Equações Diferenciais

Equações Diferenciais

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7.4 Exemplos Acerca das equações parciais lineares de segunda ordem

4. y uxx + 2x uxy + y uyy = 0 poderá ser parabólica, hiperbólica ou elíptica, dependendo da região do plano R2 .

7.5 Movimento rígido no plano e mudança de variáveis

Um movimento rígido no plano é a composição dos movimentos de: rotação e translação. Um movimento rígido no plano, pode ser escrito como

c d sendo que det(A) 6= 0. Observamos que não há necessidade que a transformação T seja linear.

7.6 Lema sobre o sinal do discriminante 1

7.6 Lema sobre o sinal do discriminante

Sob transformações afins equações parciais lineares elípticas, hiperbólicas e parabólicas preservam o mesmo tipo. Isto significa que se uma EDP linear de segunda ordem:

Auxx +Buxy +Cuyy +Dux +Euy +Fu+G = 0 for de um dos três tipos acima e sofrer uma mudança de variáveis através de uma transformação afim, de modo que o discriminante da nova EDP seja indicado por ∆1, então:

Isto garante que se a EDP original era de um tipo e sofreu um movimento rígido, a nova EDP linear será do mesmo tipo que a original.

Sugestão para a demonstração: 1. Tomar a mudança de variáveis

2. Com a substituição a nova EDP ficará:

onde

3. Concluir que

7.7 Teorema

Seja a EDP linear com os coeficientes constantes reais A, B, C, D, E e F, dada por:

tal que A2 + B2 + C2 6= 0 e G = G(x,y) uma função real definida sobre um conjunto M ⊂ R2. Se esta equação é, respectivamente, hiperbólica, elíptica ou parabólica, então existe uma transformação T da forma:

de modo que nessas novas coordenadas, a equação:

1. será hiperbólica e terá a forma:

2. será elíptica e terá a forma:

3. será parabólica e terá a forma:

imagem M1 = T(M) de uma transformação afim T definida sobre M ⊂ R2. A solução do problema proposto está ligada ao fato de podermos impor condições a A1, B1 e C1 nas mudanças de variáveis realizadas para simplificar a obtenção da solução da EDP dada.

Seção 8 A Equação Diferencial Parcial de Euler 13

8 A Equação Diferencial Parcial de Euler

8.1 A equação de Euler Uma importante EDP linear de segunda ordem é a Equação de Euler αzxx + βzxy + γzyy = 0 onde α, β e γ são números reais. Usando as mudanças de variáveis:

e a regra da cadeia, poderemos escrever:

e assim temos: ∂z

De forma análoga, temos:

ou em uma notação mais simples:

8.1 A equação de Euler 14

Analogamente:

ou mais simplesmente:

Do mesmo modo: ∂2z

ou ainda:

Substituindo estas derivadas parciais na EDP original teremos:

8.2 Exemplo com mudanças de variáveis 15 e reunindo todos os coeficientes das derivadas duplas, poderemos escrever a EDP dada na forma simplificada:

A zuu + B zuv + C zvv = 0 onde

Impondo valores sobre a, b, c e d, poderemos escrever estes novos coeficientes A, B e C de modo a simplificar a nova equação parcial. Se A = 0 = B, teremos um sistema:

Podemos obter valores a, b, c e d que satisfaçam a este sistema com o uso da fórmula de Bhaskara. Por exemplo:

Observamos que a manipulação dos coeficientes da EDP original pode ser difícil mas para entender como funciona o processo consideraremos um caso particular.

8.2 Exemplo com mudanças de variáveis Seja a EDP linear de 2a. ordem:

8.3 Forma alternativa para obter mudanças de variáveis 16

Substituindo estas derivadas na EDP, teremos simplesmente:

Com as variáveis originais obtemos a solução:

8.3 Forma alternativa para obter mudanças de variáveis Consideremos a mesma EDP linear de segunda ordem:

6zxx − 5zxy − 4zyy = 0 Tomemos a mudança de variável m = ax + by e vamos admitir que z(x,y) = eax+by seja solução da EDP dada. Dessa forma, zxx = a2eax+by, zxy = abeax+by, zyy = b2eax+by Substituindo estas expressões na EDP dada, teremos:

Isto significa que a EDP terá soluções se existirem valores reais ou complexos a e b satisfazendo a relação

8.4 Observação sobre as equações características 17

Podemos realizar infinitas escolhas para a e b de modo que estas relações sejam satisfeitas. Na primeira relação, para evitar a presença de frações, tomaremos a = 4 e b = 3. Na segunda relação, tomaremos a = 1 e b = −2. Dessa forma, as nossas mudanças de variáveis serão indicadas por: m = 4x+3y e n = 1x−2y

Com estas substituições na EDP, teremos simplesmente:

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