MODELAGEM MATEMÁTICA NO ENSINO DE FÍSICA: registros de representação semiótica, Notas de estudo de Física

Baixe MODELAGEM MATEMÁTICA NO ENSINO DE FÍSICA: registros de representação semiótica e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity! UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E CIENTÍFICA PROGRAMA DE PÓS Ednilson Sergio Ramalho de Souza MODELAGEM Registros de Representação Semiótica -UFPA -GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICAS-MESTRADO MATEMÁTICA NO ENSINO DE FÍSICA Belém 2010 -IEMCI Ednilson Sergio Ramalho de Souza MODELAGEM MATEMÁTICA NO ENSINO DE FÍSICA Registros de Representação Semiótica Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e Matemáticas-IEMCI/UFPA como requisito parcial ao título de Mestre em Educação em Ciências e Matemáticas, na área de concentração em Educação Matemática. Orientador: Prof. Dr. Adilson Oliveira do Espírito Santo Belém 2010 Ednilson Sergio Ramalho de Souza MODELAGEM MATEMÁTICA NO ENSINO DE FÍSICA Registros de Representação Semiótica Este exemplar corresponde à redação final da Dissertação de Mestrado de Ednilson Sergio Ramalho de Souza submetido ao IEMCI/UFPA para obtenção do título de Mestre em Educação em Ciências e Matemáticas, tendo sido aprovada em 16 de abril de 2010, pela seguinte banca examinadora: Prof. Dr. Adilson Oliveira do Espírito Santo/UFPA (Presidente/orientador) Profª. Drª. Marisa Rosâni Abreu da Silveira/UFPA (membro interno – titular) Prof. Dr. Ruy Guilherme Castro de Almeida/UEPA (membro externo – titular) Prof. Dr. Renato Borges Guerra/UFPA (membro interno – suplente) DEDICATÓRIA Dedico esta pesquisa a todos os professores, em especial aos professores de Física Ednilson Souza AGRADECIMENTOS À inteligência suprema, causa primeira de todas as coisas: DEUS, Àqueles que se uniram e trouxeram-me em carne a este mundo: meu pai Manoel e minha mãe Raimunda, Àquela que tem sido companheira e amiga: minha esposa Rosy Borges, Àquelas que me mostraram o significado de ser pai: minhas filhas Pryscila e Laiane, Ao professor e amigo Adilson Oliveira do Espírito Santo, Ao professor e amigo Ruy Guilherme Castro de Almeida, À professora e amiga Marisa Rosâni Abreu da Silveira, Ao professor e amigo Renato Borges Guerra, A todos os demais professores e funcionários do IEMCI-UFPA, desde a Sra Deise (Aux. Serv. Gerais) até à Professora Terezinha Valim (Diretora do IEMCI) que, em conjunto, possibilitam sonhos como este, A todos aqueles que, direta ou indiretamente, contribuíram para a concretização deste projeto. Ednilson Souza ABSTRACT The aim of this study is to propose reflections on the possibility of coordinating registers of semiotic representation in environment generated by Mathematical Modeling with a view to Physics teaching. Looking to answer the following question: The mobilization of records of representation in Mathematical Modeling activities can promote the conceptualization in Physics? We seek support in the theory of registers of semiotic representation of Raymond Duval (2009; 2008, 2004) and authors of repute in the area of Mathematical Modeling in education: Bassanezi (2004); Biembengut & Hein (2003); Barbosa (2001) and Chaves & Espírito Santo (2008). Methodologically, we conducted search literature on Mathematical Modeling in Physics teaching and analytical development of six (06) modeling activities. The result of literature search led to the clarification of three didactic and pedagogical resources to develop the modeling in the teaching Physics: using contextual problems, through computer simulations and through experimental activities. The development of activities revealed that the mobilization of records of representation in the environment generated by Mathematical Modeling may facilitate the conceptualization in Physics. Keywords: Mathematical Modeling; Records Semiotic; Physics Teaching. LISTA DE FIGURAS Figura 1. Estrutura de uma investigação (Fonte: Fiorentini e Lorenzato, 2007, p. 62). ............................................................................................................... 24 Figura 2. Diagrama das diferentes representações (Fonte: FERNANDES, 2000, p. 11). ..................................................................................................... 29 Figura 3. Mapa acústico construído durante uma atividade de modelagem matemática. Modelo matemático ou representação matemática? (Fonte: ROZAL, 2007, p. 109). ..................................................................................... 32 Figura 4. Tabela, gráfico e equação algébrica: três representações matemáticas do mesmo objeto matemático função do primeiro grau. Possibilitam compreensões diferentes do mesmo fenômeno físico. ................ 35 Figura 5. Atividade de tratamento e conversão (Fonte: Duval, 2008, p. 15). ... 39 Figura 6. Exemplo de tratamento: mantém-se o registro algébrico. ................ 40 Figura 7. Exemplo de conversão: muda-se o registro de representação. ....... 40 Figura 8. Articulação entre registros de representação semiótica por meio da atividade cognitiva de conversão. .................................................................... 44 Figura 9. Correspondência semântica termo a termo entre unidades significantes. ..................................................................................................... 48 Figura 10. O modelador traduz (converte), embasado em uma teoria matemática, a situação real em uma representação matemática. A representação matemática possibilita inferências, predições e explicações sobre a situação real que a originou (Fonte: BASSANEZI, 2004, p. 25). ......... 58 Figura 11. Desenvolvimento do conteúdo programático (BIEMBENGUT e HEIN, 2003, p. 22) ............................................................................................ 60 Figura 12. Dinâmica do processo de modelagem matemática no ensino (modelação matemática), proposta por Biembengut e Hein (2003, p. 26) ....... 61 Figura 13. Registro pictórico produzido por um grupo de alunos. (Fonte: LOZADA e MAGALHÕES, 2008) ..................................................................... 77 Figura 14. Gráfico da Força média em função da aceleração média. ............. 80 Figura 15. Esquema de uma usina hidrelétrica (Fonte: http://marcia.carpinski.zip.net/images/eletricidade1.jpg . Acesso em 25/09/09). Adaptado de SOUZA e ESPÍRITO SANTO, 2008a). ........................................ 83 Figura 16. Gráfico convertido da tabela elaborada durante a atividade 2. ...... 87 Figura 17. Trabalhador empurrando um objeto sobre um plano inclinado. ..... 89 Figura 18. Simulação em Java de um plano inclinado (Fonte: http://www.fisica.net/simulacoes/java/walter/ph11br/inclplane_br.php. Acesso em 15/10/09). ................................................................................................... 90 Figura 19. Gráfico da força necessária para puxar blocos de madeira em função do peso. ................................................................................................ 92 Figura 20. Forças e projeções no plano inclinado. .......................................... 96 Figura 21. Simulação em Java do lançamento de uma bala de canhão. (Fonte: http://phet.colorado.edu/sims/projectile-motion/projectile-motion_en.html. Acesso em 18/12/2009). ................................................................................ 100 Figura 22. Gráfico referente ao Alcance horizontal em função da velocidade inicial da bala de canhão. ............................................................................... 102 Figura 23. Gráfico referente ao ajuste de curva quadrático para os dados da tabela 6. ......................................................................................................... 102 Figura 24. Gráfico da altura em função do tempo médio de queda da moeda. ....................................................................................................................... 106 Figura 25. Gráfico do ajuste de curva linear para o tempo de queda da moeda. ....................................................................................................................... 107 Figura 26. Gráfico do ajuste quadrático para o tempo de queda da moeda. . 108 Figura 27. Gráfico referente ao número de imagens formadas em função do ângulo entre dois espelhos planos. ................................................................ 113 Figura 28. Gráfico referente ao ajuste de curva potencial para o número de imagens formadas em função de dois espelhos planos. ................................ 113 Figura 29. Imagem formada entre dois espelhos planos. ............................ 1135 SUMÁRIO INTRODUÇÃO ................................................................................................. 17 Justificativa do estudo ...................................................................................... 20 Problemática e questão de investigação .......................................................... 23 Caminhos metodológicos ................................................................................. 23 Apresentando a estrutura da pesquisa ............................................................. 24 CAPÍTULO I ..................................................................................................... 27 REPRESENTAÇÕES E MODELOS ................................................................ 27 1.1 Representações ...................................................................................... 27 1.2 Modelos .................................................................................................. 30 1.3 Modelo matemático ................................................................................. 31 1.4 Modelos matemáticos e objetos matemáticos ........................................ 33 CAPÍTULO II .................................................................................................... 36 A TEORIA DOS REGISTROS SEMIÓTICOS DE RAYMOND DUVAL ........... 36 2.1Aspectos gerais da teoria ......................................................................... 36 2.2 Atividades cognitivas de conversão e tratamento ................................... 39 2.2.1 Tratamento: expansão informacional ................................................ 40 2.2.2 Conversão: compreensão conceitual ................................................ 44 2.3.1 Critérios de congruência ................................................................... 47 CAPÍTULO III ................................................................................................... 50 CONSIDERAÇÕES GERAIS SOBRE MODELAGEM MATEMÁTICA ............ 50 3.1 Algumas concepções de modelagem matemática .................................. 50 3.2 O fluxo do processo de modelagem ........................................................ 55 3.3 Ambiente de modelagem matemática: uma questão de atitude ............. 62 3.4 Da escolha do tema ................................................................................ 64 3.5 Do professor............................................................................................ 65 3.8 Sobre o conteúdo previsto e o conteúdo efetivo ..................................... 65 3.7 Argumentos favoráveis e limitações ao uso da modelagem matemática 66 3.7.1 Argumentos favoráveis ..................................................................... 66 3.7.2 Restrições ao uso da modelagem matemática ................................. 67 CAPÍTULO IV ................................................................................................... 69 MODELAGEM MATEMÁTICA NO ENSINO DE FÍSICA ................................. 69 4.1 Revisão de literatura ............................................................................... 69 4.2 Problemas contextualizados ................................................................... 75 Atividade 1: homem empurrando um carro ................................................ 76 Atividade 2: Represa hidrelétrica ............................................................... 81 4.3 Simulações computacionais .................................................................... 88 Atividade 3: Plano inclinado ....................................................................... 89 Atividade 4: Tiro de canhão ..................................................................... 100 4.4 Atividades experimentais ...................................................................... 104 Atividade 5: Queda da moeda ................................................................. 105 Atividade 6: Formação de imagens em espelhos planos ......................... 111 CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................................................................... 117 REFERENCIAIS BIBLIOGRÁFICOS ............................................................. 120 17 “Não há noésis sem semiósis” (Raymond Duval, 2009) INTRODUÇÃO A citação acima nos fez refletir sobre a dificuldade que alguns alunos apresentam para externalizar seus pensamentos durante a resolução de problemas em Física. O fato é que, para resolver problemas, muitos economizam “lápis e papel”. Para eles, quanto menos for preciso escrever, menor é o “esforço” cognitivo para encontrar uma resposta. Muitos preferem até fazer cálculos mentais como estratégia, escrevendo apenas o resultado final no papel. A consequência é evidente: esses discentes não desenvolvem recursos semióticos e cognitivos (gráficos, equações, esquemas, diagramas, desenhos etc.) que facilitem a compreensão e resolução de problemas. Por outro lado, observa-se facilmente em sala de aula que os discentes que têm sucesso na resolução de problemas recorrem normalmente a uma diversidade de registros de representação semiótica1. Parece realmente haver uma ligação entre o uso desses recursos e o desenvolvimento cognitivo durante a resolução de problemas em Física. Considerando que noésis são “os atos cognitivos como a apreensão conceitual de um objeto, a discriminação de uma diferença ou a compreensão de uma inferência” (DUVAL, 2009, p. 15) e que semiósis é “a apreensão ou a produção de uma representação semiótica” (ibidem), é possível pensar, 1 Tais registros constituem o grau de liberdade de que um sujeito pode dispor para objetivar a si próprio uma idéia ainda confusa, um sentimento latente, para explorar informações ou simplesmente para poder comunicá-las a um interlocutor (DUVAL, 2009, p. 37). No processo de ensino de Física, os registros semióticos podem assumir a forma de: tabelas, gráficos, equações, esquemas, diagramas, figuras geométricas, língua natural etc. 20 esse ambiente favorece a mobilização de registros de representação. No entanto, deve-se incentivar que o discente transite por vários registros de representação de um mesmo objeto matemático, como salienta Silva e Almeida (2009), O acesso aos diferentes registros de representação semiótica em uma atividade matemática geralmente não ocorre naturalmente e o professor pode incentivá-lo. Nessa perspectiva, consideramos a Modelagem Matemática como uma alternativa pedagógica adequada a esse fim (SILVA e ALMEIDA, 2009, p. 2). Assim, o objetivo principal da pesquisa é propor reflexões sobre a mobilização de registros de representação semiótica durante o ambiente gerado pelo processo de Modelagem Matemática aplicado ao ensino de Física. Seguiremos a hipótese de que a articulação e interpretação de registros de representação em ambiente gerado pelo processo de Modelagem Matemática favorecem a compreensão significativa do conteúdo conceitual de Física. Justificativa do estudo Muito se tem discutido sobre o problema da aplicação mecânica das equações e fórmulas no ensino de Física. Os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (PCNEM) deixam clara essa preocupação, O ensino de Física tem-se realizado frequentemente mediante a apresentação de conceitos, leis e fórmulas, de forma desarticulada, distanciados do mundo vivido pelos alunos e professores e não só, mas também por isso, vazios de significado. Privilegia a teoria e a abstração, desde o primeiro momento, em detrimento de um desenvolvimento gradual da abstração que, pelo menos, parta da prática e de exemplos concretos. Enfatiza a utilização de fórmulas, em situações artificiais, desvinculando a linguagem matemática que essas fórmulas representam de seu significado físico efetivo. Insiste na solução de exercícios repetitivos, pretendendo que o aprendizado ocorra pela automatização ou memorização e não pela construção do conhecimento através das competências adquiridas. Apresenta o conhecimento como um produto 21 acabado, fruto da genialidade de mentes como a de Galileu, Newton ou Einstein, contribuindo para que os alunos concluam que não resta mais nenhum problema significativo a resolver. Além disso, envolve uma lista de conteúdos demasiadamente extensa, que impede o aprofundamento necessário e a instauração de um diálogo construtivo (BRASIL, 2000b, p. 22). A partir das diretrizes apresentadas nos PCNEM, o conhecimento escolar de Física ganhou novo fazer. Trata-se de construir uma visão da Física voltada para a formação de um cidadão contemporâneo, atuante e solidário, com instrumentos para compreender, intervir e participar na realidade que o rodeia. A Física deve ser apresentada ao estudante como um conjunto de habilidades ou competências específicas que permitam perceber e lidar com os fenômenos naturais e tecnológicos, presentes tanto na realidade mais imediata do aluno quanto na compreensão do universo distante, a partir de princípios, leis e modelos por ela construídos (BRASIL, 2000a, p. 59). O ensino de Física vem deixando de se concentrar na simples memorização de fórmulas ou repetição automatizada de procedimentos, em situações artificiais ou extremamente abstratas, ganhando consciência de que é preciso lhe dar um significado, explicitando seu sentido já no momento do aprendizado, na própria escola média (BRASIL, 2000a, p. 60). Deve-se, portanto, mudar os critérios que orientam a ação pedagógica, tomando-se como referência a pergunta “para que ensinar Física?” ao invés de “o que ensinar de Física?”. Ou seja, deve-se ter a preocupação em atribuir significado ao discurso da Física no momento de seu aprendizado. Quando se muda a questão norteadora do ensino de Física, muda-se o modo de “fazer” Física em sala de aula. Ao se seguir a lógica “do que ensinar de Física?” corre-se o risco de apresentar algo demasiadamente abstrato e distante da realidade do aluno; quase sempre supondo que os conteúdos 22 devem seguir uma ordem pré-estabelecida, por exemplo, ensina-se cinemática antes de dinâmica por que se pensa que a primeira é indispensável para a compreensão da segunda, pelo mesmo motivo ensina-se eletrostática antes de eletromagnetismo. Ao contrário, quando se toma como referência o “para que ensinar Física?” supõe-se que se esteja preparando o estudante para ser capaz de lidar com situações reais: crises de energia, problemas ambientais, manuais de aparelhos, concepções de universo, exames médicos, notícias de jornal etc. Esse objetivo mais amplo requer, sobretudo, que os jovens adquiram competências para lidar com as situações que vivenciam ou que venham a vivenciar no futuro, muitas delas novas e inéditas. Nada mais natural, portanto, que substituir a preocupação central com os conteúdos por uma identificação das competências que, se imagina, eles terão necessidade de adquirir em seu processo de escolaridade média (BRASIL, 2000a, p. 61). Assim, há competências relacionadas principalmente com a investigação e compreensão dos fenômenos físicos; enquanto há outras que dizem respeito à utilização da linguagem da Física e de sua comunicação, há ainda outras competências que tenham a ver com contextualização histórica e social do conhecimento de Física. Dessa maneira, entendemos que é preciso encontrar estratégias metodológicas de ensino de Física que favoreçam significado às representações matemáticas. Pensamos que a mobilização e interpretação de registros de representação em ambiente gerado pelo processo de Modelagem Matemática possa ser uma alternativa pedagógica que vai ao encontro dessa perspectiva. 25 científica para o sujeito. Veremos que essa discussão pode ser útil para as orientações durante o processo de modelagem. No segundo capítulo, o qual trás o título A teoria dos registros semióticos de Raymond Duval, apresentamos os principais pontos dessa teoria. Nesse momento, abordaremos sobre as atividades cognitivas de conversão e tratamento de registros semióticos. Veremos que a compreensão de um objeto matemático ocorre quando o sujeito é capaz de coordenar, por meio da atividade de conversão, pelo menos dois registros de representação semiótica. A articulação entre registros semióticos diferentes leva ao reconhecimento do objeto matemático, proporcionando a construção de relações funcionais entre variáveis do problema. Deixamos para o terceiro capítulo, cujo título é Aspectos gerais sobre modelagem matemática, tratar os aspectos teóricos referentes à Modelagem Matemática. Dialogaremos sobre as concepções de modelagem de alguns autores de renome na área, tais como: Rodney Bassanezi (2004), Jonei Barbosa (2001), Biembengut e Hein (2003) e Chaves e Espírito Santo (2008). Abordaremos também sobre a dinâmica do processo de modelagem. Finalizaremos esse capítulo explicitando nossa concepção de modelagem no ensino de Física: enfatizar a mobilização e interpretação de representações semióticas durante o processo de modelagem. O quarto e último capítulo, que trás o título Modelagem matemática no ensino de Física, é referente ao processo de modelagem no ensino- aprendizagem de Física. Após uma pesquisa bibliográfica sobre os trabalhos disponíveis na internet e posterior categorização dos mesmos, 26 desenvolveremos e analisaremos seis (06) atividades de modelagem de fenômenos físicos. O desenvolvimento dessas atividades serviu para estudar a movimentação e interpretação de registros de representação no cenário do ensino de Física. 27 CAPÍTULO I REPRESENTAÇÕES E MODELOS Temos percebido nos trabalhos publicados sobre Modelagem Matemática que o termo representação matemática comumente é confundido com o termo modelo matemático, a ponto de, muitas vezes, serem usados com o mesmo significado ou até mesmo como sinônimos, o que causa dificuldades para compreender as peculiaridades do significado de cada um desses termos, provocando obstáculos epistemológicos. O objetivo desse capítulo é refletir quanto ao emprego desses termos em trabalhos sobre Modelagem Matemática. Vamos ver o que a psicologia cognitiva diz sobre os conceitos de representação e modelo. 1.1 Representações Numa visão cognitiva, pode-se entender que “uma representação é uma notação ou signo ou conjunto de símbolos que ‘re-presenta’ algo para nós, ou seja, ela representa alguma coisa na ausência dessa coisa (EYSENCK e KEANE apud FERNADES, 2000, p. 10)2. Segundo Raymond Duval (2009, p. 30), Piaget recorre à noção de representação como “evocação dos objetos ausentes” (grifos do autor). Ainda segundo Duval (ibidem), as representações podem ser classificadas de acordo com as oposições interna/externa e consciente/não-consciente (Quadro 1). 2 EYSENK, M. E; KEANE, M. T. Cognitive pisichology: a student’s hadbook. Hove: Lawrence Erlbaum, 1990. 30 1.2 Modelos Bassanezi (2004, p. 19) argumenta que ao se procurar refletir sobre uma parte da realidade, na tentativa de explicar, de entender, ou de agir sobre ela, o processo comum é selecionar, no sistema, argumentos ou parâmetros considerados essenciais e formalizá-los através de um sistema artificial: o modelo. Depreende-se da citação de Rodney Bassanezi que um modelo deve ser funcional no sentido de possibilitar interpretações (explicações e descrições). O que pode ser corroborado por Pinheiro (2001, p. 38) “Os modelos, devido à sua flexibilidade, podem desempenhar diversas funções, às vezes até simultaneamente. Eles podem servir para compreender, explicar, prever, calcular, manipular, formular”. Borges (1997, p. 207) contribui ressaltando que, Um modelo pode ser definido como uma representação de um objeto ou uma idéia, de um evento ou de um processo, envolvendo analogias Portanto, da mesma forma que uma analogia, um modelo implica na existência de uma correspondência estrutural entre sistemas distintos. Se isso não fosse assim, os modelos teriam pouca utilidade. Esse autor argumenta também que quando uma coisa é análoga a outra, implica que uma comparação entre suas estruturas é feita e a analogia é o veículo que expressa os resultados de tal comparação. Analogias são, portanto, ferramentas para o raciocínio e para a explicação (Ibidem). Entende-se, portanto, que um modelo é uma representação de alguma coisa que deve ser funcional, isto é, deve possibilitar interpretações por meio de analogias entre o representante e o representado. 31 Por exemplo, o modelo de um motor de carro (uma planta, uma maquete, um protótipo) deve permitir que o engenheiro o explique e o descreva visando tomar decisões a partir da interpretação desse modelo. Para um leigo, essa representação de motor não será um modelo, visto que não possibilitará nenhuma explicação científica, não será funcional. Será uma representação sem interpretação científica, apenas estará no lugar do motor na ausência deste. É certo afirmar que as interpretações baseadas em uma representação dependem, entre outras coisas, do conhecimento prévio (do repertório cognitivo) do sujeito. Desta maneira, a distinção entre esses dois termos (representação e modelo) não é algo trivial, ocorre a nível mental, a nível cognitivo. 1.3 Modelo matemático Considerando o exposto acima, somos levados a considerar que um modelo matemático é uma representação matemática que possui certa funcionalidade, isto é, possibilita interpretação e ação (tomada de decisão) sobre o objeto de estudo; é uma representação matemática que deve servir para explicar ou descrever cientificamente alguma coisa. Isso implica que a distinção entre representação matemática e modelo matemático é interna ao sujeito, ocorre em função de seu repertório de conhecimentos. O mapa acústico da figura 3 poderá ajudar a exemplificar nossa reflexão. 32 Figura 3. Mapa acústico construído durante uma atividade de modelagem matemática. Modelo matemático ou representação matemática? (Fonte: ROZAL, 2007, p. 109). Esse mapa acústico pode ser considerado um modelo matemático? Ele propicia alguma informação matemática que possa ser deduzida por inferência? Pode-se predizer alguma tendência matemática? Pode-se explicar ou descrever o objeto representado? Vamos analisar essas perguntas de duas maneiras: uma análise ingênua do mapa não seria capaz de inferir informações matemáticas implícitas, não conseguiria predizer alguma tendência matemática significativa. Uma pessoa mais experiente, habilidosa e capacitada ao ler esse tipo de mapa provavelmente inferiria informações matemáticas e físicas implícitas na figura. Poderia, com certa facilidade, predizer algum comportamento matemático ou físico. No primeiro caso, a figura seria uma representação matemática. No segundo, seria uma representação do tipo modelo matemático. Depreende-se desse exemplo que o conceito de modelo matemático torna-se relativo quando se leva em consideração o conhecimento prévio do indivíduo. Ou seja, o que é modelo matemático para um sujeito pode não ser para outro. 35 Física pode ser representada por diversas representações semióticas e que tais representações dizem respeito ao mesmo objeto matemático. A figura 4 mostra três representações matemáticas da mesma situação física, as quais representam o mesmo objeto matemático função do primeiro grau. Cada representação matemática possibilita uma interpretação peculiar do fenômeno físico. A tabela permite identificar relações entre as variáveis dependentes e independentes de forma pontual. O gráfico permite construir um traçado (reta) para melhor analisar a tendência da situação física. A equação permite fazer previsões de forma mais abrangentes por meio de processos de derivação e integração. Figura 4. Tabela, gráfico e equação algébrica: três representações matemáticas do mesmo objeto matemático função do primeiro grau. Possibilitam compreensões diferentes do mesmo fenômeno físico. No próximo capítulo, aprofundaremos nosso estudo sobre representações semióticas. a (m/s²) F (N) 0 2 4 6 0 16 32 48 0 2 16 F (N) a (m/s²) F = 8 a 36 CAPÍTULO II A TEORIA DOS REGISTROS SEMIÓTICOS DE RAYMOND DUVAL O seguinte capítulo tem como objetivo apresentar, de maneira geral, a teoria dos registros de representação semiótica idealizada pelo psicólogo francês Raymond Duval. 2.1 Aspectos gerais da teoria Para falar sobre essa teoria, alicerçaremo-nos, basicamente, na tradução de Levy e Silveira (2009) referente à introdução e primeiro capítulo do livro original Sémiosis et Pensée Humaine: Registres Sémiotiques et Apprentissages Intellectuels (Sémiosis e pensamento humano: registros semióticos e aprendizagens intelectuais). Raymond Duval, filósofo e psicólogo de formação, desenvolve atualmente seus estudos relativos à psicologia cognitiva no Instituto de Pesquisa em Educação Matemática (IREM) de Estrasburgo (França). Tem contribuído fortemente para as pesquisas em Educação Matemática. Sua teoria é complexa (como são quase todas as teorias na área da psicologia cognitiva) e propõe que o pensamento e o processo de conceitualização (matemática) possuem “laços” com a semiótica mobilizada pelo sujeito para objetivar tal pensamento. Afirma que a “compreensão em matemática supõe a coordenação de ao menos dois registros de representações semióticas” (DUVAL, 2008, p. 37 15). Deste modo, ele parte do princípio que a semiósis4 interfere diretamente na noésis5. Raymond Duval (2009, p. 37) propõe o termo registros de representação semiótica para designar os graus de liberdade que um sujeito pode dispor para objetivar a si próprio uma idéia ainda confusa, um sentimento latente, para explorar informações ou simplesmente para poder comunicá-las a outro sujeito. A originalidade de uma abordagem cognitiva não está em partir dos erros para tentar determinar as “concepções” dos alunos e a origem de suas dificuldades em álgebra, em decimais, neste ou naquele conceito geométrico etc. A originalidade da abordagem cognitiva está em procurar inicialmente descrever o funcionamento cognitivo que possibilite a um aluno compreender, efetuar e controlar ele próprio a diversidade dos processos matemáticos que lhe são propostos em situações de ensino (DUVAL, 2008, p. 12). Ou seja, a originalidade da atividade matemática e, por conseguinte, da atividade matemática em Física, está em mobilizar, simultaneamente, pelo menos, dois registros de representação ou em trocar, a todo o momento, o registro com que se trabalha nessas atividades. Ele argumenta que uma das principais dificuldades da aprendizagem em Matemática ocorre quando o sujeito confunde o objeto matemático com sua representação. Torna-se uma tarefa difícil para o aluno distinguir o objeto de sua representação, uma vez que ele não tem acesso direto ao mundo matemático, mas o faz por meio de suas representações. É o que ele chama de paradoxo cognitivo do pensamento matemático (DUVAL, 2009, p. 9). 4Signo, marca distintiva, ação de marcar um signo, produções ligadas às práticas significantes (Duval, 2009, p. 15). 5 Intelecção, ato de compreensão conceitual, pensamentos e vividos intencionais (ibidem). 40 Por exemplo, a transformação 5x=10 x=10/5 x=2 Figura 6. Exemplo de tratamento: mantém-se o registro algébrico. Corresponde a uma transformação de tratamento interno a um registro de representação, pois, manteve-se o registro algébrico. Já a transformação: 0 3 15 x y y = 5x → Figura 7. Exemplo de conversão: muda-se o registro de representação. Corresponde a uma conversão, pois, houve mudança de sistema de representação: do algébrico para o gráfico cartesiano. 2.2.1 Tratamento: expansão informacional Um tratamento é a transformação de uma representação obtida como registro inicial em uma representação considerada como registro terminal em relação a uma questão, a um problema ou a uma necessidade, os quais fornecem o critério de “chegada” na série de transformações efetuadas. O 41 tratamento é uma transformação de representação interna a um registro de representação ou a um sistema. Ao contrário do que se possa imaginar precipitadamente, o tratamento não é específico dos registros matemáticos, pode ocorrer, por exemplo, nos registros do discurso da língua natural6: a paráfrase reformula um enunciado dado em outro, seja para substituí-lo, seja para explicá-lo. Ou seja, a paráfrase é uma transformação interna (tratamento) ao registro do discurso na língua natural (DUVAL, 2009, p. 57). De uma maneira mais geral, podemos dizer que o tratamento de uma representação semiótica corresponde a sua expansão informacional. No caso da linguagem isso é evidente: o poder criativo de toda linguagem repousa sobre uma expansão discursiva cuja paráfrase é a forma mais pobre (Ibidem). Dado o aspecto polissêmico da língua natural, a expansão discursiva de seu tratamento parece não ter um ponto de chegada. Basta analisarmos os aspectos semânticos e discursivos da frase abaixo para perceber isso: A matemática é uma linguagem que precisa ser interpretada!
A matemática como linguagem precisa ser interpretada.
A linguagem matemática precisa ser interpretada.
A linguagem da matemática precisa ser interpretada
Etc (qual o ponto de chegada do tratamento dado à frase inicial?) 6 Segundo o professor Erasmo Borges durante mesa redonda do Colóquio Educação em Ciências e Matemáticas: perspectivas interdisciplinares (2009), a língua natural corresponde aos diferentes idiomas falados (Português, Francês, Inglês), já a língua materna corresponde à língua do local onde a pessoa nasce (língua nativa). 42 O mesmo não ocorre com a linguagem matemática, que, procurando ser universal, “perde” esse caráter polissêmico, ficando mais ou menos nítido o ponto de chegada. Observemos o tratamento a seguir: 3 + 5 − 8 = 0 ∆=  − 4 ∆= 25 − 4.3. −8) ∆= 121 = − ± √∆2 = −5 ± 116  = 1  = −2,7 (ponto de chegada do tratamento dado à equação inicial) As regras para expandir ou tratar uma representação são definidas como regras que, uma vez aplicadas, resultam em uma representação de mesmo registro que a de partida. São regras que se processam em duas direções. Certas regras de tratamento não são de forma alguma específicas a um registro de representação. É o caso das regras de derivação: elas são comuns a todos os raciocínios do tipo dedutivo. Porém, esses raciocínios podem ser efetuados no registro de uma língua formal tanto quanto naquele da língua natural (DUVAL, 2009, p. 58). O físico pode deduzir uma equação diferencial a partir da observação de um fenômeno usando as mesmas regras de derivação que o matemático usa para fazer demonstrações. 45 diferente da representação de partida. A conversão requer que se perceba a diferença entre a forma e o conteúdo da representação. Sem a percepção dessa diferença a atividade de conversão torna-se impossível ou incompreensível (DUVAL, 2009, p. 59). Diferentemente das regras de tratamento, salvo algumas exceções, as regras de conversão são de direção única “...as regras de conversão não são as mesmas segundo o sentido no qual a mudança de registro é efetuada” (DUVAL, 2009, p. 61). Por exemplo, para quantos enunciados em língua natural é possível converter a equação 5 = 10? Talvez por isso “...a conversão das representações semióticas constitui a atividade cognitiva menos espontânea e mais difícil de adquirir para a grande maioria dos alunos” (ibidem, p. 63). Observando-se relatos de atividade de modelagem, verifica-se que alguns discentes têm dificuldades de passar de um gráfico cartesiano a uma equação algébrica. Isso porque a atividade de conversão exige custo cognitivo acentuado. O uso do computador pode auxiliar na tarefa de conversão de registros de representação. No entanto, não podemos preterir a importância cognitiva de se usar “lápis e papel” nessa tarefa. 2.3 Os fenômenos de congruência e não-congruência Quando o registro de saída de uma conversão “lembra” o mesmo objeto matemático representado no registro de entrada, dizemos que houve o fenômeno da congruência. Nesse caso, os alunos reconhecem (ou deveriam reconhecer) o mesmo objeto matemático através de duas representações semióticas diferentes. Por exemplo, a conversão do registro algébrico para o 46 registro gráfico cartesiano onde o sujeito “percebe” estar se tratando do mesmo objeto matemático função do primeiro grau é dita de congruente. Porém, se o registro de saída “não lembra” o mesmo objeto matemático representado no registro de entrada, dizemos que houve o fenômeno da não-congruência na conversão, o aluno dificilmente reconhece o mesmo objeto matemático em duas representações semióticas não-congruentes. Para determinar se duas representações são congruentes ou não, segmenta-se em suas unidades significantes7 respectivas, de tal modo que elas possam ser colocadas em correspondência. Ao final dessa segmentação comparativa, pode-se então ver se as unidades significantes são, em cada um dos dois registros, unidades significantes simples ou combinações de unidades simples. Essa comparação pode ser feita diretamente ou por meio de uma representação auxiliar que “codifique” de alguma forma as representações a comparar (DUVAL, 2009, p. 66). Por exemplo, seja o registro pictórico . Essa figura comporta três unidades de significado:
O carro;
A placa;
A estrada; Qualquer conversão desse registro para um registro em língua natural deve levar em consideração pelo menos uma dessas unidades significantes como “âncora”. Tomemos a placa como posição de ancoragem para a 7 Considera-se como unidade significante elementar toda unidade que se destaca do “léxico” de um registro (DUVAL, 2009). Uma palavra, uma expressão ou uma figura são exemplos de unidades significantes. 47 apreensão perceptiva da imagem. Poderíamos então convertê-la para o seguinte registro língua natural: o carro está atrás da placa. É possível codificar esse registro da seguinte forma: Chamando de A e B, respectivamente, o carro e a placa, e simbolizando a locução “está atrás da” por “<”, poderíamos formar um código simbólico para esse registro: A < B. Deste modo A < B é uma representação algébrica que codifica a frase “o carro está atrás da placa”. Assim, converte-se o registro pictórico no registro simbólico A < B. Sendo também possível a conversão inversa. Devido um registro “lembrar” o outro, dizemos que essa conversão é congruente. A “capacidade” de interpretar uma representação matemática depende, além do repertório de conhecimentos do sujeito, do grau de congruência do modelo matemático. Uma representação congruente, que “lembre” a situação original, possibilitará interpretação mais eficaz; já uma representação não- congruente, que não “lembre” a situação original, possibilitará uma leitura menos eficaz. Acreditamos que o estudo do grau de congruência de modelos matemáticos possa contribuir para o desenvolvimento do processo de Modelagem Matemática. Tal estudo pode ser feito por meio dos critérios de congruência de Duval. 2.3.1 Critérios de congruência Baseando-nos em Duval (2009, p. 68-69), podemos relacionar três critérios de congruência. O primeiro critério é a possibilidade de uma correspondência semântica termo a termo dos elementos significantes. A cada unidade significante simples de uma das representações, pode-se associar uma unidade significante elementar da outra. No exemplo dado mais acima 50 CAPÍTULO III CONSIDERAÇÕES GERAIS SOBRE MODELAGEM MATEMÁTICA Nesse capítulo, apresentaremos principais pontos sobre Modelagem Matemática. Veremos algumas concepções de modelagem, o fluxo do processo de modelagem, suas vantagens e restrições quando usada como proposta de ensino e aprendizagem. 3.1 Algumas concepções de modelagem matemática No primeiro capítulo, argumentamos que, no que tange ao cognitivo, podemos distinguir representação matemática de modelo matemático. Consideramos que um modelo matemático é uma representação matemática que permite algum tipo de interpretação científica sobre o representado. Se o sujeito não possuir conhecimentos prévios suficientes para interpretar a representação matemática, esta não será funcional, será uma representação semiótica sem significado científico algum. Ao processo de construção de modelos matemáticos, chamamos de modelagem matemática. Logo, estamos considerando que modelagem matemática é um processo que visa elaborar e refinar representações matemáticas que possam servir para explicar, descrever uma situação da realidade. Vamos ver o que dizem alguns autores sobre modelagem matemática. Bassanezi (2004, p. 24) apreende por modelagem matemática, 51 “Modelagem Matemática é um processo dinâmico utilizado para a obtenção e validação de modelos matemáticos. É uma forma de abstração e generalização com a finalidade de previsão de tendências. A modelagem consiste, essencialmente, na arte de transformar situações da realidade em problemas matemáticos cujas soluções devem ser interpretadas na linguagem usual” [grifo do autor]. Observa-se que, para este autor, a finalidade do processo da Modelagem Matemática consiste em traduzir uma situação real em representações matemáticas que deverão ser interpretadas para a linguagem usual. Para Dionísio Burak (1992, p. 62), a Modelagem Matemática compreende um conjunto de procedimentos visando construir um paralelo para tentar explicar por meio da matemática os fenômenos do dia-a-dia do homem, auxiliando-o a fazer predições e tomar decisões. Infere-se dessa concepção de Burak que o termo paralelo pode ser substituído pelo termo modelo. Sendo assim, para o mesmo, o modelo matemático deve levar não somente à explicação matemática dos fenômenos do dia-a-dia, mas também levar a predições e decisões. Para o sujeito assumir decisões baseando-se em um modelo matemático, ele deve, necessariamente, fazer uso de suas experiências (sociais, culturais, políticas), capacidade cognitiva, habilidade para fazer análises etc. Chaves e Espírito Santo (2008), ao refletirem sobre as diversas possibilidades de uso e aplicação da modelagem matemática no ensino, entendem a mesma como um processo gerador de um ambiente de ensino- aprendizagem no qual os conteúdos matemáticos podem ser vistos imbricados 52 a outros conteúdos de outras áreas do conhecimento, por exemplo, de Física; tendo-se, dessa forma, uma visão holística do problema em investigação. Entendemos que um ambiente de ensino e aprendizagem é construído no espaço sala de aula, sem necessariamente se restringir a ele, a partir do momento em que, cada um de seus participantes, alunos e professores, assumem responsabilidades e obrigações pelo desenvolvimento de atividades que visem o ensino e a aprendizagem do conhecimento, aqui, em particular, o matemático. E, ao entender Modelagem Matemática como um processo gerador de um ambiente de ensino e aprendizagem que tem as atividades como mote, englobamos nesse processo várias possibilidades para o uso da Modelagem na perspectiva da Educação Matemática (CHAVES e ESPÍRITO SANTO, 2008, p. 159). [grifos dos autores] A concepção de modelagem matemática como um processo gerador de ambiente de ensino-aprendizagem pode ser mais bem compreendida por analogia a um motor que gera energia elétrica. O motor “gerador” seria o processo de Modelagem Matemática e a energia elétrica seria o ambiente de ensino-aprendizagem que foi gerado. Da mesma maneira que a energia elétrica pode ser usada para várias finalidades e aplicações, o ambiente de ensino-aprendizagem gerado pelo processo de Modelagem Matemática pode ser voltado para vários tipos de conhecimentos: Matemática, Física, Química, Economia etc. São várias possibilidades de uso e aplicação do ambiente gerado pelo processo de Modelagem Matemática no ensino. Biembengut e Hein (2003, p. 12) entendem modelagem matemática como uma arte que envolve a formulação, a resolução e a elaboração de expressões que servirão não apenas para uma solução em particular, mas que sejam usadas para outras aplicações e teorias. 55 Isso exige que o sujeito articule, coordene ou transite por diversas representações semióticas para externalizar o seu raciocínio durante o processo gerado pela modelagem. A mobilização por meio de conversões semióticas entre as várias representações matemáticas da mesma situação de Física evidencia que ele compreende suas ações e, portanto, atribui significado ou apreende significativamente o objeto de estudo. Deste modo, pensamos que “ter uma concepção do processo de Modelagem importa para a forma como se coloca em prática ou como se cria e organiza atividades dessa natureza para a sala de aula” (CHAVES e ESPÍRITO SANTO, 2008, p. 150). É nesse sentido que conduzimos nossas atividades de Modelagem Matemática no ensino de Física no sentido de enfatizar a mobilização de registros de representação referentes a um mesmo problema real. 3.2 O fluxo do processo de modelagem Sendo um processo, a modelagem matemática no ensino pode ser efetivada seguindo-se algumas fases ou etapas. Uma delas refere-se à escolha de um tema de pesquisa, por exemplo, Poluição. Outra fase seria uma pesquisa propedêutica sobre o tema. O objetivo dessa etapa é promover um primeiro contato com o tema quando se trata de um assunto totalmente novo para os estudantes. Continuando o processo, procura-se formular questionamentos: que tipos de poluições existem atualmente? Outra etapa seria a formulação ou identificação de um problema real: em quanto tempo um motorista de ônibus pode perder totalmente sua capacidade auditiva? A resolução do problema real, que exige pesquisa e investigação, culmina com a elaboração de modelos matemáticos, que seria outra etapa do processo de 56 modelagem. Por fim, devemos fazer uma avaliação crítica do modelo construído: limite de validade, aplicação em outros problemas. Pensamos que o fluxo do processo pode ser seguido mais ou menos como descrevemos acima, porém, vamos ver o que dizem outros autores. Rodney Bassanezi (2004, p. 26) propõe cinco passos ou atividades intelectuais para que ocorra o fluxo do processo de modelagem: • Experimentação: O objetivo dessa fase é a obtenção de dados. O uso de métodos e técnicas estatísticas na pesquisa experimental possibilita maior grau de confiabilidade dos dados obtidos. No ensino de Física essa etapa é essencial quando se trabalha com experiências de laboratório. Os alunos são responsáveis por fazer medições de experimentos com uso de aparelhos. • Abstração: Esse procedimento deve levar à formulação de modelos matemáticos. Nessa fase procura-se estabelecer: a seleção de variáveis cognitivas (os conceitos ou variáveis com os quais se lidam devem ser claramente identificados e compreendidos); a problematização ou formulação aos problemas teóricos numa linguagem própria da área em que se está trabalhando (problematiza-se por meio de perguntas científicas que levam à explicitação das relações existentes entre os conceitos ou variáveis envolvidas no fenômeno); a formulação de hipóteses (que podem ser geradas por comparação com outros estudos, dedução lógica, experiência pessoal do modelador, observação de casos singulares da própria teoria, analogia de sistemas etc.); a simplificação (consiste em restringir algumas informações observadas 57 no fenômeno para que se possa obter um modelo matematicamente tratável). • Resolução: consiste no tratamento matemático dado ao modelo, ou seja, na resolução de equações (diferenciais, integrais, de diferenças finitas, algébricas etc.). • Validação: nesta fase os modelos matemáticos serão testados para ver em que grau eles correspondem às observações empíricas e às previsões de novos fatos. É nessa etapa que o modelador deve ter a atitude de converter o modelo matemático obtido em diferentes representações matemáticas (tabelas, gráficos, equações) bem como fazer a interpretação das várias formas de se representar um mesmo problema de Física. • Modificação: nenhum modelo deve ser considerado definitivo, podendo sempre ser melhorado, desta maneira um bom modelo é aquele que propicia a (re)formulação de novos modelos. Dessa maneira, o modelador apóia-se em uma teoria matemática para traduzir o problema real para a linguagem matemática – em forma de modelo matemático – onde será analisado com o ferramental matemático disponível ou a ser “criado”9. Por outro lado, analisando o modelo matemático pode-se fazer uma “leitura” da realidade que o originou. 9 Bassanezi informa que “A modelagem pode vir a ser o fator responsável para o desenvolvimento de novas técnicas e teorias matemáticas quando os argumentos conhecidos não são eficientes para fornecer soluções dos modelos“ (2004, p. 30). 60 exercícios (convencionais, aplicados, demonstrações) serve como meio de avaliar se os conteúdos apresentados foram apreendidos; c) Modelo Matemático: trata-se da interpretação da solução e validação do modelo por meio de uma avaliação. É o momento de se avaliar o modelo matemático quanto à validade e à importância. Dessa forma, os alunos analisam o resultado obtido. O esquema abaixo esclarece melhor a subetapa desenvolvimento do conteúdo programático, Exposição do tema Levantamento e seleção de questões Formulação de questão Resolução de uma questão Modelo Validação Conteúdo programático Exemplos análogos Figura 11. Desenvolvimento do conteúdo programático (BIEMBENGUT e HEIN, 2003, p. 22) • Orientação de modelagem: deve-se fazer um planejamento de aulas prevendo-se um tempo disponível para orientar os trabalhos de modelagem em sala de aula. Essa orientação deve criar condições para que os alunos aprendam a (re)criar modelos matemáticos, aprimorando seus conhecimentos. • Avaliação do processo: subjetivamente, pode-se avaliar levando-se em consideração: a participação do aluno, assiduidade, cumprimento das tarefas, espírito comunitário. Objetivamente, a avaliação pode ser feita através de: provas, exercícios, trabalhos realizados. A figura 12 mostra, de forma resumida, a dinâmica da modelagem matemática no ensino (modelação matemática) proposta por Biembengut e Hein (2003), 61 Escolha do tema Formulação Resolução Modelo Seminário Organização do trabalho escrito e exposição oral Pesquisa Levantamento de questões Síntese Pesquisa Validação do modelo Figura 12. Dinâmica do processo de modelagem matemática no ensino (modelação matemática), proposta por Biembengut e Hein (2003, p. 26) Para Dionísio Burak (2004, p. 3), o processo de Modelagem Matemática pode ser desenvolvido em sala de aula também em cinco fases: • Escolha do tema: o trabalho com a modelagem matemática parte de temas que são escolhidos por grupos de alunos de três (03) ou quatro (04) participantes; • Pesquisa exploratória: pesquisa de campo, onde serão levantados problemas. Os conteúdos conceituais serão abordados de acordo com os problemas levantados; • Levantamento dos problemas: os problemas levantados são conseqüência da coleta de dados realizada na pesquisa exploratória; • Resolução do(s) problema(s) e o desenvolvimento da Matemática relacionada ao tema: nessa etapa se oportuniza a construção de modelos matemáticos, que mesmo simples, contribuem para a formação do pensar matemático; • Análise crítica da(s) solução(es): reflexão sobre a coerência entre o modelo matemático encontrado com a realidade. 62 As etapas ou fases do processo de modelagem mostradas mais acima não devem ser pensadas como uma “forma-padrão” para “fazer modelagem”. São sugestões que os autores sugerem com base em suas práticas de modelagem. 3.3 Ambiente de modelagem matemática: uma questão de atitude Um ambiente desenvolvido em situações de ensino-aprendizagem ocorre em função das decisões que o professor, baseando-se nos seus objetivos e em sua metodologia, realiza em classe. Dessa forma, em um processo de ensino e de aprendizagem podem ser gerados, basicamente, dois ambientes: i) um ambiente centrado na figura, principalmente, do professor ou ii) um ambiente em que o aluno é mais participativo e atuante. O primeiro refere-se ao dito “método tradicional de ensino” e o segundo tem as características do ambiente gerado pela Modelagem Matemática. O ambiente centrado somente na figura do professor é o que normalmente predomina em nossas instituições de ensino (escolas, universidades, faculdades). Esse ambiente, gerado pelo método tradicional, não oportuniza de maneira relevante o conhecimento declarativo do aprendiz, pois o aluno não é incentivado a investigar, a pesquisar, a questionar, a problematizar, a conjecturar, enfim, não é estimulado a refletir. Esse ambiente de ensino foi o que Paulo Freire chamou de ambiente “bancário”, A narração, de que o educador é o sujeito, conduz os educandos à memorização mecânica do conteúdo narrado. Mais ainda, a narração os transforma em “vasilhas”, em recipientes a serem “enchidos” pelo educador. Quanto mais vá “enchendo” os recipientes com seus “depósitos”, tanto melhor educador será. Quanto mais se deixem docilmente “encher”, tanto melhores educandos serão (FREIRE, 2007, p. 66). 65 3.5 Do professor O professor deve proporcionar um ambiente de liberdade e descontração, exercendo, quando necessário, regência de classe para garantir o andamento do processo. O papel do professor no ambiente de modelagem assume características diferentes do método tradicional. Assumindo um papel de mediador das atividades de modelagem: orienta o trabalho, tira dúvidas, explica pontos confusos, instiga, propõe problemas, faz perguntas e comentários. Muitas vezes, quando um assunto necessita de maior explicação, o professor deve fazer uso de uma aula expositivo-argumentativa, podendo usar, sempre que necessário, o quadro branco como apoio didático. Contudo, muitas vezes o professor pode sentir-se impotente diante de alguma situação nova que ele não domina (BURAK, 1992). Para superar as dificuldades encontradas, além de contar com os próprios alunos para resolvê- la ao explicar o motivo de seu descontentamento, o professor pode recorrer a profissionais específicos para retirar suas dúvidas: médicos, engenheiros, físicos etc. 3.6 Sobre o conteúdo previsto e o conteúdo efetivo Existe uma preocupação muito grande de alguns coordenadores pedagógicos quanto ao cumprimento do conteúdo previsto quando se trabalha com a modelagem matemática (BURAK, 1992). Há conteúdos que são difíceis de trabalhar com o processo de modelagem, por exemplo: polinômios, radicais, física nuclear, física quântica. Porém, existem outras maneiras de se imbricar conteúdos que não foram contemplados durante o processo de modelagem: pesquisa dirigida, seminários, aulas expositivo-argumentativas. 66 Outro fator com relação ao conteúdo é que no trabalho com a modelagem a seqüência do programa é flexível, não seguindo uma ordem pré- definida. A ordem dos conteúdos é determinada pelo tema, assunto ou problema escolhido. 3.7 Argumentos favoráveis e restrições ao uso da modelagem matemática Considerando ou não os argumentos e obstáculos a seguir, devemos ter consciência que o processo de modelagem matemática deve ter como pressuposto a construção e aplicação significativa de modelos matemáticos. E, a julgar pelas nossas pesquisas práticas e ao que indicam as pesquisas consultadas, ela favorece essa significação (BASSANEZI, 2004). 3.7.1 Argumentos favoráveis Bassanezi (2004, p. 36) relaciona os seguintes argumentos favoráveis ao uso da modelagem matemática no ensino: i) Argumento formativo: enfatiza aplicações matemáticas e o desempenho da modelagem matemática e resolução de problemas como processo para desenvolver capacidade em geral e atitudes dos estudantes, tornando-os investigativos, criativos e habilidosos na resolução de problemas. ii) Argumento de competência crítica: focaliza a preparação dos estudantes para a vida real como cidadãos estudantes na sociedade, competentes para ver e formar juízos próprios, reconhecer e entender exemplos representativos de aplicações de conceitos matemáticos. 67 iii) Argumento de utilidade: enfatiza que a instrução matemática pode preparar o estudante para utilizar a matemática como ferramenta para resolver os problemas em diferentes situações e áreas. iv) Argumento intrínseco: considera que a inclusão de modelagem, resolução de problemas e aplicações fornecem ao estudante um rico arsenal para entender e interpretar a própria matemática em todas as suas facetas. v) Argumento de aprendizagem: garante que os processos aplicativos facilitam ao estudante compreender melhor os argumentos matemáticos, guardar os conceitos e os resultados, e valorizar a própria matemática. vi) Argumento de alternativa epistemológica: a modelagem também se encaixa no programa etnomatemática, indicado por Ubiratan D’Ambrosio, que propõe um enfoque epistemológico alternativo associado a uma historiografia mais ampla. Parte da realidade e chega, de maneira natural e através de um enfoque cognitivo com forte fundamentação cultural, à ação pedagógica, atuando, desta forma, como uma metodologia alternativa mais adequada às diversas realidades sócio-culturais. 3.7.2 Restrições ao uso da modelagem matemática Bassanezi (2004, p. 37) também elenca as seguintes dificuldades ao uso da modelagem matemática no ensino: i) Restrições instrucionais: os cursos regulares possuem um programa que deve ser desenvolvido completamente. A modelagem pode ser um processo muito demorado, não dando tempo para cumprir o programa todo. Por outro lado, alguns professores têm dúvidas se as aplicações e conexões com outras 70 Quadro 3. Trabalhos encontrados na internet sobre o tema Modelagem Matemática e ensino de Física. PESQUISAS DE CUNHO TEÓRICO Título/Autor(es)/Site/Descrição 1) A modelagem matemática aplicada ao ensino de Física no ensino médio C. O. Lozada e colaboradores http://www.ffcl.edu.br/logos/artigos/2006b/ARTIGO1-pag2-ClaudiaLozada-logos-14-2006.pdf Um artigo onde os autores abordam a questão da importância dos modelos matemáticos para o ensino de Física. Após a introdução, onde os autores ressaltam a importância do ferramental matemático na construção de modelos matemáticos, é feita uma reflexão a cerca da modelagem matemática, dos campos conceituais de Vergnaud e da teoria dos modelos mentais. Os autores prosseguem abordando a questão da transposição didática por meio dos modelos matemáticos. A problemática do ensino de Física e os modelos matemáticos é abordada no sentido de que seja privilegiada uma ação colaborativa entre professores de Física e Matemática. Os autores concluem enfatizando a necessidade de um trabalho interdisciplinar entre Matemática e Física e também sobre a importância da interpretação dos modelos matemáticos aplicados em Física. 2) Modelagem matemática de fenômenos físicos envolvendo grandezas proporcionais e funções do primeiro grau, através de atividades experimentais L. S. Campos e M. S. T de Araújo http://www2.rc.unesp.br/eventos/matematica/ebrapem2008/upload/269-2-A-gt9-Campos-ta.pdf Uma comunicação científica em que os autores expõem as principais idéias de uma pesquisa de dissertação de mestrado a qual terá como objetivos principais a representação de algumas grandezas físicas através de princípios matemáticos básicos e análise dessas grandezas no que diz respeito às tendências e aos limites de validades dessas representações construídas a partir de atividades experimentais. 3) Modelagem no ensino/aprendizagem de física e os novos parâmetros curriculares nacionais para o ensino médio E. A. Veit e V. D. Teodoro http://www.scielo.br/pdf/rbef/v24n2/a03v24n2.pdf O artigo discute a importância da modelagem no ensino-aprendizagem de física em conexão com os novos parâmetros curriculares nacionais para o ensino médio (PCNEM). Apresentam-se as características essenciais do software modellus, concebido especialmente para a modelagem em ciências físicas e matemáticas sob uma visão de ensino que enfatiza, no processo de aprendizagem, a exploração e a criação de múltiplas representações de fenômenos físicos e de objetos matemáticos. Os autores concluem que numa perspectiva mais ampla é necessária uma reflexão sistemática sobre o melhor processo de concretizar uma visão integrada dos conteúdos e sobre o papel das ferramentas computacionais nessa visão. 4) Modelagem computacional no ensino de física E. A. Veit e I. S. Araújo http://www.if.ufrgs.br/cref/ntef/producao/modelagem_computacional_Maceio.pdf O objetivo do artigo é esclarecer o que são os modelos científicos (modelos matemáticos) e como eles podem ser implementados em sistemas computacionais de modo a abrir novas perspectivas no ensino- aprendizagem de física. Os autores exploram o uso do software modellus como ferramenta de modelagem computacional no ensino de física. 5) Alternativas de modelagem matemática aplicada ao contexto do ensino de física: a relevância do trabalho interdisciplinar entre matemática e física C. O. Lozada http://www.sbem.com.br/files/ix_enem/Html/comunicacaoCientifica.html O objetivo do artigo é sugerir alternativas didático-pedagógicas ao desenvolvimento da modelagem matemática aplicada ao ensino de física. Após a introdução, onde a autora agumenta sobre a importância da resolução de problemas no ensino de física, são tecidos comentários sobre a modelagem matemática e a linguagem simbólica. Após isso a autora discorre sobre a resolução de problemas em física. Comenta sobre as contribuições teóricas da teoria dos campos conceituais de Vergnaud para a modelagem matemática aplicada ao ensino de física. A autora propõe então três alternativas didático- pedagógicas ao desenvolvimento da modelagem matemática aplicada ao ensino de física. 71 PESQUISAS DE CUNHO DIDÁTICO-PEDAGÓGICO Título/Autor(es)/Site/Descrição 1) A modelagem matemática como metodologia para o ensino-aprendizagem de Física E. S. R. de Souza e A. O. do Espírito Santo http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/diaadia/diadia/arquivos/File/conteudo/artigos_teses/fisica/arti gos/ednilson.pdf Um artigo onde os autores propõem uma atividade de modelagem matemática voltada ao ensino de Física. Após discorrer sobre o conceito de modelagem matemática e sobre a dinâmica do processo de modelagem, os autores apresentam uma atividade de modelagem matemática do tema Energia Mecânica. Os autores refletem que o processo de modelagem aplicado ao ensino de Física possibilita ações interdisciplinares, motivadoras e contextualizadas. 2) Equilíbrio no espaço: experimentação e modelagem matemática P. A. P. Borges, N. A. Toniazzo e J. C. da Silva. http://www.scielo.br/pdf/rbef/v31n2/10.pdf Um artigo que tem como objetivo apresentar do cálculo das forças atuantes em cabos e hastes que sustentam massas no espaço, desenvolver um modelo matemático para um caso geral, discutir os tipos de forças (tração e compressão) de casos específicos, utilizando procedimentos teóricos e experimentais que se complementam e possibilitam a aplicação de conceitos da Física de técnicas matemáticas e de tratamentos de dados. Os autores concluem que a modelagem matemática de problemas de Física proporciona atividades teóricas e práticas, porque compreende ações de tradução de fenômenos em linguagem simbólica e requer experimentos para a validação dos modelos, além de usar a programação computacional como um meio de resolução de problemas não tão elementares. 3) Aperfeiçoamento de professores de física e matemática utilizando a modelagem matemática M. Q. Albé e colaboradores. http://www.liberato.com.br/upload/arquivos/0131010716044716.pdf O objetivo do artigo foi descrever o curso “Aperfeiçoamento de professores de física e matemática utilizando a modelagem matemática” que ocorreu no período de dezembro de 1999 a Janeiro de 2000 em regime de parceria entre uma escola técnica e uma universidade. O curso tinha como objetivo a instrumentalização do profissional de ensino nas áreas e física e matemática, para fornecer a capacitação de lide em laboratório. Além de estabelecer elo de ligação entre os fenômenos e seus modelos, procurava-se propiciar aos professores vivência de laboratório, e oportunizar aos mesmos retornarem a suas unidades de ensino com instrumentação para elaborar e adaptar experimentos, confeccionar os materiais para tais experimentos e estruturar roteiros para novas práticas de laboratório. Também foram objetivos do curso, usar a informática como ferramenta na organização e modelagem dos dados obtidos, desenvolver um projeto de implementação e ou otimização de um laboratório em seu local de trabalho e fornecer uma visão histórica e filosófica da construção da ciência. 4) O ensino de fenômenos físicos através da modelagem matemática L. Daroit, C. Haetinger e M. M. Dullius. http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/cd_egem/fscommand/RE/RE_35.pdf O objetivo do artigo foi relatar uma atividade de modelagem dentro do ensino de física, com estudantes da 3ª série do ensino médio, no estudo da ótica (formação de imagens com espelhos planos em ângulos) visando ao desenvolvimento de estratégias pedagógicas.Os autores concluem que a utilização da modelagem matemática como estratégia didática no estudo de fenômenos naturais pode contribuir para a evolução de conceitos já existentes na estrutura cognitiva dos estudantes e para a formação de novos conceitos, proporcionando condições favoráveis para uma aprendizagem significativa e motivadora. 5) Uma experiência da utilização da modelagem matemática computacional aplicada ao ensino de física F. H. L. Vasconcelos, J. R. Santana e H. B. Neto. http://tele.multimeios.ufc.br/~semm/conteudo/leitura/ef/artigo13.pdf O objetivo da pesquisa é desenvolver simulações a partir de modelos matemáticos aplicados em física e realizar uma aplicação com professores para detectar a viabilidade dessas ferramentas no processo de ensino-aprendizagem. Foi utilizado o software modellus para a modelagem matemática de situações físicas. Verificou-se que é possível utilizar esse recurso como estratégia de simulação científica de determinados fenômenos físicos, assim como seu uso pode colaborar no processo de aprendizagem de determinados conteúdos curriculares que possam ser modelados. 6) Modelagem matemática: uma experiência com professores 72 K. G. Leite http://need.unemat.br/3_forum/artigos/13.pdf Um artigo que trata do relato de uma experiência vivenciada junto a professores de uma rede estadual de ensino durante um curso de 40 horas. O curso consistiu de uma discussão teórica sobre modelagem matemática, reflexão sobre exemplos de uso da modelagem em sala de aula, e, por último, de uma etapa prática em que os professores construíram modelos matemáticos que dessem conta de explicar certos fenômenos apresentados em problemas. 7) Interdisciplinaridade por meio da modelagem matemática: uma atividade envolvendo matemática e física E. S. R. de Souza e colaboradores http://www.somaticaeducar.com.br/arquivo/artigo/1-2009-02-28-12-40-16.pdf Um artigo em que os autores relatam uma atividade modelagem realizada por dois professores de matemática e um de física durante um curso de especialização em educação matemática. A partir de uma situação física, os autores construíram modelos matemáticos e estudaram conceitos do ensino de física e matemática. Os autores refletem que o processo de modelagem matemática exige pesquisa. Argumentam que existem aspectos positivos e negativos em um ambiente de pesquisa: por um lado o discente pode se motivar a pesquisar um assunto de seu interesse. Por outro lado o ambiente de pesquisa pode exigir um tempo que o discente pode não dispor. 8) Modelagem matemática no ensino-aprendizagem de física: tópicos de mecânica E. S. R. de Souza http://www.somaticaeducar.com.br/arquivo/artigo/1-2009-02-28-12-35-31.pdf O objetivo deste artigo foi exemplificar o processo de modelagem matemática de situações do ensino de física. A partir da escolha do tema movimento construiu-se um modelo matemático para calcular a distância que uma pessoa anda, sabendo-se apenas do tempo decorrido. 9) A importância da modelagem matemática na formação de professores de física C. O. Lozada e N. S. Magalhães http://www.sbf1.sbfisica.org.br/eventos/snef/xviii/sys/resumos/T0202-2.pdf O artigo tem como objetivo analisar a importância da modelagem matemática aplicada ao ensino de física como uma ferramenta de ensino a ser utilizada pelos professores, sobretudo na resolução de problemas, tendo em vista que, em geral, mostram-se desvinculados da compreensão do fenômeno e apresentam-se como mera aplicação de fórmulas. Os autores realizaram uma pesquisa qualitativa com alunos do 5º semestre de Licenciatura em Física de um centro federam de educação. Concluem que a pesquisa não apenas demonstrou a extensão da utilidade da modelagem matemática aplicada ao ensino de física, mas também o seu aspecto interdisciplinar. Outro aspecto verificado foi a propositura de problemas numa dimensão investigativa. 10) A modelagem matemática através de conceitos científicos H. R. da Costa http://www.cienciasecognicao.org/pdf/v14_3/m197.pdf O artigo objetiva apresentar uma proposta que utiliza a modelagem matemática para promover uma aprendizagem significativa de conceitos matemáticos de limite e continuidade a partir de conceitos científicos. O tema escolhido foi a lei da transformação dos gases de Charles - Gay Lussac. 11) Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem nos cursos superiores de tecnologia E. C. Ferruzzi e colaboradores http://ensino.univates.br/~chaet/Materiais/Modelagem_Mat_Eng.pdf O objetivo do artigo é investigar o uso da modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem de cálculo diferencial e integral em um curso superior de tecnologia. Os autores desenvolveram duas experiências de modelagem matemática de fenômenos físicos e uma turma de primeiro ano do curso superior de tecnologia do CEFET-Pr. 12) Um estudo de caso relacionando formação de professores, modelagem matemática e resolução de problemas de física C. O. Lozada e N. S. Magalhães. http://www.sbf1.sbfisica.org.br/eventos/epef/xi/sys/resumos/T0108-2.pdf O objetivo do artigo é analisar o papel da modelagem matemática no ensino de física visando investigar a extensão da utilidade da mesma como ferramenta para o professor dessa disciplina. Os autores concluem que o cotidiano possibilita fornecer diversas situações para um trabalho dinâmico em 75 Matemática e interpretação de fenômenos físicos haja vista a tendência interdisciplinar entre Matemática e Física já citada anteriormente. Finalmente, as atividades de modelagem matemática de fenômenos físicos apresentadas nos trabalhos relacionados no quadro 3 podem ser categorizadas levando-se em consideração três recursos metodológicos: por meio de problemas no enfoque CTS (ciência, tecnologia e sociedade: 11 ocorrências); por meio de simulações computacionais(3 ocorrências) e por meio de experimentos (6 ocorrências). Esses três ambientes são ratificados por Lozada (2006) que os designa de alternativas didático-pedagógicas. Procederemos ao desenvolvimento analítico de algumas atividades de modelagem que servirão tanto para exemplificar esses recursos metodológicos quanto para estudar a movimentação de registros de representação durante o processo de Modelagem Matemática no ensino de Física. 4.2 Problemas contextualizados Esse ambiente de aprendizagem caracteriza-se pela proposição de problemas aos alunos. Podem-se contextualizar esses problemas numa abordagem CTSA (Ciência, Tecnologia, Sociedade e Ambiente). Normalmente, o professor leva para a sala de aula um problema de Física que deverá ser resolvido pelos alunos. Nesse contexto, pode-se recorrer aos três “casos” de Barbosa. Ou seja, 1º) O professor poderá levar para a sala de aula um problema de Física devidamente contextualizado com os dados já coletados, restando aos alunos apenas sua resolução; 2º) O professor poderá levar um problema de física para a classe, os alunos coletam dados e resolvem-no; ou 76 3º) Os próprios alunos identificam um problema de Física e coletam os dados necessários a sua resolução. Atividade 1: homem empurrando um carro Desenvolveremos e analisaremos um problema proposto por Lozada e Magalhães (2008) a um grupo de 15 alunos do quinto semestre de licenciatura plena em Física do Centro Federal de Educação Tecnológica de São Paulo, ocasião em que se trabalhou com três grupos de cinco alunos. O objetivo central da pesquisa foi investigar a utilidade da Modelagem Matemática como ferramenta para o professor de Física no Ensino Médio, bem como avaliar as dificuldades que os alunos do Ensino Médio possuem para realizar a Modelagem Matemática na resolução de problemas de Física. Problema: Um homem empurra um automóvel de uma tonelada em uma rua plana. Inicialmente, o carro estava parado. Após 5 segundos de esforço (força) constante realizado pelo homem, o veículo atinge a velocidade de 1 m/s. Determine a força média (em N) que o homem teve que exercer para o automóvel atingir essa velocidade nesse intervalo de tempo, supondo que não houve forças resistivas atuando. Observa-se que o problema já trás os dados coletados (caso 1 de Barbosa), a tarefa dos discentes seria de analisá-lo e resolvê-lo. Os atos cognitivos para resolvê-lo abrangem o reconhecimento das unidades de significado presentes no enunciado, por exemplo: homem, automóvel, tonelada, rua plana, inicialmente parado, 5 segundos, esforço, 1m/s2, força média. Após identificá-las e significá-las, o sujeito forma uma rede semântica devido à inter-relação dos significados dessas unidades. 77 A formação da rede semântica dá origem a uma primeira compreensão do enunciado. Essa primeira compreensão leva à formação de um modelo mental inicial que proporcionará ação sobre as variáveis cognitivas, visando à construção de registros de representação necessários à resolução do problema. Observa-se que muitos estudantes fazem desenhos ilustrativos como forma de apoio ao raciocínio de resolução de um problema. A conversão do enunciado em língua natural para uma representação pictórica (desenho) parece ajudar na estratégia de resolução do problema. O professor poderá avaliar o grau de compreensão do enunciado a partir dos registros pictóricos produzidos pelos discentes. A seguir, um desenho produzido por um dos grupos de alunos para resolver o problema apresentado na atividade 1: Figura 13. Registro pictórico produzido por um grupo de alunos. (Fonte: LOZADA e MAGALHÕES, 2008) Normalmente, ao fazerem os desenhos, os alunos dispõem as unidades de significado no registro pictórico de acordo com a ordem em que elas aparecem no enunciado do problema. Ou seja, ao compreender o enunciado de um problema, os discentes constroem registros congruentes. A numeração de 1 a 5 na figura 13 corresponde à ordem em que essas unidades de significado são transpostas do registro em língua natural para o registro pictórico: a b c 1 2 3 4 5 80 Tabela 1. Força média em função da aceleração do carro. Aceleração ( 4 56) Força média (N) 0 0 0,1 100 0,2 200 0,3 300 0,4 400 0,5 500 A interpretação da tabela 1 mostra que para uma variação constante de 0,1 ,78 na aceleração média, a força média tem uma variação constante de 100 9. Observa-se que uma variação constante na variável independente gera uma variação constante na variável dependente. Existe uma infinidade de fenômenos físicos que geram tabelas com essa característica. Portanto, conforme o homem aumenta a força média aplicada sobre o veículo, a aceleração média deste aumenta proporcionalmente e diretamente à força aplicada. Convertendo a tabela 1 em um gráfico cartesiano obtemos, Figura 14. Gráfico da Força média em função da aceleração média. 0 100 200 300 400 500 600 0 0,2 0,4 0,6 força média (N) aceleração média (m/s²) α 81 Nota-se que a união dos pontos da representação gráfica forma uma reta crescente de coeficiente angular m. Calculando o coeficiente angular obtemos: m = tan > = 5000,5 m = 1000 Percebe-se, portanto, que o valor do coeficiente angular do gráfico cartesiano força média x aceleração média corresponde ao valor da massa do móvel. Desta forma, a interpretação do gráfico possibilita a construção da seguinte relação: *.. = tan > Ou seja, para o gráfico cartesiano força x aceleração quanto maior o ângulo de inclinação da reta, maior é a massa do móvel. Nessa atividade foi possível trabalhar com diversos sistemas de representações semióticas (registro língua natural, registro pictórico, registro algébrico, registro tabular e registro gráfico) do mesmo fenômeno físico. Cada representação possibilitou que se compreendesse a situação de uma maneira diferente. A conceitualização pode ser favorecida quando se enfatiza a mobilização e interpretação de registros de representação. Atividade 2: Represa hidrelétrica A atividade a seguir foi proposta a um grupo de 20 alunos de um curso pré-vestibular da cidade de Belém-Pa por Souza e Espírito Santo (2008) e teve por objetivo reforçar conceitos relacionados à conservação da energia mecânica ministrados anteriormente em aulas tradicionais. 82 Num primeiro momento foi solicitado que os alunos formassem grupos de quatro (4) componentes, o que resultou em cinco (5) grupos. Escreveu-se no quadro branco o tema Energia para que os grupos discutissem entre si com base nas seguintes perguntas provocativas: 1) Quais formas de energia vocês conhecem? 2) Que tipos de energia vocês mais utilizam no dia-a-dia? 3) Como é produzida a energia que vocês mais utilizam? 4) Vocês acham que podemos criar energia? Essa primeira parte do processo de modelagem pode ser chamada de Interação com o tema de pesquisa, pois como afirma Biembengut e Hein (2003), Uma vez delineada a situação problema que se pretende estudar, deve ser feito um estudo sobre o assunto de modo indireto (por meio de livros e revistas especializadas, entre outros) ou direto, in loco (por meio de experiência em campo, de dados experimentais obtidos com especialistas da área (p. 13). Num segundo momento, escreveram-se no quadro branco as respostas dadas para a primeira pergunta (Quais formas de energia vocês conhecem?). As respostas mais apresentadas foram: energia elétrica, energia solar, energia nuclear. Foram feitos alguns comentários sobre essas formas de energia, relacionando aspectos como: fonte; uso industrial, uso doméstico, poluição ambiental, custos de produção, problemas ecológicos. Tendo por base a segunda pergunta (Que tipos de energia vocês mais utilizam no dia-a-dia?) e a terceira pergunta (Como é produzida a energia que 85 Uma tabela permite a identificação rápida de alguma informação desejada. Observemos a tabela que foi completada pelos alunos na segunda atividade: Tabela 3. Tabela completada pelos alunos durante a atividade 2. Os valores em vermelho deveriam ser completados pelos alunos. A B C D Ec 0 20 50 100 Epg 100 80 50 0 Em 100 100 100 100 Pelo cruzamento linha x coluna ou coluna x linha da tabela, podemos identificar 12 unidades significantes. Ao relacioná-las em uma rede semântica é possível fazer a seguinte interpretação da situação física: No ponto A da represa, a massa de água não tem energia cinética, somente Epg que vale 100ue. No ponto B a Ec da massa de água equivale a 25% da Energia potencial gravitacional. No ponto C da represa, a Ec da massa de água é igual à Epg que vale 50ue. No ponto D a massa de água não tem Epg, somente energia cinética que vale 100ue. Poderíamos ainda explorar a interpretação da tabela 3 por meio de algumas perguntas: 1. Qual a menor energia cinética observada? 2. Qual a maior energia cinética observada? 3. Qual a diferença entre a maior e menor energia cinética? 4. Em que ponto ocorreu a menor variação na energia cinética? 86 Para responder à primeira e segunda perguntas, basta identificar na tabela os respectivos valores ou unidades significantes. Para saber qual o menor e o maior valor da energia cinética é suficiente localizar a unidade significante Ec na tabela e marcar visualmente o menor e o maior valor. Porém, para responder à terceira pergunta, uma consulta pontual na tabela já não é mais suficiente. É necessário relacionar os dados e tratá-los por meio de uma operação matemática de subtração. A quarta pergunta exige que o aprendiz faça uma análise global da tabela, aumentando o trabalho cognitivo necessário e, por conseguinte sua compreensão sobre a situação. A passagem de uma leitura pontual a uma leitura global da tabela indica que houve um salto de compreensão do ponto de vista cognitivo (FLORES E MORETTI, 2006). Percebemos, portanto, que uma “simples” tabela pode proporcionar um aprendizado em potencial no que se refere à compreensão de uma situação física. A tarefa do professor seria instigar os alunos com perguntas do tipo das apresentadas mais acima. Observa-se que essas perguntas foram formuladas em ordem crescente de trabalho cognitivo. Um indivíduo que consegue respondê-las demonstra ter compreensão sobre suas unidades significantes. Resta-nos fazer uma indagação: é possível converter a tabela em uma representação matemática que favoreça outras compreensões do fenômeno físico em estudo? O processo de conversão da tabela em um gráfico torna-se possível quando o sujeito é capaz de discriminar as unidades significantes da representação matemática de partida, A discriminação das unidades significantes próprias a cada registro deve então fazer o objeto de uma aprendizagem específica. conversão, e, em seguida, para o desenvolvimento da coordenação dos regist 100). A partir da compreensão e discriminação das unidades significantes da tabela e por meio de uma regra de conversão, podemos transformá representação gráfica do tipo gráfico de colunas: Figura 16. Gráfico convertido da tabela elaborada durante a atividade 2. A interpretação desse gráfico pode ser feita pela comparação entre as alturas das colunas perceber que enquanto a energ cinética aumenta. No entanto, a soma entre essas energias é constante. Desse modo, o caráter conservativo da energia mecânica fica compreendido quando se muda a forma de apresentação dos dado 20 40 60 80 100 e n e r g i a Ela é a condição necessária para toda atividade de ros de representação (DUVAL, 2009, p. em azul e vermelho. Essa comparação nos leva a ia potencial gravitacional diminui 0 A B C D pontos na hidrelétrica Ec Epg 87 -la em uma visual , a energia mais bem s coletados. 90 Figura 18. Simulação em Java de um plano inclinado (Fonte: http://www.fisica.net/simulacoes/java/walter/ph11br/inclplane_br.php. Acesso em 16/03/2010. A simulação acima corresponde a um objeto de peso P sendo puxado por uma força F e velocidade v constante ao longo de um plano inclinado. É possível variar os parâmetros (unidades significantes): ângulo de inclinação, peso e coeficiente de atrito. Realizaremos os seguintes procedimentos na simulação: • Fixar o ângulo de inclinação em 30 graus; • Manter o parâmetro coeficiente de atrito igual a 0,2; • Variar o parâmetro peso de 0 a 10 newtons; • Verificar qual a força necessária correspondente a cada mudança de valor no parâmetro peso; O resultado pode ser organizado em uma tabela, 91 Tabela 4. Força necessária para puxar o bloco em função do peso. Peso (newtons) Força necessária (Newtons) 0 0 1 0,7 2 1,3 3 2,0 4 2,7 5 3,4 6 4,0 7 4,7 8 5,4 9 6,1 10 6,7 Analisando os dados coletados na tabela 4, nota-se que para uma variação de 1 newton no valor do peso há uma variação média de 0,7 newton no valor da força necessária para puxar o objeto, ou seja, podemos considerar que há uma relação linear entre o peso e a força média aplicada. A conversão do registro tabular para o registro gráfico pode evidenciar essa relação linear. Torna-se fundamental mudar a forma de organização dos dados coletados para que tenhamos melhor compreensão do objeto matemático e, assim, elaborar um registro simbólico do fenômeno físico. “Do ponto de vista matemático, a conversão intervém somente para escolher o registro no qual os tratamentos a serem efetuados são mais econômicos, mais potentes, ou para obter um segundo registro que serve de suporte ou de guia aos tratamentos que se efetuam em outro registro (DUVAL, 2008, p. 16). 92 Do ponto de vista da Física, a mudança na forma de apresentação dos dados pode propiciar outras compreensões do fenômeno. Mudando-se da forma tabular para a forma gráfica a maneira como os dados coletados estão organizados, obtemos: Figura 19. Gráfico da força necessária para puxar blocos de madeira em função do peso. O aspecto da curva do gráfico nos permite supor que o objeto matemático representado pela tabela 4 seja o objeto função do primeiro grau, cuja forma algébrica pode ser dada por 2 ) = 3 + B, onde as constantes A e B devem ser determinadas. Substituindo-se alguns dados, podemos encontrar o valor dessas constantes: 20) = 3 0 + B = 0 B = 0 21) = 3 1 + 0 = 0,7 3 = 0,7 0 2 4 6 8 0 5 10 15 força (N) peso (N) 95 Desse modo, a reformulação, por meio de ajuste de curvas, da representação matemática construída anteriormente leva a denotá-la como: ( = 0,674 C Sabendo-se que o peso do bloco pode ser expresso por C = * A. Onde m é a massa do bloco de madeira e A = 9,81 ,78 é a aceleração da gravidade local, podemos reescrever a expressão acima: ( = 0,674 * 9,81 P = U, UV 4 WWW) Dessa maneira, obtivemos uma relação funcional que descreve a força em função da massa para puxar ou empurrar objetos sobre uma rampa de madeira inclinada 30 graus com a horizontal. Assumimos a função acima como um modelo matemático porque ela descreve, de forma satisfatória, todos os valores da força necessária quando se varia o peso dos blocos de madeira entre 0 e 10 newtons. O propósito da modelagem matemática é obter uma relação funcional que comporte em seus parâmetros qualidades ou significados inerentes ao fenômeno analisado e para isto se faz necessário um estudo mais detalhado do próprio fenômeno (BASSANEZI, 2004, p. 56). A compreensão da matemática subjacente a um fenômeno físico, e, portanto, a compreensão do próprio fenômeno, está intimamente relacionada à compreensão do objeto matemático usado para descrevê-lo. Nesse sentido a atividade de conversão semiótica torna-se fundamental para que o sujeito possa caracterizar o objeto matemático. “...do ponto de vista cognitivo é a 96 atividade de conversão que, ao contrário, aparece como a atividade de transformação representacional fundamental, aquela que conduz aos mecanismos subjacentes à compreensão” (DUVAL, 2009). Outra maneira de validar o modelo matemático construído é por meio de argumentos originados da própria Física. Para isso, representaremos pictoricamente a situação do plano inclinado e evidenciaremos as forças (traço contínuo) e suas projeções (traço pontilhado) no eixo x e y: Figura 20. Forças e projeções no plano inclinado. Onde: = M 1 K. .M...; 2 = M 1 K. 1)K/K.; ( = Y1)ç @NMK @) @[ ) 1 N11 K *KM); ( = Y1)ç K ')M'1; (/ = Y1)ç /1)*N; y xF Fa P Px Py Fn θ θ 97 C = Y1)ç @.1; C = @)1\çã1 K Y1)ç @.1 .1) 1 M 1 ; C2 = @)1\çã1 K Y1)ç @.1 .1) 1 M 1 2. Aplicando-se a segunda lei de Newton (a força resultante é igual ao produto da massa pela aceleração do bloco) ao sistema da figura 20 registra- se: () = *  Como o bloco só possui movimento no eixo x, é suficiente aplicar a segunda lei de Newton nesse eixo, ()" = * " Observando-se a figura 20, nota-se que a força resultante no eixo x pode ser expressa pela seguinte relação, ()" = ( − ( + C ) Deste modo, podemos escrever, ( − ( + C ) = * " No entanto, estamos considerando que o trabalhador empurra o objeto com velocidade constante, o que significa que não há variação de velocidade, logo, também não há aceleração no eixo x, ou seja, o termo depois da igualdade na equação anterior é zero, ( − ( + C ) = 0 Assim, a força aplicada para empurrar o objeto pode ser denotada por