Topografia Anotações de Aula, Notas de aula de Agronomia

Baixe Topografia Anotações de Aula e outras Notas de aula em PDF para Agronomia, somente na Docsity! UNIMAR - UNIVERSIDADE DE MARÍLIA FEAT – FACULDADE DE ENGENHARIA, ARQUITETURA E TECNOLOGIA TOPOGRAFIA ANOTAÇÕES DE AULA Prof. CARLOS EDUARDO TROCCOLI PASTANA CORREÇÕES E SUGESTÕES e-mail: pastana@projeta.com.br telefone: 3422-4244 REVISADA e AMPLIADA EM 2008-1 i ÍNDICE CAPÍTULO 1 1. – CONCEITOS FUNDAMENTAIS: ...................................................................................................................... 1 1.1. DIFERENÇA ENTRE GEODÉSIA E TOPOGRAFIA:.................................................................................... 2 1.2. TOPOGRAFIA:............................................................................................................................................... 4 1.2.1 LIMITES DE APLICAÇÃO DA TOPOGRAFIA: ................................................................................. 4 1.2.2. - DIVISÕES DA TOPOGRAFIA: .................................................................................................. 8 1.2.2.1. TOPOMETRIA: ................................................................................................................................................8 1.2.2.2. TOPOLOGIA ou GEOMOFOGENIA:..........................................................................................................10 1.2.2.3. TAQUEOMETRIA:.........................................................................................................................................10 1.2.2.4. FOTOGRAMETRIA: ......................................................................................................................................10 1.2.2.5. GONIOMETRIA:............................................................................................................................................11 1.2.3. TEORIA DOS ERROS EM TOPOGRAFIA: .................................................................................... 11 1.2.3.1. ERROS SISTEMÁTICOS: ..............................................................................................................................12 1.2.3.2. ERROS ACIDENTAIS: ..................................................................................................................................12 1.2.3.3. ENGANOS PESSOAIS:..................................................................................................................................13 1.2.4. CUIDADOS QUE DEVEM SER TOMADOS:.................................................................................. 13 1.2.5. NOÇÃO DE ESCALA: ............................................................................................................... 14 1.2.5.1. MODOS DE EXPRESSAR AS ESCALA: ......................................................................................................15 1.2.6. PRECISÃO GRÁFICA ................................................................................................................ 16 1.2.7. EXERCÍCIOS:........................................................................................................................... 17 CAPÍTULO 2 2. TRIANGULAÇÃO E TRIGONOMETRIA: .......................................................................................................... 19 2.1 TRIANGULAÇÃO: ........................................................................................................................................ 19 2.2. CÁLCULO DA ÁREA DE UM TRIÂNCULO QUALQUER, CONHECENDO-SE AS MEDIDAS DOS LADOS..... 21 2.3. EXERCÍCIOS................................................................................................................................................. 25 2.4. TRIGONOMETRIA: ..................................................................................................................................... 25 2.4.1. CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO: ................................................................................................. 26 2.4.2 VALORES QUE AS FUNÇÕES PODEM ASSUMIR: ......................................................................... 27 2.4.3. – RELAÇÃO ENTRE O CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO E UM TRIÂNGULO QUALQUER:................... 27 2.5 – TABELA PRÁTICA DAS FUNÇÕES NO TRIÂNGULO RETÂNGULO .................................................. 28 2.6 - RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NUM TRIÂNGULO QUALQUER: ................................................ 29 2.6.1 - Lei dos Co-senos ................................................................................................................. 29 2.6.2 - Lei dos Senos:...................................................................................................................... 30 2.7 - EXERCÍCIOS: ............................................................................................................................................. 31 CAPÍTULO 3 3 – RUMOS E AZIMUTES: ...................................................................................................................................... 33 3.1 – INTRODUÇÃO:.......................................................................................................................................... 33 3.2 – DEFINIÇÃO DE RUMO, AZIMUTE, DEFLEXÃO, ÂNG. HORÁRIO E ANTI-HORÁRIO, INTERNOS E EXTERNOS: ........... 34 iv 7.13.3. – TABELA DE COORDENADAS TOTAIS................................................................................. 115 7.14 – EXERCÍCIOS........................................................................................................................................... 115 CAPÍTULO 8 8 – MAGNETISMO TERRESTRE........................................................................................................................... 123 8.1 - DECLINAÇÃO MAGNÉTICA: ................................................................................................................ 123 8.1.1. – GEOGRÁFICA ..................................................................................................................... 123 8.1.2. – SECULAR ........................................................................................................................... 124 8.2 - AVIVENTAÇÃO DE RUMOS:................................................................................................................ 126 CAPÍTULO 9 9 – ALTIMETRIA .................................................................................................................................................... 135 9.1 – NIVELAMENTO GEOMÉTRICO – INTRODUÇÃO ............................................................................. 135 9.1.1. – APARELHOS NECESSÁRIOS ................................................................................................. 136 9.1.1.1. – NÍVEL TOPOGRÁFICO ...........................................................................................................................136 9.1.1.2. – MIRA ESTADIMÉTRICA .........................................................................................................................136 9.1.1.3. – LEITURAS NA MIRA ESTADIMÉTRICA ...............................................................................................137 9.2 – DETERMINAÇÃO DA COTA DE UM PONTO.................................................................................... 139 9.2.1. – DEFINIÇÕES E CÁLCULOS................................................................................................... 141 9.2.1.1. – PLANO DE COLIMAÇÃO (PC) ou ALTURA DO INSTRUMENTO (AI) ...........................................141 9.2.1.2. – VISADA À RÉ ...........................................................................................................................................142 9.2.1.3. – VISADA À VANTE ...................................................................................................................................142 9.2.1.4. – PONTO INTERMEDIÁRIO ......................................................................................................................143 9.2.1.5. – PONTO AUXILIAR...................................................................................................................................143 9.3 – CÁLCULO DA PLANILHA DE UM NIVELAMENTO GEOMÉTRICO: .............................................. 143 9.3.1. – DADOS DE CAMPO E CÁLCULOS ........................................................................................ 143 9.3.2. – PRECISÃO PARA O NIVELAMENTO GEOMÉTRICO ................................................................ 146 9.3.1.1. – CÁLCULO DO ERRO DE FECHAMENTO VERTICAL (Efv) ...............................................................146 9.3.1.2. – CÁLCULO DO ERRO VERTICAL MÉDIO (ev) .....................................................................................146 9.3.1.3. – PRECISÃO PARA O NIVELAMENTO GEOMÉTRICO .........................................................................147 9.3.3. – CÁLCULOS DAS COTAS COMPENSADAS ............................................................................. 148 9.4 – EXERCÍCIOS............................................................................................................................................. 151 CAPÍTULO 10 10 – TAQUEOMETRIA OU ESTADIMETRIA...................................................................................................... 153 10.1 – PRINCIPIOS GERAIS DA TAQUEOMETRIA ..................................................................................... 154 10.1.1. – DISTÂNCIA HORIZONTAL – VISADA HORIZONTAL ............................................................ 154 10.1.2. – DISTÂNCIA HORIZONTAL – VISADA INCLINADA ............................................................... 156 10.1.3. – DISTÂNCIA VERTICAL ...................................................................................................... 157 10.2 – DETERMINAÇÃO DA COTA DE UM PONTO ................................................................................. 158 10.3 – EXECÍCIOS............................................................................................................................................. 159 CAPÍTULO 11 11 – CURVAS DE NÍVEL....................................................................................................................................... 163 v 11.1 – GENERALIDADES................................................................................................................................. 163 11.2 – CONDIÇÕES QUE AS CURVAS DE NÍVEL DEVEM REUNIR:........................................................ 164 11.3 – PRINCIPAIS ACIDENTES DO TERRENO E SUA REPRESENTAÇÃO ............................................ 168 11.3.1. – MORRO, COLINA OU ELEVAÇÃO ...................................................................................... 168 11.3.2. – COVA, DEPRESSÃO OU BACIA .......................................................................................... 169 11.3.3. – VALE ............................................................................................................................... 170 11.2.4. – DIVISOR DE ÁGUA OU LINHA DE CUMEADA ..................................................................... 171 11.4 – INCLINAÇÃO DO TERRENO, DECLIVIDADE OU INTERVALO ................................................... 173 11.5 – PROBLEMAS BÁSICOS COM CURVAS DE NÍVEL .......................................................................... 174 11.5.1 – LINHA DE MAIOR DECLIVE QUE PASSA POR UM PONTO..................................................... 174 11.5.2 – DETERMINAÇÃO DE UM PONTO SITUADO ENTRE DUAS CURVAS DE NÍVEL ........................ 174 11.5.2.1 – INTERPOLAÇÃO GRÁFICA ..................................................................................................................174 11.5.2.2 – INTERPOLAÇÃO ANALÍTICA ..............................................................................................................175 11.5.3 – DETERMINAÇÃO DE UM PONTO QUE NÃO ESTÁ ENTRE DUAS CURVAS DE NÍVEL ............... 176 11.5.4 – TRAÇAR LINHA COM DECLIVE CONSTANTE....................................................................... 177 11.5.5 – DELIMITAÇÃO DA BACIA HIDROGRÁFICA ASSOCIADA A SEÇÃO DA LINHA DE ÁGUA ......... 178 11.5.6 – ELABORAÇÃO DE UM PERFIL DO TERRENO........................................................................ 178 CAPÍTULO 12 12 – TERRAPLANAGEM ....................................................................................................................................... 181 12.1 – GENERALIDADES................................................................................................................................. 181 12.2 – DETERMINAÇÃO DA COTA MÉDIA – MÉTODO DAS SEÇÕES E MÉTODO DOS PESOS ..... 183 12.2.1. – MÉTODO DAS SEÇÕES ..................................................................................................... 184 12.2.2. – MÉTODO DOS PESOS ....................................................................................................... 185 12.3 – PROJETO ELUCIDATIVO DAS DIVERSAS SITUAÇÕES EM TERRAPLENAGEM........................ 189 12.3.1. – PLANO HORIZONAL SEM IMPOR UMA COTA FINAL ........................................................... 189 12.3.2. – PLANO HORIZONAL COM COTA FINAL IGUAL A 3,60 m ................................................... 194 12.3.3. – PLANO INCLINADO, SEM IMPOR COTA DETERMINADA ..................................................... 199 12.3.4. – PLANO INCLINADO NOS DOIS SENTIDOS, COM COTA FIXA PARA UM PONTO. .................. 202 CAPÍTULO 13 13 – LOCAÇÕES DE OBRAS................................................................................................................................ 207 13.1 – GENERALIDADES................................................................................................................................. 207 13.2 – LOCAÇÃO DE RESIDÊNCIAS E SOBRADOS ................................................................................... 208 13.2.1. – PROCEDIMENTO .............................................................................................................. 209 13.3 – LOCAÇÃO DE PRÉDIOS ..................................................................................................................... 217 13.3.1. – PROCEDIMENTO .............................................................................................................. 218 13.4 – LOCAÇÃO DE TÚNEOS ...................................................................................................................... 221 13.4.1. – LOCAÇÃO DE TÚNEOS POR POLIGONAL........................................................................... 222 13.4.2. – LOCAÇÃO DE TÚNEOS POR TRIANGULAÇÃO.................................................................... 223 13.5 – LOCAÇÃO DE EIXOS DE PONTES.................................................................................................... 223 Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 1 CAPÍTULO 1 CONCEITOS FUNDAMENTAIS 1. – CONCEITOS FUNDAMENTAIS: No nosso dia a dia, deparamos freqüentemente com situações nas quais é necessário determinar as posições relativas de pontos sobre a superfície, bem como suas representações através de plantas, mapas, cartas ou perfis. Primeiramente, é importante o conhecimento do significado da palavra Mensuração. Etimologicamente, Mensuração é de origem latina, da palavra mensuratione. Segundo o dicionário do Aurélio, a palavra Mensuração significa o ato de medir ou de mensurar. Mensuração terá um sentido amplo, onde designará a área de conhecimento humano que agrupa as ciências e as técnicas de medições, do tratamento e da representação dos valores medidos. O uso do termo Mensuração, tal como apresentado acima, não é de uso corrente entre os profissionais da área em nosso país. Na maioria das vezes, é freqüente o uso das palavras Agrimensura, Geodésia ou até mesmo Topografia. Estas palavras apresentam um significado um pouco restrito e fazem, simplesmente, partes da Mensuração. Apresenta-se a seguir algumas ciências e técnicas que fazem parte da Mensuração: ♦ Geodésia ♦ Topografia ♦ Cartografia ♦ Hidrografia ♦ Fotogrametria Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 4 1.2. TOPOGRAFIA: dica gar e graphen, descrever. Significa, portanto, a descrição exata e minuciosa ultante da esfericidade Não sendo a crosta terrestre uma superfície plana, a topografia supõe um plano a a ser levantada, plano Etimologicamente, a palavra TOPOGRAFIA é de origem grega, onde topos in lu de um lugar. (DOMINGUES, 1979). Logo, podemos definir classicamente a TOPOGRAFIA como sendo a ciência que estuda a representação detalhada de um trecho da Terra, sem levar em conta a curvatura res terrestre. Consiste, portanto, no conhecimento dos instrumentos e métodos que se destinam a efetuar a representação do terreno sobre uma superfície plana. horizontal, tangente a geóide, num ponto central à áre este onde são projetados todos os acidentes do terreno. Esta superfície plana é chamada de PLANO TOPOGRÁFICO e é um plano perpendicular a direção vertical do lugar, isto é, à direção da gravidade. Sendo assim, adotando-se esta hipótese do plano topográficos do terreno serão projetados sobre o referido plano. 1.2.1 LIMITES DE APLICAÇÃO DA TOPOGRAFIA: A hipótese do plano topográfico exige cer xtensão da área a ser levantada, uma vez que todas as medidas são realizadas eja, não considerando a sua substituição do arco a pela tangente, cometendo assim um erro, denominado ta restrição no que se refere à e partindo do princípio da Terra ser plana, ou s curvatura. Deste modo, a adoção ótese doda hip plano topográfico implica na de erro de esfericidade. A tangente pode ser calculada pela expressão (1.1): ∝×= tgRt (1.1) E o arco pode ser calculado pela expressão (1.2): o Ra 180 ∝×× = π (1.2) Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 5 Se levarmos em consideração o raio da terra, aproximadamente 6.371,00 km, pode-se dizer que para medidas de distâncias muito pequenas, seus valores medidos sobre a superfície esférica serão aproximadamente iguais àqueles medidos sobre um plano (Figura 1.2) afia) Figura 1. imites d (Adaptado de Segantine, Paulo – Notas de Aula de Topogr A ta 1.1 os tangente e do arco em função do ângulo central. VALORES ERRO ABSOLUTO DE ES ADE ERRO RELAT ESFERICID DO 2 – L o Plano Topográfico bela apresenta valores da DE α TANGENTE t (m) ARCO a (m) FERICID (m) APROXIMA IVO DE ADE 5’ 9.266, 1:1.418.000250 9.266,244 0,006 10’ 18.532,540 18.532,488 0,052 1:354.000 15’ 27.798,908 27.798,732 0,176 1:158.000 30’ 55.598,875 55.597,463 1,412 1:39.000 1º 111.206,219 111.194,927 11,292 1:9.800 1,5º 166.830,506 166.792,390 38,116 1:4.300 Tabela 1.1 – Erro de Esfericidade absoluto e relativo o da ordem de um milionésimo (0,000.001), erro ste que pode ser totalmente desprezível em Topografia. Teoricamente chegou-se a conclusão que o efeito da curvatura da terra nos levantamentos planimétricos, para um arco próximo de 10 km, o erro de esfericidade é de aproximadamente 6mm (0,006m), apresentando, neste caso, um erro relativo aproximad e Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 6 limites não se recomenda o emprego os métodos topográficos. Algun o levantamento. A Norma NBR 13.133/94 – Execução de Levantamento Topográfico, da AB 3.4 2. planta 3. energia elétrica, onde o Na prática, aceitam-se levantamentos que apresentem uma precisão relativa da ordem de 1:200.000, o qual se indica a adoção do raio do campo topográfico da ordem de 25 a 30 km. Acima destes d s autores consideram o limite de 50 km, a partir da origem d NT, considera um plano de projeção limitado a 80 km (item 0-d, da Norma). Assim, conclui-se: 1. - Para levantamentos de grande precisão, deve-se dividir a área em triângulos com área menor que 40 km2 e os seus lados não devem exceder 10 km; – Para serviços de normal precisão, pode-se limitar a área cuja pode-se levantar, a um círculo de aproximadamente 50 km de raio; – Nos casos de levantamentos para estudos de construção de estradas, linha de transmissão de comprimento excede em muito a largura, isto é, representando uma estreita faixa da superfície terrestre, as operações topográficas não estão sujeitas a limites, e podem estender-se indefinidamente; 4. m m eros, pode-se afirmar que a Topografia ividades da Engenharia, 5. um básica para os estudos eces Se edo de cometer exag pode encaixar-se dentro de todas as at Arquitetura e Urbanismo, Geologia, etc.. De a forma ou de outra, é tida como n sários para a construção de: • Uma via (rodovia ou ferrovia); • Uma ponte ou um túnel • Uma barragem ou uma usina hidrelétrica; • Uma linha de transmissão de força ou telecomunicações; • dificação Uma grande indústria ou uma e • Um conjunto habitacional; • Planejamento urbano, paisagismo ou reflorestamento; • Irrigações e drenagens; Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 9 grandezas angulares e lineares em relação a um plano vertical de • s em relação aos planos horizontais e verticais, determinando assim as posições relativas dos pontos topográficos, bem como suas • fotogrametria terrestre; ou rtir de aeronaves: etria. referência: altimetria; Efetuando conjuntamente medidas de grandezas angulares e lineare respectivas alturas – taqueometria. [São levantamentos topográficos denominados planialtimétricos]; Efetuando medidas de ângulos, distâncias e diferenças de nível sobre fotografias tomadas de pontos do terreno: sobre fotografias tomadas a pa aerofotogram A – Planimetria ou Placometria: Na Planimetria, as medidas, tanto lineares como angulares, são efetuadas em planos horizontais, obtendo-se ângulos e distâncias horizontais, não se levando em consideração o relevo, e a conseqüente determinação de P a uzidas às dimensões de suas bases produtivas. Entende-se or base produtiva as dimensões que são aproveitadas praticamente; na . – Altimetria ou Hipsometria: coordenadas planas (X,Y) de pontos de interesse. Consiste em obter ângulos azimutais e distâncias horizontais. ara efeito de representação planimétrica ou avaliação de área, as distâncias inclinad s são red p Agricultura ou nas Edificações3. B A altimetria estuda e estabelece os procedimentos e métodos de medida de indo-se a medida de ângulos distâncias verticais ou diferenças de nível, inclu verticais. A operação topográfica que visa o levantamento de dados altimétricos é o nivelamento. 3 Na Agricultura as maiorias das plantas desenvolvem-se procurando o centro da Terra, o que faz com que a área utilizada seja a projeção horizontal. O mesmo acontece com as Edificações, pois exigem o aplainamento dos terrenos para que possam ser construídas Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 10 Os trabalhos da altimetria juntado a planimetria dão origem às plantas planialtimétricas. A altimetria isoladamente da origem ao perfil. 1.2.2.2. TOPOLOGIA ou GEOMOFOGENIA: A Topologia, complemento indispensável à Topometria, tem por objetivo de estudo das formas exteriores do terreno (relevo) e as leis que regem a sua formação, suas modificações através dos tempos e as leis que as regem. A principal aplicação da Topologia dá-se na representação cartográfica do l, que são as interseções obtidas por planos resse. terreno pelas curvas de níve eqüidistantes, paralelos com o terreno a representar. Atualmente vem sendo muito utilizada a técnica de representação do relevo através dos DTM: Digital Terrain Models. Por esta técnica é possível visualizar o relevo em perspectiva, em conjunto com a planta planialtimétrica, o que facilita sobremaneira a análise do problema de inte 1.2.2.3. TAQUEOMETRIA: A Taqueometria tem por finalidade o levantamento de pontos do terreno, pela resolução de triângulos retângulos, dando origem às plantas cotadas ou com aplicação é em terrenos altamente acidentados, a parte da topografia que trata das medidas indiretas das distâncias curvas de nível. A sua principal por exemplo: morros, montanhas, vales, etc., sobre o qual oferece reais vantagens em relação aos métodos topométricos, já que os levantamentos são realizados com maior rapidez e economia. É horizontais e verticais. 1.2.2.4. FOTOGRAMETRIA: A Fotogrametria Terrestre é aquela que é realizada por aparelhos chamados fototeodolitos (fotogrâmetros), instalados convenientemente em pontos do terreno que fornecem fotografias orientadas (fotogramas), que permitem nte os detalhes do terreno. levantar com precisão suficie Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 11 Aerofotogrametria é o método de levantamento utilizado para grandes glebas Terra, que podem ser de dois tipos: eixos verticais e inclinados. tualmente está sendo substituída pelas fotos de satélites. A de Terra. Emprega aparelhagens moderníssimas, e cada vez mais aperfeiçoadas, acopladas em aviões, fornecendo fotografias orientadas da superfície da A 1.2.2.5. GONIOMETRIA: É a parte da topografia que trata da medição do ângulo azimutal (horizontal) e do ângulo vertical (perpendicular ao plan topográfico). Atualmente os fab mente teodolitos ângulo vertical é no zênite o ricantes de teodolitos estão produzindo so com ângulos verticais zenitais, isto é, a origem do (figura 1.5). Os ângulos verticais podem ser: - ZENITAL → Origem no zênite; - NADIRAL → Origem no nadir. MiraZENITE N Z HORIZONTAL Z = ÂNGULO ZENITAL. N = ÂNGULO NADIRAL. NADIR Figura 1.5 – Esquema do Ângulo Zenital e Nadiral. 1.2.3. TEORIA DOS ERROS EM TOPOGRAFIA: Segundo (Correa, Iran. C. S.) 4, todas as observações topográficas se reduzem na medida de uma distância, de um ângulo ou de uma diferença de nível as 4 Iran Carlos Stalliviere Corrêa - Topografia Aplicada à Engenharia Civil 2007 / 9ª Edição / Departamento de Geodésia – IG/UFRGS Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 14 ela simplificação dos assuntos abordados no nosso curso, não entraremos em imos Quadrados ou um outro métodos que atenda os objetivos. 1.2.5. NOÇÃO DE ESCALA: P detalhes quanto aos métodos que nos fornece o erro mais tranqüilizador. Se necessário em seus trabalhos profissionais, utilizar o Método dos Mín a execução de trabalhos topográficos podem-se encontrar alguns problemas s à escala, apesar de simples, se considera conveniente ressaltar. tâncias medidas no terreno bjet o) entar proporção: 1/100 ou 1:100, sendo esta última à referida. – i) com o seu tamanho real no terreno (objeto – o Esta relação é dada pela fórmula: N relativo Escala corresponde à relação constante entre as dis (o o – e sua representação no papel (imagem – i). Ela pode se apres na forma de fração ou de p A equação (1.3) relaciona a dimensão do desenho no papel (imagem ). o iE = (1.3) Onde: E = Escala ou razão escolhida; presentar e operação: o = Unidades medidas no terreno (objeto); i = Unidades que devem ser colocadas no papel para re (imagem). A escala é representada por uma fração do tipo 1/M, onde M é denominado de ódulo da escala. Deste modo, podemos fazer a seguintm o = i M (1.4) d E = 1 aí, Mio ×= (1.5) Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 15 A ssão permite estimar a me o a partir do conhecimento da escala d ta e sua re A 1.2 enta um resumo, po escente de valores, as p e para s e cartas topográficas, cartográficas e g expre (1.5) dida real de um terren a plan spectiva medida. tabela apres r ordem decr rincipais scalas planta eográficas, com o seu respectivo emprego. EQUIVALÊNCIA ESCALA EMPREGO 1 km (terreno) 1 cm (desenho) 1/100 10 m 1m Detalhes de edifícios, 1/200 5 m 2 m Terraplenagem, etc. 1/250 4 m 2,5 m 1/500 2 m 5 m Planta de fazenda 1/1000 1 m 10 m Planta de uma vila 1/2000 0,50 m Planta de uma propriedade, planta cadastral 20 m 1/1250 0,80 m Antigo cadastro 12,5 m 1/2500 0 ,40 m 25 m 1/5000 0 Planta pequena cidade ,20 m 50 m 1/10.000 0,10 m Planta de grande propriedade 100 m 1/50.000 0,02 m Carta de diversos países 500 m 1/100.000 0,01 m 1.000 m Carta de grandes países 1/200.000 0,005 m 2.000 m Carta aeronáutica 1/500.000 0,002 m 5.000 m Carta reduzida (grande carta inter- 1/1.000.000 0,001 m 10.000 m Nacional do mundo) Tabela 1.2 – Principais tipos de escalas e suas respectivas aplicações. Fonte Espartel (1.987). 1.2.5.1. MODOS DE EXPRESSAR AS ESCALA: a. – Escala Numérica nária, possuindo um numerador e um denominador, ou Apresenta-se na forma fracio seja, um título. • 000.20 1 (em desuso). 000.20 1 (pouco uso). • • 000.20:1 (mais usada). b. – Escala Gráfica Mostra a proporção entre as dimensões reais e as do mapa através de um gráfico (figura 1.6). Figura 1.6 – Escalas Gráficas. Vantagens da escala gráfica: (a) obtenção rápida e direta de medidas sobre mapa ) cópias reduzidas ou ampliadas por processos fotocopiadores. ÃO GRÁFICA (Adaptado BAITELLI / WESCHENFELDER) s. (b 1.2.6. PRECIS Denomina-se de precisão gráfica de uma escala como sendo a menor grandeza susceptível de ser representada num desenho, através desta escala. rações gráficas através da equação 1.6. É correntemente admitido que o ser humano normal não distingue um segmento de um ponto se este tiver comprimento menor ou igual a 0,2 mm. Este valor denomina-se limite de percepção visual. 5 Deste modo, conhecendo a escala do desenho, pode-se calcular o erro admissível nas ope Me ×= 0002,0 (1.6) A título de exemplo, nas escala 1/500, 1/1000 e 1/2000, temos os seguintes rros gráficos: ,0 e • e1 cmm 1010,05000200 ==×= • 20,0000002,02 cmme 2010 ==×= 40,000002,03• cm40me 200 ==×= Assim, pode-se concluir que as dimensões que tiverem valores menores que o erro de precisão, não terão representação gráfica, e, portanto, não aparecerão no desenh Logo, nas esc 1/500, 00 e 1/2000 o podemos represent r o. ala 1/10 nã ar detalhes de dimensões inferiores a 10 cm, 20 cm e 40 cm, espectivamente. 5 António Pestana – Elementos de Topografia – Volume 1 – 2006. Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 16 Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 19 CAPÍTULO 2 TRIANGULAÇÃO E TRIGONOMETRIA 2. TRIANGULAÇÃO E TRIGONOMETRIA: 2.1 TRIANGULAÇÃO: Sabe-se que o triângulo é uma figura geométrica que se torna totalmente determinada quando se conhecem seus três lados: não há necessidade de conhecer os ângulos. Para levantamentos com medidas exclusivamente lineares os triângulos constituirão a amarração do levantamento. Deve-se, portanto, tomar-se alguns cuidados para que não haja acumulação de erros a saber: • Deve-se ter a preocupação de estabelecer triângulos principais; • Os detalhes devem ser amarrados a, se necessário, triângulos secundários; • Deve-se medir cada uma das retas que constituem os lados de todos os triângulos; • A medição deve ser feita, de preferência, com trena de aço; • Ao medir-se uma linha os detalhes que a margeiam serão mela amarrados; • Observar que a base do triângulo deverá estar na linha, tendo como vértice o ponto do detalhe; • Procurar determinar triângulos acutângulos. A solução do triângulo, por usar apenas medidas lineares, pode ser aplicada com sucesso em grande quantidade de pequenos problemas, a saber: - Para medição de um pequeno lote urbano irregular: Medir os quatro lados e pelo menos uma das duas diagonais (BD) ou (AC) (Figura 2.1). Caso o lote possuir muito fundo e pouca largura, a diagonal ficará quase coincidente com os lados e a precisão será prejudicada; neste caso proceder como indicado. (Figura 2.2). Figura 2.1 Figura 2.2 Medição esquemática de lotes urbanos. PROCEDIMENTO (Figura 2.3) Figura 2.3 – Procedimentos para medições de pequenas propriedades. Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 20 Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 21 1) Triângulos principais → ABC; ACE; CDE, EFA. 2) Triângulos secundários → AGE, EGC. 3) Medir todos os lados → AB, BC, CD, DE, EF, FA, AG, AE, EG, EC, GC. 4) Amarrar a construção “M” na linha EG (secundária) 5) Observar processo correto de amarração da construção “M” na linha EG (Figura 2.4). Figura 2.4 – Amarrações. 2.2. CÁLCULO DA ÁREA DE UM TRIÂNCULO QUALQUER, CONHECENDO-SE APENA ADOS.S AS MEDIDAS DOS L Consideremos a figura do triângulo genérico (figura 2.5) a ser utilizado na demonstração7: Também conhecido como fórmula de Heron6, permite o cálculo da área de um triângulo utilizando-se apenas das medidas de seus lados. 6 Heron (também escrito como Hero e Herão) de Alexandria (10 d.C. - 70 d.C.) foi um sábio do começo da era cristã. Geômetra e engenheiro grego, Heron esteve ativo em torno do ano 62. É especialmente conhecido pela fórmula que leva seu nome e se aplica ao cálculo da área do triângulo. 7 Demonstração da fórmula de Heron obtida em: www.tutorbrasil.com.br, professor Caju. Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 24 ovamente a diferença entre quadrados: N ( )[ ] [ ] [ ] [ ] 16 cbaacbcbacba ++⋅−+⋅−+⋅−− 2A = [ ] [ ] [ ] [ ] 16 2 cbaacbcbacbaA ++⋅−+⋅−+⋅+−= [ ] [ ] [ ] [ ] 2222 2 cbaacbcbacbaA ++⋅−+⋅−+⋅+−= Fazendo aparecer 2 = que é o semi-perímetro, temos: cbap ++ [ ] [ ] [ ] [ ] 2 ⋅ 222 222 2 cbaacbaccbabcbaA ++−++⋅−++⋅−++= ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ++⋅⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − ++ ⋅⎤⎡ − ++ ⋅⎤− acbaccbab ⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣ ⎡ ++= 2222 2 cbacbaA c)-(pb)-(pa)-(pp ⋅⋅⋅=A (2.2) Onde: A é a área de um triângulo qualquer; 2 cbap ++= é o semi-perímetro; ba, e c são os lados de um triângulo qualquer. Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 25 2.3. EXERCÍCIOS 1 – Aplicando a fórmula de Heron, calcule a área da região triangular limitada pelo triângulo cujos lados medem 4 m, 6 m e 8 m. 2 – Calcule a área do terreno cuja forma e dimensões estão representadas pela figura 2.6a. 10 m 13 m 8 m Figura 2.6a – Cálculo de Área de um triângulo qualquer. 3 – Um terreno tem a forma triangular e as medidas dos seus lados são: 17 m, 15 m e 8 m. Qual é a área desse terreno? 4 – Para o desenho representado na figura 2.6b, calcular a área. Figura 2.6b – Poligonal dividida em triângulos. .2.4 T IGO MR NO ETRIA: Aplic - ten amente a se ex siv a trigonometria na busca de soluções de problemas de engenharia e astronomia, e principalmente nas resoluções de problemas topográficos. Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 26 2.4.1. CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO: É um círculo de raio adotado igual a 1 (um), destinado a determinar as funções trigonométricas e os valores por eles assumidos quando se toma os respectivos valores angulares (Figura 2.7). Cosseno S en o Ta ng en te Cotangente Secante C ec an t o ss e H B J O C I E G A α F D Figura 2.7 – Ciclo Trigonométrico I = cos ∝ OJ = sen ∝ AE = tg BF = cotg ∝ sec ∝ OH = cosec ∝ No ciclo trigonométrico temos: O ∝ OG = Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 29 AÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NUM TRIÂNGULO QUALQUER:2.6 - REL 2.6.1 - Lei dos Co-senos “Num triângulo qualquer, o quadrado de um lado, é igual a soma dos uadrados dos outro dois lados, menos duas vezes o produto desses pelo co- seno do ângulo por eles formado”. stração: 10), não retângulo, onde se procura lados e o ângulo oposto a este h n q Demon Tomemos em triângulo qualquer (Figura 2. calcular um lado, conhecendo-se os outros dois lado. C ab A H c B Figura 2.10 – Lei dos Co-senos Por Pitágoras no △AHC: b n hPITAGORAS∆AHC⎯ →⎯⎯⎯⎯ = +2 2 2 (2.5) △ 2 (2.6) ubstituindo (2.5) em (2.6): Por Pitágoras no CHB: ∆CHB a c n h cPITÁGORAS⎯ →⎯⎯⎯⎯ = − + = − + +2 2 2 2 2 2( ) cn n h S a c cn b2 2 22= − + (2.7) No △AHC temos: n b A= × cos (2.8) s em funções dos lados e do ângulo Â. A Substituindo a equação (2.8) na equação (2.7), temos a expressão (2.9) que traduz a lei dos co-seno a b c bc2 2 2 2= + − .cos (2.9) Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 30 Analogamente, as expressões (2.10) e (2.11) traduz a lei dos co-senos em funções dos lados e dos ângulos B e C respectivamente: Bb a c ac2 2 2 2= + − .cos (2.10) Cc a b ab2 2 2 2= + − .cos (2.11) 2.6.2 - Lei dos Senos: “Num triângulo qualquer (Figura 2.11), o produto da divisão de um lado pelo seno do ângulo oposto a este lado é igual ao produto da divisão de qualquer dos outros dois lados pelos respectivos senos dos ângulos opostos”. Demonstração: A B C c ab hc Figura 2.11 – Lei dos senos bAhc b hcA ×=⎯→⎯= sensen aBhc a hcB ×=⎯→⎯= sensen Logo: sen senA b B a× = × Portanto: a A b Bsen sen = (2.12) Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 31 sen senA hb c hb A c= ⎯→⎯ = × sen senC hb a hb C a= ⎯→⎯ = × Logo: sen senA c C a× = × Portanto: a A c Csen sen = (2.13) De (2.12) e (2.13) tiramos a expressão (2.14) que traduz a lei dos senos: a A b B c Csen sen sen = = (2.14) 2.7 - EXERCÍCIOS: 1 – Na observação de um triângulo que servirá de apoio para um levantamento, obtiveram-se os seguintes valores: A = 51º16’39”; B=74º16’35”; C=54º26’46”; lado BC=100,60 m. Calcular o comprimento do lado AB. 2 – Um segmento AB de 5,74 m, forma com a reta “r”, um ângulo de 26º28’55”. Calcule a medida da projeção ortogonal de AB sobre “r”. 3 – Qual é a altura de uma chaminé cuja sombra se espalha por 20 metros quando o sol está a uma altura de 60 grados em relação ao horizonte. 4 – Calcular a distância entre dois p base CD (medida) α= 40º, β= 60º, =38º30’, δ=70º30’. ontos inacessíveis A e B, conhecendo uma = 150,00 m e os ângulos (medidos) ζ Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 34 3.2 – DEFINIÇÃO DE RUMO, AZIMUTE, DEFLEXÃO, ÂNGULO HORÁRIO e ANTI-HORÁRIO, INTERNOS e EXTERNOS: 3.2.1 – RUMO: Rumo de uma linha é o menor ângulo horizontal, formado entre a direção NORTE/SUL e a linha, medindo a partir do NORTE ou do SUL8, no sentido horário (à direita) ou sentido anti-horário (à esquerda) e variando de 0o a 90º ou 0g a 100g. Se tomarmos para exemplo da figura 3.1, e se dissermos simplesmente que seu rumo é 45o00’ (menor ângulo horizontal formado pela linha A-B e a direção N/S). Portanto, não teremos bem caracterizada a posição relativa da linha, pois esta poderá ser entendida como sendo NE, NW, SE ou SW. Uma vez que esta poderá ser localizada de quatro maneiras diferentes em relação a direção NORTE/SUL, será necessário indicar qual o quadrante. Para o exemplo da figura 3.1 será: Sentido: de A para B, portant e representa o rumo da linha AB erá medido a partir do Norte (N) no sentido horário, para o Leste (E). rientação: 45°. Podemos dizer que o RAB = 45º NE. xtensão: 20,00 metros. bservando a figura 3.2, concluiremos que: A-3 = 28o SW o o menor ângulo, qu s O E O ● A-1 = 36o NE ● A-2 = 46o SE ● ● A-4 = 62o NW, são rumos vantes. 8 Quando tom us amos como referência a meridiano magnético, o rumo obtido é chamado rumo magnético, e quando amos o meridiano verdadeiro, o rumo obtido é chamado rumo verdadeiro. N Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 35 EW S A 2 3 1 4 46O 62 36 O 28O O Figura 3.2 – Rumos de uma linha Já os rumos das linhas: ● 1-A = 36o SW ● 2-A = 46o NW ● 3-A = 28o NE ● 4-A = 62o SE, são rumos à ré. Observamos que o RUMO RÉ de uma linha é igual ao valor numérico do RUMO VANTE, situado em quadrante oposto. 3.2.2 – AZIMUTE: Azimute9 é o ângulo horizontal formado entre a direção Norte/Sul e o alinhamento em questão. É medido a partir do Norte, no sentido horário (à direita), podendo variar de 0º a 360º ou 400 g. 9 Usualmente, quando não for expressamente afirmado o contrário, o AZIMUTE será sempre à direita (sentido horário) do NORTE. Numa definição mais ampla, o azimute pode ser medido do NORTE ou do SUL no sentido horário (à direita) ou no sentido anti-horário (à esquerda).. Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 36 os rumos da figura 3.2 com os AZIMUTES. Na figura 3.3, estaremos relacionando N A 3 1 4 EW S 2 46 62 36O 28O O O AzA-1 A-2 Az Az AzA-4 A-3 Figura 3.3 – Azimutes. MUTES VANTES das linhas: Portanto os AZI ● =−1AAz 36º00´ ● =−2AAz 180º00´– 46º00´ = 134o00´ ● =−3AAz 180º00´+28º00´ = 203o 00´ ● =−4AAz 360º00´-62º00´ = 298o00´ Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 39 Exemplo: Dados: = Az = 14º50’45” – 89º35’40” = 25º15’05” Az = 59º20’20” 1-2 Dd = 55º30’25” De 89º35’40” Calcular Az2-3 = ? Az3-4 = ? quações (3.2) e (3.3) determina-se: Utilizando as e 2-3 5 Az 9º20’20” + 55º30’25” = 114º50’45” 3-4 = 1 IMPORTANTE: Quando, no cálculo do °, azimute, resultar um valor superior a deve-se subtrair deste valor 360º. Se o valor resultar negativo, deve-se .2.4 – ÂNGULOS HORÁRIOS (À DIREITA) e ANTI-HORÁRIOS (À 360 somar a este valor 360º. 3 ESQUERDA): ados para medições de ângulos s respectivos Rumos ou Azimutes que estes m a direção N/S. Os teodolitos, em sua maioria são Teodolitos (figura 3.7) são os aparelhos utiliz entre dois alinhamentos e o alinhamentos fazem co fabricados para medição de ângulo no sentido horário (à direita). Figura 3.7 – Teodolito Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 40 Na figura 3.8 observa-se o esquema e graduação de um teodolito. No exemplo a AGULHA (ou DEFLETOMETRO) está coincidindo com o zero da graduação. Ob se a 1-2 medido a partir do Norte). Na leitura observa-se um umo da linha 1 -2: R1-2 = 34º00’00” NE zimute da linha 1-2: Az1-2 = 34º00’00” d serva- a linha visad ( ângulo de 34º 00’ 00”. Podemos então afirmar que: R A Ag ul ha vis ta N Lin ha d e 1 2 S EW Figura 3.8 – Graduação de um Teodolito Na figura 3.9 observamos de um Ângulo Horário ( ireita) e um Ângulo Anti-Horário (à esquerda). ponto “5” (visada à ré), soltando o parafuso particular (que trava a graduação e movimenta somente a luneta) e visa ao ponto “7” (à vante). Como é sabid ue a o é no sentido horário, faz-se a leitura do ângulo senti o, co forme indica o na figura 3.9. Portanto: O âng horá será de 97º00’ 00” o esquema para medição à d O operador estaciona o Teodolito sobre o ponto “6”. Faz com que o zero da graduação coincida com o eixo da luneta; Visa ao o q graduaçã ∧ −− 765 no do horári n d ulo rio −− 65 ∧ 7 Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 41 o ângulo à anti-horário será 283º00’00”, obtido da subtração entre Já 360º00’00” e 97º00’00”. 7 A gu l V i ha N Lin ha 6- 7 s 6 .V an te S E 5 Eix n a-6 Vis. éW o da LuLinha 5 et R Âng ulo Ho rio edição d orário (le gulo Ant r calculad .2.4.1 – C S AZ NDO DADOS OS ÂNGULOS rá Figura 3.9 – M e um Ângulo H itura direta) e Ân i-Horário (a se a). 3 ÁLCULO DO IMUTES SE HORIZONTAIS À DIREITA: A figura 3.10 apresenta um trecho de uma poligonal com 8 vértices. De uma análise mais detalhada conclui-se que: o rrida Os ângulos internos foram medidos da estaca vante para a estaca ré; • O az ute dado, Az8-7 é o Azimute ré do Az7-8 O azimute a ser calculado, Az7-6 é o Azimute ré do Az6-7; • A p ligonal foi perco no sentido horário; • im ; • Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 44 3) - Dados os rumos vante das linha da tabela abaixo, encontrar os azimutes a vante e a ré. Desenhar os esquemas para cada linha. LINHA RUMO AZIMUTE VANTE RÉ AB 31o10’NW BC 12o50’SW CD 00o15’SE DE 88o50’NE EF 00o10’NE 4) - O azimute à direita de CD é 189o30’ e o rumo de ED é 08o10’SE. Calcular o ângulo CDE, medido com sentido à direita, isto é, no sentido horário. 5) - Completar a tabela abaixo: LINHA RUMO AZIMUTE VANTE RÉ VANTE RÉ A-B 332o12’ B-C 10o18’45”NW C-D 35o 20’ 35”SE D-E E-F 40o 02’ 02”NE F-G 18o 47’ 6) - Transformar rumo em azimute ou vice-versa: 23º40’32” SE 58º20’20” SW 159º00’23” 45º50’45” SW 34º50’15” NW 336º.22’45” 58º20’20” SW 49º56’33”NW 349º20’56” 34º50’15” NW 349º20’56” 28º40’00” 49º56’33”NW 28º40’00” 180º00’00” 36º29’48”SE 180º00’00” 201º19’38” 39º47’13”SW 201º19’38” 270º47’42” 23º40’32” SE 270º47’42” 159º00’23” 45º50’45” SW 349º20’56” 159º00’23” Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 45 7) - Calcular os rumos e determinar o erro de fechamento angular do polígono pelos rumos calculados e pela somatória dos ângu esquema para cada ponto. ESTAC los internos. Desenhar o A PONTO VISADO ÂNGULO À DIREITA RUMO CALCULADO 2 1 3 86o 07’ 15o 32’NE 3 2 4 175o 10’ 4 3 o 5 143 58’ 5 4 6 108o 45’ 6 5 7 247o 12’ 7 6 8 78o 53’ 8 7 9 121o 08’ 9 8 10 267o 33’ 10 9 11 88o 13’ 11 10 1 82o 47’ 1 11 2 220o 11’ Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 46 Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 49 3 - ÂNGULO TRIEDRO4.2.1. erseção de três faces. Para interseção de mais de sólido. 4.2.1.4 - ÂNGULO ESFÉRICO É o ângulo formado pela int três faces denomina-se ângulo É o ângulo medido sobre uma superfície esférica, presente nos cálculos E MEDIDAS ANGULARES GEODÉSICOS. 4.2.2 - UNIDADES D se utiliza o “TEODOLITO TOPOGRÁFICO”, um aparelho para medidas exclusivamente de ângulos horizonta te de um círculo graduado acoplado a uma luneta telescópica. Este cionado sobre o vértice do ângulo que se eseja medir, após ser nivelado. res são: • Sexagesimal; Radianos. Para tanto is e vértices. Tal aparelho consta basicamen conjunto é adaptado a um tripé e esta d As unidades de medidas angula • Centesimal (grados); • 4.2.2.1. SEXAGESIMAL No Brasil, o sistema adotado é o sexagesimal, no qual a circunferência está uais, sendo cada parte de 1o (um grau, que constitui a Cada grau está dividido em 60 partes iguais, onde cada parte corresponde a um ângulo de 1’ (um minuto). nu á dividido em 60 partes iguais, sendo que cada parte e 1” (um segundo). NOTAÇÃO: grau ( o) minutos ( ‘ ) ( “ ) dividida em 360 partes ig unidade do sistema sexagesimal). Cada mi to est correspond a um ângulo de segundos Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 50 Os segundos ( “ ) admitem partes fracionárias, porém no sistema centesimal. EXEMPLO: 12o 16 ‘ 36,1“ → = 1 Décimo de segundos 12o 16 ‘ 36,12” → = 12 Centésimos de segundos 12o 1 36,125” 6 ‘ → = 125 Milésimos de segundos 4.2.2.2. CENTESIMAL (GRADO) Na unidade centesimal, a circunferência está correspondendo a 1g (um grado). Cada grado está dividido em 100 is, c rresponde a 1 centígrado, 1 centésimo de grados ou ntesimal. Cada centígrado está dividido em 100 partes iguais, onde orresponde a 1 decimiligrado ou milésimos de grado. Portanto, o grado é composta de uma parte inteira e uma parte fracionária que dos dividida em 400 partes iguais, cada parte partes igua ada parte co 1 minuto ce cada parte c pode ser: EXEMPLO: → 21,1 = 1 Décimo de gra 21,12 = 12 Centésimos de gr→ ados 21,125 = 125 Milésimos de g→ rados 4.2.2.3. RADIANO: Chama-se de radiano, ao ângulo central que corresponde a um arco de rência está dividida em rd (6,2832 rd), nde a um ângulo, no sistema sexagesimal, a 57o tica desta unidade de medida angular, dá-se cipa da de ângulos pequenos. 4.2.3. CONVERSÃO DE UNIDADES: comprimento igual ao raio. A circunfe onde 1 radiano correspo 17’44,8”. A aplicação prá prin lmente na medi RAUS EM GRADO4.2.3.1. CONVERSÃO DE G 400g → 360o Xg → Yo Portanto: X Yo g o o= ×400 (4.1) 360 Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 51 esolução: - Passagem do sistema sexagesim o sistema de Multiplica-se os minutos por 60, adiciona-se os segundos e divide-se o resultado por 3.600 e obtêm a parte decimal. 3 = 2.220 2.220 + 21 = 2.241 Exemplo: Converter 62o 37’21” em grados. R al para cimal: 7 x 60 2 241 0 . = 3 600. 6225, D ,622 - valor em gra aí: 62o 37’2 do 1” = 62 5o. dos Cálculo : X g g o×400 62 6225, o360 g= = 69 5805, 4 RSÃO DE G RAUS.2.3.2. CONVE RADOS EM G 4 X Portanto: 00 → 360g o g → Y o Y Xo g×360o = (4.2) E C grados em R - Cálculo do valor em grados: g400 xemplo: onverter 65,5805 graus. esolução: Y o o g×360 65 5805, g400 o= = 62 6225, - Passagem do sistem l: 62,6225o. a decimal para o s stema sexagesimai Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 54 VALOR SISTEMA MÉTRICO SISTEMA ANTIGO 1 pé português 12 polegadas 0,33 m 1 côvado 2 pés 0,66 m 1 passo geométrico 5 pés 1,65 m 1 toesa 3 côvados 1.98 m 1 quadra Uruguai 50 braças 110,00 m 1 quadra brasileira 60 braças 132,00 1 milha brasileira 1.000 braças 2.200,00 m 1 milha terrestre 1.760 jardas 1.609,31 m 1 milha métrica 833,33 braças 1.833,33 m 1 milha marítima 841,75 braças 1.851,85 m 1 légua métrica 2.500 braças 5.500,00 m 1 légua marítima 2525,25 braças 5.555,55 m 1 légua brasileira 3.000 braças 6.600,00 m TABELA 4.1 – Unidades de Medidas Lineares ♦ - SUBMÚLTIPLOS: responde a décima parte do metro (0,10 m ou 1 dm) Por ser simples de se trabalhar, o sistema métrico tende, em breve, a ser usado pela totalidade dos países. Possui os seus múltiplos e submúltiplos. DECÍMETRO Cor CENTÍMETROS Corresponde a centésima parte do metro (0,01 m ou 1 cm) MILÍMETROS Corresponde a milésima parte do metro (0,001 m ou 1 mm) ♦ - MÚLTIPLOS: DECÂMETRO Corresponde a 10 vezes o metro (10 m ou 1 dam) HECTÔMETRO Corresponde a 100 vezes o metro (100 m ou 1 hm) QUILOMETRO Corresponde a 1000 vezes o metro (1000 m ou 1 km) Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 55 EXEMPLOS: 2,432 m = 2 metros, 4 decímetros, 3 centímetros e 2 milímetros 2,045 m = 2 metros, 4 centímetros e 5 milímetros 3,002 m = 3 metros e 2 milímetros 5,058 dam = 50 metros (5 decâmetros), 5 decímetros e oito centímetros 5,23 dam = 52 metros (5 decâmetros), 3 decímetros 5,4258 km = 5 quilômetros, 4 hectômetro, 2 decâmetro, 5 metros e 8 decímetros 0,5 m = 5 decímetros 0,01 m = 1 centímetro 0,004 m = 4 milímetros 0,0052 m = 5 milímetros e 2 décimos de milímetros 4.4 - MEDIDAS AGRÁRIAS: As unidades de medidas de superfície são: • Metro quadrado → m . 2 • Are: corresponde a superfície de um quadrado de 10 metros de lado ou seja 100 m2. É muito usado o múltiplo destas unidades, o HECTARE (100 vezes o ares) que equivale a 10.000 m2 e corresponde à superfície de um quadrado de 100 metros de por 10.000 tem-se: 127,8493 hectares. lado. A conversão de um número qualquer de m2 para hectare (ha.) basta dividi-lo por 10.000 e separá-lo a partir da direita, em casas de algarismo, assim: Área = 1.278.493 m2 Dividindo Assim, temos: 1 hectare (ha) = 10.000,00 m2 (quadrado de 100 x 100 m) 1 are (a) = 100,00 m2 (quadrado de 10 x 10 m) 1 centiare (ca) = 1,00 m2 (quadrado de 1 x 1 m) Portanto: 127,8493 hectares, corresponde a: 127 hectares 84 ares 93 centiares. Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 56 4.4.1 - DEFINIÇÕES E ORIGENS DAS PRINCIPAIS UNIDADES DE MEDIDAS: 4.4.1.1 - HECTARE: Medida agrária do SISTEMA MÉTRICO DECIMAL que equivale a superfície de um quadrado de 100 metros de lado ou 10.000 m . 2 4.4.1.2 - ARE: Medida agrária do SISTEMA MÉTRICO DECIMAL que a superfície de um quadrado de 10 metros de lado ou 100 m . 2 4.4.1.3 - CENTIARE: É a centésima parte do are ou seja, 1 m2. 4.4.1.4 - ACRE: Medida de superfície empregada na Inglaterra e nos Estados Unidos. Equivale a 4.046,80 m . 2 4.4.1.5 - CINQÜENTA: Unidade agrária empregada na Paraíba e a área de 50 x 50 braças, também chamada de quarta no Rio Grande do Norte. Equivale a 12.100,00 m . 2 4.4.1.6 - COLÔNIA: Unidade de superfície agrária usada no Espírito Santo equivalente a 5 alqueires geométricos. Equivale a 242.000,00 m2. 4.4.1.7 - DATA DE TERRAS: Design a de área geral ngular, caracterizada pela metragem de tes fundo. Exempl ta de 800 ua, exprime uma área de 800 br stadas por 1.500 braças de fundo, equivalente a 6.600. inas Gerais ão Paulo e Paraná a data varia de 20 a 22 m por 40 a 44 metros. ação antig tada e de mente reta o: uma da co gm meia lé aças de te 000,00 m2. Em M , S Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 59 trabalho, o “prático” vai calculando o terren que ele enxerga de perto, em partes, por litros, fazendo a soma ao final para se chegar ao total da área. Quando o terreno é montanhoso ele o vê de todos os lados, daí o crescimen várzeas não são vistas e o louvado faz o seu cálculo pelo para outro em um tempo por ele calculado e, neste c apresentar-se menor que 4.4.2 - UNIDADE LEGAI o to da medida; as terras de andar do cavalo de um lado aso, o comum é o terreno a realidade”. S NO BRASIL: UNIDADE SÍMBOLO UNIDADE Metro m comprimento metro quadrado m2 área metro cúbico m3 volume Quilograma kg massa Grama g massa Litro l volume Mililitro ml volume Quilômetro km comprimento Quilômetro por hora km/h velocidade Hora h tempo Minuto min tempo Segundo s tempo graus Celsius oC temperatura Kelvin K temperatura termodinâmica Hertz Hz freqüência Newton N força Pascal Pa pressão Watt W potência Ampére A Corrente elétrica Volt V Tensão elétrica Condela Cd intensidade de luz Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 60 Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 61 CAPÍTULO 5 AIS. MEDIÇÕES DE DISTÂNCIAS HORIZONT ÕES DE DISTÂNCIAS HORIZONTAIS:5. MEDIÇ A medida da distância entre dois pontos, em Topografia, corresponde à medida da distância horizontal entre esses dois pontos. Na Mensur de: • or aplicado no terreno ao longo do alinhamento; • dezas com ele relacionada matematicamente; comprimento de um ento que utilizam o ação, o comprimento de um alinhamento pode ser obtido através Medidas diretas: uma medida é considerada ‘direta’ se o instrumento usado na medida apoiar-se no terreno ao longo do alinhamento, ou seja, se f Medidas indiretas: uma medida é considerada ‘indireta’ no caso da obtenção do comprimento de um alinhamento através de medida de outras gran • Medidas eletrônicas: é o caso do alinhamento ser obtido através de instrum comprimento de onda do espectro eletromagnético ou através de dados emitidos por satélites. Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 64 zero” medida é feita da seguinte maneira, supondo tratar-se de uma (zero metros) deve-se deixar uma ficha fincada ao lado do marco zero; medida efetuada; a posição que se encontra etuado, haverá uma ficha na mão do trena ré; • mesmas e inicia novamente o processo a partir da 11a ficha que ainda se encontra cravada no na = 30 metros; - comprimento medido = 10 x 30 = 300 metros. • medido será o número de fichas anotado pelo trena vante, Destacam-se dois auxiliares para segurar a trena sendo chamados de trena vante o auxiliar que vai puxando a trena na frente e trena ré o auxiliar que segura a trena na parte de trás da mesma, ou seja, aquele que segura o “ da trena. Toda trenada deve ser feita com a trena esticada ao máximo próxima da horizontal. A trena de comprimento igual a 30 metros: • No ponto de partida • Ao dar a trenada, o trena vante finca uma outra ficha na posição exata da • A trena ré sai então da posição inicial recolhendo a ficha que lá houvera sido fincada e caminha até cravada a outra ficha. Portando, para cada trenada ef Depois de 10 trenadas, as ficha são devolvidas ao trena vante que anota a passagem das terreno. Até este ponto foram medidos no caso do exemplo 300 metros, ou seja: - fichas na mão do trena ré = 10 = número de trenadas; - comprimento da tre Portanto, quando se chegar ao finas da linha, o comprimento multiplicado pelo comprimento da trena mais a fração inicial de trena lida na medida final. No caso do comprimento do alinhamento ser menor que 200 metros, a trena ré deixa Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 65 mprimento da trena final. fincada a última ficha e multiplica o número de fichas que estão em poder pelo co 5.1.2. MEDIÇÃO DIRETA DE ALINHAMENTO RETO ENTRE 2 PONTOS VISÍVEIS ENTRE SI: Dizemos que se emprega o método direto quando, para se conhecer a distância ajudante munido de uma outra baliza vai avançando em direção e B para A até uma determinada distância, onde, seguindo as indicações do ando-se a verticalidade. Após de marcado o primeiro ponto termediário, precede-se à mesma operação para o segundo, terceiro, etc., até hegar ao princípio do alinhamento. O método direto pode ser utilizado percorrendo-se a linha com qualquer tipo a medição exemplificada na figura 5.1, mediu-se a distância entre os pontos A e B com m. Portanto, a distância total será 3 x 20,00 + 2 x 10,00 m + 8,20 m = 88,20 m. AB, mede-se a própria distância AB10. Este é o caso mais fácil, exemplificado na figura 5.1. A primeira operação a realizar é demarcar os pontos extremos A e B do alinhamento com uma baliza. A seguir, um d operador que se encontra uns 2 metros atrás da baliza A, crava uma outra baliza C, verific in c O operador situado em A deve ver sobrepostas todas as balizas intermediárias até a última. de diastímetro, aplicando-o sucessivamente até o final. N uma trena de 20 m. As balizas devem permanecer na vertical, enquanto as medidas com a trena sempre na horizontal. No exemplo, foi medido três (3) vezes a trena inteira; duas (2) vezes medidas de 10 metros (devido ao relevo) e uma distância fracionada de 8,20 m É método indireto quando, para determinar AB, mede-se qualquer outra reta e determinados ângulos que permitem o cálculo por trigonometria.. 10 Figura 5.1 – Medição direta de distância – de “A” enxerga-se “B” (Adaptado de Jelinek, A. Ritter – Material Didático) Em TOPOGRAFIA, os alinhamentos são representados graficamente através de o seu eodolito em A, visando B (deve visar-se para o pé da baliz falta de verticalidade da baliza). 5 .3 INHAMENTO RETO ENTRE 2 PONTOS suas projeções num plano horizontal, uma vez que as medições dos comprimentos dos alinhamentos são feitas segundo um plano horizontal. Quando a distância entre os pontos extremos AB são maiores que o comprimento do diastímetro, precisamos traçar previamente alinhamento. Consegue-se um alinhamento mais perfeito estacionando um t a para evitar erro devido à possível .1 . MEDIÇÃO DIRETA DE AL NÃO VISÍVEIS ENTRE SI: S A os estabelecer e entre el h a seguir para traçar o alinhamento é o seguinte: e uma baliza em cada um dos extremos A e B; linhamento AB e de onde possa ver a baliza em A; e e B são os extremos do alinhamento que querem es á um obstáculo que impede que se vejam um ao outro, o procedimento • Coloca-s • A seguir o ajudante que colocou a baliza em B dirige-se para um ponto C’ que esteja mais próximo do a Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 66 Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 69 = comprimento real da linha; = comprimento da trena é o valor encontrado ao compará-la com uma trena correta; = comprimento medido com a trena não aferida = comprimento nominal da trena represento o valor que ele deveria ter. 5.5. EXERCÍCI rl c ml ; nl OS 1 - As distâncias seguintes foram medidas nominalmente com uma trena de 20 Corrigir. LINHA DISTÂNCIA MEDIDA DISTÂNCIA CORRIGIDA metros, que se verificou ter só 19,95 metros. 1 - 2 32,42 32,34 2 - 3 129,33 3 - 4 91,04 4 - 5 76,71 5 - 6 38,10 6 - 7 49,37 Resolução para a linha 1-2. Sabemos que: c = 19,95; ml = 32,42; nl = 20,00. Portanto: 34,3242,32 00,20 95,19 =×=rl 2 - A linha 13-14 medida com uma corrente de agrimensor de 19,94 metros, resultou 83,15 metros. O comprimento nominal da corrente é 20 metros. Corrigir o comprimento 13-14. 3 - A linha A-B medida com uma trena que media de 20,06 metros, resultou 92,12 metros. Qual o comprimento real da linha ? Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 70 Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 71 CAPÍTULO 6 S LEVANTAMENTOS REGULARE 6 – LEVANTAMENTOS REGULARES 6.1 – LEVANTAMENTO REGULAR A TEODOLITO E TRENA Segundo (CORDINI, J.) desenvolver o levantamento topográfico de uma região ementos necessários e suficientes ao elementos são as coordenadas (X,Y) dos diversos p sim, a representação cias horizontais com a tren ( a) ou eletronicamente e ângulos horizontais levantamento e posterior desenho da planta, é necessária a determinação da me i No escritório é efetuado o ajustamento analítico de todas as medidas, bem como o cálculo das coordenadas dos pontos levantados, para posterior des h A utiliz ntamento e instrumentos de medida apr r s do traba e uma de ada área de terreno, cujas forma, dimensão e disposição dos det e requer a precisa determinação dos el desenho de sua planta. Esses ontos de interesse, que definirão, no desenho, as posições planimétricas dos pontos topográficos levantados. Em altimetria, surgirá uma terceira coordenada: a cota ou altitude (h), possibilitando, as tridimensional (planialtimétrica) do ponto. As operações de campo constam de medições de distân a medição direta), por meio de cálculos trigonométricos (medição indiret com o teodolito. Para a orientação do rid ana verdadeira ou magnética. en o da planta. ação de métodos de leva op iados, que propiciem resultados satisfatórios, atendendo aos objetivo lho, é fator que deve ser observado na execução do levantamento d termin alh s deverão ser representadas fielmente em planta. • NONIOS OU VERNIERS: Possuem escalas para leituras mais precisas. • PARAFUSOS DE FOCALIZAÇÃO: Para a focalização precisa dos pontos. • NÍVEIS DE BOLHA: Servem para indicar a verticalidade do aparelho. • TRIPÉ: Três pernas de altura regulável para apoio do teodolito. • BÚSSOLA: Indicação do Norte Magnético. Figura 6.1 – Esquema de um Teodolito (Adaptado de Baitelli/Weschenfelder - Topografia Aplicada à Agronomia) Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 74 Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 75 6.2.2. – ACESSÓRIOS Trena de aço: é uma fita de aço graduada em centímetros, enrolada no interior em comprimentos variados, até 50 m, sendo mais comuns as de 20 e 30 m. as medidas, a trena de aço é muito pouco (dilatação e contração do aço); parte-se facilmente; pode enferrujar-se rapidamente, necessitando ao final de cada dia de trabalho, limpá-la com querosene e besuntá-la com vaselina; e não pode ser arrastada pelo solo, pois gastará a gravação dos números e dos traços que constituem sua marcação. Fita de aço: são também trenas de aço, porém são enroladas em círculos descobertos munidos de um cabo de madeira. Não são gravadas de ponta a ponta, apenas o primeiro e o último decímetro são milimetrados, a parte intermediária é marcada a cada 50 cm, tendo nos metros inteiros uma chapinha com o número. ue as trenas, permitindo serem arrastadas pelo solo sem os. s com fibra de vidro. Tem diversos ou 30 m. São de uma caixa através de uma manivela. Geralmente o primeiro decímetro é milimetrado, para medidas de maior precisão. Ocorrem Apesar de apresentar boa precisão n prática no uso comum. Pode sofrer influência da variação de temperatura São mais rústicas q maiores prejuíz Trena plástica: são fitas plásticas reforçada comprimentos, sendo que as mais utilizadas são as de 20 normalmente práticas e apresentam uma precisão razoável, o que as torna intensamente utilizadas. 6.3 – MEDIDAS DE ÂNGULOS COM O TEODOLITO O ângulo medido deverá ser verificado em campo. Em hipótese alguma se admite a leitura isolada de um ângulo sem a respectiva verificação. izontais: • Fechamento em 360º; Em geral, nos levantamentos topográficos são empregados 5 processos de medição de ângulos hor • Medida simples (utilizado como apoio para a medição do ângulo duplo) • Ângulo duplo; • Repetição; • Reiteração. 6.3.1. – MEDIDA SIMPLES É o processo mais simples de medição de um ângulo, pois o valor do ângulo é linhamentos medido uma única vez. Considerando-se a Figura 6.2, seja medir o ângulo a entre dois a 5-4 e 5-6. Figura 6.2 – Medição de ângulo simples (A telli/Weschen Topografia Aplicada à Agronomia) Procedimento: daptado de Bai felder - 1) Instalar e nivelar o teodolito no ponto 5; amente, o zero do vernier e o do limbo horizontal e fixar parafuso de movimento do limbo; do limbo; nto 4 (visada à ré movimento da alidade; 6) Fazer a colimação perfeita do ponto 4 com o parafuso micrométrico do movimento da alidade; 2) Soltar os parafusos dos movimentos da alidade e do limbo; 3) Acertar, aproximad o 4) Acertar, exatamente, zero a zero, usando o parafuso micrométrico do movimento 5) Girar a alidade, visar o po ) com o auxílio da alça de mira e fixar o Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 76 Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 79 -se o ângulo β. ador, a soma fica bem próximo de 360o. guinte forma: • Subtraindo do ângulo α metade do erro se a soma superior a 360o. 10) Repetir a operação, agora com o aparelho zerado em “3” (vante), e medindo o ângulo horário até o ponto “1”, lendo 11) A soma de α + β teoricamente deve ser 360o. No entanto devido a erros alheios a vontade do oper 12) Considerando que o erro foi cometido nas duas leitura pode-se obter o ângulo compensado da se de (α + β) for • Somando-se ao ângulo α metade do erro se a soma de (α + β) for inferior a 360o. Exemplo: E ANGULO LIDO RÉ FECHAMENTO DISTÂNCIA CROQUI PV MÉDIA HORIZONTAL 2 123 18’ 16” o 1 236o 41’ 40” 35,436 3 123o 18’ 18” α = 123o 18’ 16” (ângulo à direita). β = 236o 41’ 40” (replemento). α + β = 359o 59’ 56” Para um instrumento que permite uma leitura direta de 6” o erro pode ser admitido. O ângulo compensado será: erro1+=αα 2 (6.1) Onde erro = − +360o ( )α β (6.2) Calculando-se: erro = 360o - 359o 59’ 56” = 4”. α = 123o 18’ 16” + 2” = 123o 18’ 18”. 6.3.4. – REPETIÇÃO O processo da repetição para a medida de ângulos horizontais admite a existência de erros de graduação do limbo, resultantes das imperfeições do processo de gravação do círculo graduado. Este processo ameniza estes erros, ao prever uma série de medições do ângulo pela utilização de regiões sucessivas do limbo graduado. Procede-se da ângulo duplo e continua-se, rep mesma maneira (figura 6.5) como foi explicado na medição do etindo-se sucessivamente a operação (5 repetições são o ideal). 2 1 3 3 2 1 4 n L0 L3 L1 L1 L2 Figura 6.5 – Repetições (Somente é possível a execução com aparelho repetidor) L2, L3,....., Ln-1, Ln, ter-se-á para cada α1 = L1 – L0 endo L2 L3 L4 Ln-1 Ln Chamando-se as leituras de L0,L1, ângulo: α2 = L2 - L1 α3 = L3 – L2 α4 = L4 – L3 … αn = Ln - Ln-1 n LL n n n 0...4321 −=+++++= αααααα (6.3) S Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 80 Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 81 6.3.5. – REITERAÇÃO Segundo (CORRÊA, IRAN C.S.) 11 a medida de ângulos pelo método da reiteração consiste em medir cada ângulo em partes diferentes do limbo, atenuando assim prováveis erros que possam ocorrer na graduação dos limbos. Para eliminar prováveis erros de excentricidade do eixo óptico ou erro de inclinação do eixo horizontal, vamos aplicar a esse método a leitura do ângulo na pos ão direta (PD) e posição inver O método a ser aplicado consiste em observar todas as direções a partir da rir-se todas as direções observadas a uma dentre estas direções, escolhida como origem ou referência. a posição direta da luneta (PD) e será: iç sa (PI) da luneta. estação, uma após outra, no sentido horário e em refe As leituras são efetuadas, primeiramente, n posteriormente na posição inversa da mesma (PI). Para a determinação do arco de reiterações a ser aplicado na medida dos ângulos, é necessário se estabelecer o número de reiterações (n) pretendido. Supondo que se deseje efetuar 4 reiterações, o arco de reiteração o oo n reiteraçãodearco 45 4 180180 ===⋅⋅ (6.4) Estabelecido o arco de reiteração, este indicará o valor correspondente ao arco de afastamento entre cada uma das 4 série de medidas de ângulos. primeira reiteração partirá com a m rcação do limbo em 0º, a segunda reiteração a partir de 45 quarta a partir de 135º como pode ser visto no quadro abaixo. A a º, a terceira a partir de 90º e a 11 Iran Carlos Stalliviere Corrêa - Topografia Aplicada à Engenharia Civil - Departamento de Geodésia – IG/UFRGS - 2007 / 9ª Edição. Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 84 Figura 6.7a – Poligonal Fechada minhamento no Sentido Anti-Horário, tem-se as medições dos ângulos internos (à direita), portanto: Para Ca ( ) onernos 1802int ×−=∠∑ (6.7) Onde: n = número de lados ou de vértices. N 5 1 4 32 CAMINHAMENTO SENTIDO ANTI-HORÁRIOÂng.Hor 1 Âng.Hor INTERNO 2 Âng.Hor 3 Âng.Hor 5 Az1-2 Âng.Hor 4 Figura 6.7b – gonal Fechada AMARRADA Poli 6.5.1.3. – POLIGONAL SECUNDÁRIA, ENQUADRADA OU na chegada. Portanto ela é uma ipo de poligonal há condições de se verificar o rigor/precisão nas medidas de distâncias e de orientação (azimute/rumo). É aquela em que o ponto de partida não coincide com o de chegada, porém são conhecidos elementos numéricos de posicionamento (coordenadas e orientação em relação à direção norte) na partida e poligonal bi-apoiada. Neste t E15 (X ;Y )15 15 E33 E32 (X ;Y )32 32 POLIGONAL PRINC AL POLIGONAL SECUNDÁRIA IP 1 2 ÂNG. HORÁRIO ÂNG. HORÁRIO Â ORÁRIONG. H ÂNG. HORÁRIO E14 Figura 6.8 – Poligonal Secundária 6.6 – COORDENADAS CARTESIANAS E POLARES 6.6.1. – COORDENADAS CARTESIANAS r determinada pelos valores “Xa” e “Ya” ou pelo ângulo “α“ e Se tivermos um ponto “A” num plano topográfico (horizontal), a sua situação neste plano pode se a distância “d”, constituindo os primeiros as coordenadas retangulares (cartesianas) (Figura 6.9) e os segundos as polares (Figura 6.10). O eixo horizontal indica as medidas positivas a partir de um ponto zero para Leste (E); é chamado de Eixo “E”, “x” ou Eixos das Abscissas. O eixo vertical indica as medidas positivas a partir de um ponto zero para Norte (N); é chamado de Eixo “N”, “y” ou Eixos das Ordenadas. A E (leste) N (norte) Y X DI ST ÂN CI A α O O R D E N A D AS ABCISSAS X X Y Y Figura 6.9 – Coordenadas Cartesianas Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 85 6.6.2. – COORDENADAS POLARES Se tivermos um ponto “O” no plano e uma direção de referência “OY” coincidente ou não com os eixos cartesianos) que passa po( o r ele, qualquer utro po A” do plano é determinado pelo ângulo que a direção “OA” forma com a re cia e tân n O” e alores, ângulo “ distâ “d” or a A” e medem-se diretam o nto “ ferên a dis cia “d” existente e tre “ “A”; estes dois v α“ e a ncia , constituem as co den das polares do ponto “ ente n terreno. A E (leste) N (norte) Y X DIS TÂ NC IA α Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 86 O E IX O Figura 6.10 – Coordenadas Polares Ao ponto “O”, chama-se pólo, e também centro de irradiação, e à direção de referência “eixo polar P O LA R ”. 6.7 – COORDENADAS RETANGULARES Se tivermos um sistema cartesiano (eixos perpendiculares num plano), qualquer ponto “A” do mesmo é determinado pelas suas projeções “Xa” e “Ya” sobre os eixos, sendo “Xa” a abscissa e “Ya” a ordenada. A origem “O” divide ambos os eixos em dois segmentos; e os eixos dividem o plano em quatro (4) quadrantes, conforme figura 6.11. Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 89 O Azimute da linha B-C = 330º00’00” As coordenadas do ponto A (0,000 ; 0,000), pois o ponto A está na origem do sistema cartesiano. 2) Cálculo da coordenada cartesiana do ponto B (XB; YB). Das fórmulas (6.5) e (6.6) determina-se: )" ABABAB senAzdXXX ×=−=∆ 00'0050(00,100000,0 oB senX ×=− 604,7676604,000,100000,0 =×+=BX m ABABAB AzdYYY cos×=−=∆ )"00'0050cos(00,100000,0 oBY ×=− 279,6464279,000,100000,0 =×+=BY m Portanto, o ponto B terá as coordenadas: B (76,604 ; 64,279). 3) Cálculo da coordenada cartesiana do ponto C (XC; YC), partindo do ponto B cujas coordenadas foram calculadas acima. osen×=− )"00'00330(00,50604,76C CY Por n X CX )50000,0(00,50604,76 −×+= CX 604,51= m )"00'00330cos(00,50279,64 o×=− CY )86603,0(00,50279,4 ×+= 6 CY 580,107= m ta to, o ponto C terá as coordenadas: B (51,604 ; 107,580). Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 90 .9 – CONVERSÃO DE COORDENADAS CARTESIANAS A POLARES6 rge um topografia o problema de, dados dois pontos pelas ENTAÇÃO ENTRE DOIS PONTOS DADOS POR Freqüentemente su suas coordenadas cartesianas, calcular a orientação da reta que os une e a distância reduzida que os separa. .9.1. – ORI6 COORDENADAS Como norma geral, para evitar confusões, deve-se utilizar sempre o rumo da 6.13). linha (Figura B (XB, YB) E (leste) N (norte) Y dAB RU O X AB yAB∆ X A M x∆ A ( A, Y ) (90 - RUO MO) das Figura 6.13 – O d s por coordena va n ru o, bsoluto, pel la 6.7, 9: rientação entre ois pontos dado O lor umérico do mo é obtid em valor a a fórmu observando-se a figura 6. AB ABX Y rumotg ∆ ∆ =)( (6.7) nde rumo = rumo da linha O ABAB XXX −=∆ ABAB YYY −=∆ Topografia Prof. Carlos Eduardo T. Pastana 91 : Portanto ABY∆ ABXarctgrumo ∆== (6.8) a resumida na Tabela umo para azimute: 1o. QUADRANTE = NE Azimute = Rumo O valor obtido nos fornece apenas o valor numérico do rumo. Para se obter o quadrante, deve-se verificar a figura 6.7 que se encontr 6.1 que apresenta também a conversão de r X∆ > 0 Y∆ > 0 X∆ > 0 Y∆ < 0 2o. QUADRANTE = SE Azimute = 180º - Rumo < 0 < 0 3X∆ Y∆ o. QUADRANTE = SW Azimute = 180º + Rumo X∆ < 0 Y∆ > 0 4o. QUADRANTE = NW Azimute = 360º - Rumo Tabela 6.1 – Relação entre Rumo e Azimute 6.9.2. – DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS DADOS POR COORDENADAS • LEI DOS SENOS: )90() senumo(1 rumo Y rsen Xd ABAB − ∆∆ = o (6.9) • LEI DOS COSSENOS (PITÁGO AB = RAS). 22 YXd ∆+∆= ABABAB (6.10)