Funções de Várias Variáveis

Funções de Várias Variáveis

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Capítulo 2

2.1 Introdução

ComonoCálculo deuma variável, nestecapítuloestudaremosuma dasnoçõescentrais da Matemática, o conceito de função. Uma função de várias variáveis reais é uma regraque descrevecomo uma quantidade édeterminadapor outrasquantidades, de maneira única. Através das funções de várias variáveis poderemosmodelar uma grande quantidade de fenômenos dos mais diversos ramos da Ciência.

Definição 2.1. Seja A ⊂ Rn, n = 2 ou n = 3. Uma função f definida no subconjunto A com valores em R é uma regra que associa a cada u ∈ A um único número real f(u).

u é chamada variável independente da função e a notação é: f : A ⊂ Rn −→ R.

Se n = 3, denotamos a variável independente por u = (x,y,z) e a função por: w = f(x,y,z).

Se n = 2, denotamos a variável independente por u = (x,y) e a função por: z = f(x,y).

[1] O número de indivíduos Q de uma certa colônia de fungos depende essencialmente da quantidade N de nutrientes (gr), da quantidade H de água (cm3), da temperaturaT (0C)edapresençadeumacertaproteinaL(ml). Experimentalmente

48 CAPÍTULO2. FUNÇÕESDE VÁRIASVARIÁVEIS foi obtida a seguinte tabela:

Q possivelmente não tem uma formulação matemática explícita, mas é uma função bem definida: Q = Q(N,H,T,L)

[2] O volume V de um cilindro é função do raio r de sua base e de sua altura h:

Logo, um cilindro de altura h = 10cm e raio r = 2cm tem volume: V (2,10) = 40pi cm3, aproximadamente, 125.663cm3

[3] Um tanque para estocagem de oxigênio líquido num hospital deve ter a forma de um cilindro circular reto de raio r e de altura lm (m =metros), com um hemisfério em cada extremidade. O volume do tanque é descrito em função da altura l e do raio r.

r l

Figura 2.1: O tanque do exemplo [3].

O volume do cilindro é pi lr2 m3 e o dos dois hemisférios é 4pir3 3 m3; logo, o volume total é:

Por exemplo, se a altura for 8m e o raio r = 1m, o volume é V (8,1) = 28pi3 m3. [4] O índice de massa corporal humano (IMC) é expresso por:

onde P é o peso em quilos e A a altura em m. O IMC indica se uma pessoa está acima ou abaixo do peso ideal, segundo a seguinte tabela da OMS (Organização Mundial da Saude):

Condição IMC

Abaixo do peso < 18.5

logo, segundo a tabela tem peso normal.

[5] Da lei gravitacional universal de Newton segue que dada uma partícula de massa m0 na origem de um sistema de coordenadas xyz, o módulo da força F exercida sobre outra partícula de massa m situada no ponto (x,y,z) é dado por uma função de 5 variáveis independentes:

onde g é a constante de gravitação universal.

[6] A lei de um gás ideal confinado (lei de Gay - Lussac) é P V = k T, onde P é a pressão em N/u3 (N=Newton, u=unidades de medida), V é o volume em u3, T é a temperatura em graus e k > 0 uma constante que depende do gás. Podemos expressar o volume do gás em função da pressão e da temperatura; a pressão do gás em função do volume e da temperatura ou a temperatura do gás em função da pressão e do volume:

[7] Quando um poluente é emitido por uma chaminé de h metros de altura, a concentração do poluente, a x quilômetros da origem da emissão e a y metros do chão pode ser aproximada por:

O poluente P é medido em µg/m (µg=microgramas), onde a e b são constantes que dependem das condições atmosféricas e da taxa de emissão do poluente. Sejam

50 CAPÍTULO2. FUNÇÕESDE VÁRIASVARIÁVEIS

[8] Lei do fluxo laminar de Poiseuille: Fluxo sanguíneo através de um vaso, como artérias ou veias. Como as quantidades envolvidas são pequenas, podemos considerar que vasos tem formato cilíndrico não elástico.

Figura 2.3: Fluxo laminar de Poiseuille.

Denotemos por R o raio e l o comprimento, medidos em cm. Devido a fricção nas paredes do vaso, a velocidade v do sangue é maior ao longo do eixo central do vaso e decresce se a distância d(cm) do eixo à parede cresce e é zero na parede. v é uma função de quatro variáveis:

onde η é a viscocidade do sangue e P a diferença entre a pressão da entrada e a da saída do sangueno vaso, medidaem dina/cm2. Experimentalmente,para o sangue humano numa veia: η = 0.0027. Por exemplo, se l = 1.675, R = 0.0075, P = 4×103 e d = 0.004, tem-se:

[9] Médicos dos desportos desenvolveram empiricamente a seguinte fórmula para calcular a área da superfície de uma pessoa em função de seu peso e sua altura:

onde P é o peso em quilogramas, A é a altura em cm e S é medido em m2. Uma pessoa que pesa 50 quilos e mede 160cm deve ter uma área da superfície corporal: S(50,160) = 1.5044m2.

[10] Um circuito elétrico simples é constituído de 4 resistores como na figura:

4 Figura 2.4: Circuito elétrico.

A intensidadedacorrenteI nestecircuito é função das resistênciasRi (i = 1, 2, 3, 4) e da tensão da fonte E; logo:

[1] A produção P ( valor monetário dos bens produzido no ano) de uma fábrica é determinada pela quantidade de trabalho (expressa em operários/horas trabalhadas no ano) e pelo capital investido (dinheiro, compra de maquinarias, matéria prima, etc.). A função que modela a produção é chamada de Cobb-Douglas e é dada por: P(L,K) = AKαL1−α, onde L é a quantidade de trabalho, K é o capital investido, A e α são constantes positivas (0 < α < 1). Por exemplo, se o capital investido é de R$600.0 e são empregados 1000 operários/hora, a produção é dada pela seguinte função de Cobb-Douglas:

então, P(10,600.0) = 4998.72. A função de produção de Cobb-Douglas tem a seguinte propriedade para todo n ∈ N, P(nL,nK) = AnKα L1−α, isto é, para acréscimos iguaisnaquantidadedetrabalho edecapital investidoobtemosomesmo acréscimo na produção.

2.2 Domínio e Imagem

De forma análoga ao Cálculo de uma variável, os conjuntos Domínio e Imagem de uma função são relevantes para o estudo das funções de várias variáveis.

Definição 2.2. Seja f : A ⊂ Rn −→ R uma função.

1. O conjunto de todas as variáveis independentes u ∈ Rn tais que f(u) existe é chamado domínio de f e é denotado por Dom(f).

2. O conjunto dos z ∈ R tais que f(u) = z e u ∈ Dom(f) é chamado imagem de f e é denotado por Im(f).

Na prática o domínio de uma função é determinado pelo contexto do problema.

[1] O volume V de um cilindro é função do raio r de sua base e de sua altura h. Logo, V (r,h) = pi r2 h.

Como o raio e a altura de um cilindro devem ser positivos, temos que:

e Im(f) = (0,+∞). No caso de não estar considerando a função como volume, teríamos que Dom(f) = Im(f) = R2.

52 CAPÍTULO2. FUNÇÕESDE VÁRIASVARIÁVEIS

x−y . Note que f é definida se o denominador x − y 6= 0;

[5] z = f(x,y) = ln(y −x). Note que a função logarítmica ln(u) é definida se u > 0; logo, y − x > 0 e f é definida em todo o semi-plano definido por {(x,y) ∈ R2/y > x}.

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