Vestibulares ITA - Polinômios, Provas de Matemática

Baixe Vestibulares ITA - Polinômios e outras Provas em PDF para Matemática, somente na Docsity! Distribuição das 1.048 Questões do I T A Álgebra 17 (1,62%) Análise Combinatória 36 (3 Binômio de Newton 21 (2,00 Conjuntos 31 (2,96%) Equações Exponenciais 23 (2, Equações Irracionais 09 (0,86%) 69 (6,58%) 94 (8,97%) 104 (9,92%) 101 (9,64%) 22 (2,10%) 36 (3,44%) 77 (7,35%) 78 (7,44%) 103 (9,83%) Probabilidade 10 (0,95%) 63 (6,01%) 39 (3,72%) 115 (10,97%) Funções Geo. Anaĺıtica Geo. Espacial Geo. Plana Inequações Logaritmos Matrizes No Complexos Polinômios Progressões Sistemas Trigonometria Questões de vestibulares - ITA - Polinômios í01)(ITA) Seja P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + · · · + a100x100, onde a100 = 1, um polinômio divisível por (x + 9)100. Nestas condições temos: A) a2 = 50 × 99 × 998 B) a2 = 100! 2! 98! C) a2 = 99! 2! 98! D) a2 = 100! 92 2! 98! E) n. r. a. í02)(ITA) O coeficiente de an+1−pb p no produto de ak + (︃ k 1 )︃ ak−1b + · · · (︃ k p )︃ ak−pbp + · · · + bk por (a + b), se k = n, vale: A) (︃ n p )︃ B) (︃ n + 1 p )︃ C) (︃ n − 1 p )︃ D) (︃ n + 1 p + 1 )︃ E) n. r. a. í03)(ITA) Seja f uma função real tal que f (x) = ax3 + bx2 + cx + d, para todo x real, onde a, b, c, d, são números reais. Se f (x) = 0 para todo x do conjunto {1, 2, 3, 4, 5}, temos, então, que: A) f (6) = a + 1 B) f (6) = a + 2 C) f (6) = a + 3 D) f (6) = d E) n. r. a. í04)(ITA) Se P(x) é um polinômio do 5º grau que satisfaz as condições: 1 = P(x) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) e P(6) = 0, então temos: A) P(0) = 4 B) P(0) = 3 C) P(0) = 9 D) P(0) = 2 E) n. r. a. í05)(ITA) Considere o conjunto C dos polinômios P(x) de grau 3, tais que P(x) = P(−x), para todo x real. Temos, então, que: A) C tem apenas dois elementos. B) C é o conjunto de todos os polinômios da forma P(x) = a0 x3 + bx. C) C tem apenas um elemento. D) C tem uma infinidade de elementos. E) nenhuma das anteriores. í06)(ITA) Seja C o conjunto de todos os polinômios P(x) de grau 2 que se anulam para x = 1 e x = 2. Seja D o conjunto de todos os polinômios P(x) de grau 2 que se anulam para x = 1, x = 2 e x = 3. Então uma das afirmações abaixo é verdadeira. A) C = D. B) a união de C com D é igual a D. C) C está contido em D. D) D está contido em C. E) nenhuma das anteriores. í07)(ITA) Os coeficientes A, B, C e D do polinômio P(x) = Ax3 + Bx2 + Cx + D devem satisfazer certas relações para que P(x) seja um cubo perfeito. Assinale a opção correta para que isto se verifique: A) D = C2A 3B B) C = B 3A3 e D = B2 27A3 C) BC = 3A e CD2 = B2A2 D) C = B2 3A e D = B3 27A2 E) nenhuma das anteriores. í08)(ITA) Dizemos que os polinômios p1(x), p2(x) e p3(x) são linearmente independentes (L. I.) se a relação a1 p1(x) + a2 p2(x) + a3 p3(x)+ = 0 implica a1 − a2 − a3 = 0, onde a1, a2 e a3 são números reais. Caso contrário, dizemos que p1(x), p2(x) e p3(x) são linearmente dependentes (L. D.). Os polinômios p1(x) = x2 + 2x + 1, p2(x) = x2 + 1 e p3(x) = x2 + 2x + 2, são: A) L. I. B) nem L. I. nem L. D. C) L. I. se p1(x), p2(x) e p3(x) tiverem as raízes reais. D) L. D. E) nenhuma das anteriores. í09)(ITA) Se 6 − 5x x3 − 5x2 + 6x = A x − a + B x − b + C x − c onde A, B e C são raízes da equação: x3 − 5x2 + 6x = 0, então: A) A = −2; B = −1; C = 0 B) A = 2; B = 4; C = 1 C) A = 1; B = −3; C = 2 D) A = 5; B = 2; C = 1 E) nenhuma das anteriores. í10)(ITA) Dividindo o polinômio P(x) = x3 + x2 + x + 1 pelo polinômio Q(x) obtemos o quociente S (x) = 1 + x e o resto R(x) = x + 1. O polinômio Q(x) satisfaz: A) Q(2) = 0 B) Q(3) = 0 C) Q(0) , 0 D) Q(1) , 0 E) n. r. a. í11)(ITA) Os valores reais a e b, tais que os polinômios: x3 − 2ax2 + (3a + b)x − 3b e x3 − (a + 2b)x + 2a sejam divisíveis por x + 1, são: 1 Questões de vestibulares - ITA - Polinômios í33)(ITA) Considere as afirmações: (I) — A equação 3x4 − 10x3 + 10x − 3 = 0 só admite raízes reais. (II) – Toda equação recíproca admite um número par de raízes. (III)– As raízes da equação x3 + 4x2 − 4x − 16 = 0 são exatamente o dobro das raízes de x3 + 2x2 − x − 2 = 0. Então: A) Apenas (I) é verdadeira. B) Apenas (II) é falsa. C) Apenas (III) é verdadeira. D) Todas são verdadeiras. E) N. d. a. í34)(ITA) Seja a um número real tal que o polinômio: p(x) = x6 + 2x5 + ax4 − ax2 − 2x − 1 admite apenas raízes reais. Então: A) a ∈ [2, ∞ [. B) a ∈ [−1, 1 ]. C) a ∈ ] −∞, −7 ]. D) a ∈ [−2, −1 [. E) a ∈ ]1, 2 [. í35)(ITA) Seja p(x) um polinômio de grau 4 com coeficientes reais. Na divisão de p(x) por x − 2 obtém-se um quociente q(x) e resto igual a 26. Na divisão de p(x) por x2 + x − 1 obtém-se um quociente h(x) e resto 8x − 5. Sabe-se que q(0) = 13 e q(1) = 26. Então, h(2) + h(3) é igual a: A) 16 B) zero C) –47 D) –28 E) 1 í36)(ITA) O valor da soma a + b para que as raízes do polinômio 4x4 − 20x3 + ax2 − 25x + b estejam em progressão aritmética de razão 12 é: A) 36 B) 41 C) 26 D) –27 E) –20 í37)(ITA) O polinômio com coeficientes reais: P(x) = x5 + a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0 tem duas raízes distintas, cada uma delas com multiplicidade 2, e duas de suas raízes são 2 e i. Então, a soma dos coeficientes é igual a: A) –4 B) –6 C) –1 D) 1 E) 4 í38)(ITA) A divisão de um polinômio f (x) por (x − 1)(x − 2) tem resto x + 1. Se os restos das divisões de f (x) por x − 1 e x − 2 são, respectivamente, os números a e b, então a2 + b2 vale: A) 13 B) 5 C) 2 D) 1 E) 0 í39)(ITA) Com base no gráfico da função polinomial y = f (x) esboçado abaixo, responda qual é o resto da divisão de f (x) por (︃ x − 1 2 )︃ (x − 1). í40)(ITA) Dividindo-se o polinômio P(x) = x5 + ax4 + bx2 + cx + 1 por (x − 1), obtém-se resto igual a 2. Dividindo-se P(x) por (x + 1), obtém-se resto igual a 3. Sabendo que P(x) é divisível por (x − 2), tem-se que o valor de abc é igual a: A) –6 B) –4 C) 4 D) 7 E) 9 í41)(ITA) Seja k ∈ R tal que a equação 2x3 + 7x2 + 4x + k = 0 possua uma raiz dupla e inteira x1 e uma raiz x2, distinta de x1. Então, (k + x1)x2 é igual a: A) –6 B) –3 C) 1 D) 2 E) 8 í42)(ITA) Sejam a, b, c e d constantes reais. Sabendo que a divisão de P1(x) = x4 + ax2 + b por P2(x) = x2 + 2x + 4 é exata, e que a divisão de P3(x) = x3 + cx2 + dx − 3 por P4(x) = x2 − x + 2 tem resto igual a –5, determine o valor de a + b + c + d. í43)(ITA) Para algum número real r, o polinômio 8x3 − 4x2 − 42x + 45 é divisível por (x − r)2. Qual dos números abaixo está mais próximo de r ? A) 1,62 B) 1,52 C) 1,42 D) 1,32 E) 1,22 í44)(ITA) Dada a equação x3 + (m + 1)x2 + (m + 9)x + 9 = 0, em que m é uma constante real, considere as seguintes afirmações: I. Se m ∈ ] − 6, 6[, então existe apenas uma raiz real. 4 Questões de vestibulares - ITA - Polinômios II. Se m = −6 ou m = +6, então existe raiz com multiplicidade 2. III. ∀m ∈ R, todas as raízes são reais. Então, podemos afirmar que é (são) verdadeira(s) apenas: A) I B) II C) III D) II e III E) I e II í45)(ITA) Considere a equação x3 + 3x2 − 2x + d = 0, em que d é uma constante real. Para qual valor de d a equação admite uma raiz dupla no intervalo ]0, 1[ ? í46)(ITA) Em que intervalo estão as raízes reais da equação: x5 − 5x4 + 2x3 − 6x − 9 = 0 ? A) [150; 200] B) [−14; −12] C) [12; 13] D) [−10; 10] E) n. r. a. í47)(ITA) Seja P(x) um polinômio divisível por x − 1. Dividindo-o por x2 + x, obtêm-se o quoci- ente Q(x) = x2 − 3 e o resto R(x). Se R(4) = 10 , então o coeficiente do termo de grau 1 de P(x) é igual a: A) –5 B) –3 C) –1 D) 1 E) 3 í48)(ITA) No desenvolvimento de (ax2 − 2bx + c + 1)5 obtém-se um polinômio p(x) cujos coefi- cientes somam 32. Se 0 e –1 são raízes de p(x), então a soma a + b + c é igual a: A) − 1 2 B) − 1 4 C) 1 2 D) 1 E) 3 2 í49)(ITA) O número complexo 2 + i é raiz do polinômio f (x) = x4 + x3 + px2 + x + q, com p, q ∈ R. Então, a alternativa que mais se aproxima da soma das raízes reais de f é: A) 4 B) –4 C) 6 D) 5 E) –5 í50)(ITA) Seja p um polinômio com coeficientes reais, de grau 7, que admite 1 − i como raiz de multiplicidade 2. Sabe-se que a soma e o produto de todas as raízes de p são, respectivamente, 10 e –40. Sendo afirmado que três raízes de p são reais e distintas e formam uma progressão aritmética, então, tais raízes são: A) 3 2 − √ 193 6 , 3, 3 2 + √ 193 6 B) 2 − 4 √ 13, 2, 2 + 4 √ 13 C) −4, 2, 8 D) −2, 3, 8 E) −1, 2, 5 í51)(ITA) Sobre o polinômio p(x) = x5 − 5x3 + 4x2 − 3x − 2 podemos afirmar que: A) x = 2 não é raiz de p. B) p só admite raízes reais, sendo uma delas inteira, duas racionais e duas irracionais. C) p admite uma única raiz real, sendo ela uma raiz inteira. D) p só admite raízes reais, sendo duas delas inteiras. E) p admite somente 3 raízes reais, sendo uma delas inteira e duas irracionais. í52)(ITA) Considere o polinômio p(x) = x3 − (a + 1)x + a, onde a ∈ Z. O conjunto de todos os valores de a, para os quais o polinômio p(x) só admite raízes inteiras, é: A) { 2n, n ∈ N }. B) { 4n2, n ∈ N }. C) { 6n2 − 4n, n ∈ N }. D) { n(n + 1), n ∈ N }. E) N. í53)(ITA) Considere: um retângulo cujos lados medem B e H, um triângulo isósceles em que a base e a altura medem, respectivamente, B e H, e o círculo inscrito neste triângulo. Se as áreas do retângulo, do triângulo e do círculo, nesta ordem, formam uma progressão geométrica, então BH é uma raiz do polinômio: A) π3 x3 + π2 x2 + πx − 2 = 0 . B) π2 x3 − π3 x2 + x + 1 = 0 C) π3 x3 + π2 x2 + πx 2 2 = 0 D) πx3 − π2 x2 + 2πx − 1 = 0 E) x3 − 2π2 x2 + πx − 1 = 0 í54)(ITA) Sendo c um número real a ser determinado, decomponha o polinômio 9x2 − 63x + c, numa diferença de dois cubos (x + a)3 − (x + b)3. Neste caso, | a + |b| − c | é igual a: A) 104 B) 114 C) 124 D) 134 E) 144 í55)(ITA) Um polinômio P é dado pelo produto de 5 polinômios cujos graus formam uma progressão geométrica. Se o polinômio de menor grau tem grau igual a 2 e o grau de P é 62, então o de maior grau tem grau igual a: A) 30 B) 32 C) 34 D) 36 E) 38 í56)(ITA) Considere o polinômio p(x) = a5x5 + a4x4 + a3x3 + a2x2 − a1, em que uma das raízes é x = −1. Sabendo-se que a1, a2, a3, a4 e a5 são reais e formam, nesta ordem, uma progressão aritmética com a4 = 12 então p(−2) é igual a: A) –25 B) –27 C) –36 D) –39 E) –40 í57)(ITA) Sobre a equação polinomial 2x4 + ax3 + bx2 + cx − 1 = 0, sabemos que os coeficientes 5 Questões de vestibulares - ITA - Polinômios a, b, c são reais, duas de suas raízes são inteiras e distintas e 12 − i 2 também é sua raiz. Então, o máximo de a, b, c é igual a: A) –1 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 í58)(ITA) É dada a equação polinomial (a + c + 2)x3 + (b + 3c + 1)x2 + (c − a)x + (a + b + 4) = 0 com a, b, c reais. Sabendo-se que esta equação é recíproca de primeira espécie e que 1 é uma raiz, então o produto a b c é igual a: A) –2 B) 4 C) 6 D) 9 E) 12 í59)(ITA) Sejam α, β, γ ∈ R. Considere o polinômio p(x) dado por: x5 − 9x 4 + (α − β − 2γ)x3 + (α + 2β + 2γ − 2)x2 + (α − β − γ + 1)x + (2α + β + γ − 1). Encontre todos os valores de α, β e γ de modo que x = 0 seja uma raiz com multiplicidade 3 de p(x). í60)(ITA) O polinômio de grau 4: (a + 2b + c)x4 + (a + b + c)x3 − (a − b)x2 + (2a − b + c)x + 2(a + c), com a, b, c ∈ R, é uma função par. Então, a soma dos módulos de suas raízes é igual a: A) 3 + √ 3 B) 2 + 3 √ 3 C) 2 + √ 2 D) 1 + 2 √ 2 E) 2 + 2 √ 2 í61)(ITA) Considere as funções f (x) = x4 + 2x3 − 2x − 1 e g(x) = x2 − 2x + 1. A multiplicidade das raízes não reais da função composta f ∘ g é igual a: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 í62)(ITA) Suponha que os coeficientes reais a e b da equação x4 + ax3 + bx2 + ax + 1 = 0 são tais que a equação admite solução não real r com |r| , 1. Das seguintes afirmações: I. A equação admite quatro raízes distintas, sendo todas não reais. II. As raízes podem ser duplas. III. Das quatro raízes, duas podem ser reais. é(são) verdadeira(s): A) apenas I. B) apenas II. C) apenas III. D) apenas II e III. E) nenhuma. í63)(ITA) Suponha que a equação algébrica: x11 + 10∑︁ n=1 anxn + a0 = 0 tenha coeficientes reais a0, a1, · · · , a10 tais que as suas onze raízes sejam todas simples e da forma β + iγn, em que β, γn ∈ R, e os γn, n = 1, 2, · · · , 11, formam uma progressão aritmética de razão real γ , 0. Considere as três afirmações abaixo e responda se cada uma delas é, respectivamente, verdadeira ou falsa, justificando sua resposta: I. Se β = 0, então a0 = 0. II. Se a10 = 0, então β = 0. III. Se β = 0, então a1 = 0. í64)(ITA) A equação 4x3 − 3x2 + 4x − 3 = 0 admite uma raiz igual a i (unidade imaginária). Deduzimos então que: A) tal equação não admite raiz real menor que 2. B) tal equação admite como raiz um número racional. C) tal equação não admite como raiz um número positivo. D) tal equação não possui raiz da forma bi, com b < 1. E) n. r. a. í65)(ITA) A equação 3x5 − x4 + 3x3 − x2 + 3x − 1 = 0 possui: A) três raízes imaginárias e duas raízes reais positivas. B) pelo menos uma raiz real positiva. C) todas as raízes inteiras. D) uma única raiz imaginária. E) n. r. a. í66)(ITA) Seja R o corpo dos números reais. Em relação a equação: 5x3 − 15x2 − 15x − 20 = 0, x ∈ R podemos afirmar que: A) não tem solução inteira. B) tem somente uma solução. C) tem somente duas soluções distintas. D) tem três soluções distintas. E) nenhuma das anteriores. 6 Questões de vestibulares - ITA - Polinômios é uma equação recíproca de segunda classe, então o número de raízes reais desta equação é: A) 0 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6 í92)(ITA) A identidade x3 + 4 x3 + 1 = 1 + a x + 1 + bx + c x2 − x + 1 , é válida para todo número real x , −1. Então a + b + c é igual a: A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 í93)(ITA) As raízes da equação de coeficientes reais x3 + ax2 + bx + c = são inteiros positivos consecutivos. A soma dos quadrados dessas raízes é igual a 14. Então a2 + b2 + c2 é igual a: A) 190 B) 191 C) 192 D) 193 E) 194 í94)(ITA) Seja P(x) um polinômio de grau 5, com coeficientes reais, admitindo 2 e i como raízes. Se P(1)P(−1) < 0, então o número de raízes reais de P(x) pertencentes ao intervalo ] − 1, 1[ é: A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 í95)(ITA) Considere o polinômio: p(z) = z6 + 2z5 + 6z4 + 12z3 + 8z2 + 16z. Sobre as raízes da equação p(z) = 0, podemos afirmar que: A) apenas uma é real. B) apenas duas raízes são reais e distintas. C) apenas duas raízes são reais e iguais. D) quatro raízes são reais, sendo duas a duas distintas. E) quatro raízes são reais, sendo apenas duas iguais. í96)(ITA) Seja S o conjunto de todas as raízes da equação 2x6 − 4x5 + 4x − 2 = 0. Sobre os elementos de S podemos afirmar que: A) todos são números reais. B) 4 são números reais positivos. C) 4 não são números reais. D) 3 são números reais positivos e 2 não são reais. E) 3 são números reais negativos. í97)(ITA) Sejam p1(x), p2(x) e p3(x) polinômios na variável real x de graus n1, n2 e n3, respectivamente, com n1 > n2 > n3. Sabe-se que p1(x) e p2(x) são divisíveis por p3(x). Seja r(x) o resto da divisão de p1(x) por p2(x). Considere as afirmações: (I) r(x) é divisível por p3(x). (II) p1(x) − 1 2 p2(x) é divisível por p3(x). (III) p1(x)r(x) é divisível por [p3(x)2]. Então: A) apenas (I) e (II) são verdadeiras. B) apenas (II) é verdadeira. C) apenas (I) e (III) são verdadeiras. D) todas as afirmações são verdadeiras. E) todas as afirmações são falsas. í98)(ITA) Seja p(x) um polinômio de grau 3 tal que p(x) = p (x + 2) − x2 − 2, para todo x ∈ R. Se –2 é uma raiz de p(x), então o produto de todas as raízes de p(x) é: A) 36 B) 18 C) –36 D) –18 E) 1 í99)(ITA) A equação polinomial p(x) = 0 de coeficientes reais e grau 6 é recíproca de 2ª espécie e admite i como raiz. Se p(2) = − 1058 e p(−2) = − 255 8 então a soma de todas as raízes de p(x) é igual a: A) 10 B) 8 C) 6 D) 2 E) 1 í100)(ITA) Sabe-se que o polinômio p(x) = x5 − ax3 + ax2 − 1, a ∈ R, admite a raiz −i. Considere as seguintes afirmações sobre as raízes de p: I. Quatro das raízes são imaginárias puras. II. Uma das raízes tem multiplicidade dois. III. Apenas uma das raízes é real. Destas, é (são) verdadeira(s) apenas: A) I. B) II. C) III. D) I e III. E) II e III. í101)(ITA) Um polinômio real p(x) = 5∑︁ n=0 anxn, com a5 = 4, tem três raízes reais distintas, a, b e 9 Questões de vestibulares - ITA - Polinômios c, que satisfazem o sistema: ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ a + 2b + 5c = 0 a + 4b + 2c = 6. 2a + 2b + 2c = 5 Sabendo que a maior das raízes é simples e as demais têm multiplicidade dois, pode-se afirmar que p(1) é igual a: A) –4 B) –2 C) 2 D) 4 E) 6 í102)(ITA) Considere o polinômio p(x) = 15∑︁ n=0 anxn, com coeficientes a0 = −1 e an = 1 + ian−1, n = 1, 2, 3, · · · , 15. Das afirmações: I. p(−1) < R. II. |p(x)| 6 4 (3 + √ 2 + √ 5), ∀ x ∈ [−1, 1]. III. a8 = a4. é (são) verdadeira(s) apenas: A) I. B) II. C) III. D) I e II. E) II e III. í103)(ITA) Considere o polinômio 6∑︁ n=0 anxn, com coeficientes reais, sendo a1 , 0 e a6 = 1. Sabe-se que se r é raiz de p, r também é raiz de p. Analise a veracidade ou falsidade das afirmações: I. Se r1 e r2, |r1| , |r2|, são raízes e r3 é raiz não real de p, então r3 é imaginário puro. II. Se r é raiz dupla de p, então r é real ou imaginário puro. III. a0 < 0. Gabarito Geral - ITA - Polinômios 1. A 2. B 3. D 4. D 5. E 6. D 7. D 8. A 9. E 10. D 11. C 12. D 13. D 14. D 15. E 16. E 17. C 18. C 19. A 20. A 21. B 22. B 23. C 24. C 25. B 26. A 27. C 28. D 29. A 30. C 31. B 32. C 33. B 34. C 35. A 36. B 37. A 38. A 39. − x 4 + 1 4 40. E 41. B 42. 21 43. B 44. E 45. −36 + 10 √ 15 9 46. D 47. C 48. A 49. E 50. E 51. E 52. D 53. D 54. B 55. B 56. A 57. C 58. E 59. α = 0, β ∈ R − {2} e γ = 1 − β 60. E 61. C 62. A 63. I-V, II-V, III-F 64. B 65. B 66. B 67. E 68. E 69. D 70. E 71. S = {︃ 1, −1, 3, 1 3 , 2, 1 2 }︃ 72. A 73. B 74. A 75. A 76. C 77. B 78. E 79. E 80. E 81. B 82. C 83. A 84. A 85. C 86. D 87. B 88. D 89. B 90. R(x) = − 4 3 x + 5 3 91. D 92. D 93. D 94. B 95. B 96. D 97. D 98. C 99. C 100. C 101. A 102. E 103. I-V, II-F, III-F 10