Introdução a Equações Diferenciais

Introdução a Equações Diferenciais

(Parte 1 de 10)

Introdução às Equações Diferenciais − Um roteiro para estudo −

Luiz Fernando Provenzano − UFMT − Versão 03/2010

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

Equações Diferenciais - Um Pouco de História3
A Natureza das Equações Diferenciais8
Definição e Notações8
Resolução de uma Equação Diferencial10
Tipos de Soluções de uma Equação Diferencial1
Interpretação Geométrica da Solução de uma Equação Diferencial12
Problemas de Valor Inicial e Problemas de Valores de Contorno13
Teorema de Existência e Unicidade14
Equações Diferenciais Ordinárias de 1a Ordem e 1o Grau18
Classificação18
1o Tipo: Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis18
Sobre a Curva Tractriz20
2o Tipo: Equações Diferenciais Homogêneas21
Separáveis25
4o Tipo: Equações Diferenciais Exatas27
Fator Integrante30
Pesquisa de um Fator Integrante30
5o Tipo: Equações Diferenciais Lineares32
Algumas Aplicações das Equações Diferenciais Ordinárias35
de 1a Ordem e 1o Grau35
Exercícios Gerais de Aplicações39
Equações Diferenciais Ordinárias de Ordem Superior à Primeira43
Tipos Especiais de Equações Diferenciais de 2a Ordem43
Problema de Perseguição (Uma aplicação)47
Equações Diferenciais Lineares de Ordem N52
Constantes53
Constantes57
Determinação de uma Solução Particular Experimental (yp)58
Método dos Coeficientes a Determinar (ou Método de Descartes)58
Família de uma função58
Construção de uma Solução Particular Experimental (yp)59

Índice 3o Tipo: Equações Diferenciais Redutíveis às Homogêneas ou às de Variáveis Equações Diferenciais Lineares de Ordem N, Homogêneas e de Coeficientes Equações Diferenciais Lineares de Ordem N, Não-Homogêneas e de Coeficientes Aplicações de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes

Constantes64
Vibrações Mecânicas e Elétricas64
Sistemas de Equações Diferenciais73
Exercícios7
Noções de Equações Diferenciais Parciais82
Sobre a Resolução83
O Problema de Condução de Calor e o Método de Separação de Variáveis86
Anexos90
Fórmulas Básicas91
Sistemas de Unidades93
Bibliografia95

Determinação de uma Equação Diferencial Parcial a partir de uma Solução dada...84 2

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando

Equações Diferenciais - Um Pouco de História

De várias maneiras, as equações diferenciais são o coração da análise e do cálculo, dois dos mais importantes ramos da matemática nos últimos 300 anos. Equações diferenciais são uma parte integral ou um dos objetivos de vários cursos de graduação de cálculo. Como uma ferramenta matemática importante para ciências físicas, a equação diferencial não tem igual. Assim é amplamente aceito que equações diferenciais são importantes em ambas: a matemática pura e a aplicada. A história sobre este assunto é rica no seu desenvolvimento e é isto que estaremos olhando aqui.

Os fundamentos deste assunto parecem estar dominados pelas contribuições de um homem, Leonhard Euler, que podemos dizer que a história deste assunto começa e termina com ele. Naturalmente, isto seria uma simplificação grosseira do seu desenvolvimento. Existem vários contribuintes importantes, e aqueles que vieram antes de Euler foram necessários para que ele pudesse entender o cálculo e a análise necessários para desenvolver muitas das idéias fundamentais. Os contribuintes depois de Euler refinaram seu trabalho e produziram idéias inteiramente novas, inacessíveis à perspectiva do século XVIII de Euler e sofisticadas além do entendimento de apenas uma pessoa.

Esta é a história do desenvolvimento das equações diferenciais. Daremos uma pequena olhada nas pessoas, nas equações, nas técnicas, na teoria e nas aplicações.

A história começa com os inventores do cálculo, Fermat, Newton, e Leibniz. A partir do momento que estes matemáticos brilhantes tiveram entendimento suficiente e notação para a derivada, esta logo apareceu em equações e o assunto nasceu. Contudo, logo descobriram que as soluções para estas equações não eram tão fáceis. As manipulações simbólicas e simplificações algébricas ajudaram apenas um pouco. A integral (antiderivada) e seu papel teórico no Teorema Fundamental do Cálculo ofereceu ajuda direta apenas quando as variáveis eram separadas, em circunstâncias muito especiais. O método de separação de variáveis foi desenvolvido por Jakob Bernoulli e generalizado por Leibniz. Assim estes pesquisadores iniciais do século 17 focalizaram estes casos especiais e deixaram um desenvolvimento mais geral das teorias e técnicas para aqueles que os seguiram.

Ao redor do início do século XVIII, a próxima onda de pesquisadores de equações diferenciais começou a aplicar estes tipos de equações a problemas em astronomia e ciências físicas. Jakob Bernoulli estudou cuidadosamente e escreveu equações diferenciais para o movimento planetário, usando os princípios de gravidade e momento desenvolvidos por Newton. O trabalho de Bernoulli incluiu o desenvolvimento da catenária e o uso de coordenadas polares. Nesta época, as equações diferenciais estavam interagindo com outros tipos de matemática e ciências para resolver problemas aplicados significativos. Halley usou os mesmos princípios para analisar a trajetória de um cometa que hoje leva seu nome. O irmão de Jakob, Johann Bernoulli, foi provavelmente o primeiro matemático a entender o cálculo de Leibniz e os princípios de mecânica para modelar matematicamente fenômenos físicos usando equações diferenciais e a encontrar suas soluções. Ricatti (1676--1754) começou um estudo sério de uma equação em particular, mas foi limitado pelas teorias do seu tempo para casos especiais da equação que leva hoje seu nome. Os Bernoullis, Jakob, Johann, e Daniel, todos estudaram os casos da equação de Ricatti também. Na época, Taylor usou séries para "resolver" equações diferenciais, outros desenvolveram e usaram estas séries para

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando vários propósitos. Contudo, o desenvolvimento de Taylor de diferenças finitas começou um novo ramo da matemática intimamente relacionado ao desenvolvimento das equações diferenciais. No início do século XVIII, este e muitos outros matemáticos tinham acumulado uma crescente variedade de técnicas para analisar e resolver muitas variedades de equações diferenciais. Contudo, muitas equações ainda eram desconhecidas em termos de propriedades ou métodos de resolução. Cinqüenta anos de equações diferenciais trouxeram progresso considerável, mas não uma teoria geral.

O desenvolvimento das equações diferenciais precisava de um mestre para consolidar e generalizar os métodos existentes e criar novas e mais poderosas técnicas para atacar grandes famílias de equações. Muitas equações pareciam amigáveis, mas tornaram-se decepcionantemente difíceis. Em muitos casos, técnicas de soluções iludiram perseguidores por cerca de 50 anos, quando Leonhard Euler chegou à cena das equações diferenciais. Euler teve o benefício dos trabalhos anteriores, mas a chave para seu entendimento era seu conhecimento e percepção de funções. Euler entendeu o papel e a estrutura de funções, estudou suas propriedades e definições. Rapidamente achou que funções eram a chave para entender equações diferenciais e desenvolver métodos para suas resoluções. Usando seu conhecimento de funções, desenvolveu procedimentos para soluções de muitos tipos de equações. Foi o primeiro a entender as propriedades e os papéis das funções exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e de muitas outras funções elementares. Euler também desenvolveu várias funções novas baseadas em soluções em séries de tipos especiais de equações diferenciais. Suas técnicas de conjecturar e encontrar os coeficientes indeterminados foram etapas fundamentais para desenvolver este assunto. Em 1739, desenvolveu o método de variação de parâmetros. Seu trabalho também incluiu o uso de aproximações numéricas e o desenvolvimento de métodos numéricos, os quais proveram "soluções" aproximadas para quase todas as equações. Euler então continuou aplicando o trabalho em mecânica que levou a modelos de equações diferenciais e soluções. Ele era um mestre que este assunto necessitava para se desenvolver além de seu início primitivo, tornando-se um assunto coeso e central ao desenvolvimento da matemática aplicada moderna.

Depois de Euler vieram muitos especialistas que refinaram ou estenderam muitas das idéias de Euler. Em 1728, Daniel Bernoulli usou os métodos de Euler para ajudá-lo a estudar oscilações e as equações diferenciais que produzem estes tipos de soluções. O trabalho de D'Alembert em física matemática envolveu equações diferenciais parciais e explorações por soluções das formas mais elementares destas equações. Lagrange seguiu de perto os passos de Euler, desenvolvendo mais teoria e estendendo resultados em mecânica, especialmente equações de movimento (problema dos três corpos) e energia potencial. As maiores contribuições de Lagrange foram provavelmente na definição de função e propriedades, o que manteve o interesse em generalizar métodos e analisar novas famílias de equações diferenciais. Lagrange foi provavelmente o primeiro matemático com conhecimento teórico e ferramentas suficientes para ser um verdadeiro analista de equações diferenciais. Em 1788, ele introduziu equações gerais de movimento para sistemas dinâmicos, hoje conhecidas como equações de Lagrange. O trabalho de Laplace sobre a estabilidade do sistema solar levou a mais avanços, incluindo técnicas numéricas melhores e um melhor entendimento de integração. Em 1799, introduziu as idéias de um laplaciano de uma função. Laplace claramente reconheceu as raízes de seu trabalho quando escreveu "Leia Euler, leia Euler, ele é nosso mestre". O trabalho de Legendre sobre equações diferenciais foi motivado pelo movimento de projéteis, pela primeira vez levando em conta novos fatores tais como resistência do ar e velocidades iniciais. Lacroix foi o próximo a deixar sua marca. Trabalhou em avanços nas equações diferenciais parciais e incorporou muito dos avanços, desde os tempos de Euler, ao seu livro. A contribuição principal de Lacroix foi

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando resumir muitos dos resultados de Euler, Lagrange, Laplace, e Legendre. O próximo na ordem foi Fourier. Sua pesquisa matemática fez contribuições ao estudo e cálculos da difusão de calor e à solução de equações diferenciais. Muito deste trabalho aparece em The Analytical Theory of Heat (A Teoria Analítica do Calor,1822) de Fourier, no qual ele fez uso extensivo da série que leva seu nome. Este resultado foi uma ferramenta importante para o estudo de oscilações. Fourier, contudo, pouco contribuiu para a teoria matemática desta série, a qual era bem conhecida anteriormente por Euler, Daniel Bernoulli, e Lagrange. As contribuições de Charles Babbage vieram por uma rota diferente. Ele desenvolveu uma máquina de calcular chamada de Máquina de Diferença que usava diferenças finitas para aproximar soluções de equações.

O próximo avanço importante neste assunto ocorreu no início do século XIX, quando as teorias e conceitos de funções de variáveis complexas se desenvolveram. Os dois contribuintes principais deste desenvolvimento foram Gauss e Cauchy. Gauss usou equações diferenciais para melhorar as teorias das órbitas planetárias e gravitação. Gauss estabeleceu a teoria do potencial como um ramo coerente da matemática. Também reconheceu que a teoria das funções de uma variável complexa era a chave para entender muitos dos resultados importantes das equações diferenciais aplicadas. Cauchy aplicou equações diferenciais para modelar a propagação de ondas sobre a superfície de um líquido. Os resultados são agora clássicos em hidrodinâmica. Inventou o método das características, o qual é importante na análise e solução de várias equações diferenciais parciais. Cauchy foi o primeiro a definir completamente as idéias de convergência e convergência absoluta de séries infinitas e iniciou uma análise rigorosa de cálculo e equações diferenciais. Também foi o primeiro a desenvolver uma teoria sistemática para números complexos e a desenvolver a transformada de Fourier para prover soluções algébricas para equações diferenciais.

Depois destas grandes contribuições de Gauss e Cauchy, outros puderam refinar estas teorias poderosas e aplicá-las a vários ramos da ciência. Os trabalhos iniciais de Poisson em mecânica apareceram em Traité de mécanique em 1811. Aplicou seu conhecimento de equações diferenciais a aplicações em física e mecânica, incluindo elasticidade e vibrações. Muito de seu trabalho original foi feito na solução e análise de equações diferenciais. Outro aplicador destas teorias foi George Green. O trabalho de Green em fundamentos matemáticos de gravitação, eletricidade e magnetismo foi publicado em 1828 em An Essay on the Application of Mathematical Analysis to Electricity and Magnetism. A matemática de Green proveu a base na qual Thomson, Stokes, Rayleigh, Maxwell e outros construíram a teoria atual do magnetismo. Bessel era um amigo de Gauss e aplicou seu conhecimento sobre equações diferenciais à astronomia. Seu trabalho sobre funções de Bessel foi feito para analisar perturbações planetárias. Posteriormente estas construções foram usadas para resolver equações diferenciais. Ostrogradsky colaborou com Laplace, Legendre, Fourier, Poisson e Cauchy enquanto usava equações diferenciais para desenvolver teorias sobre a condução do calor. Joseph Liouville foi o primeiro a resolver problemas de contorno resolvendo equações integrais equivalentes, um método refinado por Fredholm e Hilbert no início da década de 1900. O trabalho de Liouville sobre a teoria de integrais de funções elementares foi uma contribuição substancial para soluções de equações diferenciais. As investigações teóricas e experimentais de Stokes cobriram hidrodinâmica, elasticidade, luz, gravitação, som, calor, meteorologia e física solar. Ele usou modelos de equações diferenciais em todos os campos de estudo.

Na metade do século XIX, uma nova estrutura era necessária para atacar sistemas de mais de uma equação diferencial. Vários matemáticos vieram em socorro. Jacobi desenvolveu a teoria de determinantes e transformações em uma ferramenta poderosa para avaliar integrais múltiplas e resolver equações diferenciais. A estrutura do

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando jacobiano foi desenvolvida em 1841. Como Euler, Jacobi era um calculador muito hábil e um perito numa variedade de campos aplicados. Cayley também trabalhou com determinantes e criou uma teoria para operações com matrizes em 1854. Cayley era um amigo de J. J. Sylvester e foi para os Estados Unidos para lecionar na Universidade Johns Hopkins entre 1881 e 1882. Cayley publicou mais de 900 artigos cobrindo muitas áreas da matemática, dinâmica teórica e astronomia. Cayley criou a noção de matrizes em 1858 e desenvolveu boa parte da teoria de matrizes nas décadas posteriores. Josiah Gibbs fez contribuições à termodinâmica, ao eletromagnetismo e à mecânica. Por seu trabalho nos fundamentos de sistemas de equações, Gibbs é conhecido como o pai da análise vetorial.

À medida que o final do século XIX se aproximava, os principais esforços em equações diferenciais se moveram para um plano teórico. Em 1876, Lipschitz (1832-- 1903) desenvolveu teoremas de existência para soluções de equações diferenciais de primeira ordem. O trabalho de Hermite foi desenvolver a teoria de funções e soluções de equações. À medida que a teoria se desenvolveu, as seis funções trigonométricas básicas foram provadas transcendentais, assim como as inversas das funções trigonométricas e as funções exponenciais e logarítmicas. Hermite mostrou que a equação de quinta ordem poderia ser resolvida por funções elípticas. Enquanto seu trabalho era teórico, os polinômios de Hermite e as funções de Hermite se mostraram posteriormente muito úteis para resolver a equação de onda de Schrödinger e outras equações diferenciais. O próximo a construir fundamento teórico foi Bernhard Riemann. Seu doutorado foi obtido, sob a orientação de Gauss, na teoria de variáveis complexas. Riemann também teve o benefício de trabalhar com o físico Wilhelm Weber. O trabalho de Riemann em equações diferenciais contribuiu para resultados em dinâmica e física. No final da década de 1890, Gibbs escreveu um artigo que descreveu a convergência e o "fenômeno de Gibbs" da série de Fourier. O próximo contribuinte teórico importante foi Kovalevsky, a maior matemática antes do século X. Depois de vencer dificuldades consideráveis por causa da discriminação de seu gênero, ela teve oportunidade de estudar com Weierstrass. No início de sua pesquisa, completou três artigos sobre equações diferenciais parciais. No seu estudo da forma dos anéis de Saturno, ela se apoiou no trabalho de Laplace, cujo trabalho ela generalizou. Basicamente, o trabalho de Kovalevsky era sobre a teoria de equações diferenciais parciais e um resultado central sobre a existência de soluções ainda leva seu nome. Ela publicou vários artigos sobre equações diferenciais parciais. Posteriormente, no século X, trabalhos teóricos de Fredholm e Hilbert refinaram os resultados iniciais e desenvolveram novas classificações para o entendimento posterior de algumas das mais complicadas famílias de equações diferenciais.

O próximo impulso foi no desenvolvimento de métodos numéricos mais robustos e eficientes. Carl Runge desenvolveu métodos numéricos para resolver as equações diferenciais que surgiram no seu estudo do espectro atômico. Estes métodos numéricos ainda são usados hoje. Ele usou tanta matemática em sua pesquisa que físicos pensaram que fosse matemático, e fez tanta física que os matemáticos pensaram que fosse físico. Hoje seu nome está associado com os métodos de Runge-Kutta para resolver equações diferenciais. Kutta, outro matemático aplicado alemão, também é lembrado por sua contribuição à teoria de Kutta-Joukowski de sustentação de aerofólios em aerodinâmica, baseada em equações diferenciais. Na última metade do século X, muitos matemáticos e cientistas da computação implementaram métodos numéricos para equações diferenciais em computadores para dar soluções rápidas e eficientes para sistemas complicados, sobre geometrias complexas, de grande escala. Richard Courant e Garrett Birkhoff foram pioneiros bem sucedidos neste esforço.

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seguidores

Equações não lineares foram o próximo grande obstáculo. Poincaré, o maior matemático de sua geração, produziu mais de 30 livros técnicos sobre física matemática e mecânica celeste. A maioria destes trabalhos envolveu o uso e análise de equações diferenciais. Em mecânica celeste, trabalhando com os resultados do astrônomo americano George Hill, conquistou a estabilidade das órbitas e iniciou a teoria qualitativa de equações diferenciais não lineares. Muitos resultados de seu trabalho foram as sementes de novas maneiras de pensar, as quais floresceram, tais como análise de séries divergentes e equações diferenciais não lineares. Poincaré entendeu e contribuiu em quatro áreas principais da matemática - análise, álgebra, geometria e teoria de números. Ele tinha um domínio criativo de toda a matemática de seu tempo e foi, provavelmente, a última pessoa a estar nesta posição. No século X, George Birkhoff usou as idéias de Poincaré para analisar sistemas dinâmicos grandes e estabelecer uma teoria para a análise das propriedades das soluções destas equações. Na década de 1980, a teoria emergente do caos usou os princípios desenvolvidos por Poincaré e seus

http://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/topics/diffeq.htm

Fonte: em setembro de 2008.

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A Natureza das Equações Diferenciais

Muitas das leis gerais da natureza, na física, na química, na biologia, na astronomia encontram a sua expressão mais natural na linguagem das equações diferenciais. Aplicações também surgem na matemática em si, especialmente na geometria, na engenharia, na economia, e em muitos outros campos da ciência aplicada.

É fácil de entender as razões que estão por detrás desta grande utilização de equações diferenciais. Para tanto, é bom relembrar que se ()yfx= é uma dada função, então a sua derivada dydx pode ser interpretada como a taxa (ou razão) de variação de em relação a y x.

Em qualquer processo natural, as variáveis envolvidas e suas taxas de variação estão interligadas com uma ou outras por meio de princípios básicos científicos que governam o processo. Quando esta relação é expressa em símbolos matemáticos, o resultado é freqüentemente uma equação diferencial. Para ilustrar estas observações vejamos o exemplo que se segue.

De acordo com a Segunda Lei de Newton do movimento, a aceleração a de um corpo de massa m é proporcional à força total F agindo sobre ele, com 1m como a

=ou ma.F= (1)

constante de proporcionalidade, assim, Fam

Suponhamos, por hipótese, que um corpo de massa m cai livremente sobre a influência da gravidade. Nesse caso a única força que age sobre ele é m.g onde g é a aceleração devido à gravidade. Se y(t) é a distância abaixo do corpo para alguma altura

, e (1) torna-se 2

=(2)

Se nós alterarmos a situação assumindo que o ar exerce uma força de resistência proporcional à velocidade, então a força total exercida sobre o corpo é .dymgkdt − e (1) torna-se

2 .dy dymm g k dtdt

=−ou 2

dtdt

+=mg(3)

As equações (2) e (3) são as equações diferenciais que expressam as atribuições essenciais dos processos físicos considerados.

Definição e Notações

Definição: Uma equação envolvendo as derivadas (ou diferenciais) de uma ou mais 8

Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando variáveis dependentes em relação a uma ou mais variáveis independentes é chamada de equação diferencial.

Exemplos:
dy ;6. ()()xyyyyy5''3''35=++ ;
2; 7. 0..=−dxydyxyxdtdydt
dx+=+2;
yd ;8. 2
ydey ;9. uvyx
2 48. 0ds dsts s
= ;10. 02222

z .

yd,,xw∂∂, 22yz∂∂, ... , nos parece ser
mais vantajosa sobre a notação ,, pois, explicita claramente as variáveis dependentes e as independentes.

Ordem de uma Equação Diferencial

A ordem de uma equação diferencial é dada pela ordem da derivada de mais alta ordem que nela aparece.

Grau de uma Equação Diferencial

O grau de uma equação diferencial, admitindo-se a mesma escrita na forma racional inteira em relação às derivadas, é dado pelo grau da derivada de mais alta ordem que nela aparece, ou seja, é o maior dos expoentes a que está elevada a derivada de mais alta ordem contida na equação.

Exemplo:

yd⇒ 3

ydydx

⇒ 3a ordem e 2o grau.

Preencha o quadro abaixo, com respeito à ordem e o grau, dos dez exemplos apresentados anteriormente:

Exemplo Ordem Grau Exemplo Ordem Grau 1 6 2 7 3 8 4 9 5 10

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