(Parte 1 de 2)

Colégio Modelo Luiz Eduardo Magalhães

Aula sobre Matrizes

MATRIZES

CONCEITOS BÁSICOS

Chama-se matriz do tipo m x n toda tabela de números dispostos em m linhas e n colunas. Tal tabela deve ser representada entre parênteses ( ) ou entre colchetes [ ] .

Exemplos:

a) A3x2 = 9 4

5 6 Matriz A do tipo 3 x 2

1 -3

b) B2x2 = 5 -4 Matriz B do tipo 2 x 2

3 -6

c) C1x3 = 4 -1 5 Matriz C do tipo 1 x 3

CONVENÇÃO

Indicamos por aij o elemento posicionado na linha i e coluna j de uma matriz A

Na matriz 9 4 , temos que:

5 6

1 -3

O número 9 está posicionado na linha 1, coluna 1que indicamos por a11 ou seja a11 = 9.

O 4 está posicionado na linha 1 e coluna 2 que indicamos a12 = 4

O 5 está posicionado na linha 2 e coluna 1 que indicamos a21

Analogamente temos a22 = 6, a31 = 1 e a32 = -3

REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE UMA MATRIZ

Podemos representar genericamente uma matriz A do tipo m x n da seguinte maneira:

a11 a12 a13 ... a1n

Amxn = a21 a22 a23 ... a2n que pode ser representada por

. . . A = (aij)mxn

am1 am2 am3 ... amn

EXERCÍCIO

Representar explicitamente a matriz A = (aij)2x3 tal que aij = 5i – j.

Inicialmente vamos escrever genericamente uma matriz 2 x 3;

A = a11 a12 a13

a21 a22 a23

Cada elemento aij dessa matriz deve ser calculado pela lei aij = 5i – j.

a11 = 5.1–1 = 4 a12 = 5.1 – 2 = 3 a13 = 5.1 – 3 = 2

a21 = 5.2-1 = 9 a22 = 5.2 – 2 = 8 a23 = 5.2 – 3 = 7

Assim a matriz A = 4 3 2

9 8 7

Matriz Quadrada

É toda matriz cujo número de linhas é igual ao número de colunas.

Exemplo: A3x3 = 1 2 3

0 -1 4 é uma matriz quadrada de ordem 3.

6 8 -3

Numa matriz quadrada A de ordem n, os elementos aij tais que i = j formam a diagonal principal da matriz, e os elementos aij tais que i+j= n + 1 formam a diagonal secundária.

diagonal secundária

Exemplo: a11 a12 a13

A = a21 a22 a23

a31 a32 a33

diagonal principal

Observe:

Na diagonal principal os elementos aij possuem i = j: a11, a22 , a33.

Na diagonal secundária os elementos aij são tais que i + j = 3 + 1 (onde 3 é a ordem da matriz): a31, a22 e a13.

Matriz Identidade

Chama-se matriz identidade de ordem n, que se indica por In, a matriz:

In = ( aij )n x m tal que aij = 1, se i = j

0, se i ≠ j .

Note, pela definição, que:

  • a matriz identidade de ordem 1 é I1 = ( 1 );

  • toda matriz identidade de ordem maior do que 1 terá todos os elementos da diagonal principal iguais a 1 e todos os demais elementos iguais a zero.

Exemplos:

1 0 0

a) I2 = 1 0 b) I3 = 0 1 0

0 1 0 0 1

Matriz nula

Matriz nula do tipo m x n, que se indica por 0m x n é a matriz:

0mxn = ( aij )m x n tal que aij = 0,  i, j, 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n.

Em outras palavras, matriz nula é qualquer matriz que possui todos os elementos iguais a zero.

Exemplos: 0 0

a) 02 x 2 = 0 0 b) 03 x 2 = 0 0

0 0 0 0

Matriz Transposta

Chama-se “ transposta da matriz A = ( aij )n x m “, que se indica por At, a matriz:

At = ( bji ) n x m tal que bji = aij,  i, j, 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n.

Ou seja, cada coluna i de At é, ordenadamente, igual à linha i de A.

Exemplo: 2 3

A3 x 2 = 5 0 At 2 x 3 = 2 5 8

8 6 3 0 6

Igualdade de matrizes

Dadas duas matrizes do mesmo tipo, A = ( aij )m x m e B = ( bij )m x n, dizemos que A = B se, e somente se, todo elemento de A é igual ao seu correspondente em B.

Exercício:

2x – y 8 = 5 8

Determinar os números reais x e y tais que 3 x + y 3 1

Resolução:

2x – y = 5 ( I )

x + y = 1 ( II )

Somando, membro a membro, as igualdades (I) e (II), temos 3x = 6  x = 2.

Substituindo x = 2 em (II), temos 2 + y = 1  y = -1 .

Logo, x = 2 e y = -1.

OPERAÇÕES COM MATRIZES

Introdução:

Uma empresa é formada pelas lojas A e B, concessionárias de automóveis. Realizado um estudo sobre a aceitação de dois novos modelos de veículos nos quatro primeiros dias de janeiro, foram obtidos os seguintes resultados:

A = 2 3 1 5 e B = 3 0 2 2 sendo que:

1 2 5 3 4 2 4 5

  • a matriz A descreve o desempenho da loja A, de modo que cada elemento aij é o número de unidades vendidas do modelo i no dia j; por exemplo, o elemento a23= 5 nos diz que foram vendidas cinco unidades do modelo 2 no dia 3;

  • a matriz B descreve o desempenho da loja B, de modo que cada elemento bij é o número de unidades vendidas do modelo i no dia j.

Como representaríamos, matricialmente, a quantidade vendida desses dois modelos, nas duas lojas, nos primeiros quatro dias de janeiro? Basta construir uma matriz C2 x 3, na qual cada elemento Cij seja igual à soma de seus correspondentes nas matrizes A e B, ou seja:

C = 2 + 3 3 + 0 1 + 2 5 + 3 5 3 3 8

1 + 4 2 + 2 5 + 4 3 + 5 5 4 9 8

A matriz C é denominada “ matriz soma de A e B ”.

Analogamente, se quisermos uma matriz que represente o desempenho da loja A em relação à loja B, basta subtrairmos de cada elemento de A o seu correspondente em B obtendo a “ matriz diferença “ de A e B.

Adição de matrizes

A soma de duas matrizes do mesmo tipo A = ( aij )m x n e B = ( bij )m x n, que se indica por A + B, é a matriz C = (cij)m x n tal que:

cij = aij + bij, i, j, 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n.

Em outras palavras, cada elemento da matriz C é igual a soma de seus correspondentes em A e B.

Exemplo: 1 4 3 + 2 3 5 = 3 7 8

6 8 -5 4 -3 7 10 5 2

Multiplicação de número por matriz

Definição: O produto de um número k por uma matriz A = (aij)m x n, que se indica por kA, é a matriz B = (bij)m x n tal que: bij = kaij, i, j, 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n.

Ou seja, cada elemento da matriz B é igual ao produto de seu correspondente em A, pelo número k.

Exemplo:

2 -5 8 -20

4 3 0 = 12 0

1 6 4 24

Subtração de matrizes

Definição : A diferença de duas matrizes do mesmo tipo A e B, nessa ordem, que se indica por A – B, é a matriz A + (- B).

Exemplo:

8 5 - 6 2 = 8 5 + -6 -2 = 2 3

4 6 3 6 4 6 -3 -6 1 0

9 -2 12 -9 9 -2 -12 9 -3 7

Multiplicação de matrizes

Para que se entendam as noções que envolvem a multiplicação de matrizes, propomos as seguintes situações:

  • Uma indústria fabrica certo aparelho em dois modelos P e Q. Na montagem do aparelho P são utilizados 6 transistores, 9 capacitores e 11 resistores, e, no modelo Q, 4 transistores, 7 capacitores e 10 resistores.

Podemos dispor esses dados na tabela:

P

Q

Transistor

6

4

Capacitor

9

7

Resistor

11

10

Chamaremos A à matriz associada à tabela acima:

6 4

A = 9 7

11 10

  • Essa mesma indústria recebeu as seguintes encomendas para os meses de janeiro e fevereiro:

Janeiro: 8 aparelhos do modelo P e 12 do modelo Q;

Fevereiro: 10 aparelhos do modelo P e 6 do modelo Q.

Vamos dispor esses dados na tabela:

Janeiro

Fevereiro

P

8

10

Q

12

6

Chamaremos B à matriz associada à tabela acima:

B = 8 10

(Parte 1 de 2)

Comentários