Exercicios resolvidos de treliça

Exercicios resolvidos de treliça

CARLOS LAERTErow
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(Parte 1 de 3)

São estruturas formadas por barras, ligadas entre si através de nós. Consideramos para efeito de cálculo os esforços aplicados nos nós.

Existem alguns tipos de calculo para determinação dos esforços nas barras, como o Método dos Nós, Método Ritter ou Métodos das seções.

Nesta apostila, serão resolvidos apenas exercícios de treliças pelo Método dos Nós.

Para determinar os esforços internos nas barras das treliças plana, devemos verificar a condição de Isostática da Treliça, sendo o primeiro passo.

Depois calculamos as reações de apoio e os esforços normais axiais nos nós. Tais esforços serão denominados de N.

1º Condição de Treliça Isostática:

2 . n = b + Sendo

2º Calcular as Reações de Apoio (Vertical e Horizontal):

ΣFx = 0 ΣFy = 0

Por convenção usaremos:no sentido horário no sentido anti-
horário
+-

ΣM = 0 (Momento fletor)

3º Métodos dos Nós

Quando calculamos os esforços, admitimos que as forças saem dos nós e nos próximos nós usamos os resultados das forças do nó anterior fazendo a troca de sinais.

Importante lembrar que somente o jogo de sinais deverão ser feitos na equação dos nós, pois as forças das reações horizontais e verticais devem ser inseridos na equação considerando-se exclusivamente os sinais que possuem, ou seja, não fazer jogo de sinais para tais reações.

Calma, nos exercicios verá que é fácil.

n = nº de nós b = quantidade de barras = nº de reações (Verticais e

Por Convenção os sinais das forças das barras são:+

2 TRAÇÃO

-COMPRESSÃO

Treliça Esquemática

Exercícios

1º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós.

12 = 12OK

1º Passo Condição de Isostática 2.n = b+ν 2.6 = 9+3

ΣFx = 0ΣFy = 0 ΣM = 0 (Momento fletor)
HE = 0VA+VE = 50+100+50 VA.4-50.4-100.2 = 0
VA+VE = 200 KNVA = 400÷4
100+VE = 200 KNVA = 100 KN

2º Passo Reações de Apoio VE = 200-100 VE = 100 KN

3º Passo Método dos Nós Decomposição das forças

Nó “A”Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0ΣFH = 0
VA+NAB = 0NAF = 0
Nó “B”Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0ΣFH = 0
-50-NBA-NBF.cos45° = 0NBC+NBF.sen45° = 0
-50-(-100)-NBF.cos45° = 0NBC+70,7.sen45° = 0
-NBF = -50÷cos45°NBC = - 50 KN
Nó “C”Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0ΣFH = 0
NCF = -100 KN-(-50)+NCD = 0
Nó “F”Forças Verticais (V)

Forças Verticais (H)

ΣFV = 0ΣFH = 0
-100+70,7.sen45°+NFD.sen45° = 0-70,7.cos45°+70,7.cos45°-0+NFE
NFD = 50÷sen45°NFE = 0 KN

50 NBC

5 NDF

Nó “E”Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0ΣFH = 0
NED+100 = 00-HE = 0
NED = -100 KNHE = 0 KN
Nó “D”Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0ΣFH = 0
-50-NDF.sen45°-NDE = 0-NDC-NDF.cos45° = 0
-50-50+100 = 050-50 = 0
0 = 00 = 0
NBC-50 COMPRESSÃO

NAB -100 COMPRESSÃO NED -100 COMPRESSÃO NAF 0 - NEF 0 - NDC -50 COMPRESSÃO NBF 70,7 TRAÇÃO NDF 70,7 TRAÇÃO

NCF -100 COMPRESSÃO

2º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós.

10 = 10OK

1º Passo Condição de Isostática 2.n = b+ν 2.5 = 7+3

ΣFx = 0ΣFy = 0 ΣM = 0 (Momento fletor)
HA+HB = 40VB = 20 KN -HA.2+20.4+40.1 = 0
60+HB = 40-HA.2+120 = 0
HB = 40-60HA = 120÷2
HB = -20 KNHA = 60 KN

2º Passo Reações de Apoio

3º Passo Método dos Nós Decomposição das forças

Nó “B”Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0ΣFH = 0
20-NBA-2,36.sen26,57° = 0-20+NBC.cos26,57° =
NBA = 10 KNNBC = 20÷cos26,57°
Nó “A”Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0ΣFH = 0
10+NAC.sen26,57° = 060+(-
NAC = -10÷sen26,57°NAE+60-20 = 0
NAC = -2,36 KNNAE = -40 KN
Nó “E”Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0ΣFH = 0
NEC = 0-NEA+NED =
Nó “C”Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0ΣFH = 0
NCB.sen26,57°-NCA.sen26,57°-NCE-NCD.sen26,57°=0-40-NCB.cos26,57°-
2,36.sen26,57°-(-2,36).sen26,57°-0-NCD.sen26,57°=0-40-2,36.cos26,57°-(-
10+10-NCD.sen26,57°=0-40-
NCD = 20÷sen26,57°0 = 0
Nó “D”Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0ΣFH = 0
-20+4,7.sen26,57° = 0-4,7.cos26,57°-(-40) =
-20+20 = 0-40+40 = 0
0 = 00 = 0

NAB 10 TRAÇÃO NBC 2,36 TRAÇÃO NAC -2,36 COMPRESSÃO NAE -40 COMPRESSÃO NEC 0 - NED -40 COMPRESSÃO NCD 4,7 TRAÇÃO

3º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós.

16 = 16OK

1º Passo Condição de Isostática 2.n = b+ν 2.8 = 13+3 2º Passo Reações de Apoio

ΣFx = 0ΣFy = 0 ΣM = 0 (Momento fletor)
HA = 0VA+VB = 2+2+2 -VB.16+2.12+2.8+2.4=0

3º Passo Método dos Nós Decomposição das forças

Nó “1”Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0ΣFH = 0
N13.sen36,87°+3 = 00+(-
N13 = -3÷sen36,87°N12 = 4 t
Nó “2”Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0ΣFH = 0
N23 = 0-N21+N24 = 0
Nó “3”Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0ΣFH = 0
-2-N34.sen36,87°-N32-N31.sen36,87°+N35.sen36,87° = 0+N34.cos36,87°-

N12 HA

HA N13

-2- N34.sen36,87°-0-(-5).sen36,87°+N35.sen36,87° = 0+N34.cos36,87°-(-
-N34.sen36,87°+N35.sen36,87°-2+3 = 0+N34.cos36,87°+N35.cos36,87°+4
(-N34+N35).sen36,87° = -1(+N34+N35).cos36,87° = -4
N34-N35 = 1÷sen36,87°N34+N35 = -4÷cos36,87°
N34-N35 = 1,67”1” N34+N35 = -5
Sistema de EquaçõesSubstituindo na equação
“1”N34-N35 = 1,67 N34+N35 = -5
“2”N34+N35 = -5 -1,67+N35 = -5
2N34 = -3,3N35 = -5+1,67
N34 = -3,3÷2N35 = -3,3 t
Nó “5”Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0ΣFH = 0
-2-N53.sen36,87°-N57.sen36,87°-N54 = 0-
-2- (-3,3).sen36,87°-(-3,3).sen36,87°-N54 = 0-(-
-2+2+2-N54 = 02,6+N57.cos36,87°
N54 = 2 tN57 = -
Nó “4”Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0ΣFH = 0
N43.sen36,87°+N45+N47.sen36,87° = 0-N42+N46-
+(-1,67).sen36,87°+2+N47.sen36,87° = 0-(+4)+N46-(-1,67).cos36,87°+(-
-1+2+N47.sen36,87° = 0N46-4+1,34-1,34 = 0
N47 = -1÷sen36,87°N46 = 4 t

Por simetria dos carregamentos e das características das barras (dimensões, ângulos), as barras dos nós 7, 6 e 8 são iguais as dos nós 1, 2 e 3, conforme tabela.

BARRA FORÇAS NORMAIS AXIAIS (t) ESFORÇO

4º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós.

14 = 14OK

1º Passo Condição de Isostática 2.n = b+ν 2.7 = 1+3

ΣFx = 0ΣFy = 0 ΣM = 0 (Momento fletor)
HA+HB =0VB = 0 -HA.3+2.6+2.4+2.2=0
HA = -HBHA = 24÷3
HB = -8 tHA = 8 t

2º Passo Reações de Apoio

3º Passo Método dos Nós Decomposição das forças

Nó “5”Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0ΣFH = 0
6-N51-8,94.sen26,57° = 0-8+N56.cos26,57° =
-N51+6-4 = 0N56 =
N51 = 2 tN56 = 8,94 t

N56 HB

VB HB N56

Nó “1”Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0ΣFH = 0
N15+N16.sen45° = 0
2+N16.sen45° = 08+N12+(-
N16 = -2÷sen45°N12+8-2 = 0
N16 = -2,83 tN12 = - 6 t
Nó “6”Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0ΣFH = 0
-2+8,94.sen26,57°-(-2,83).sen45°-N62-6,7.sen26,57°=0-8,94.cos26,57°-(-
-2+4+2-3-N62 = 0-8+2+N67.cos26,57° = 0
N62 = 1 tN67 =
Nó “2”Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0ΣFH = 0
N26+N27.sen26,57° = 0-N21+N23+N27.cos26,57° =
1+N27.sen26,57° = 0-(-6)+N23+(-

HA HA N12

N27 = -1÷sen26,57°N23+6-2 = 0
N27 = -2,23 tN23 = -4 t
Nó “3”Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0ΣFH = 0
N37 = 0-N32+N34 = 0
Nó “7”Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0ΣFH = 0
-2+N76.sen26,57°-N72.sen26,57°-N73-N74.sen26,57°=0-N76.cos26,57°-
-2+6,7.sen26,57°-(-2,23).sen26,57°-0-N74.sen26,57°=0-6,7.cos26,57°-(-
-2+3+1-N74.sen26,57° = 0-6+2+4 = 0
N74 = 2÷sen26,57°0 = 0
Nó “4”Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ΣFV = 0ΣFH = 0
-2+N47.sen26,57° = 0-N43-N47.cos26,57° =
-2+4,47.sen26,57° = 0-(-4)-4,47.cos26,57° = 0
-2+2 = 0+4-4 = 0
0 = 00 = 0

BARRA FORÇAS NORMAIS AXIAIS (t) ESFORÇO

N51 2 TRAÇÃO N56 8,94 TRAÇÃO N16 -2,83 COMPRESSÃO N12 -6 COMPRESSÃO N62 1 TRAÇÃO N67 6,7 TRAÇÃO N27 -2,23 COMPRESSÃO N23 -4 COMPRESSÃO N37 0 - N34 -4 COMPRESSÃO N74 4,47 TRAÇÃO

5º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós.

10 = 10OK

1º Passo Condição de Isostática 2.n = b+ν 2.5 = 7+3

ΣFx = 0ΣFy = 0 ΣM = 0 (Momento

2º Passo Reações de Apoio fletor)

(Parte 1 de 3)

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