MODELAGEM MATEMÁTICA NO ENSINO DE FÍSICA: registros de representação semiótica

MODELAGEM MATEMÁTICA NO ENSINO DE FÍSICA: registros de representação semiótica

(Parte 1 de 4)

Ednilson Sergio Ramalho de Souza

MODELAGEM Registros de Representação Semiótica

Ednilson Sergio Ramalho de Souza

MODELAGEM MATEMÁTICA NO ENSINO DE FÍSICA Registros de Representação Semiótica

Ednilson Sergio Ramalho de Souza

MODELAGEM MATEMÁTICA NO ENSINO DE FÍSICA Registros de Representação Semiótica

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e Matemáticas-IEMCI/UFPA como requisito parcial ao título de Mestre em Educação em Ciências e Matemáticas, na área de concentração em Educação Matemática.

Orientador: Prof. Dr. Adilson Oliveira do Espírito Santo

Dados Internacionais de Catalogação-na-Publicação (CIP) – Biblioteca do IEMCI, UFPA

Souza, Ednilson Sérgio Ramalho de.

Modelagem matemática no ensino de física / Ednilson Sérgio Ramalho de Souza, orientador Prof. Dr. Adilson Oliveira do Espírito Santo. – 2010.

Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal do Pará, Instituto de Educação

Matemática e Científica, Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e Matemática, Belém, 2010.

1. Modelos matemáticos. 2. Física – estudo e ensino. 3. Semiótica. I. Espírito Santo,

Adilson Oliveira do, orient. I. Título. CDD - 2. ed. 511.8

Ednilson Sergio Ramalho de Souza

MODELAGEM MATEMÁTICA NO ENSINO DE FÍSICA Registros de Representação Semiótica

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e Matemáticas-IEMCI/UFPA como requisito parcial ao título de Mestre em Educação em Ciências e Matemáticas, na área de concentração em Educação Matemática.

Banca examinadora:

Prof. Dr. Adilson Oliveira do Espírito Santo/UFPA (Presidente/orientador)

Profª. Drª. Marisa Rosâni Abreu da Silveira/UFPA (membro interno - titular)

Prof. Dr. Ruy Guilherme Castro de Almeida/UEPA (membro externo - titular) Prof. Dr. Renato Borges Guerra/UFPA (membro interno - suplente)

Ednilson Sergio Ramalho de Souza

MODELAGEM MATEMÁTICA NO ENSINO DE FÍSICA Registros de Representação Semiótica

Este exemplar corresponde à redação final da Dissertação de Mestrado de Ednilson Sergio Ramalho de Souza submetido ao IEMCI/UFPA para obtenção do título de Mestre em Educação em Ciências e Matemáticas, tendo sido aprovada em 16 de abril de 2010, pela seguinte banca examinadora:

Prof. Dr. Adilson Oliveira do Espírito Santo/UFPA (Presidente/orientador)

Profª. Drª. Marisa Rosâni Abreu da Silveira/UFPA (membro interno – titular)

Prof. Dr. Ruy Guilherme Castro de Almeida/UEPA (membro externo – titular) Prof. Dr. Renato Borges Guerra/UFPA (membro interno – suplente)

Dedico esta pesquisa a todos os professores, em especial aos professores de Física

Ednilson Souza

À inteligência suprema, causa primeira de todas as coisas: DEUS,

Àqueles que se uniram e trouxeram-me em carne a este mundo: meu pai Manoel e minha mãe Raimunda,

Àquela que tem sido companheira e amiga: minha esposa Rosy Borges,

Àquelas que me mostraram o significado de ser pai: minhas filhas Pryscila e Laiane,

Ao professor e amigo Adilson Oliveira do Espírito Santo,

Ao professor e amigo Ruy Guilherme Castro de Almeida,

À professora e amiga Marisa Rosâni Abreu da Silveira,

Ao professor e amigo Renato Borges Guerra,

A todos os demais professores e funcionários do IEMCI-UFPA, desde a Sra

Deise (Aux. Serv. Gerais) até à Professora Terezinha Valim (Diretora do IEMCI) que, em conjunto, possibilitam sonhos como este,

A todos aqueles que, direta ou indiretamente, contribuíram para a concretização deste projeto.

Ednilson Souza

Professor não é aquele que sabe tudo; porém, sabe que tudo se aprende!

Ednilson Souza

O objetivo geral da pesquisa é propor reflexões sobre a possibilidade de coordenar registros de representação semiótica em ambiente gerado pelo processo de Modelagem Matemática visando ao ensino de Física. Procurando responder à seguinte questão norteadora: a mobilização de registros de representação em atividades de Modelagem Matemática pode favorecer a conceitualização em Física? É que buscamos apoio na teoria dos registros de representação semiótica de Raymond Duval (2009; 2008; 2004) e em autores de renome na área de Modelagem Matemática no ensino, entre eles: Bassanezi (2004); Biembengut e Hein (2003); Barbosa (2001) e Chaves & Espírito Santo (2008). Metodologicamente, realizamos pesquisa bibliográfica sobre a temática Modelagem Matemática no ensino de Física, bem como o desenvolvimento analítico de seis (06) atividades de modelagem. O resultado da pesquisa bibliográfica levou à explicitação de três recursos didáticopedagógicos para desenvolver a modelagem no ensino de Física: por meio de problemas contextualizados; por meio de simulações computacionais e por meio de atividades experimentais. O desenvolvimento das atividades mostrou que a articulação de registros de representação em ambiente gerado pela Modelagem Matemática pode favorecer a conceitualização em Física.

Palavras-chave: Modelagem matemática; Registros semióticos; Ensino de Física.

The aim of this study is to propose reflections on the possibility of coordinating registers of semiotic representation in environment generated by Mathematical Modeling with a view to Physics teaching. Looking to answer the following question: The mobilization of records of representation in Mathematical Modeling activities can promote the conceptualization in Physics? We seek support in the theory of registers of semiotic representation of Raymond Duval (2009; 2008, 2004) and authors of repute in the area of Mathematical Modeling in education: Bassanezi (2004); Biembengut & Hein (2003); Barbosa (2001) and Chaves & Espírito Santo (2008). Methodologically, we conducted search literature on Mathematical Modeling in Physics teaching and analytical development of six (06) modeling activities. The result of literature search led to the clarification of three didactic and pedagogical resources to develop the modeling in the teaching Physics: using contextual problems, through computer simulations and through experimental activities. The development of activities revealed that the mobilization of records of representation in the environment generated by Mathematical Modeling may facilitate the conceptualization in Physics.

Keywords: Mathematical Modeling; Records Semiotic; Physics Teaching.

p. 62)24

Figura 1. Estrutura de uma investigação (Fonte: Fiorentini e Lorenzato, 2007,

2000, p. 1)29

Figura 2. Diagrama das diferentes representações (Fonte: FERNANDES,

ROZAL, 2007, p. 109)32

Figura 3. Mapa acústico construído durante uma atividade de modelagem matemática. Modelo matemático ou representação matemática? (Fonte:

Possibilitam compreensões diferentes do mesmo fenômeno físico35
Figura 5. Atividade de tratamento e conversão (Fonte: Duval, 2008, p. 15)39
Figura 6. Exemplo de tratamento: mantém-se o registro algébrico40
Figura 7. Exemplo de conversão: muda-se o registro de representação40

Figura 4. Tabela, gráfico e equação algébrica: três representações matemáticas do mesmo objeto matemático função do primeiro grau.

atividade cognitiva de conversão4

Figura 8. Articulação entre registros de representação semiótica por meio da

significantes48

Figura 9. Correspondência semântica termo a termo entre unidades

sobre a situação real que a originou (Fonte: BASSANEZI, 2004, p. 25)58

Figura 10. O modelador traduz (converte), embasado em uma teoria matemática, a situação real em uma representação matemática. A representação matemática possibilita inferências, predições e explicações

HEIN, 2003, p. 2)60

Figura 1. Desenvolvimento do conteúdo programático (BIEMBENGUT e

(modelação matemática), proposta por Biembengut e Hein (2003, p. 26)61

Figura 12. Dinâmica do processo de modelagem matemática no ensino

LOZADA e MAGALHÕES, 2008)7

Figura 13. Registro pictórico produzido por um grupo de alunos. (Fonte: Figura 14. Gráfico da Força média em função da aceleração média. ............. 80

Adaptado de SOUZA e ESPÍRITO SANTO, 2008a)83
Figura 16. Gráfico convertido da tabela elaborada durante a atividade 287
Figura 17. Trabalhador empurrando um objeto sobre um plano inclinado89

Figura 15. Esquema de uma usina hidrelétrica (Fonte: http://marcia.carpinski.zip.net/images/eletricidade1.jpg . Acesso em 25/09/09).

em 15/10/09)90

Figura 18. Simulação em Java de um plano inclinado (Fonte: http://www.fisica.net/simulacoes/java/walter/ph11br/inclplane_br.php Acesso

função do peso92
Figura 20. Forças e projeções no plano inclinado96

Figura 19. Gráfico da força necessária para puxar blocos de madeira em

Acesso em 18/12/2009)100

Figura 21. Simulação em Java do lançamento de uma bala de canhão. (Fonte: http://phet.colorado.edu/sims/projectile-motion/projectile-motion_en.html.

inicial da bala de canhão102

Figura 2. Gráfico referente ao Alcance horizontal em função da velocidade

tabela 6102

Figura 23. Gráfico referente ao ajuste de curva quadrático para os dados da

106

Figura 24. Gráfico da altura em função do tempo médio de queda da moeda.

107
Figura 26. Gráfico do ajuste quadrático para o tempo de queda da moeda108

Figura 25. Gráfico do ajuste de curva linear para o tempo de queda da moeda.

ângulo entre dois espelhos planos113

Figura 27. Gráfico referente ao número de imagens formadas em função do

imagens formadas em função de dois espelhos planos113

Figura 28. Gráfico referente ao ajuste de curva potencial para o número de Figura 29. Imagem formada entre dois espelhos planos. ............................ 1135

Tabela 1. Força média em função da aceleração do carro80
matemática do tema Energia84

Tabela 2. Tabela a ser completada pelos alunos durante a modelagem

em vermelho deveriam ser completados pelos alunos85
Tabela 4. Força necessária para puxar o bloco em função do peso91
Tabela 5. Cálculos auxiliares para encontrar a equação de ajuste94

Tabela 3. Tabela completada pelos alunos durante a atividade 2. Os valores

bala de canhão101

Tabela 6. Alcance horizontal em função da velocidade inicial de lançamento da

Quadro 1. Tipos e funções das representações (Fonte: Duval, 2009, p. 43)28
resolução de problemas64

Quadro 2. Objeto de estudo da modelagem matemática em comparação com a

INTRODUÇÃO17
Justificativa do estudo20
Problemática e questão de investigação23
Caminhos metodológicos23
Apresentando a estrutura da pesquisa24
CAPÍTULO I27
REPRESENTAÇÕES E MODELOS27
1.1 Representações27
1.2 Modelos30
1.3 Modelo matemático31
1.4 Modelos matemáticos e objetos matemáticos3
CAPÍTULO I36
A TEORIA DOS REGISTROS SEMIÓTICOS DE RAYMOND DUVAL36
2.1Aspectos gerais da teoria36
2.2 Atividades cognitivas de conversão e tratamento39
2.2.1 Tratamento: expansão informacional40
2.2.2 Conversão: compreensão conceitual4
2.3.1 Critérios de congruência47
CAPÍTULO I50
CONSIDERAÇÕES GERAIS SOBRE MODELAGEM MATEMÁTICA50
3.1 Algumas concepções de modelagem matemática50
3.2 O fluxo do processo de modelagem5
3.3 Ambiente de modelagem matemática: uma questão de atitude62
3.4 Da escolha do tema64
3.5 Do professor65
3.7.1 Argumentos favoráveis6
3.7.2 Restrições ao uso da modelagem matemática67
CAPÍTULO IV69
MODELAGEM MATEMÁTICA NO ENSINO DE FÍSICA69
4.1 Revisão de literatura69
4.2 Problemas contextualizados75
Atividade 1: homem empurrando um carro76
Atividade 2: Represa hidrelétrica81
4.3 Simulações computacionais8
Atividade 3: Plano inclinado89
Atividade 4: Tiro de canhão100
4.4 Atividades experimentais104
Atividade 5: Queda da moeda105
Atividade 6: Formação de imagens em espelhos planos1
CONSIDERAÇÕES FINAIS117

“Não há noésis sem semiósis” (Raymond Duval, 2009)

A citação acima nos fez refletir sobre a dificuldade que alguns alunos apresentam para externalizar seus pensamentos durante a resolução de problemas em Física. O fato é que, para resolver problemas, muitos economizam “lápis e papel”. Para eles, quanto menos for preciso escrever, menor é o “esforço” cognitivo para encontrar uma resposta. Muitos preferem até fazer cálculos mentais como estratégia, escrevendo apenas o resultado final no papel. A consequência é evidente: esses discentes não desenvolvem recursos semióticos e cognitivos (gráficos, equações, esquemas, diagramas, desenhos etc.) que facilitem a compreensão e resolução de problemas. Por outro lado, observa-se facilmente em sala de aula que os discentes que têm sucesso na resolução de problemas recorrem normalmente a uma diversidade de registros de representação semiótica1. Parece realmente haver uma ligação entre o uso desses recursos e o desenvolvimento cognitivo durante a resolução de problemas em Física.

Considerando que noésis são “os atos cognitivos como a apreensão conceitual de um objeto, a discriminação de uma diferença ou a compreensão de uma inferência” (DUVAL, 2009, p. 15) e que semiósis é “a apreensão ou a produção de uma representação semiótica” (ibidem), é possível pensar,

1 Tais registros constituem o grau de liberdade de que um sujeito pode dispor para objetivar a si próprio uma idéia ainda confusa, um sentimento latente, para explorar informações ou simplesmente para poder comunicá-las a um interlocutor (DUVAL, 2009, p. 37). No processo de ensino de Física, os registros semióticos podem assumir a forma de: tabelas, gráficos, equações, esquemas, diagramas, figuras geométricas, língua natural etc.

admitindo que “é a semiósis que determina as condições de possibilidade e de exercício da noésis” (Ibidem), que um dos motivos pelos quais os discentes têm dificuldades em resolver problemas em Física é justamente pelo fato de não serem incentivados a fazerem uso de diversos sistemas de representação semiótica durante as atividades de ensino.

A aprendizagem em Física constitui, com efeito, um campo de estudo fértil para a análise de atividades cognitivas fundamentais como a conceitualização, a resolução de problemas e também a compreensão de textos. Essas atividades cognitivas requerem a utilização de sistemas de expressão e de representação como as escrituras para os números, notações simbólicas para os objetos, escritura algébrica, figuras geométricas, representações em perspectivas, gráficos cartesianos, diagramas, esquemas etc. Esses sistemas semióticos são imprescindíveis para a compreensão em Física ou são apenas um modo apropriado para a função de comunicação?

As representações semióticas, ou seja, os sistemas de expressão e representação além da linguagem natural e das imagens, não são apenas úteis para fins de comunicação no processo de ensino de Física, são indispensáveis ao desenvolvimento dos atos cognitivos subjacentes a tal aprendizagem. Isso porque “o desenvolvimento das representações mentais efetua-se como uma interiorização das representações semióticas...” (DUVAL, 2009, p. 17). Por exemplo, a compreensão que se tem através da interpretação de um gráfico cartesiano em Física ocorre a partir do instante que o sujeito internaliza o significado das curvas (retas, parábolas) formadas pela união dos pares ordenados (x,y) no plano do gráfico.

A aplicação mecânica de representações matemáticas no processo de ensino de Física é apenas um reflexo da necessidade de se usar muitos sistemas de registros semióticos nas atividades cognitivas em Física. Basta abrir um livro da área para perceber as tabelas, gráficos, equações, diagramas, esquemas, construídos para favorecer a compreensão de fenômenos da Natureza.

Acreditamos que essa mecanização não tem sua origem ipso facto na aplicação de representações matemáticas, mas no fato de que os sujeitos não reconhecem o mesmo objeto matemático em dois registros semióticos diferentes durante o emprego dessas representações,

É essencial jamais confundir os objetos matemáticos, como os números, as funções, as retas, etc, com suas representações, quer dizer, as escrituras decimais ou fracionárias, os símbolos, os gráficos, os traçados de figuras...porque um mesmo objeto matemático pode ser dado através de representações muito diferentes (DUVAL, 2009, p. 14).

Raymond Duval informa ainda que toda a confusão entre o objeto e sua representação provoca, com o passar do tempo, uma perda de compreensão. Os conhecimentos assimilados tornam-se rapidamente inutilizáveis fora de seus contextos de aprendizagem; seja por falta de atenção, seja porque eles tornam-se representações inertes não possibilitando tratamento produtor (2009, p. 14). Ou seja, o sujeito aplica mecanicamente esses conhecimentos em situações de ensino.

O ambiente gerado pelo processo de Modelagem Matemática pode ser uma alternativa para promover a aplicação significativa, ou melhor, não mecanizada de representações semióticas no ensino de Física, uma vez que esse ambiente favorece a mobilização de registros de representação. No entanto, deve-se incentivar que o discente transite por vários registros de representação de um mesmo objeto matemático, como salienta Silva e Almeida (2009),

O acesso aos diferentes registros de representação semiótica em uma atividade matemática geralmente não ocorre naturalmente e o professor pode incentivá-lo. Nessa perspectiva, consideramos a Modelagem Matemática como uma alternativa pedagógica adequada a esse fim (SILVA e ALMEIDA, 2009, p. 2).

Assim, o objetivo principal da pesquisa é propor reflexões sobre a mobilização de registros de representação semiótica durante o ambiente gerado pelo processo de Modelagem Matemática aplicado ao ensino de Física. Seguiremos a hipótese de que a articulação e interpretação de registros de representação em ambiente gerado pelo processo de Modelagem Matemática favorecem a compreensão significativa do conteúdo conceitual de Física.

Justificativa do estudo

Muito se tem discutido sobre o problema da aplicação mecânica das equações e fórmulas no ensino de Física. Os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (PCNEM) deixam clara essa preocupação,

O ensino de Física tem-se realizado frequentemente mediante a apresentação de conceitos, leis e fórmulas, de forma desarticulada, distanciados do mundo vivido pelos alunos e professores e não só, mas também por isso, vazios de significado. Privilegia a teoria e a abstração, desde o primeiro momento, em detrimento de um desenvolvimento gradual da abstração que, pelo menos, parta da prática e de exemplos concretos. Enfatiza a utilização de fórmulas, em situações artificiais, desvinculando a linguagem matemática que essas fórmulas representam de seu significado físico efetivo. Insiste na solução de exercícios repetitivos, pretendendo que o aprendizado ocorra pela automatização ou memorização e não pela construção do conhecimento através das competências adquiridas. Apresenta o conhecimento como um produto acabado, fruto da genialidade de mentes como a de Galileu, Newton ou Einstein, contribuindo para que os alunos concluam que não resta mais nenhum problema significativo a resolver. Além disso, envolve uma lista de conteúdos demasiadamente extensa, que impede o aprofundamento necessário e a instauração de um diálogo construtivo (BRASIL, 2000b, p. 2).

(Parte 1 de 4)

Comentários