Tanformações Lineares

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(Parte 1 de 3)

Transformação Linear

Sejam V e W espaços vetoriais reais. Dizemos que uma função WVT→: é uma transformação linear se a função T preserva as operações de adição e de multiplicação por escalar, isto é, se os seguintes axiomas são satisfeitos:

TL2. Para todo Vv∈e para todo R∈k, )()(vTkvkT⋅=⋅

Exemplos:

Assim, a transformação linear T preserva a operação de adição de vetores
Assim, a transformação linear T preserva a operação de multiplicação por escalar

T é uma transformação linear (Verifique !) Esta transformação linear associa a cada vetor do R3 sua projeção ortogonal sobre o plano XY.

(x, y) y x X

-y T(x, y)=(-x, -y) T

A transformação linear WVT→:0 tal que WvTv00=)( a é denominada Transformação Nula. Seja a transformação linear WVT→:. Se os conjuntos V e W são iguais, WV=, então T é denominada um Operador Linear.

As transformações lineares R→VT: são denominadas Funcionais Lineares

O operador linear VVIV→: tal que vvIvV=)( a é denominado Operador Identidade.

Y (x, y, z)

Y T(x, y, z)=(x, y, 0)

T(v) T(u)

T(v+u) v v+u

T(v) v+u

T(v+u) u T(u)

T(u) T(v) v+u u v

T(v+u) Y

Portanto, se WVT00≠)( então T não é uma transformação linear.

2. Seja WVT→: uma transformação linear.

Vvvvn∈,...,,21 e para quaisquer R∈nkkk,...,,21

Corolário: Sabendo-se as imagens dos vetores de uma base do espaço vetorial V é possível determinar a transformação linear WVT→:.

T(u)

T(v) v+u

T(v+u) Y

que define este operador?

Portanto, qualquer vetor 2R∈v pode ser escrito como combinação linear destes vetores.

Aplicando o operador linear,

),(xyxTyxT xyxyxx

Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear Núcleo de uma transformação linear WVT→: é o conjunto de vetores do espaço vetorial V cuja

N(T) Im(T)

Propriedades 1. )(TN é um subespaço vetorial de V.

2. )Im(T é um subespaço vetorial de W. 3. Teorema do Núcleo e da Imagem : )Im(dim)(dimdimTTNV+=

Representação gráfica,

N(T) : x+y=0

Y : Im(T) Z

T R2

Transformação Linear Injetora Uma transformação linear WVT→: é injetora, se para quaisquer Vuv∈,, se uv≠ então

Se ),,(),,(),(),(tztzyxyxtzTyxT+=+∴=

Então tzyx ty zx

)}0,0(),2(|),{()}0,0(),(|),{()( =+∈==∈= yxxyxyxTyxTN 2 R

Transformação Linear Sobrejetora

Uma transformação linear WVT→: é sobrejetora se o conjunto imagem de T é o conjunto W, isto é, WT=)Im(.

Exemplo: O operador linear em R2 do exemplo anterior é injetor

Transformação Linear Bijetora – Isomorfismo Uma transformação linear WVT→: é bijetora quando for injetora e sobrejetora. Transformações lineares bijetoras são também denominadas isomorfismos e, conseqüentemente, V e W são denominados espaços vetoriais isomorfos.

transformação VWT→−:1 tal que WITT=−1o e VITT=−o1A transformação 1−T é

Uma transformação WVT→: é denominada de transformação invertível quando existir uma denominada a transformação inversa de T. As transformações lineares bijetoras são transformações lineares invertíveis.

invertível

Teorema: Seja WVT→: uma transformação. A transformação T é bijetora se e somente se T é

linear
Então, )1,0()()0,2(),(2−⋅−+⋅=yx
1−⋅−+⋅=−−yTyxTx
)1,0()()0,2(112−⋅−+⋅=−−TyTx
Logo, a lei é ()yyxTx−=−,),(21

T(v)=w V

Matriz Associada a uma Transformação Linear

Sejam V um espaço vetorial n-dimensional, W um espaço vetorial m-dimensional e WVT→: uma transformação linear.

n vkvkvkv ⋅++⋅+⋅=21

m m wa...wawavT ... wa...wawavT wa...wawavT

(3)

nnakakakl 121+++=
nnakakakl 22222112+++=
mnnmmm akakakl +++=21

Comparando (2) e (4), tem-se: Na forma matricial:

n n m k

l ... l l ou seja,

A matriz ABT][ é a matriz associada a transformação T em relação as bases A e B. Exemplo: Seja a transformação linear : 32RR→Ttal que ),,(),(yxyxyxT+=. Sendo A a base

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