Matematica para Concursos

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O REI DAS APOSTILAS

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Matemática para Concursos

Polícia Rodoviária Federal2

Sumário

Números Naturais ------------------------------------------- 03 Conjuntos numéricos: racionais e reais -------------------05 Divisibilidade ------------------------------------------------- 10 Números Primos --------------------------------------------- 12 Máximo Divisor Comum (mdc mmc) ----------------------13 Números Racionais ------------------------------------------ 15 Números Fracionários --------------------------------------- 16 Números Decimais ------------------------------------------- 21 Potenciação -------------------------------------------------- 23 Radiciação ---------------------------------------------------- 24 Razões e Proporções --------------------------------------- Média ---------------------------------------------------------- 25 Produtos Notáveis ------------------------------------------- 27 Divisão Proporcional ---------------------------------------- 28 Regra de Três: Simples e Composta -----------------------29 Porcentagens ------------------------------------------------- 31 Juros Simples ------------------------------------------------ 32 Juros Compostos --------------------------------------------- 34 Sistemas de Medidas ---------------------------------------- 35 Sistema Métrico Decimal ------------------------------------ 45 Equações do 1.º grau ----------------------------------------47 Equações do 2.º grau ---------------------------------------51 Sistemas ------------------------------------------------------ 56 Equações ----------------------------------------------------- 57 Progressão aritmética --------------------------------------- 62 Progressão geométrica ------------------------------------- 64 Noções de trigonometria ------------------------------------ 65 Teorema de Pitágoras --------------------------------------- 68 Funções exponenciais --------------------------------------- 69 Logaritmos --------------------------------------------------- Polinômios ---------------------------------------------------- Geometria ---------------------------------------------------- 71 Noções de probabilidade ------------------------------------ 73 Noções de estatísticas -------------------------------------- 76

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Editado por: Flávio Nascimento

Números Naturais

Conjunto dos Números Inteiros

O conjunto N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,12,13,14}, este conjunto é
a) 9 - 12 = ?b) 8 - 100 = ?

Este é mais um conjunto numérico que devemos conhecer para futuros estudos, representado pela letra Z. Conjunto dos Números Naturais representado pela letra N. infinito ou seja não tem fim. Este ficou pequeno para a matemática, observe os exemplos:

Dentro do conjunto dos número naturais não existe resposta para estas perguntas, ou seja as respostas estão dentro do conjunto dos números inteiros. Vamos conhecer este conjunto:

O conjunto Z = {-5,-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,+4,+5....}, observe que este conjunto é

formado por números negativos, zero e números positivos. Vale lembrar que zero é um número nulo ou neutro, não é negativo e nem positivo.

números negativo e positivos

No seu dia a dia você já dever ter deparado com números inteiros. Quando temos um crédito temos um número positivo, um débito é um número negativo, temperaturas acima de zero são positivas, abaixo de zero são negativas, também em relação ao nível do mar, os países que estão acima do nível do mar tem altitudes positivas, abaixo do nível do mar altitudes negativas, se você prestar atenção ao seu redor vai encontrar muitos Reta Numérica Inteira

Observe que a reta tem uma seta que indica a ordem de crescimento dos números, eles estão crescendo da esquerda para a direita, -7 é menor que -6, 0 é maior que -1 e assim em diante.

Vamos comparar alguns números inteiros. a) -5 > -10, b) +8 > -1000, c) -1 > -200.0, d) -200 < 0, e) -234 < -1, f) +2 > -1, g) g) -9 < +1

Lembrete: 1º: Zero é maior que qualquer número negativo. 2º: Um é o maior número negativo. 3º: Zero é menor que qualquer número positivo. 4º: Qualquer número positivo é maior que qualquer número negativo.

Números opostos ou simétricos

Observe que a distancia do -3 até o zero é a mesma do +3 até o zero, estes números são chamados de opostos ou simétricos.

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Logo:

Polícia Rodoviária Federal4 - 2 é oposto ou simétrico do + 2, + 20 é oposto ou simétrico do - 20, - 100 é oposto ou simétrico de + 100.

Exemplos:

Adição e Subtração de Números Inteiros a) (+3) + (+7) = + 3 + 7 = +10 (tiramos os parentes e conservamos os sinais dos números) b) (-9) + (-8) = - 9 - 8 = -17 (tiramos os parentes e conservamos os sinais dos números) c) (+12) + (-10) = + 12 - 10 = +2 (tiramos os parentes e conservamos os sinais dos números) d) (+15) - (+25) = + 15 - 25 = 5 (tiramos os parentes e trocamos o sinal do número que estava depois da subtração) e) (-18) - (-12) = -18 + 12 = -6 (tiramos os parentes e trocamos o sinal do número que estava depois da subtração)

Lembrete:

Para facilitar seu entendimento, efetue esta operações pensando em débito(número negativo) e crédito(número positivo), + 3 + 7, tenho 3 reais se ganhar 7 fico com 10, - 15 + 10, devo 15 reais se tenho só dez para pagar ainda fico devendo sete ou seja -7, - 5 - 8, tenho uma divida de 5 reais faço mais uma divida de 8 eu fico devendo treze ou seja -13.

Multiplicação e Divisão de Números Inteiros

a) (+5) x (+8) = + 40 ( + x + = +)
e) (-8) : (-2) = + 4 (- : - = +)
g) (+48) : (+2) = + 24 (+ : + = +)

Exemplos: b) (-8) x (-7) = + 56 (- x - = +) c) (-4) x (+7) = - 28 (- x + = -) d) (+6) x (-7) = - 42 (+ x - = -) f) (+18) : (-6) = - 3 (+ : - = -) h) (-14) : (-7) = + 2 (- : - = +)

Lembrete:

Observe que a multiplicação ou divisão de números de mesmo sinal o resultado e sempre positivo, a multiplicação ou divisão de números de sinais diferentes o resultado é sempre negativo.

Exemplos:
a) (+3)2 = (+3) x (+3) = + 9b) (-2)5 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = - 32

Potenciação de Números Inteiros c) (-8)0 = 1 (todo número elevado a zero é igual a 1 positivo) d) (+9)0 = 1 (todo número elevado a zero é igual a 1 positivo)

Importante:

e) (18)1 = 18 (todo número elevado a um é igual a ele mesmo) (-2)2 = (-2) x (-2) = 4 é diferente de - 2 = -(2) x (2) = - (4) = - 4 No primeiro caso tanto o sinal quanto ao número estão ao quadrado e no segundo caso apenas o número está elevado ao quadrado.

Exemplos:

Radiciação de Números Inteiros a) (lembre-se que 5 x 5 = 25) b)(lembre-se que 7 x 7 = 49)

c)(lembre-se não existe raiz quadrada de número inteiro negativo)

d)(observe que neste caso o menos está fora da raiz, sendo assim existe a raiz) e)(lembre-se (-2) x (-2) x (-2) = - 8) Neste caso é raiz cúbica e não raiz quadrada.

d)(lembre-se (2) x (2) x (2) = 8)

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Resolvendo Expressões Numéricas com Números Inteiros a) - [ - 3 + 2 - ( 4 - 5 - 6)] = - [ - 3 + 2 - 4 + 5 + 6]

= 3 - 2 + 4 - 5 - 6

= 7 - 13

= - 6

Primeiro eliminamos os parênteses, como antes dele tinha um sinal de menos todos os números saíram com sinais trocados, logo depois eliminamos os colchetes, como também tinha um sinal de menos todos os números saíram com os sinais trocados, somamos os positivo e o negativos b) { - 5 + [ - 8 + 3 x (-4 + 9) - 3]} = { - 5 + [ - 8 + 3 x ( + 5 ) - 3]}

= { - 5 + [ - 8 + 15 - 3]}

= {- 5 - 8 + 15 - 3}

= - 5 - 8 + 15 - 3

= - 16 + 15

= - 1

Primeiro resolvemos dentro do parênteses, depois multiplicamos o resultado por 3, logo após eliminamos os colchetes, como antes deste tinha um sinal de mais, todo os números saíram sem trocar sinal, eliminamos também as chaves, observe que também não teve troca de sinais pelo mesmo motivo anterior, juntamos positivo e negativos.

Conjuntos numéricos: racionais e reais

Exemplo: conjunto dos números pares positivos: P = {2,4,6,8,10,12,}.
P = { x | x é par e positivo } = { 2,4,6,}.

Conjunto Conceito primitivo; não necessita, portanto, de definição. Esta forma de representar um conjunto, pela enumeração dos seus elementos, chama-se forma de listagem. O mesmo conjunto também poderia ser representado por uma propriedade dos seus elementos ou seja, sendo x um elemento qualquer do conjunto P acima, poderíamos escrever: Relação de pertinência

Sendo x um elemento do conjunto A , escrevemos x 0 A , onde o símbolo 0significa "pertence a". Sendo y um elemento que não pertence ao conjunto A , indicamos esse fato com a notação y A. O conjunto que não possui elementos , é denominado conjunto vazio e representado por φ . Com o mesmo raciocínio, e opostamente ao conjunto vazio, define-se o conjunto ao qual pertencem todos os elementos, denominado conjunto universo, representado pelo símbolo U. Assim é que, pode-se escrever como exemplos:

Subconjunto

Se todo elemento de um conjunto A também pertence a um conjunto B, então dizemos que

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