Exercícios de Transformações Lineares

Tanformações Lineares
(Parte 1 de 3)



Transformação Linear
Sejam V e W espaços vetoriais reais. Dizemos que uma função WVT→: é uma transformação linear se a função T preserva as operações de adição e de multiplicação por escalar, isto é, se os seguintes axiomas são satisfeitos:
TL2. Para todo Vv∈e para todo R∈k, )()(vTkvkT⋅=⋅ |
Exemplos:
Assim, a transformação linear T preserva a operação de adição de vetores |
Assim, a transformação linear T preserva a operação de multiplicação por escalar |
T é uma transformação linear (Verifique !) Esta transformação linear associa a cada vetor do R3 sua projeção ortogonal sobre o plano XY.
(x, y) y x X
-y T(x, y)=(-x, -y) T
A transformação linear WVT→:0 tal que WvTv00=)( a é denominada Transformação Nula. Seja a transformação linear WVT→:. Se os conjuntos V e W são iguais, WV=, então T é denominada um Operador Linear.
As transformações lineares R→VT: são denominadas Funcionais Lineares |
O operador linear VVIV→: tal que vvIvV=)( a é denominado Operador Identidade.
Y (x, y, z)
Y T(x, y, z)=(x, y, 0)
T(v) T(u)
T(v+u) v v+u
T(v) v+u
T(v+u) u T(u)
T(u) T(v) v+u u v
T(v+u) Y
Portanto, se WVT00≠)( então T não é uma transformação linear.
2. Seja WVT→: uma transformação linear.
Vvvvn∈,...,,21 e para quaisquer R∈nkkk,...,,21 |
Corolário: Sabendo-se as imagens dos vetores de uma base do espaço vetorial V é possível determinar a transformação linear WVT→:.
T(u)
T(v) v+u
T(v+u) Y
que define este operador?
Portanto, qualquer vetor 2R∈v pode ser escrito como combinação linear destes vetores.
Aplicando o operador linear,
),(xyxTyxT xyxyxx
Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear Núcleo de uma transformação linear WVT→: é o conjunto de vetores do espaço vetorial V cuja
N(T) Im(T)
Propriedades 1. )(TN é um subespaço vetorial de V.
2. )Im(T é um subespaço vetorial de W. 3. Teorema do Núcleo e da Imagem : )Im(dim)(dimdimTTNV+=
Representação gráfica,
N(T) : x+y=0
Y : Im(T) Z
T R2
Transformação Linear Injetora Uma transformação linear WVT→: é injetora, se para quaisquer Vuv∈,, se uv≠ então
Se ),,(),,(),(),(tztzyxyxtzTyxT+=+∴= |
Então tzyx ty zx
)}0,0(),2(|),{()}0,0(),(|),{()( =+∈==∈= yxxyxyxTyxTN 2 R |
Transformação Linear Sobrejetora
Uma transformação linear WVT→: é sobrejetora se o conjunto imagem de T é o conjunto W, isto é, WT=)Im(.
Exemplo: O operador linear em R2 do exemplo anterior é injetor |
Transformação Linear Bijetora – Isomorfismo Uma transformação linear WVT→: é bijetora quando for injetora e sobrejetora. Transformações lineares bijetoras são também denominadas isomorfismos e, conseqüentemente, V e W são denominados espaços vetoriais isomorfos.
transformação VWT→−:1 tal que WITT=−1o e VITT=−o1 | A transformação 1−T é |
Uma transformação WVT→: é denominada de transformação invertível quando existir uma denominada a transformação inversa de T. As transformações lineares bijetoras são transformações lineares invertíveis.
invertível |
Teorema: Seja WVT→: uma transformação. A transformação T é bijetora se e somente se T é
linear |
Então, )1,0()()0,2(),(2−⋅−+⋅=yx |
1−⋅−+⋅=−−yTyxTx | |
)1,0()()0,2(112−⋅−+⋅=−−TyTx |
Logo, a lei é ()yyxTx−=−,),(21 |
T(v)=w V
Matriz Associada a uma Transformação Linear
Sejam V um espaço vetorial n-dimensional, W um espaço vetorial m-dimensional e WVT→: uma transformação linear.
n vkvkvkv ⋅++⋅+⋅= | 21 |
m m wa...wawavT ... wa...wawavT wa...wawavT
(3)
nnakakakl 121 | +++= |
nnakakakl 22222112 | +++= |
mnnmmm akakakl +++= | 21 |
Comparando (2) e (4), tem-se: Na forma matricial:
n n m k
l ... l l ou seja,
A matriz ABT][ é a matriz associada a transformação T em relação as bases A e B. Exemplo: Seja a transformação linear : 32RR→Ttal que ),,(),(yxyxyxT+=. Sendo A a base
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