mar altitudes negativas, se voc prestar aten o ao seu redor vai encontrar muitos n meros negativo e positivos. Reta Num rica Inteira

Observe que a reta tem uma seta que indica a ordem de crescimento dos n meros, eles est o crescendo da esquerda para a direita, -7 menor que -6, 0 maior que -1 e assim em diante. Vamos comparar alguns n meros inteiros. a) -5 -10, b) +8 -1000, c) -1 -200.000, d) -200 0, e) -234 -1, f) +2 -1, g) g) -9 +1 Lembrete: 1 : Zero maior que qualquer n mero negativo. 2 : Um o maior n mero negativo. 3 : Zero menor que qualquer n mero positivo. 4 : Qualquer n mero positivo maior que qualquer n mero negativo. N meros opostos ou sim tricos

Observe que a distancia do -3 at o zero a mesma do +3 at o zero, estes n meros s o chamados de opostos ou sim tricos.

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Logo: - 2 oposto ou sim trico do + 2, + 20 oposto ou sim trico do - 20, - 100 oposto ou sim trico de + 100. Adi o e Subtra o de N meros Inteiros Exemplos: a) (+3) + (+7) = + 3 + 7 = +10 (tiramos os parentes e conservamos os sinais dos n meros) b) (-9) + (-8) = - 9 - 8 = -17 (tiramos os parentes e conservamos os sinais dos n meros) c) (+12) + (-10) = + 12 - 10 = +2 (tiramos os parentes e conservamos os sinais dos n meros) d) (+15) - (+25) = + 15 - 25 = 5 (tiramos os parentes e trocamos o sinal do n mero que estava depois da subtra o) e) (-18) - (-12) = -18 + 12 = -6 (tiramos os parentes e trocamos o sinal do n mero que estava depois da subtra o) Lembrete: Para facilitar seu entendimento, efetue esta opera es pensando em d bito(n mero negativo) e cr dito(n mero positivo), + 3 + 7, tenho 3 reais se ganhar 7 fico com 10, - 15 + 10, devo 15 reais se tenho s dez para pagar ainda fico devendo sete ou seja -7, - 5 - 8, tenho uma divida de 5 reais fa o mais uma divida de 8 eu fico devendo treze ou seja -13. Multiplica o e Divis o de N meros Inteiros Exemplos: a) (+5) x (+8) = + 40 ( + x + = +) b) (-8) x (-7) = + 56 (- x - = +) c) (-4) x (+7) = - 28 (- x + = -) d) (+6) x (-7) = - 42 (+ x - = -) e) (-8) : (-2) = + 4 (- : - = +) f) (+18) : (-6) = - 3 (+ : - = -) g) (+48) : (+2) = + 24 (+ : + = +) h) (-14) : (-7) = + 2 (- : - = +) Lembrete: Observe que a multiplica o ou divis o de n meros de mesmo sinal o resultado e sempre positivo, a multiplica o ou divis o de n meros de sinais diferentes o resultado sempre negativo. Potencia o de N meros Inteiros Exemplos: b) (-2)5 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = - 32 a) (+3)2 = (+3) x (+3) = + 9 c) (-8)0 = 1 (todo n mero elevado a zero igual a 1 positivo) d) (+9)0 = 1 (todo n mero elevado a zero igual a 1 positivo) e) (18)1 = 18 (todo n mero elevado a um igual a ele mesmo) Importante: (-2)2 = (-2) x (-2) = 4 diferente de - 22 = -(2) x (2) = - (4) = - 4 No primeiro caso tanto o sinal quanto ao n mero est o ao quadrado e no segundo caso apenas o n mero est elevado ao quadrado. Radicia o de N meros Inteiros Exemplos: a) b) c) d) e) d) (lembre-se que 5 x 5 = 25) (lembre-se que 7 x 7 = 49) (lembre-se n o existe raiz quadrada de n mero inteiro negativo) (observe que neste caso o menos est fora da raiz, sendo assim existe a raiz) (lembre-se (-2) x (-2) x (-2) = - 8) Neste caso raiz c bica e n o raiz quadrada. (lembre-se (2) x (2) x (2) = 8)

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Resolvendo Express es Num ricas com N meros Inteiros a) - [ - 3 + 2 - ( 4 - 5 - 6)] = - [ - 3 + 2 - 4 + 5 + 6] =3-2+4-5-6 = 7 - 13 =-6 Primeiro eliminamos os par nteses, como antes dele tinha um sinal de menos todos os n meros sa ram com sinais trocados, logo depois eliminamos os colchetes, como tamb m tinha um sinal de menos todos os n meros sa ram com os sinais trocados, somamos os positivo e o negativos

Primeiro resolvemos dentro do par nteses, depois b) { - 5 + [ - 8 + 3 x (-4 + 9) - 3]} multiplicamos o resultado por 3, logo ap s = { - 5 + [ - 8 + 3 x ( + 5 ) - 3]} eliminamos os colchetes, como antes deste tinha = { - 5 + [ - 8 + 15 - 3]} um sinal de mais, todo os n meros sa ram sem = {- 5 - 8 + 15 - 3} trocar sinal, eliminamos tamb m as chaves, = - 5 - 8 + 15 - 3 observe que tamb m n o teve troca de sinais pelo = - 16 + 15 mesmo motivo anterior, juntamos positivo e =-1 negativos.

Conjuntos num ricos: racionais e reais

Conjunto

Conceito primitivo; n o necessita, portanto, de defini o. Exemplo: conjunto dos n meros pares positivos: P = {2,4,6,8,10,12, . }. Esta forma de representar um conjunto, pela enumera o dos seus elementos, chama-se forma de listagem. O mesmo conjunto tamb m poderia ser representado por uma propriedade dos seus elementos ou seja, sendo x um elemento qualquer do conjunto P acima, poder amos escrever: P = { x x par e positivo } = { 2,4,6, . }. Rela o de pertin ncia Sendo x um elemento do conjunto A , escrevemos x 0 A , onde o s mbolo 0significa "pertence a". Sendo y um elemento que n o pertence ao conjunto A , indicamos esse fato com a nota o y A. O conjunto que n o possui elementos , denominado conjunto vazio e representado por . Com o mesmo racioc nio, e opostamente ao conjunto vazio, define-se o conjunto ao qual pertencem todos os elementos, denominado conjunto universo, representado pelo s mbolo U. Assim que, pode-se escrever como exemplos:

i= { x; x x} e U = {x; x = x}.

Subconjunto Se todo elemento de um conjunto A tamb m pertence a um conjunto B, ent o dizemos que A subconjunto de B e indicamos isto por A Notas:

d B. dA) id

a) todo conjunto subconjunto de si pr prio. ( A

b) o conjunto vazio subconjunto de qualquer conjunto. ( A) c) se um conjunto A possui m elementos ent o ele possui 2m subconjuntos. d) o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A denominado conjunto das partes de A e indicado por P(A).

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Assim, se A = {c, d} , o conjunto das partes de A dado por P(A) = { , {c}, {d}, {c,d}} e) um subconjunto de A tamb m denominado parte de A.

Conjuntos num ricos fundamentais

Entendemos por conjunto num rico, qualquer conjunto cujos elementos s o n meros. Existem infinitos conjuntos num ricos, entre os quais, os chamados conjuntos num ricos fundamentais, a saber: Conjunto dos n meros naturais N = {0,1,2,3,4,5,6,. } Conjunto dos n meros inteiros Z = {., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,. } Obs: evidente que N

d Z. 0 0 .

Conjunto dos n meros racionais Z,q Zeq 0 }. Q = {x; x = p/q com p Temos ent o que n mero racional aquele que pode ser escrito na forma de uma fra o p/q onde p e q s o n meros inteiros, com o denominador diferente de zero. Lembre-se que n o existe divis o por zero! S o exemplos de n meros racionais: 2/3, -3/7, 0,001=1/1000, 0,75=3/4, 0,333. = 1/3, 7 = 7/1, etc. Notas: Z Q. a) evidente que N b) toda d zima peri dica um n mero racional, pois sempre poss vel escrever uma d zima peri dica na forma de uma fra o. Exemplo: 0,4444. = 4/9 Conjunto dos n meros irracionais I = {x; x uma d zima n o peri dica}. Exemplos de n meros irracionais: = 3,1415926. (n mero pi = raz o entre o comprimento de qualquer circunfer ncia e o seu di metro) 2,01001000100001. (d zima n o peri dica) 3 = 1,732050807. (raiz n o exata). Conjunto dos n meros reais R = { x; x racional ou x irracional}. Notas: a) bvio que N b) I

d d

dR c) I cQ = R

dZdQdR

d) um n mero real racional ou irracional, n o existe outra hip tese!

Intervalos num ricos

Dados dois n meros reais p e q, chama-se intervalo a todo conjunto de todos n meros reais compreendidos entre p e q , podendo inclusive incluir p e q. Os n meros p e q s o os limites do intervalo, sendo a diferen a p - q , chamada amplitude do intervalo. Se o intervalo incluir p e q , o intervalo fechado e caso contr rio, o intervalo dito aberto. A tabela abaixo, define os diversos tipos de intervalos.

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TIPOS INTERVALO FECHADO INTERVALO ABERTO INTERVALO FECHADO A ESQUERDA INTERVALO FECHADO DIREIT INTERVALO SEMI-FECHAD INTERVALO SEMI-FECHADO INTERVALO SEMI-ABERTO INTERVALO SEMI-ABERTO

REPRESENTA O

0 R; p x q} (p;q) = { x 0 R; p x q} [p;q) = { x 0 R; p x q} (p;q] = {x 0 R; p x q} [p; ) = {x 0 R; x p} (- ; q] = { x 0 R; x q} (- ; q) = { x 0 R; x q}

[p;q] = {x (p; ) = { x p }

OBSERVA O inclui os limites p e q exclui os limites p e q inclui p e exclui q exclui p e inclui q valores maiores ou iguais a p. valores menores ou iguais a q. valores menores do que q. valores maiores do que p.

Nota: f cil observar que o conjunto dos n meros reais, (o conjunto R) pode ser representado na forma de intervalo como R = ( - ; + ).

Opera es com conjuntos

Uni o (

c) c

Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto uni o A

c B = { x; x 0 A ou x 0 B}.

Exemplo: {0,1,3} { 3,4,5 } = { 0,1,3,4,5}. Percebe-se facilmente que o conjunto uni o contempla todos os elementos do conjunto A ou do conjunto B. Propriedades imediatas:

cA=A b) A c = A c) A c B = B c A (a uni o de conjuntos uma opera o comutativa) d) A c U = U , onde U o conjunto universo.

a) A Interse o (

1) 1

Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto interse o A

1 B = {x; x 0 A e x 0 B}.

Exemplo: {0,2,4,5} { 4,6,7} = {4}. Percebe-se facilmente que o conjunto interse o contempla os elementos que s o comuns aos conjuntos A e B. Propriedades imediatas:

1A=A b) A 1 i = i c) A 1 B = B 1 A ( a interse o uma opera o comutativa) d) A 1 U = A onde U o conjunto universo.

a) A S o importantes tamb m as seguintes propriedades :

1 ( B c C ) = (A 1 B) c ( A 1 C) (propriedade distributiva) P2. A c ( B 1 C ) = (A c B ) 1 ( A c C) (propriedade distributiva) P3. A 1 (A c B) = A (lei da absor o) P4. A c (A 1 B) = A (lei da absor o)

P1. A

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Obs: Se A

1 B = , ent o dizemos que os conjuntos A e B s o Disjuntos. 0

Aex B}. Diferen a A - B = {x ; x Observe que os elementos da diferen a s o aqueles que pertencem ao primeiro conjunto, mas n o pertencem ao segundo. Exemplos: { 0,5,7} - {0,7,3} = {5}. {1,2,3,4,5} - {1,2,3} = {4,5}. Propriedades imediatas: a) A - = A b) - A = c) A - A = d) A - B B - A ( a diferen a de conjuntos n o uma opera o comutativa). Complementar de um conjunto Trata-se de um caso particular da diferen a entre dois conjuntos. Assim , que dados dois A , a diferen a A - B chama-se, neste caso, conjuntos A e B, com a condi o de que B complementar de B em rela o a A . Simbologia: CAB = A - B. Caso particular: O complementar de B em rela o ao conjunto universo U, ou seja , U - B , indicado pelo s mbolo B' .Observe que o conjunto B' formado por todos os elementos que n o pertencem ao conjunto B, ou seja: B' = {x; x a) B

d

B}. bvio, ent o, que:

c) ' = U d) U' =

1 B' = b) B 1 B' = U

Parti o de um conjunto Seja A um conjunto n o vazio. Define-se como parti o de A, e representa-se por part(A), qualquer subconjunto do conjunto das partes de A (representado simbolicamente por P(A)), que satisfaz simultaneamente, s seguintes condi es: 1 - nenhuma dos elementos de part(A) o conjunto vazio. 2 - a interse o de quaisquer dois elementos de part(A) o conjunto vazio. 3 - a uni o de todos os elementos de part(A) igual ao conjunto A. Exemplo: Seja A = {2, 3, 5} Os subconjuntos de A ser o: {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, e o conjunto vazio - . Assim, o conjunto das partes de A ser : P(A) = { {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, } Vamos tomar, por exemplo, o seguinte subconjunto de P(A): X = { {2}, {3,5} } Observe que X uma parti o de A - cuja simbologia part(A) - pois: a) nenhum dos elementos de X . {3, 5} = b) {2} c) {2} U {3, 5} = {2, 3, 5} = A Sendo observadas as condi es 1, 2 e 3 acima, o conjunto X uma parti o do conjunto A. Observe que Y = { {2,5}, {3} } ; W = { {5}, {2}, {3} }; S = { {3,2}, {5} } s o outros exemplos de parti es do conjunto A. Outro exemplo: o conjunto Y = { {0, 2, 4, 6, 8, .}, {1, 3, 5, 7, .} } uma parti o do conjunto N dos n meros naturais, pois {0, 2, 4, 6, 8, .} {1, 3, 5, 7, .} = e {0, 2, 4, 6, 8, .} U {1, 3, 5, 7, .} = N .

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N mero de elementos da uni o de dois conjuntos Sejam A e B dois conjuntos, tais que o n mero de elementos de A seja n(A) e o n mero de elementos de B seja n(B). Nota: o n mero de elementos de um conjunto, tamb m conhecido com cardinal do conjunto. Representando o n mero de elementos da interse o A elementos da uni o A

c B por n(A c B) , podemos escrever a seguinte f rmula: n(A c B) = n(A) + n(B) - n(A c B)

Exerc cios 1) USP-SP - Depois de n dias de f rias, um estudante observa que: a) choveu 7 vezes, de manh ou tarde; b) quando chove de manh n o chove tarde; c) houve 5 tardes sem chuva; d) houve 6 manh s sem chuva. Podemos afirmar ent o que n igual a: a)7 b)8 c)9 d)10 e)11

1 B por n(A 1 B) e o n mero de

2) 52 pessoas discutem a prefer ncia por dois produtos A e B, entre outros e conclui-se que o n mero de pessoas que gostavam de B era: I - O qu druplo do n mero de pessoas que gostavam de A e B; II - O dobro do n mero de pessoas que gostavam de A; III - A metade do n mero de pessoas que n o gostavam de A nem de B. Nestas condi es, o n mero de pessoas que n o gostavam dos dois produtos igual a: a)48 b)35 c)36 d)47 e)37 3) UFBA - 35 estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16 visitaram Manaus; 16, S. Paulo e 11, Salvador. Desses estudantes, 5 visitaram Manaus e Salvador e , desses 5, 3 visitaram tamb m S o Paulo. O n mero de estudantes que visitaram Manaus ou S o Paulo foi: a) 29 b) 24 c) 11 d) 8 e) 5 4) FEI/SP - Um teste de literatura, com 5 alternativas em que uma nica verdadeira, referindo-se data de nascimento de um famoso escritor, apresenta as seguintes alternativas: a)s culo XIX b)s culo XX c)antes de 1860 d)depois de 1830 e)nenhuma das anteriores Pode-se garantir que a resposta correta : a)a b)b c)c d)d e)e

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5) - Se um conjunto A possui 1024 subconjuntos, ent o o cardinal de A igual a: a) 5 b) 6 c) 7 d) 9 e)10 6) - Ap s um jantar, foram servidas as sobremesas X e Y. Sabe-se que das 10 pessoas presentes, 5 comeram a sobremesa X, 7 comeram a sobremesa Y e 3 comeram as duas. Quantas n o comeram nenhuma ? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0 7) PUC-SP - Se A = e B = { }, ent o:

0B b) A c B = i

a) A c) A = B d) A

1B=B e) B d A 1 B 30, o

8) FGV-SP - Sejam A, B e C conjuntos finitos. O n mero de elementos de A n mero de elementos de A a)35 b)15 c)50 d)45 e)20

1 C 20 e o n mero de elementos de A 1 B 1 C 15. Ent o o n mero de elementos de A 1 (B c C) igual a:

9) Sendo a e b n meros reais quaisquer, os n meros poss veis de elementos do conjunto A = {a, b, {a}, {b}, {a,b} } s o: a)2 ou 5 b)3 ou 6 c)1 ou 5 d)2 ou 6 e)4 ou 5 RESULTADO 1) c 2) a 3) a 4) c 5) e 6) a 7) a 8) a 9) a

Divisibilidade

Crit rios de divisibilidade S o crit rios que nos permite verificar se um n mero divis vel por outro sem precisarmos efetuar grandes divis es. Divisibilidade por 2 Um n mero natural divis vel por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele par.

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Exemplos : 8490 divis vel por 2, pois termina em 0. 895 n o divis vel por 2, pois n o um n mero par. Divisibilidade por 3 Um n mero divis vel por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divis vel por 3. Exemplo: 870 divis vel por 3, pois a soma de seus algarismos igual a 8+7+0=15, como 15 divis vel por 3, ent o 870 divis vel por 3. Divisibilidade por 4 Um n mero divis vel por 4 quando termina em 00 ou quando o n mero formado pelos dois ltimos algarismos da direita for divis vel por 4. Exemplo: 9500 divis vel por 4, pois termina em 00. 6532 divis vel por 4, pois 32 divis vel por 4. 836 divis vel por 4, pois 36 divis vel por 4. 9870 n o divis vel por 4, pois n o termina em 00 e 70 n o divis vel por 4. Divisibilidade por 5 Um n mero natural divis vel por 5 quando ele termina em 0 ou 5. Exemplos: 425 divis vel por 5, pois termina em 5. 78960 divis vel por 5, pois termina em 0. 976 n o divis vel por 5, pois n o termina em 0 nem em 5. Divisibilidade por 6 Um n mero divis vel por 6 quando divis vel por 2 e por 3 ao mesmo tempo. Exemplos: 942 divis vel por 6, porque divis vel por 2 e por 3 ao mesmo tempo. 6456 divis vel por 6, porque divis vel por 2 e por 3 ao mesmo tempo. 984 n o divis vel por 6, divis vel por 2, mas n o divis vel por 3. 357 n o divis vel por 6, divis vel por 3, mas n o divis vel por 2. Divisibilidade por 8 Um n mero divis vel por 8 quando termina em 000, ou quando o n mero formado pelos tr s ltimos algarismos da direita for divis vel por 8. Exemplos: 2000 divis vel por 8, pois termina em 000. 98120 divis vel por 8, pois 120 divis vel por 8. 98112 divis vel por 8, pois 112 divis vel por 8. 78341 n o divis vel por 8, pois 341 n o divis vel por 8. Divisibilidade por 9 Um n mero divis vel por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divis vel por 9. Exemplo: 6192 divis vel por 9, pois a soma de seus algarismos igual a 6+1+9+2=18, e como 18 divis vel por 9, ent o 6192 divis vel por 9. Divisibilidade por 10 Um n mero natural divis vel por 10 quando ele termina em 0. Exemplos: 8970 divis vel por 10, pois termina em 0. 5987 n o divis vel por 10, pois n o termina em 0. Divisibilidade por 11 Um n mero divis vel por 11 quando a diferen a entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem mpar e a dos de ordem par divis vel por 11. Exemplos: 87549 Si (soma das ordens mpares) = 9+5+8 = 22 Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11 Si - Sp = 22 - 11 = 11 Como 11 divis vel por 11, ent o o n mero 87549 divis vel por 11. 439087 Si (soma das ordens mpares) = 7+0+3 = 10

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Sp (soma das ordens pares) = 8+9+4 = 21 Si - Sp = 10 - 21 Como a subtra o n o pode ser realizada, acrescenta-se o menor m ltiplo de 11 (diferente de zero) ao minuendo, para que a subtra o possa ser realizada: 10+11 = 21. Ent o temos a subtra o 21-21 = 0. Como zero divis vel por 11, o n mero 439087 divis vel por 11. Divisibilidade por 12 Um n mero divis vel por 12 quando divis vel por 3 e por 4. Exemplos: 1200 divis vel por 12, porque divis vel por 3 e por 4 ao mesmo tempo. 870 n o divis vel por 12 divis vel por 3, mas n o divis vel por 4. 8936 n o divis vel por 12 divis vel por 4, mas n o divis vel por 3. Divisibilidade por 15 Um n mero divis vel por 15 quando divis vel por 3 e por 5 ao mesmo tempo. Exemplos: 9105 divis vel por 15, porque divis vel por 3 e por 5 ao mesmo tempo. 9831 n o divis vel por 15 divis vel por 3, mas n o divis vel por 5. 680 n o divis vel por 15 divis vel por 5, mas n o divis vel por 3.

N meros Primos

Devemos antes de tudo lembrar o que s o n meros primos. Definimos como n meros primos aqueles que s o divis veis apenas por 1 e ele mesmo. Exemplos: 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 primo. 23 tem apenas os divisores 1 e 23, portanto 23 primo. 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 n o primo. Aten o: 1 n o um n mero primo, porque ele tem apenas um divisor ele mesmo. 2 o nico n mero primo que par. Os n meros que t m mais de dois divisores s o chamados n meros compostos. Exemplo: 36 tem mais de dois divisores ent o 36 um n mero composto. Como saber se um n mero primo Devemos dividir o n mero dado pelos n meros primos menores que ele, at obter um quociente menor ou igual ao divisor. Se nenhum das divis es for exata, o n mero primo. Decomposi o em fatores primos Todo n mero natural, maior que 1, pode ser escrito na forma de uma multiplica o em que todos os fatores s o n meros primos. o que n s chamamos de forma fatorada de um n mero Decomposi o do n mero 36: 36 = 9 x 4 36 = 3 x 3 x 2 x 2 36 = 3 x 3 x 2 x 2 = 22 x 32 No produto 2 x 2 x 3 x 3 todos os fatores s o primos. Chamamos de fatora o de 36 a decomposi o de 36 num produto de fatores primos. Ent o a fatora o de 36 22 x 32 M todo Pr tico Escrever a Forma Fatorada de um N mero Natural Existe um dispositivo pr tico para fatorar um n mero. Acompanhe, no exemplo, os passos para montar esse dispositivo: Dividimos o n mero pelo seu menor divisor primo; 2 A seguir, dividir o quociente obtido pelo seu menor divisor primo. 3 Proceder dessa forma, da por diante, at obter o quociente 1. 4 A forma fatorada do n mero 120 = 23 x 3 x 5

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Determina o dos divisores de um n mero Na pr tica determinamos todos os divisores de um n mero utilizando os seus fatores primos. Vamos determinar, por exemplo, os divisores de 72: 1 Fatoramos o n mero 72. 2 Tra amos uma linha e escrevemos o 1 no alto, porque ele divisor de qualquer n mero. 3 Multiplicamos sucessivamente cada fator primo pelos divisores j obtidos e escrevemos esses produtos ao lado de cada fator primo. 4 Os divisores j obtidos n o precisam ser repetidos. Ent o o conjunto dos divisores de 72 = {1,2,3,4,6,8,9,12,18,36,72}

M ximo Divisor Comum (mdc)

O m ximo divisor comum entre dois ou mais n meros naturais n o nulos (n meros diferentes de zero) o maior n mero que divisor ao mesmo tempo de todos eles. N o vamos aqui ensinar todos as formas de se calcular o mdc, vamos nos ater apenas a algumas delas. Regra das divis es sucessivas Esta regra bem pr tica para o calculo do mdc, observe: Exemplo: Vamos calcular o mdc entre os n meros 160 e 24.

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1 : Dividimos o n mero maior pelo menor. 2 : Como n o deu resto zero, dividimos o divisor pelo resto da divis o anterior. 3 : Prosseguimos com as divis es sucessivas at obter resto zero. O mdc (64; 160) = 32 Para calcular o mdc entre tr s ou mais n meros, devemos coloca-los em ordem decrescente e come amos a calcular o mdc dos dois primeiros. Depois, o mdc do resultado encontrado e o terceiro n mero dado. E assim por diante. Exemplo: Vamos calcular o mdc entre os n meros 18, 36 e 63.

Observe que primeiro calculamos o mdc entre os n meros 36 e 18, cujo mdc 18, depois calculamos o mdc entre os n meros 63 e 18(mdc entre 36 e 18). O mdc (18; 36; 63) = 9. Regra da decomposi o simult nea Escrevemos os n meros dados, separamos uns dos outros por v rgulas, e colocamos um tra o vertical ao lado do ltimo. No outro lado do tra o colocamos o menor dos fatores primos que for divisor de todos os n meros de uma s v s. O mdc ser a multiplica o dos fatores primos que ser o usados. Exemplos: mdc (80; 40; 72; 124) mdc (12; 64)

Propriedade: Observe o mdc (4, 12, 20), o mdc entre estes n meros 4. Voc deve notar que 4 divisor de 12, 20 e dele mesmo. Exemplo mdc (9, 18, 27) = 9, note que 9 divisor de 18 e 27. mdc (12, 48, 144) = 12, note que 12 divisor de 48 e 144. M nimo M ltiplo Comum (mmc) O m nimo m ltiplo comum entre dois ou mais n meros naturais n o nulos(n meros diferente de zero), o menor n mero que m ltiplo de todos eles. Regra da decomposi o simult nea

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Devemos saber que existe outras formas de calcular o mmc, mas vamos nos ater apenas a decomposi o simult nea. OBS: Esta regra difere da usada para o mdc, fique atento as diferen as. Exemplos: mmc (18, 25, 30) = 720 1 : Escrevemos os n meros dados, separados por v rgulas, e colocamos um tra o vertical a direita dos n meros dados. 2 : Abaixo de cada n mero divis vel pelo fator primo colocamos o resultado da divis o. O n meros n o divis veis pelo fator primo s o repetidos. 3 : Continuamos a divis o at obtermos resto 1 para todos os n meros. Observe o exemplo ao lado. mmc (4, 8, 12, 16) = 48 mmc (10, 12, 15) = 60

Propriedade: Observe, o mmc (10, 20, 100) , note que o maior deles m ltiplo dos menores ao mesmo tempo, logo o mmc entre eles vai ser 100. Exemplo: mmc (150, 50 ) = 150, pois 150 m ltiplo de 50 e dele mesmo mmc (4, 12, 24) = 24, pois 24 m ltiplo de 4, 12 e dele mesmo

N meros Racionais

O conjunto dos N meros Racionais (Q) formado por todos os n meros que podem ser escritos na forma a/b onde a e b Z e b 0 ( 1 Mandamento da Matem tica: N O DIVIDIR S POR ZERO) Exemplos: , 0,25 ou (simplificando) , -5 ou

Opera es As opera es com n mero racionais segue as mesma regras de opera o das fra es. Adi o e Subtra o Reduz-se as fra es ao mesmo denominador. Para isso devemos encontrar o mmc dos denominadores, criarmos uma mesma seq ncia de fra o com o novo denominador e numerador igual ao resultado da divis o do novo denominador pelo velho multiplicado pelo numerador velho. Exemplo: o mmc(3,4)=12 ent o dividindo-se 12 por 3 e multiplicando-se por 2,

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depois dividindo-se 12 por 4 e multiplicando-se por 3 temos Multiplica o Multiplica-se os numeradores e os denominadores obtendo-se assim o resultado. importante observar se o resultado da multiplica o n o pode ser simplificado ( dividir o numerador e o denominador pelo mesmo n mero) , normalmente isso poss vel e evita que se fa a opera es com n meros muito grandes : simplificando por 3 temos como resultado Divis o Deve-se multiplicar a primeira pelo inverso da segunda ficamos com Express es Quando se resolve express es num ricas devemos observar o seguinte: a. Deve-se obedecer a seguinte prioridade de opera o: 1 - multiplica o e divis o na ordem em que aparecer 2 - soma e subtra o na ordem em que aparecer b. Deve-se primeiro resolver as opera o dentro do par nteses, depois do colchete e por fim da chave, e dentro de cada separador obedecer as regras do item a Exemplos: resolva a opera o que esta dentro do parenteses : mmc(2,3) = 6 simplificando por 2

1. Primeiro os par nteses, e no segundo par nteses primeiro a multiplica o

N meros Fracion rios

Fra es

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Ser representado em nossa apostila da seguinte forma: a/b O s mbolo Chamamos: a/b de fra o; a de numerador; b de denominador. Se a m ltiplo de b, ent o a/b um n mero natural. Veja um exemplo: A fra o 12/3 igual a 12:3. Neste caso, 12 o numerador e 3 o denominador. Efetuando a divis o de 12 por 3, obtemos o quociente 4. Assim, 12/3 um n mero natural e 12 m ltiplo de 3. Durante muito tempo, os n meros naturais foram os nicos conhecidos e usados pelos homens. Depois come aram a surgir quest es que n o poderiam ser resolvidas com n meros naturais. Ent o surgiu o conceito de n mero fracion rio. O significado de uma fra o Algumas vezes, a/b um n mero natural. Outras vezes, isso n o acontece. Neste caso, qual o significado de a/b? Uma fra o envolve a seguinte id ia: dividir algo em partes iguais. Dentre essas partes, consideramos uma ou algumas, conforme nosso interesse. Exemplo: Michele comeu 4/7 de um bolo. Isso significa que o bolo foi dividido em 7 partes iguais, Aline teria comido 4 partes: significa a:b, sendo a e b n meros naturais e b diferente de zero.

Na figura acima, as partes pintadas seriam as partes comidas por Aline, e a parte branca a parte que sobrou do bolo. Como se l uma fra o As fra es recebem nomes especiais quando os denominadores s o 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e tamb m quando os denominadores s o 10, 100, 1000, . 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9 Fra es Pr prias S o fra es que representam uma quantidade menor que o inteiro, ou seja representa parte do inteiro. Exemplos:

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um um um um um um um um

meio ter o quarto quinto sexto s timo oitavo nono

2/5 4/7 7/8 12/9 1/10 1/100 1/1000 5/1000

Dois quintos quatro s timos sete oitavos doze nonos um d cimo um cent simo um mil simo Cinco mil simos

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, observe que neste tipo de fra o o numerador sempre menor que o denominador. Fra es Impr prias S o fra es que representam uma quantidade maior que o inteiro, ou seja representa uma unidade mais parte dela. Exemplos: , observe que neste tipo de fra es o numerador sempre maior que o denominador. Fra es Aparentes S o fra es que representam uma unidade, duas unidades etc. Exemplos: , observe que neste tipo de fra es o numerador sempre m ltiplo do denominador. Fra es Equivalentes Duas ou mais fra es que representam a mesma quantidade da unidade s o equivalentes. Exemplos: , s o fra es equivalentes, ou seja de 10/10) Simplificando Fra es Quando multiplicamos ou dividimos o numerador e o denominador de uma fra o pelo mesmo n mero, esta n o se altera. Encontramos fra es equivalentes a fra o dada. Exemplos: 3/4 = 6/8 , observe que numerador e denominador foram multiplicados por 2. 12/18 = 4/6 , observe que numerador e denominador foram divididos por 3. Reduzindo Fra es ao Mesmo Denominador Exemplo: , a primeira coisa a se fazer encontrar fra es equivalentes s fra es dadas de tal forma que estas tenham o mesmo denominador. Basta determinar o m.m.c entre os denominadores, que neste caso 12. , para obtermos, pegamos o m.m.c, dividimos pelo denominador, pegamos o resultado e multiplicamos pelo numerador, observe: 12 : 3 = 4, 4 x 2 = 8 e assim com as outras fra es. Adi o e Subtra o de Fra es 1 Caso Denominadores iguais Para somar fra es com denominadores iguais, basta somar os numeradores e conservar o denominador.

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(1/2 a metade de 2/2 e 5/10 a metade

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Para subtrair fra es com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conservar o denominador. Exemplos:

2 Caso Denominadores diferentes Para somar fra es com denominadores diferentes, devemos reduzir as fra es ao menor denominador comum e, em seguida, adicionar ou subtrair as fra es equivalentes s fra es dadas. Para obtermos estas fra es equivalentes determinamos m.m.c entre os denominadores destas fra es. Exemplo: Vamos somar as fra es .

Obtendo o m.m.c dos denominadores temos m.m.c(4,6) = 12. 12 : 4 = 3 e 3 x 5 = 15 12 : 6 = 2 e 2 x 1 = 2

Multiplica o e Divis o de Fra es Multiplica o 1 Caso Multiplicando um n mero natural por uma fra o Na multiplica o de um n mero natural por uma fra o, multiplicamos o n mero natural pelo numerador da fra o e conservamos o denominador. Exemplos:

Multiplicando Fra o por Fra o Na multiplica o de n meros fracion rios, devemos multiplicar numerador por numerador, e denominador por denominador. Exemplos: (o resultado foi simplificado) Divis o Na divis o de n meros fracion rios, devemos multiplicar a primeira fra o pelo inverso da segunda. Exemplos:

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Potencia o e radicia o de n meros fracion rios Potencia o Na potencia o, quando elevamos um n mero fracion rio a um determinado expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente: Exemplos:

Radicia o Na radicia o, quando aplicamos a raiz a um n mero fracion rio, estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador: Exemplos:

Fracao geratriz Conforme voc j estudou, todo n mero racional (Conjunto Q), resulta da divis o de dois n mero inteiros, a divis o pode resultar em um n mero inteiro ou decimal. Conv m lembrar que temos decimais exato. Exemplo: 2,45; 0,256; 12,5689; 12,5689 Temos tamb m decimais n o exato (d zima peri dica) Exemplo: 2,555555. ; 45,252525.; 0,123123123.; 456,12454545; 7,4689999.

Voc deve saber, que em uma d zima peri dica a parte decimal que repete, recebe o nome de per odo, a parte que n o repete chamada de ante-per odo, a parte n o decimal a parte inteira. Exemplo: D zima peri dica composta D zima peri dica simples

Encontrando a Fra o Geratriz de uma D zima Peri dica D zima peri dica simples: Devemos adicionar a parte decimal parte inteira. Devemos lembra que a parte decimal ser transformada em uma fra o cujo numerador o per odo da d zima e o denominador um n mero formado por tantos noves quantos s os os algarismos do per odo. Exemplos:

D zima peri dica composta Devemos adicionar parte inteira uma fra o cujo numerador formado pelo ante-per odo, seguindo de um per odo, menos o ante-per odo, e cujo denominador formado de tantos noves quantos s o os algarismos do per odo seguidos de tantos zeros quanto s o os algarismos do ante-per odo. Exemplos:

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Per odo = 47(implica em dois noves) Ante-per odo = 1 (implica em um 0)

Per odo = 7 Ante-per odo = 0

N meros Decimais

Fra o Decimal S o fra es em que o denominador uma pot ncia de 10. Exemplos:

Toda fra o decimal escrita na forma de n mero decimal. Exemplos:

N meros Decimais

Lendo n mero decimais: 0,25 = Vinte e cinco cent simos; 2,24 = Dois inteiros e vinte e quatro cent simos 12,002 = Doze inteiros e dois mil simos; 0,0002 = Dois d cimos de mil simos Transformando uma fra o decimal em n mero decimal:

Observe: Denominador 10 um n mero depois da v rgula, denominador 100 dois n meros depois da v rgula, denominador 1000 tr s n meros depois da v rgula e assim por diante. Transformando um n mero decimal em fra o decimal:

Observe: Um n mero depois da v rgula denominador 10, dois n meros depois da v rgula denominador 100, tr s n meros depois da v rgula denominador 1000 e assim por diante. Propriedade: Um n mero decimal n o se altera ao acrescentarmos zeros a direita do seu ltimo n mero. Exemplos: 0,4 = 0,400 = 0,4000 = 0,40000 0,23 = 0,230 = 0,2300 = 0,23000 = 0,230000 1,2 = 1,20 = 1,200 = 1,2000, 1,20000 Adi o Na adi o de n meros decimais devemos somar os n meros de mesma ordem de unidades, d cimo com d cimo, cent simo com cent simo. Antes de iniciar a adi o, devemos colocar v rgula debaixo de v rgula.

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Exemplos: 0,3 + 0,81 1,42 + 2,03 7,4 + 1,23 + 3,122 Subtra o A subtra o de n meros decimais efetuada da mesma forma que a adi o. 4,4 - 1,21; 2,21 - 1,211; 9,1 - 4,323

Multiplica o Efetuamos a multiplica o normalmente. Em seguida, contam-se as casas decimais de cada n mero e o produto fica com o n mero de casas decimais igual soma das casas decimais dos fatores. Exemplos: 4,21 x 2,1; 0,23 x 1,42; 0,42 x 1,2

Divis o Na divis o de n meros decimais, o dividendo e o divisor devem ter o mesmo n mero de casas decimais. Devemos igual -las antes de come ar a divis o. 7,02 : 3,51

11,7 : 2,34

23 : 7

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Potencia o Efetuamos da mesma forma que aprendemos com os n meros naturais. Exemplos: (0,2)2= 0,2 x 0,2 = 0,04; (1,2)2= 1,2 x 1,2 = 1,44; (1,23)0= 1; (23,5)1= 23,5

Potencia o e Radicia o, Raz es, Propor es Potencia o

Chamamos de potencia o, um n mero real a e um n mero natural n, com n 0, escrito na forma an. Observe o seguinte produto de fatores iguais. 2 x 2 x 2 este produto pode ser escrito da seguinte forma, 23 onde o n mero 3 representa quantas vezes o fator 2 esta sendo multiplicado por ele mesmo.

Expoente, informa quantas vezes o fator vai ser multiplicado por ele mesmo. Base, informa o fator a ser repetido. Pot ncia, o resultado desta opera o 23 = l -se, dois elevado a 3 potencia ou dois elevado ao cubo. Exemplos: 32 = tr s elevado a segunda pot ncia ou tr s elevado ao quadrado. 64 = seis elevado a quarta pot ncia. 75 = sete elevado a quinta pot ncia. 28 = dois elevado a oitava pot ncia. Observa es: 1 ) Todo n mero elevado a expoente um igual a ele mesmo. 21 = 2, 31 = 3, 51 = 5, 61 = 6, 131 = 13, (1,2)1 = 1,2,

2 ) Todo n mero diferente de zero elevado a expoente zero igual a um. 40 = 1, 60 = 1, 80 = 1, 340 = 1, 260 = 1, (3,5)0 = 1,

Pot ncias de base 1 11 = 1, 12 = 1, 13 = 1, 112 = 1, toda pot ncia de 1 igual a 1. 10 = 1, Pot ncias de base 10 100 = 1, 102 = 100, 103 = 1000, 104 = 10000, toda pot ncia de 10 igual ao n mero formado pelo algarismo 1 seguido de tantos zeros quantas forem as unidades do expoente. Propriedades da Potencia o 1 ) Multiplica o de pot ncia de mesma base. Somamos os expoentes e conservamos a base, observe. 23 x 22 = 23+2 = 25 = 32

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3 x3=3 = 3 = 81 4 x 42 x 43 = 46 = 4096 2 ) Divis o de pot ncia de mesma base. Subtra mos os expoentes e conservamos a base, observe. 23 : 22 = 21 = 2 34 : 32 = 32 = 9 75 : 73 = 72 = 49 3 ) Pot ncia de pot ncia. Conservamos a base e multiplicamos os expoentes. (32)2 = 32x2 = 34 = 81 [(32)3]2 = 32x3x2 = 312 = 531441 Trabalhando com Potencia o Exemplos: a) 34 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81 b) 52 = 5 x 5 = 25 c) 63 = 6 x 6 x 6 = 216 d) 113 = 1 e) 230 = 1 f) 2340 = 1 g) 106 = 1 000 000 h) (1,2)2 = 1,2 x 1,2 = 1,44 i) (0,5)2 = 0,25 j) (0,4)5 = 0,4 x 0,4 x 0,4 x 0,4 x 0,4 x 0,4 = 0,01024 k) l) m)

3

3+1

4

(- 3)2 = -3 x 3 = 9 (- 4)3 = - 4 x 4 x 4 = - 64

Observa o: Lembre-se que (-3)2 -32. (-3)2 = -3 x 3 = 9 -32 = -(3 x 3) = -(9) = -9 Pot ncia com Expoente Negativo Observe: , ,

Radicia o

Radicia o o ato de extrair a raiz de um n mero, lembrando que temos raiz quadrada, raiz c bica, raiz quarta, raiz quinta e etc. Radicia o a opera o inversa da potencia o (procure revisar este conte do).

Lembrando que: Se o ndice um n mero maior que 1 (n 1), se este for igual a dois (raiz quadrada "n o escrevemos este valor, o local do ndice fica vazio ou seja fica entendido que ali est o n mero 2"), se for igual a 3 (raiz c bica "este valor deve aparecer no ndice"), etc. Exemplo:

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Raiz de um n mero real 1 caso: a 0 e n par.

2 caso: a 0 e n mpar.

3 caso: a 0 e n mpar.

4 caso: a 0 e n par.

Raz o

Chama-se de raz o entre dois n meros racionais a e b, com b 0, aoquociente entre eles. Indica-se a raz o de a para b por ou a : b.

Exemplo: Na sala da 6 B de um col gio h 20 rapazes e 25 mo as. Encontre a raz o entre o n mero de rapazes e o n mero de mo as. (lembrando que raz o divis o)

Voltando ao exerc cio anterior, vamos encontrar a raz o entre o n mero de mo as e rapazes.

Lendo Raz es: Termos de uma Raz o

Grandezas Especiais

Escala, a raz o entre a medida no desenho e o correspondente na medida real.

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Exemplo: Em um mapa, a dist ncia entre Montes Claros e Vi osa representada por um segmento de 7,2 cm. A dist ncia real entre essas cidades de 4320km. Vamos calcular a escala deste mapa. As medidas devem estar na mesma unidade, logo 4320km = 432 000 000 cm

Velocidade m dia, a raz o entre a dist ncia a ser percorrida e o tempo gasto. (observe que neste caso as unidades s o diferentes)

Exemplo: Um carro percorre 320km em 4h. determine a velocidade m dia deste carro.

Densidade demogr fica, a raz o entre o n mero de habitantes e a rea.

Exemplo: O estado do Cear tem uma rea de 148 016 km2 e uma popula o de 6 471 800 habitantes. D a densidade demogr fica do estado do Cear .

Raz es Inversas Vamos observar as seguintes raz es. Observe que o antecessor(5) da primeira o conseq ente(5) da segunda. Observe que o conseq ente(8) da primeira o antecessor(8) da segunda.

Dizemos que as raz es s o inversas. Exemplos:

Propor o

Propor o, uma igualdade entre duas raz es.

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Dados os n meros racionais a, b, c e d, diferentes de zero, dizemos que eles formam, nessa ordem uma propor o quando a raz o de a para b for igual a raz o de c para d.

Os extremos s o 2 e 10, os meios s o 5 e 4. Propriedade Fundamental das Propor es Em toda propor o, o produto dos meios igual ao produto dos extremos. Exemplos:

b)

Trabalhando com Propor o Exemplos. Determine o valor de x nas seguintes propor es. a)

b)

c)

d)

Calcule y, sabendo que os n meros 14, 18, 70 e y formam, nessa ordem, uma propor o.

M dia

Voc escuta a todo momento nos notici rios a palavra m dia. Exemplo: A m dia de idade da sele o brasileira 23 anos. A m dia de pre o da gasolina 1,33 reais.

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M dia aritm tica de dois ou mais termos o quociente do resultado da divis o da soma dos n meros dados pela quantidade de n meros somado. Exemplos: 1. Calcule a m dia aritm tica entre os n mero 12, 4, 5, 7.

observe o que foi feito, somamos os quatro n mero e dividimos pela quantidade de n meros. 2. O time de futebol do Cruzeiro de Minas Gerai, fez 6 partidas amistosas, obtendo os seguintes resultados, 4 x 2, 4 x 3, 2 x 5, 6 x 0, 5 x 3, 2 x 0. Qual a m dia de gols marcados nestes amistoso?

M dia Aritm tica Ponderada * Exemplo: 1. Um col gio resolveu inovar a forma de calcular a m dia final de seu alunos. 1 bimestre teve peso 2. 2 bimestre teve peso 2. 3 bimestre teve peso 3. 4 bimestre teve peso 3. Vamos calcular a m dia anual de Ricardo que obteve as seguintes notas em historia. 1 bim = 3, 2 bim = 2,5, 3 bim = 3,5 e 4 bim = 3

Este tipo de m dia muito usada nos vestibulares, voc j deve ter ouvido algum colega falar assim, a prova de matem tica para quem faz engenharia peso 3 e historia peso 1, isto devido a engenharia ser um curso ligado a ci ncias exatas. Este peso varia de acordo com a rea de atua o do curso.

Produtos Not veis

Vamos relembrar aqui, identidades especiais, conhecidas particularmente como Produtos Not veis. 1 Quadrado da soma e da diferen a (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a b)2 = a2 2ab + b2 Das duas anteriores, poderemos concluir que tamb m v lido que: (a+b)2 + (a-b)2 = 2(a2+b2) ou escrevendo de uma forma conveniente:

2 Diferen a de quadrados (a + b).(a b) = a2 b2 3 Cubo de uma soma e de uma diferen a (a + b)3 = a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + b3 Para determinar o cubo da diferen a, basta substituir na identidade acima, b por -b, obtendo: (a b)3 = a3 3.a2.b + 3.a.b2 b3

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Uma forma mais conveniente de apresentar o cubo de soma, pode ser obtida fatorando-se a express o como segue: (a + b)3 = a3 + 3.a.b(a+b) + b3 Ou: (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) Esta forma de apresenta o, bastante til. Exemplos: 1 A soma de dois n meros igual a 10 e a soma dos seus cubos igual a 100. Qual o valor do produto desses n meros? SOLU O: Temos: a + b = 10 e a3 + b3 = 100. Substituindo diretamente na f rmula anterior, fica: 103 = 100 + 3ab(10) de onde tiramos 1000 = 100 + 30.ab Da , vem: 900 = 30.ab, de onde conclu mos finalmente que ab = 30, que a resposta solicitada. Nota: os n meros a e b que satisfazem condi o do problema acima, n o s o n meros reais e sim, n meros complexos. Voc pode verificar isto, resolvendo o sistema formado pelas igualdades a+b = 10 e ab = 30. Verifique como exerc cio! Alerto para o fato de que muito trabalhoso. Mas, v l , fa a! um bom treinamento sobre as opera es com n meros complexos. Pelo menos, fica caracterizada a import ncia de saber a f rmula acima. Sem ela, a solu o DESTE PROBLEMA SIMPLES, seria bastante penosa! 2 - Calcule o valor de F na express o abaixo, para: a = -700, b = - 33 , x = 23,48 e y = 9,14345.

SOLU O: Com a substitui o direta dos valores dados, os c lculos seriam tantos que seria invi vel! Vamos desenvolver os produtos not veis indicados:

Se voc observar CUIDADOSAMENTE a express o acima, ver que o numerador e o denominador da fra o s o IGUAIS, e, portanto, F = 1, INDEPENDENTE dos valores de a, b, x e y. Portanto, a resposta igual a 1, independente dos valores atribu dos s vari veis a, b, x e y. Resp: 1

Divis o Proporcional

Grandezas Diretamente e Inversamente Proporcionais Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado. O volume, a massa, a superf cie, o comprimento, a capacidade, a velocidade, o tempo, s o alguns exemplos de grandezas. No nosso dia-a-dia encontramos varias situa es em que relacionamos duas ou mais grandezas. Em uma corrida quanto maior for a velocidade, menor ser o tempo gasto nessa prova. Aqui as grandezas s o a velocidade e o tempo.

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Numa constru o , quanto maior for o n mero de funcion rios, menor ser o tempo gasto para que esta fique pronta. Nesse caso, as grandezas s o o n mero de funcion rio e o tempo. Grandezas Diretamente Proporcionais Em um determinado m s do ano o litro de gasolina custava R$ 0,50. Tomando como base esse dado podemos formar a seguinte tabela. Quantidade de gasolina (em litros) 1 2 3 Quantidade a pagar (em reais) 0,50 1,00 1,50

Observe: Se a quantidade de gasolina dobra o pre o a ser pago tamb m dobra. Se a quantidade de gasolina triplica o pre o a ser pago tamb m triplica. Neste caso as duas grandezas envolvidas, quantia a ser paga e quantidade de gasolina, s o chamadas grandezas diretamente proporcionais. Duas grandezas s o chamadas, diretamente proporcionais quando, dobrando uma delas a outra tamb m dobra; triplicando uma delas a outra tamb m triplica. Observe, que as raz es s o iguais.

Grandezas inversamente proporcionais

Um professor de matem tica tem 24 livros para distribuir entre os seus melhores alunos. Se ele escolher apenas 2 alunos, cada um deles receber 6 livros. Se ele escolher 4 alunos, cada um deles receber 6 livros. Se ele escolher 6 alunos, cada um deles receber 4 livros. Observe a tabela: N mero de alunos escolhidos. 2 4 6 N meros de livros para cada aluno 12 6 4

Se o n mero de aluno dobra, a quantidade de livros cai pela metade. Se o n mero de alunos triplica, a quantidade de livros cai para a ter a parte. Duas grandezas s o inversamente proporcionais quando, dobrando uma delas, a outra se reduz para a metade; triplicando uma delas, a outra se reduz para a ter a parte. e assim por diante.

Quando duas grandezas s o inversamente proporcionais, os n meros que expressam essas grandezas variam um na raz o inversa do outro.

Regra de Tr s: Simples e Composta

Pol cia Rodovi ria Federal

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Matem tica para Concursos

Consta na hist ria da matem tica que os gregos e os romanos conhecessem as propor es, porem n o chegaram a aplica-las na resolu o de problemas. Na idade m dia, os rabes revelaram ao mundo a regra de tr s. Nos s culo XIII, o italiano Leonardo de Pisa difundiu os princ pios dessa regra em seu livro L ber Abaci, com o nome de Regra de Tr s N meros Conhecidos. Regra de tr s simples Regra de tr s simples um processo pr tico para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos tr s deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos tr s