Elementos de Matemática - Funções e Sequências, Notas de estudo de Matemática

Baixe Elementos de Matemática - Funções e Sequências e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! Elementos de Matemática Roteiro no.2 para as atividades didáticas de 2007 Versão compilada no dia 27 de Abril de 2007. Departamento de Matemática - UEL Prof. Ulysses Sodré E-mail: ulysses@matematica.uel.br Matemática Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/ Resumo: Notas de aulas constrúıdas com materiais usados em nossas aulas na UEL. Elas devem ser usadas como roteiro para as aulas e não espero que elas venham a substituir qualquer livro sobre o assunto. Alguns conceitos foram obtidos em livros citados na Bibliografia, mas os assuntos foram bastante modificados. Em português, há pouco material de doḿınio público, mas em inglês existe muito material que pode ser obtido na Internet. Sugiro que o leitor pesquise para obter materiais gratuitos para os seus estudos. Mensagem: ‘ No prinćıpio era o Verbo, e o Verbo estava com Deus, e o Verbo era Deus. Ele estava no prinćıpio com Deus. Todas as coisas foram feitas por intermédio dele, e sem ele nada do que foi feito se fez. Nele estava a vida, e a vida era a luz dos homens; a luz resplandece nas trevas, e as trevas não prevaleceram contra ela. (...) Estava ele no mundo, e o mundo foi feito por intermédio dele, e o mundo não o conheceu. Veio para o que era seu, e os seus não o receberam. Mas, a todos quantos o receberam, aos que crêem no seu nome, deu-lhes o poder de se tornarem filhos de Deus; os quais não nasceram do sangue, nem da vontade da carne, nem da vontade do varão, mas de Deus. E o Verbo se fez carne, e habitou entre nós (...)’ A B́ıblia Sagrada, João 1:1-15 Conteúdo 1 Relações e Funções 1 1.1 Relações e Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Imagem direta e Imagem inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Trabalho sobre alguns tipos de funções reais . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Relações e classes de equivalência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5 Relação de ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Seqüências reais 11 2.1 Seqüências reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Médias: aritmética, geométrica e harmônica . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Médias versus progressões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4 Harmônico global e suas aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.5 Desigualdades envolvendo as médias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.6 Aplicações geométricas das desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 Seqüências Aritméticas 18 3.1 Seqüências aritméticas e PA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.2 Aplicações à Matemática Financeira: juros simples . . . . . . . . . . . . . . 23 4 Seqüências Geométricas 24 4.1 Seqüências geométricas e PG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.2 Aplicações à Matemática Financeira: juros compostos . . . . . . . . . . . . 33 Bibliografia 34 Elementos de Matemática - No. 2 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL - 2007 1.1. RELAÇÕES E FUNÇÕES 3 denotado por Codom(f) é o conjunto B e a imagem de f , denotada por Im(f) é definida por f(A) = {y ∈ B, existe x ∈ A : y = f(x)} Exemplo 2. A função quadrática f : R → [0,∞) pode ser escrita como: G(f) = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ R, y ∈ R, y = x2} ou na forma f : R → R definida por f(x) = x2 sendo Dom(f) = R, Codom(f) = [0,∞) e Im(f) = [0,∞). Definição 7 (Restrição de uma aplicação). Seja f : A → B uma aplicação e S é um subconjunto de A. A restrição de f ao conjunto S, denotado por f |S : S → B, é a função que coincide com a função f sobre o conjunto S, isto é: f |S(x) = f(x), x ∈ S Exemplo 3. A função f : R → R, definida por f(x) = x2 pode ter a sua definição restrita ao conjunto [0,∞) de modo que f |[0,∞) : [0,∞) → R, f(x) = x2 Definição 8 (Extensão de uma função). Podemos estender uma aplicação f : A → B a um conjunto M ⊃ A tal que a aplicação estendida f : M → B coincida com a função original sobre o conjunto A, isto é: f(x) = f(x), x ∈ A Exemplo 4. A função f : R − {0} → R definida por f(x) = sin(x) x não tem sentido para x = 0, mas f pode ser estendida à função sinc sobre todo o conjunto R definindo f(0) = 1. Esta forma é muito usada em Análise. sinc(x) =  sin(x) x se x 6= 0 1 se x = 0 A função sinc é utilizada em transmissão digital de sinais. Definição 9 (Aplicação injetiva). Uma aplicação f : A → B é injetiva, injetora, uńıvoca ou 1-1, se: f(x1) = f(x2) implica que x1 = x2 ou equivalentemente, x1 6= x2 implica que f(x1) 6= f(x2) Elementos de Matemática - No. 2 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL - 2007 1.1. RELAÇÕES E FUNÇÕES 4 Exemplo 5. A função f : R → R, definida por f(x) = x2 não é injetiva, uma vez que f(−2) = f(2), mas a função f : [0,∞) → [0,∞) definida por f(x) = x2 é injetiva. Definição 10 (Aplicação sobrejetiva). Uma aplicação f : A → B é sobreje- tiva, sobre ou sobrejetora, se f(A) = B. Exemplo 6. A função f : R → R definida por f(x) = x2 não é sobrejetiva, pois não existe x ∈ R tal que f(x) = −2, mas a função f : [0,∞) → [0,∞) definida por f(x) = x2 é sobrejetiva. Definição 11 (Aplicação bijetiva). Uma aplicação f : A → B é bijetiva, bije- tora ou uma correspondência biuńıvoca, se f é injetiva e também sobrejetiva. Exemplo 7. A função f : R → R definida por f(x) = x2 não é bijetiva, mas a função f : [0,∞) → [0,∞) definida por f(x) = x2 é bijetiva. Observação 4 (A palavra sobre). Afirmar que f : A → B é uma aplicação injetiva sobre o conjunto B, é equivalente a afirmar que f é bijetiva. Definição 12 (Aplicação identidade). A identidade I : X → X é uma das mais importantes aplicações da Matemática, definida por I(x) = x para cada x ∈ X. Quando é importante indicar o conjunto X onde a identidade está atuando, a aplicação identidade I : X → X é denotada por IX . Definição 13 (Aplicação composta). Sejam as aplicações f : A → B e g : B → C. A aplicação composta g ◦ f : A → C é definida, para todo x ∈ A, por (g ◦ f)(x) = g(f(x)) Exemplo 8. Sejam f : R → R definida por f(x) = 2x e g : R → R definida por g(y) = y2. A composta g ◦ f : R → R é definida por (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(2x) = (2x)2 = 4x2 Tomando h : R → R, por h(x) = 4x2, poderemos escrever h = g ◦ f . Definição 14 (Aplicações inversas à esquerda e à direita). Sejam f : A → B, g : B → A aplicações e a ∈ A e b ∈ B elementos arbitrários. 1. g é uma inversa à esquerda para f se g ◦ f = IA, isto é, (g ◦ f)(a) = a. 2. g é uma inversa à direita para f se f ◦ g = IB, isto é, (f ◦ g)(b) = b. Elementos de Matemática - No. 2 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL - 2007 1.1. RELAÇÕES E FUNÇÕES 5 3. A aplicação f tem g como inversa se, g é uma inversa à esquerda e também à direita para f , isto é, (f ◦ g)(a) = IA(a) e (g ◦ f)(b) = IB(b). 4. Nem sempre existe a inversa de uma aplicação f , mas quando isto ocorre, ela é denotada por f−1. 5. Se a inversa f−1 existe, ela é única e a inversa da inversa de f é a própria f , isto é, (f−1)−1 = f . Teorema 1 (Propriedades das aplicações compostas). Sejam as aplicações f : A → B, g : B → C e h : C → D. Então, a composta dessas aplicações 1. é associativa, isto é (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h); 2. possui elemento neutro, isto é, f ◦ I = I ◦ f = f . Exerćıcio: Sejam as aplicações f : A → B e g : B → C e g ◦ f : A → C. 1. Mostrar que a composta de duas aplicações nem sempre é comutativa, isto é, em geral vale a relação f ◦ g 6= g ◦ f . 2. Mostrar que se f e g são injetivas, então a composta g ◦ f também é injetiva. 3. Mostrar que se f e g são sobrejetivas, então a composta g ◦ f também é sobrejetiva. 4. Mostrar que se f e g são bijetivas, então a composta g ◦ f também é bijetiva. 5. Mostrar que se g ◦ f é injetiva, então f é injetiva. 6. Mostrar que se g ◦ f é é sobrejetiva, então g é sobrejetiva. 7. Mostrar que se g ◦ f é injetiva e f é injetiva, então g é injetiva. 8. É verdade que a afirmação abaixo é verdadeira? “Se g ◦ f é injetiva e g é sobrejetiva, então f é sobrejetiva.” Em caso positivo, demonstre a afirmação. Em caso negativo, apresente um contra-exemplo. Elementos de Matemática - No. 2 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL - 2007 1.3. TRABALHO SOBRE ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES REAIS 8 tal que X − Y = {x1}, garantindo que f(X − Y ) = {f(x1} mas f(X) − f(Y ) = {y} − {y} = ∅, contrário à hipótese. Conclúımos que a afirmação é verdadeira. 3. f é injetiva se, e somente se, para quaisquer A, B ⊂ X tem-se f(A−B) = f(A)− f(B) Demonstração. Caso particular do ı́tem anterior com X =A e Y =B. 4. f é injetiva se, e somente se, para todo A ⊂ X tem-se f−1(f(A)) = A. Demonstração. Para qualquer função f , tem-se que f−1(f(A)) ⊂ A. Basta demonstrar que se f é injetiva então f−1(f(A)) ⊂ A. Tomando x ∈ f−1(f(A)), segue que f(x) ∈ f(A). Como f(x) está na imagem f(A), existe x1 ∈ A tal que f(x) = f(x1). Como f é injetiva, segue que x = x1, assim x ∈ A. Conclúımos assim que, se f é injetiva, então f−1(f(A)) = A. 5. f é sobrejetiva se, e somente se, V ⊂ Y tem-se f(f−1(V )) = V . 6. f é bijetiva se, e somente se, para todo A ⊂ X e para todo V ⊂ Y , tem-se que f−1(f(A)) = A e f(f−1(V )) = V . 1.3 Trabalho sobre alguns tipos de funções reais Identificar o doḿınio, contradoḿınio, imagem e gráfico para cada tipo de função: constantes, lineares, quadráticas, polinomiais e racionais. 1.4 Relação de equivalência: classe de equivalência e conjunto quociente Observação 5 (Elementos relacionados). Para indicar que dois elementos x, y ∈ U estão relacionados por uma relação R, denotamos por: xRy ou (x, y) ∈ R ou x ≡ y (mod R). Elementos de Matemática - No. 2 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL - 2007 1.4. RELAÇÕES E CLASSES DE EQUIVALÊNCIA 9 Definição 17 (Relação de equivalência). Uma relação R definida sobre um conjunto U é uma relação de equivalência se é: R Reflexiva: Qualquer que seja x ∈ U , tem-se que xRx. S Simétrica: Se xRy então yRx. T Transitiva: Se xRy e yRz, então xRz. Exemplo 11. (Relação de paridade). Seja o conjunto Z dos números inteiros e a relação sobre Z definida por, xRy se, e somente se, x−y é um número par. Mostramos que esta é uma relação de equivalência, pois valem as propriedades: R Qualquer que seja x ∈ Z, tem-se que x− x = 0 é par, logo xRx. S Se xRy então x− y é par, logo y − x também é par, assim yRx. T Se xRy e yRz, então x− y é par e y − z é par. Dessa maneira, a soma (x− y) + (y − z) = x− z é par, garantindo que xRz. Exemplo 12. (Congruência módulo p). Seja Z o conjunto dos números in- teiros e a relação sobre Z definida por: x ≡ y mod (p) se, e somente se, x−y é um múltiplo inteiro de p. É posśıvel mostrar que valem as três propriedades: R Qualquer que seja x ∈ Z, tem-se que x − x = 0 é múltiplo de p, logo x ≡ x mod (p). S Se x ≡ y mod (p) então x − y é múltiplo de p, logo y − x também é múltiplo de p, assim y ≡ x mod (p). T Se x ≡ y mod (p) e y ≡ z mod (p), então x − y é múltiplo de p e y− z é múltiplo de p, assim, a soma desses números é um múltiplo de p, logo (x− y) + (y− z) = x− z é múltiplo de p e temos então que x ≡ z mod (p). Exemplo 13. (Relação de equivalência com conjuntos). Seja a coleção de todos os conjuntos em um universo U e A, B ∈ U . A relação R definida por, ARB se, e somente se, A = B, possui as propriedades: Reflexiva, Simétrica e Transitiva. Elementos de Matemática - No. 2 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL - 2007 1.5. RELAÇÃO DE ORDEM 10 Definição 18 (Classe de equivalência). Seja R uma relação equivalência definida sobre um conjunto U . A classe de equivalência do elemento a ∈ U é o subconjunto de U , definido por a = {x ∈ U : x ≡ a mod (R)} Exemplo 14. (Classes de equivalência de paridade). Seja o conjunto Z dos números inteiros e a relação sobre Z definida por: xRy se, e somente se, x−y é um número par. O conjunto Z pode ser decomposto em duas classes de equivalência disjuntas e não vazias, isto é, Z = 0 ∪ 1, onde 0 = {x ∈ Z : x ≡ 0 mod (2)} Conjunto dos números pares 1 = {x ∈ Z : x ≡ 1 mod (2)} Conjunto dos números ı́mpares Exemplo 15. (Classes de congruência módulo 3). Seja o conjunto Z dos números inteiros e a relação sobre Z definida por: x ≡ y (mod 3) se, e somente se, x − y é diviśıvel por 3. O conjunto Z pode ser decomposto em três classes de equivalência disjuntas e não vazias, isto é, Z = 0∪ 1∪ 2, onde 0 = {x ∈ Z : x ≡ 0 mod (3)} 1 = {x ∈ Z : x ≡ 1 mod (3)} 2 = {x ∈ Z : x ≡ 2 mod (3)} 1.5 Relação de ordem Definição 19 (Relação de ordem). Uma relação R definida sobre um conjunto U é uma relação de ordem se é: R Reflexiva: Qualquer que seja x ∈ U , tem-se que xRx. A Anti-Simétrica: Se xRy e yRx então x = y. T Transitiva: Se xRy e yRz, então xRz. Elementos de Matemática - No. 2 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL - 2007 2.1. SEQÜÊNCIAS REAIS 13 Para obter estes números, utilizamos a construção: f(1) = 1 f(2) = 1 f(3) = f(1) + f(2) = 1 + 1 = 2 f(4) = f(2) + f(3) = 1 + 2 = 3 f(5) = f(3) + f(4) = 2 + 3 = 5 f(6) = f(4) + f(5) = 3 + 5 = 8 f(7) = f(5) + f(6) = 5 + 8 = 13 f(8) = f(6) + f(7) = 8 + 13 = 21 f(9) = f(7) + f(8) = 13 + 21 = 34 ... = ... = ... Observação 8. O gráfico de uma seqüência não é formado por uma coleção cont́ınua de pontos mas por uma coleção discreta. Às vezes, usamos retas ou curvas entre dois pontos dados para melhor visualizar o gráfico, mas não podemos considerar tais linhas como representativas do gráfico da seqüência. Toda vez que nos referirmos a uma seqüência f : N → R tal que f(n) = an, simplesmente usaremos a imagem da seqüência f , através do conjunto Im(f) = {a1, a2, a3, ..., an−1, an, ...} Exemplo 18. 1. As seqüências f : N → R definidas por f(n) = 0, g(n) = (−1)n e h(n) = cos(nπ/3) são finitas e suas imagens são, re- spectivamente: Im(f) = 0, Im(g) = −1, 1 e Im(h) = 1/2,−1/2,−1, 1. 2. As seqüências f : N → R definidas por f(n) = 2n, g(n) = (−1)nn, h(n) = sin(n) e k(n) = cos(3n) são infinitas, pois suas imagens possuem infinitos termos. 3. Seja a seqüência infinita f : N → R, cujo conjunto imagem é dado por Im(f) = {5, 10, 15, 20, ...}. Observamos que f(1) = 5 = 5 × 1, f(2) = 10 = 5 × 2, f(3) = 15 = 5 × 3, ..., f(n) = 5n. Este é um exemplo de uma seqüência aritmética, o que garante que ela possui uma razão r = 5, o que permite escrever cada termo como f(n) = f(1) + (n− 1)r No âmbito do Ensino Médio, esta expressão é escrita como: an = a1 + (n− 1)r Elementos de Matemática - No. 2 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL - 2007 2.2. MÉDIAS: ARITMÉTICA, GEOMÉTRICA E HARMÔNICA 14 2.2 Médias: aritmética, geométrica e harmônica Definição 1 (Média aritmética). Se m > 0 e n > 0 tal que m ≤ n, definimos a média aritmética entre m e n por A(m, n) = m + n 2 Se x1, x2, x3, ..., xn são n números reais positivos, definimos a média aritmética entre eles por A(x1, x2, x3, ..., xn) = x1 + x2 + x3 + ... + xn n Definição 2 (Média geométrica). Se m > 0 e n > 0 tal que m ≤ n, definimos a média aritmética entre m e n por G(m, n) = √ mn Se x1, x2, x3, ..., xn são n números reais positivos, definimos a média geométrica entre eles por G(x1, x2, x3, ..., xn) = n √ x1 · x2 · x3 · ... · xn Definição 3 (Média harmônica). Se m > 0 e n > 0 tal que m ≤ n, definimos a média aritmética entre m e n por 2 H(m, n) = 1 m + 1 n Se x1, x2, x3, ..., xn são n números reais positivos, definimos a média harmônica entre eles por 1 H(x1, x2, x3, ..., xn) = 1 x1 + 1 x2 + 1 x3 + ... + 1 xn 2.3 Médias versus progressões Definição 4 (PA,PG,PH). Três números reais a, b e c, nesta ordem, formam uma progressão aritmética (respectivamente geométrica e harmônica), se b é a média aritmética (respectivamente geométrica e harmônica) entre os números a e c. Elementos de Matemática - No. 2 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL - 2007 2.4. HARMÔNICO GLOBAL E SUAS APLICAÇÕES 15 Exerćıcio: Pesquisar materiais de Geometria euclidiana para interpretar geo- metricamente as médias: aritmética, geométrica e harmônica. Exerćıcio: Mostrar que, se a, b e c são números reais positivos que estão em progressão harmônica, então também estão em progressão harmônica, os três números: a b + c , b a + c e c a + b Dica: Mostrar que a média harmônica entre a b + c e c a + b é igual a b a + c , usando como válida a relação b = 2a.c a + c ou equivalentemente, 2a.c = a.b+b.c. H( a b + c , c a + b ) = 2. a b + c . c a + b a b + c + c a + b = 2.a.c a.(a + b) + c.(b + c) = ... 2.4 Harmônico global e suas aplicações Definição 5. Se m e n são números reais positivos, definimos o harmônico global entre m e n, denotado por h = h(m, n) satisfazendo à relação harmônica: 1 h(m,n) = 1 m + 1 n Como neste caso temos dois números m e n, a média harmônica é o dobro do harmônico global entre estes números, isto é, H(m, n) = 2h(m, n). Na Página Matemática Essencial você encontrará muitos materiais didáticos contendo aplicações da Matemática. Na pasta Alegria, existem alguns pas- satempos matemáticos e um link sobre Harmonia e Matemática, onde trata- mos sobre o uso do harmônico global em aplicações no cálculo de tempos, resistências, capacidades elétricas, capacidades motivas, lentes, geometria, etc. Elementos de Matemática - No. 2 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL - 2007 Caṕıtulo 3 Seqüências Aritméticas 3.1 Seqüências aritméticas e PA Seqüências aritméticas são muito usadas em processos lineares em Matemática. Tais seqüências são conhecidas no âmbito do Ensino Médio, como Progressões Aritméticas infinitas, mas uma Progressão Aritmética finita não é uma seqüência, pois o doḿınio da função que define a progressão, é um conjunto finito {1, 2, 3, ...,m} contido no conjunto N dos números naturais. Definição 22 (Progressão Aritmética finita). É uma coleção finita de números reais, caracterizadas pelo fato que, cada termo a partir do segundo, é obtido pela soma do anterior com um número fixo r, denominado razão da PA. Na seqüência, apresentamos os elementos básicos de uma Progressão Ar- itmética da forma: C = {a1, a2, a3, ..., an, ..., am−1, am} 1. m é o número de termos da PA. 2. n indica uma posição na seqüência e o ı́ndice para a ordem do termo geral an no conjunto C. 3. an é o n-ésimo termo da PA, que se lê: a ı́ndice n. 4. a1 é o primeiro termo da PA, que se lê: a ı́ndice 1. 5. a2 é o segundo termo da PA, que se lê: a ı́ndice 2. Elementos de Matemática - No. 2 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL - 2007 3.1. SEQÜÊNCIAS ARITMÉTICAS E PA 19 6. am é o último elemento da PA. 7. r é a razão da PA e é posśıvel observar que a2 = a1 +r, a3 = a2 +r, ..., an = an−1 +r, ..., am = am−1 +r A razão de uma Progressão Aritmética, pode ser obtida, subtraindo o termo anterior (antecedente) do termo posterior (conseqüente), ou seja: a2 − a1 = a3 − a2 = a4 − a3 = ...an − an−1 = r Exemplo 19. (Progressões Aritméticas finitas). 1. A PA definida pelo conjunto C = {2, 5, 8, 11, 14} possui razão r = 3, pois 2 + 3 = 5, 5 + 3 = 8, 8 + 3 = 11 e 11 + 3 = 14. 2. A PA definida pelo conjunto M = {1, 2, 3, 4, 5} possui razão r = 1, pois 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 1 = 4 e 4 + 1 = 5. 3. A PA definida por M(3) = {3, 6, 9, 12, 15, 18} possui razão r = 3, pois 6− 3 = 9− 6 = 12− 9 = 15− 12 = 3. 4. A PA definida por M(4) = {0, 4, 8, 12, 16} possui razão r = 4, pois 4− 0 = 8− 4 = 12− 8 = 16− 12 = 4. Teorema 7 (Fórmula do termo geral da PA). Seja a PA com razão r, definida por P = {a1, a2, a3, ..., an−1, an}. A fórmula do termo geral desta seqüência é dada por an = a1 + (n− 1)r Demonstração. Observamos que: a1 = a1 = a1 + 0r a2 = a1 + r = a1 + 1r a3 = a2 + r = a1 + 2r a4 = a3 + r = a1 + 3r ... ... ... an = an−1 + r = a1 + (n− 1)r e obtemos a fórmula do termo geral da PA: an = a1 + (n− 1)r Elementos de Matemática - No. 2 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL - 2007 3.1. SEQÜÊNCIAS ARITMÉTICAS E PA 20 Com o material apresentado, podemos obter qualquer termo de uma Progressão Aritmética (PA), sem precisar escrever a PA completamente. Exemplo 20. (Sobre termos de uma PA). 1. Seja a PA com razão r=5, dada pelo conjunto C = {3, 8, ..., a30, ..., a100}. O trigésimo e o centésimo termos desta PA podem ser obtidos, substi- tuindo os dados da PA na fórmula do termo geral an = a1 + (n − 1)r. Assim: a30 = 3 + (30− 1)3 = 90 a100 = 3 + (100− 1)3 = 300 Qual é o termo de ordem n = 220 desta PA? 2. Para inserir todos os múltiplos de 5, que estão entre 21 e 623, montaremos uma tabela. 21 25 30 ... 615 620 623 a1 a2 a3 ... an−2 an−1 an Aqui, o primeiro múltiplo de 5 é a1 = 25, o último múltiplo de 5 é an = 620 e a razão é r = 5. Substituindo os dados na fórmula do termo geral, obtemos 620 = 25 + (n− 1)5 de onde segue que n = 120, assim o número de múltiplos de 5 entre 21 e 623, é igual a 120. O conjunto de tais números é dado por C5 = {25, 30, 35, ..., 615, 620} Definição 23 (Progressões Aritméticas monótonas). Quanto à monotonia, uma PA pode ser: 1. crescente se para todo n ≥ 1: r > 0 e an < an+1. 2. constante se para todo n ≥ 1: r = 0 e an+1 = an. 3. decrescente se para todo n ≥ 1: r < 0 e an+1 < an. Exemplo 21. 1. A PA definida pelo conjunto C = {2, 4, 6, 8, 10, 12} é cres- cente, pois r = 2 e a1 < a2 < ... < a5 < a6. 2. A PA finita G = {2, 2, 2, 2, 2} é constante. Elementos de Matemática - No. 2 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL - 2007 3.2. APLICAÇÕES À MATEMÁTICA FINANCEIRA: JUROS SIMPLES 23 Somando membro a membro as duas últimas expressões acima, obtemos: 2Sn = (a1 + an) + (a2 + an−1) + ... + (an−1 + a2) + (an + a1) Como todas as n expressões em parênteses são somas de pares de termos eqüidistantes dos extremos, segue que a soma de cada termo, sempre será igual a a1 + an, então: 2Sn = (a1 + an)n Assim, temos a fórmula para o cálculo da soma dos n primeiros termos da PA. Sn = (a1 + an)n 2 Exemplo 27. Para obter a soma dos 30 primeiros termos da PA definida por C = {2, 5, 8, ..., 89}. Aqui a1 = 2, r = 3 e n = 30. Aplicando a fórmula da soma, obtida acima, temos: Sn = (a1 + an)n 2 = (2 + 89)× 30 2 = 91× 30 2 = 1365 3.2 Aplicações à Matemática Financeira: juros simples Construir um trabalho relacionando seqüências aritméticas com Matemática Comercial e Financeira. Elementos de Matemática - No. 2 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL - 2007 Caṕıtulo 4 Seqüências Geométricas 4.1 Seqüências geométricas e PG Seqüências importantes são as geométricas, conhecidas no âmbito do Ensino Médio, como Progressões Geométricas (PG) infinitas, mas uma Progressão Geométrica finita não é uma seqüência, uma vez que o doḿınio da PG finita é um conjunto finito {1, 2, 3, ...,m} que é um subconjunto próprio de N . Seqüência geométricas são usadas em estudos de Matemática Financeira, para analisar o Montante de um valor capitalizado, estudar Taxas de juros, Financia- mentos e Prestações. Seqüências geométricas também aparecem em estudos de decaimento radioativo (teste do Carbono 14 para a análise da idade de um fóssil ou objeto antigo). No Ensino Superior tais seqüências aparecem em estudos de Seqüências e Séries de números e de funções, sendo que a série geométrica (um tipo de seqüência obtida pelas somas de termos de uma seqüência geométrica) é im- portante para obter outras séries numéricas e séries de funções. Definição 27 (Progressão Geométrica finita). Uma Progressão Geométrica finita, é uma coleção finita de números reais com as mesmas caracteŕısticas que uma seqüência geométrica, mas possui um número finito de elementos. As Progressões Geométricas (PG) são caracterizadas pelo fato que a divisão do termo seguinte pelo termo anterior é um quociente fixo. Se este conjunto possui m elementos, ele pode ser denotado por G = {a1, a2, a3, ..., an, ..., am−1, am} Elementos de Matemática - No. 2 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL - 2007 4.1. SEQÜÊNCIAS GEOMÉTRICAS E PG 25 No caso de uma Progressão Geométrica finita, temos os seguintes termos técnicos. 1. m é o número de termos da PG. 2. n indica uma posição na seqüência e também o ı́ndice para a ordem do termo geral an no conjunto G. 3. an é o n-ésimo termo da PG, que se lê a ı́ndice n. 4. a1 é o primeiro termo da PG, que se lê a ı́ndice 1. 5. a2 é o segundo termo da PG, que se lê a ı́ndice 2. 6. am é o último elemento da PG. 7. q é a razão da PG, que pode ser obtida pela divisão do termo posterior pelo termo anterior, ou seja na PG definida por G = {a1, a2, a3, ..., an−1, an} temos que a2 a1 = a3 a2 = a4 a3 = ... = an an−1 = q Observação 10. Na Progressão Geométrica (PG), cada termo é a média geométrica entre o antecedente (anterior) e o conseqüente (seguinte) do termo tomado, dáı a razão de tal denominação para este tipo de seqüência. Teorema 9 (Fórmula do termo geral da PG). A fórmula do termo geral de uma PG de razão q, cujo primeiro termo é a1, o número de termos é n e an é o n-ésimo termo, é an = a1q n−1 Demonstração. Observamos que: a1 = a1 = a1q 0 a2 = a1q = a1q 1 a3 = a2q = a1q 2 a4 = a3q = a1q 3 ... = ... = ... an = an−1q = a1q n−1 Elementos de Matemática - No. 2 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL - 2007 4.1. SEQÜÊNCIAS GEOMÉTRICAS E PG 28 Se q é diferente de 1, temos Sn = a1 + a1q + a1q 2 + a1q 3 + ... + a1q n−1 Multiplicando ambos os membros da igualdade acima pela razão q, obtemos qSn = a1q + a1q 2 + a1q 3 + a1q 4 + ... + a1q n−1 + a1q n Dispondo estas expressões de uma forma alinhada, obtemos: Sn = a1+ a1q+ ... +a1q n−1 qSn = a1q+ ... +a1q n−1 +a1q n Subtraindo membro a membro, a expressão de baixo da expressão de cima, obtemos Sn − qSn = a1 − a1qn que pode ser simplificada em Sn(1− q) = a1(1− qn) ou seja Sn = a1 1− qn 1− q = a1 qn − 1 q − 1 que é a fórmula para a soma dos n termos de uma PG finita de razão q 6=0. Exemplo 31. (Somas de termos em uma PG). 1. Para obter a razão da PG definida por W = {3, 9, 27, 81}, devemos dividir o termo posterior pelo termo anterior, para obter q = 9/3 = 3. Como a1 = 3 e n = 4, substitúımos os dados na fórmula da soma dos termos de uma PG finita, para obter: S4 = 3 34 − 1 3− 1 = 3 81− 1 2 = 3 80 2 = 120 Confirmação: S4 = 3 + 9 + 27 + 81 = 120. 2. Para obter a soma dos 5 primeiros termos de uma PG cuja razão é q = 1 e a1 = 2, podemos identificar a PG com o conjunto X = {2, 2, 2, 2, 2}. Como a razão da PG é q = 1, temos que a soma dos seus termos é obtida por S5 = 2× 5 = 10. Elementos de Matemática - No. 2 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL - 2007 4.1. SEQÜÊNCIAS GEOMÉTRICAS E PG 29 Observação 11. Uma seqüência geométrica (infinita) é semelhante a uma PG, mas nesse caso ela possui infinitos elementos, pois o doḿınio desta função é o conjunto N . Teorema 11 (Soma de uma série geométrica). Seja uma seqüência geométrica f : N → R definida por f(n) = a1qn−1, cujos termos estão no conjunto infinito: F = {a1, a1q, a1q2, a1q3, ..., a1qn−1, ...} Se −1 < q < 1, a soma dos termos desta seqüência geométrica, é dada por S = a1 1− q Demonstração. A soma dos termos desta seqüência geométrica, é a série geométrica de razão q e não é obtida da mesma forma que no caso das PGs (finitas), mas o processo finito é usado no presente cálculo. Consideremos a soma dos termos desta seqüência geométrica, como: S = a1 + a2 + a3 + ... + an + ... que também pode ser escrita da forma S = a1 + a1q + a1q 2 + a1q 3 + ... + a1q n−1 + ... ou na forma simplificada S = a1(1 + q + q 2 + q3 + ... + qn−1 + ...) A expressão matemática dentro dos parênteses Soma = 1 + q + q2 + q3 + ... + qn−1 + ... é carente de significado, pois temos uma quantidade infinita de termos e dependendo do valor de q, esta expressão, perderá o sentido real. Analisaremos alguns casos posśıveis, sendo que o último é o mais importante nas aplicações. 1. Se q > 1, digamos q = 2, temos que S = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 2n−1 + ... = infinito = ∞ e o resultado não é um número real. Elementos de Matemática - No. 2 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL - 2007 4.1. SEQÜÊNCIAS GEOMÉTRICAS E PG 30 2. Se q = 1, temos que S = 1 + 1 + 1 + ... + 1 + ... = ∞ e o resultado não é um número real. 3. Se q = −1, temos que S = −1 + 1− 1 + 1− 1 + 1...− 1 + 1 + ... e dependendo do modo como reunirmos os pares de números consecutivos desta PG infinita, obtemos: S = 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + ... + (−1 + 1) + ... = 1 mas se tomarmos: S = (1− 1) + (1− 1) + (1− 1) + (1− 1) + ... + (1− 1) + ... = 0 ficará claro que q = −1, a soma dos termos desta série se tornará com- plicada. 4. Se q < −1, digamos q = −2, temos que S = 1− 2 + 4− 8 + 16− 32− 64 + ... + 2n−1 − 2n + ... que também é uma expressão carente de justificativa. 5. Se −1 < q < 1, temos o caso mais importante para as aplicações. Neste caso as séries geométricas são conhecidas como séries conver- gentes. Quando uma série não é convergente, dizemos que ela é di- vergente. Consideremos Soma = 1 + q + q2 + q3 + ... + qn−1 + ... A soma dos n primeiros termos desta série geométrica, será indicada por: Sn = 1 + q + q 2 + q3 + ... + qn−1 e já mostramos antes que Sn = 1− qn 1− q Elementos de Matemática - No. 2 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL - 2007 4.2. APLICAÇÕES À MATEMÁTICA FINANCEIRA: JUROS COMPOSTOS 33 10. Um operador de máquina chegou 30 minutos atrasado no seu posto de trabalho, mas como a máquina que ele monitora é automática, ela começou a trabalhar na hora programada. (a) Se a máquina produz 10n peças por minuto em n minutos, quantas peças a máquina produziu até a chegada do operador? (b) Se depois de 1 hora, a máquina produz a mesma quantidade de peças, quantas peças terá feito a máquina ao final do expediente de 4 horas? 11. Exiba uma seqüência numérica em que cada termo é a média harmônica do antecedente e do conseqüente? 4.2 Aplicações à Matemática Financeira: juros compos- tos Trabalho para os alunos. Elementos de Matemática - No. 2 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL - 2007 Bibliografia [1] Alencar Filho, E. Aritmética dos inteiros. Nobel. S.Paulo. 1987. [2] Amoroso Costa, M. As idéias Fundamentais da Matemática e outros en- saios, Conv́ıvio e EDUSP, S.Paulo. 1981. [3] Ayres Jr, F. Álgebra Moderna. McGraw-Hill do Brasil. S. Paulo. 1971. [4] Barbosa, R.M. Elementos de Lógica aplicada ao ensino secundário, Nobel. S.Paulo. 1970. [5] Boyer, Carl. B. História da Matemática, Edgard Blücher, S.Paulo. 1974. [6] Eves, Howard Introdução à História da Matemática, Editora da Unicamp. Campinas-SP. 2002. [7] Figueiredo, D.G. Análise I, Edit. UnB e LTC Editora, Rio, 1975. [8] Kaplan, W. Cálculo Avançado, vols. 1 e 2. Edgard Blücher e EDUSP. S.Paulo. 1972. [9] Kurosh, A.G. Curso de Álgebra Superior. Editorial Mir. Moscu. 1968. [10] Lang,S. Analysis I. Addison-Wesley. Reading, Massachusets. 3rd. printing. New York. 1973. [11] Lipschutz, S. Teoria dos Conjuntos. Ao Livro Técnico. Rio. 1967. [12] Sodré, U. Análise na reta (Notas de aulas), Dep. de Matemática, Univ. Estadual de Londrina, 1982, 1999, 2001, 2005, 2006. [13] Sodré, U. LATEX para Matemática. Tutorial para a editoração de trabalhos de Matemática. Matemática-UEL. Londrina. 2006. [14] White, A.J. Análise Real: Uma introdução, Edgard Blücher, S.Paulo. 1973. Elementos de Matemática - No. 2 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL - 2007