Cônicas e Quádricas e suas aplicações

Cônicas e Quádricas e suas aplicações

(Parte 1 de 4)

Centro Universitário Newton Paiva

Campus Buritis

Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas

Rodrigo Rodrigues Retório

Engenharia de Produção

RA: 11013271

Sala 104

Noite

Trabalho sobre Cônicas e Quádricas

Geometria Analítica

Belo Horizonte

2010. 1º

Cônicas

As cônicas são curvas planas que se originam da interseção de cone circular por um plano. As diversas posições desse plano em relação ao cone dão origem a cônicas particulares muito importantes, como veremos a seguir.

Cônicas como seções planas do cone

Considere um cone circular de vértice V e eixo r, cujas geratrizes formam ângulo θ com o eixo do cone.

Seja π o plano que secciona o cone. Temos então os seguintes casos para a interseção do cone com o plano:

A. Se o plano π é perpendicular ao eixo do cone, mas não passa pelo vértice V, então a seção é uma circunferência. Logo, uma circunferência é uma cônica.

B. Se π é paralelo a uma geratriz do cone e não contém V, então a curva de interseção é uma parábola.

C. Se o ângulo entre o plano π e o eixo r é maior que o ângulo θ entre o eixo e a geratriz, e π não passa pelo vértice, a interseção é uma elipse. Um caso extremo é quando o ângulo é π/2, e a elipse se torna uma circunferência.

D. Se o ângulo entre o plano π e o eixo r é menor que o ângulo θ entre o eixo e a geratriz, e π não passa pelo vértice, então a interseção contém pontos nos dois lados do cone em relação ao vértice e a curva resultante é chamada de hipérbole.

E. Quando o plano π passa pelo vértice V, e o ˆangulo entre π e o eixo é igual a θ, a interseção resulta em uma reta, que é uma reta geratriz.

F. Quando o plano π passa pelo vértice V, e o ângulo entre π e o eixo é menor que θ, a interseção resulta em um par de retas concorrentes.

G. Quando o plano π passa pelo vértice V, e o ângulo entre π e o eixo é maior que θ, a interseção resulta em um ponto, mais precisamente, o vértice V.

As cônicas obtidas como interseção do cone por planos passando pelo vértice V são exemplos de cônicas tidas como degeneradas.

Existem mais dois outros casos de cônicas (degeneradas) que não comparecem na interseção do cone circular com o plano, que são: para de retas paralelas e vazio. Estas cônicas podem ser obtidas como interseção do cilindro com um plano. Na Geometria Projetiva, o cilindro é um cone, com vértice “no infinito”.

A Parábola

A parábola é uma curva plana caracterizada pela seguinte propriedade geométrica:

Os pontos de uma parábola são eqüidistantes de um ponto F e de uma reta d, que não contem F.

Denominamos:

F: Foco

D: Diretriz

V: Vértice

P: Parâmetro, que representa a distância do foco a diretriz.

Reta VF: Eixo da simetria da parábola.

Obs.:Na figura é a corda AA’ que passa pelo foco e é perpendicular ao eixo simetria. Também chamada de corda focal mínima.

Identificação da Parábola

A: Uma equação do tipo Ax²+By=0 representa uma parábola de vértice na origem e eixo de simetria coincidente com o eixo y.

B; Uma equação do tipo Ay²+Bx=0 representa uma parábola de vértice na origem e eixo de simetria coincidente com o eixo x.

Obs.: O eixo da parábola e homônimo à variável do 1º grau.

Por exemplo:

A: A equação y²+5x=0 representa uma parábola com eixo de simetria coincidente com o eixo x e concavidade voltada para a esquerda.

B: A equação 2x²-3y=0 representa uma parábola com eixo de simetria coincidente com o eixo y e concavidade voltada para cima.

Isso se deve aos conceitos de algumas equações canônicas da parábola:

A: Quando o eixo de simetria coincide com o eixo x por definição temos d(P,F)=d(P,P’)

Onde se observa que se P>0, a parábola tem concavidade voltada para a direita (voltada para a parte positiva do eixo x) e se P<0, a parábola tem concavidade voltada para a esquerda.

B: Quando o eixo de simetria coincide com o eixo y por definição temos d(P,F)=d(P,P’)

Onde se observa que se P>0, a parábola tem concavidade voltada para cima (voltada parte positiva do eixo y) e se P<0, a parábola tem concavidade voltada para baixo.

A condição para que uma cônica seja uma parábola é que quando uma superfície cônica é seccionada por um plano π qualquer que não passa pelo vértice O, π deve ser paralelo a uma geratriz da superfície.

Geratriz é qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do cone e a outra na curva que envolve a base.

Para provar esta afirmação foram criadas as equações da parábola de V=O’= (X0, Y0 )

A: O eixo de simetria é paralelo ao eixo x.

A equação da parábola referida ao novo sistema x’O’y’ é: y’²=2px’

Contudo, pelas formulas de translação:

X’=X - X0

Y’=Y - Y0

Substituindo as formulas de translação na equação da parábola temos:

(Y - Y0)² = 2p(X - X0)

O parâmetro p será positivo ou negativo se, respectivamente a concavidade da parábola estiver voltada para a direita ou para a esquerda.

Desenvolvendo e isolando a variável x temos:

X = Ay²+By+C

B: O eixo de simetria é paralelo ao eixo y.

Analogamente a parábola que tem a concavidade voltada para cima (P>0) ou concavidade voltada para baixo (P<0) tem a forma:

(X - X0)² = 2p(Y - Y0)

Desenvolvendo e isolando a variável y temos:

Y = Ax²+BX+C

A Elipse

Elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos F1 e F2 (focos) do mesmo plano, é uma constante (2A) onde 2A > d(F1, F2).

Assim: d(P, F1) + d(P, F2) = 2A e d(Q, F1) + d(Q, F2) = 2A

Denominamos:

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