Calculo I - Trabalho

Calculo I - Trabalho

(Parte 1 de 4)

Trabalho de Funções apresentado a Disciplina de Calculo -1.

Discentes:

Anderson Yagura Bettazza Cassio Makoto Tanno Hemuryel Lennon Leonel Da Silva Thales Nascimento dos Reis Valtercides Luiz Bortoluzzi Filho

Docente: Valdemir Antunes

O conceito de função é um dos mais importantes da Matemática.

Este conceito sofreu uma grande evolução ao longo dos séculos, a introdução do método analítico na definição de função (séc., XVI, séc. XVII) veio revolucionar a Matemática. Desde o tempo dos Gregos até a Idade Moderna a teoria dominante era a Geometria Euclidiana que tinha como elementos base o ponto, a reta e o plano. A partir dessa época surgiria uma nova teoria, o Calculo Infinitesimal que contribuiu muito para o desenvolvimento da matemática contemporânea, a noção de funções era um dos fundamentos do Calculo Infinitesimal.

A noção de função não é muito antiga. No entanto, aspectos muito simples deste conceito podem ser encontrados em épocas anteriores. Mas o seu surgimento como conceito claramente individualizado e como objeto de estudo corrente na Matemática remonta apenas aos finais do Século XVII.

Origem das Funções

A origem da noção de função confunde-se assim com os primórdios do Cálculo Infinitesimal. Ela surgia de forma um tantoconfusa nos "fluentes" e "fluxões" de Newton (1642 -1727). Foi Leibniz (1646 -1716) quem usou primeiro o termo "função" no ano de 1673 em um manuscrito em Latim. Leibniz uso o termo apenas para designar, em termos muito gerais, a dependência de uma curva de quantidades geométricas como as sub tangentes e sub normais. Ele Introduziu também os termos “constante”, “variável” e “ parâmetro”.

Com o desenvolvimento do estudo de curvas por meios algébricos, tornou-se indispensável um termo que representasse quantidades dependentes de alguma variável por meio de uma expressão analítica. Com esse propósito, a palavra "função" foi adotada nas correspondências trocadas entre 1694 e 1698 por Leibniz e Johann Bernoulli (1667 -1748).

Isaac Newton (1642 -1727)

Gottfried Leibniz (1642 -1727)

Johaan Bernoulli (1667 -1748)

O termo "função" não aparecia ainda em nenhum léxico matemático surgido apenas em 1716. Dois anos mais tarde Johann Bernoulli publicou um artigo, que viria a ter grande divulgação, contendo a sua definição de função de uma certa variável como uma quantidade que é composta de qualquer forma dessa variável e constantes. Um retoque final nesta definição viria a ser dado em 1748 por Euler (1707 - 1783) - um antigo aluno de Bernoulli - substituindo o termo "quantidade" por "expressão analítica". Foi também Euler quem introduziu a notação .

Leonhard Euler

A importância do estudo de função não é restrita apenas aos interesses da matemática, mas colocado em prática outras ciências, como a física e a química.

Nem sempre percebemos, mas estamos em contato com as funções no nosso dia-a-dia, por exemplo:

Quando assistimos ou lemos um jornal, muitas vezes nos deparamos com um gráfico, que nada mais é que uma relação, comparação de duas grandezas ou até mesmo uma função, mas representada graficamente.

O que é uma Função?

Uma função é a relação estabelecida entre dois conjuntos A e B, onde exista uma associação entre cada elemento de A com um único de B através de uma lei de formação.

Observe o exemplo:

Função Sobrejetora

imagem é especificadamente igual ao contradomínio,Por exemplo,
se temos uma funçãodefinida por é sobrejetora, pois 1xy

•Função sobrejetora: uma função é sobrejetora quando o seu conjunto B Im

Função injetora

Uma função é injetora se os elementos distintos do domínio tiverem imagens distintas. Por exemplo, dada a função, tal que .xxf3)(

Função bijetora

Uma função é bijetora se ela é injetora e sobrejetora. Por exemplo, a função , tal que

Note que ela é injetora, poisimplica em

É sobrejetora, pois para cada elemento em B existe pelos menos um em A, tal que

O estudo das funções se apresenta em vários segmentos, de acordo com a relação entre os conjuntos podemos obter inúmeras leis de formação. Dentre os estudos das funções temos:

•Função do 1º grau;

•Função do 2º grau; •Função exponencial;

•Função modular;

• Função trigonométrica;

•Função logarítmica;

•Função polinomial;

•Função Inversa.

Cada função possui uma propriedade e é definida por leis generalizadas.

As funções possuem representações geométricas no plano cartesiano, as relações entre pares ordenados

(x,y) são de extrema importância no estudo dos gráficos de funções, pois a análise dos gráficos demonstram de forma geral as soluções dos problemas propostos com o uso de relações de dependência, especificadamente, as funções.

As funções possuem um conjunto denominado domínio e outro chamado de imagem da função, no plano cartesiano o eixo x representa o domínio da função, enquanto o eixo y representa os valores obtidos em função de x, constituindo a imagem da função.

Plano Cartesiano

Plano ortogonal constituído por dois eixos “x” e “y” perpendiculares entre si que se cruzam na origem.

Eixo horizontal

•Eixo das Abscissas (eixo X).

Eixo Vertical •Eixo das Ordenadas (eixo Y).

Obs. A cada um dos eixos esta associado o conjunto R.

Função de 1º

Uma função do 1º grau pode ser chamada de função afim. Pra que uma função seja considerada afim ela terá que assumir certas características, como:

definida pela fórmula, sendo que a deve

Toda função do 1º grau deve ser dos reais para os reais, pertencer ao conjunto dos reais menos o zero e que deve pertencer ao conjunto dos reais. Então, podemos dizer que a definição de função do 1º grau é:

definida por, com

•Veja alguns exemplos de Função Afim. ; a = 2 e b = 1

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