Baixe Teoria dos Limites e Derivadas e outras Notas de estudo em PDF para Estatística, somente na Docsity! CONCEITO DE LIMITES E DERIVADAS Foi enquanto se dedicava ao estudo de algumas destas funções que Fermat deu conta das limitações do conceito clássico de reta tangente a uma curva como sendo aquela que encontrava a curva num único ponto. Tornou-se assim importante reformular tal conceito e encontrar um processo de traçar uma tangente a um gráfico num dado ponto - esta dificuldade ficou conhecida na História da Matemática como o “Problema da Tangente”. Estas idéias constituíram o embrião do conceito de derivada e levou Laplace a considerar Fermat “o verdadeiro inventor do Cálculo Diferencial”. Contudo, Fermat não dispunha de notação apropriada e o conceito de limite não estava ainda claramente definido. No séc. XVII Leibniz algebriza o Cálculo Infinitesimal, introduzindo os conceitos de variável, constante e parâmetro, bem como a notação dx e dy para designar a menor possível das diferenças em x e em y. Desta notação surge o nome do ramo da Matemática conhecido hoje como “Cálculo Diferencial”. A Teoria dos Limites, tópico introdutório é fundamental da Matemática Superior. Portanto, o que veremos, será uma introdução à Teoria dos Limites, dando ênfase principalmente ao cálculo de limites de funções, com base nas propriedades pertinentes. Matemático francês - Augustin Louis Cauchy – 1789/1857 foi, entre outros, um grande estudioso da Teoria dos Limites. Antes dele, Isaac Newton, inglês, 1642/1727 e Gottfried Wilhelm Leibniz, alemão, 1646/1716, já haviam desenvolvido o Cálculo Infinitesimal. 3 DEFINIÇÃO Dada a função y = f(x), definida no intervalo real (a, b), dizemos que esta função f possui um limite finito L quando x tende para um valor x0, se para cada número positivo ε , por menor que seja, existe em correspondência um número positivo δ , tal que para |x - x0| <δ , se tenha |f(x) - L | <ε , para todo x ≠ x0 . Indicamos que L é o limite de uma função f( x ) quando x tende a x0 , através da simbologia abaixo: lim f(x) = Lx→ x0 Exemplo: Prove, usando a definição de limite vista acima, que: lim (x + 5) = 8 x→ 3. Temos no caso: f(x) = x + 5 x0 = 3L = 8. Com efeito, deveremos provar que dado um ε > 0 arbitrário, deveremos encontrar um δ > 0, tal que, para |x - 3| < δ , se tenha |(x + 5) - 8| < δ . Ora, |(x + 5) - 8| < δ é equivalente a x - 3 | < ε. Portanto, a desigualdade |x - 3| < δ , é verificada, e neste caso δ = δ. Concluímos então que 8 é o limite da função para x tendendo a 3 ( x δ 3) . O cálculo de limites pela definição, para funções mais elaboradas, é extremamente laborioso e de relativa complexidade. Assim é que, apresentaremos as propriedades básicas, sem demonstrá-las e, na seqüência, as utilizaremos para o cálculo de limites de funções. Antes, porém, valem as seguintes observações preliminares: a) É conveniente observar que a existência do limite de uma função, quando, x → x0 , não depende necessariamente que a função esteja definida no ponto x0 , pois quando calculamos um limite, consideramos os valores da função tão próximos quanto queiramos do ponto x0 , porém não coincidente com x0, ou seja, consideramos os valores da função na vizinhança do ponto x0 .Para exemplificar, consideremos o cálculo do limite da função abaixo, para x 3. Observe que para x = 3, a função não é definida. Entretanto, lembrando que x2 - 9 = (x + 3) (x - 3), substituindo e simplificando, a função fica igual a f(x) = x + 3, cujo limite para x δ 3 é igual a 6, obtido pela substituição direta de x por 3. b) o limite de uma função y = f(x), quando x → x0, pode inclusive, não existir, mesmo a função estando definida neste ponto x0 , ou seja , existindo f(x0). 4 x→ 5 b) lim (x2 + x) = (+ ∞ )2 + (+∞ ) = + ∞ + ∞ = + ∞ x→ + ∞ c) lim (4 + x3) = 4 + 23 = 4 + 8 = 12 x→ 2 d) lim [(3x + 3) / (2x - 5)] = [(3.4 + 3) / (2.4 - 5)] = 5 x→ 4 e) lim [(x + 3) (x - 3)] = (4 + 3) (4 -3) = 7.1 = 7 x→ 4 LIMITES FUNDAMENTAIS A técnica de cálculo de limites consiste na maioria das vezes, em conduzir a questão até que se possa aplicar os limites fundamentais, facilitando assim, as soluções procuradas. Apresentarei cinco limites fundamentais e estratégicos, para a solução de problemas. PRIMEIRO LIMITE FUNDAMENTAL: O LIMITE TRIGONOMÊTRICO Intuitivamente isto pode ser percebido da seguinte forma: seja x um arco em radianos, cuja medida seja próxima de zero, digamos x = 0,0001 rad. Nestas condições, o valor de senx será igual a sen 0,0001 = 0,00009999 (obtido numa calculadora científica). Efetuando-se o quociente, vem: senx / x = 0,00009999 / 0,0001 = 0,99999 ≈ 1. Quanto mais próximo de zero for o arco x, mais o quociente (senx) / x se aproximará da unidade, caracterizando-se aí, a noção intuitiva de limite de uma função. Exemplo: 7 Uma mudança de variável, colocando 5x = u, de modo a cairmos num limite fundamental. Verifique também que ao multiplicarmos numerador e denominador da função dada por 5, a expressão não se altera. Usamos também a propriedade P4. SEGUNDO LIMITE FUNDAMENTAL: LIMITE EXPONENCIAL Onde e é a base do sistema de logaritmos nigerianos, cujo valor aproximado é e ≈ 2,7182818. Exemplo: TERCEIRO LIMITE FUNDAMENTAL: CONSEQUÊNCIA DO ANTERIOR Exemplo: Observe o cálculo do limite abaixo: lim (1 + x)5/x = lim [(1 + x)1/x]5 = e5 x→ 0 ................x→ 0 8 QUARTO LIMITE FUNDAMENTAL: OUTRO LIMITE EXPONENCIAL Para a > 0. QUINTO LIMITE FUNDAMENTAL DERIVADA DE UMA FUNÇÃO Y = F(X) NUM PONTO X=X0. Considere a figura abaixo, que representa o gráfico de uma função y = f(x), definida num intervalo de números reais. 9 tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y = f(x), no ponto x = x0. NOTA: Uma lâmpada de um poste de iluminação pública está situada a uma altura de 6m. Se uma pessoa de 1,80m de altura, posicionada embaixo da lâmpada, caminhar afastando-se da lâmpada a uma velocidade de 5m/s, com qual velocidade se desloca à extremidade de sua sombra projetada na rua? Considere a figura a seguir: Supondo que a pessoa partiu do ponto O a uma velocidade de 5m/s, depois de t segundos, ela terá percorrido a distância d = 5.t e estará no ponto B. Como a luz se propaga em linha reta, a ponta da sombra da pessoa, estará no ponto S. Seja y esta distância. Pela semelhança dos triângulos BAS e OLS, poderão escrever: Substituindo os valores, vem: Daí, fica: 6(y – 5t) = 1,80.y 6y – 30t = 1,80y 12 6y – 1,80y = 30t 4,20y = 30t y = (30/4,20)t Portanto, y = 7,14t Ora, a velocidade v do ponto S será a derivada dy/dt, ou seja: Como y = 7,14t, vem imediatamente que: . Portanto, a velocidade do ponto extremo da sombra é igual a 7,14 m/s. NOTA: Um tanque tem a forma de um cilindro circular reto de raio da base r = 5m e altura h = 10m. No tempo t = 0, o tanque começa a ser cheio com água, que entra no tanque com uma vazão de 25 m3/h. Com qual velocidade o nível da água sobe? Depois de quanto tempo o tanque estará cheio? Considere a figura a seguir: Já sabemos que o volume de um cilindro reto de raio da base R e altura h é dado pela fórmula V = π.R2.h Sendo x o nível da água no tanque, é óbvio que poderemos escrever: 13 V = π.52.x = 25.π.x (1) A vazão de 25 m3/h é justamente a derivada dV/dt. Derivando a expressão (1) em relação à x, vem imediatamente: dV/dx = 25π Derivando a expressão (1) em relação a t, vem: Ora, a velocidade v com que o nível da água sobe é, exatamente dx/dt. Substituindo os valores conhecidos, vem finalmente: 25 = 25π .v, de onde tiramos v = 1/π m/h ou aproximadamente, v = 0,318 m/h. Portanto, o nível da água sobe a uma razão de 0,318 metros por hora. O tempo que levará para encher o tanque será então: T = 10m / 0,318 m/h = 31,4h = 31h + 0,4h = 31h + 0,4. 60min T = 31 horas e 24 minutos. EXEMPLO: DE COMO É USADOS LIMITE E DERIVADO NUNHAM EMPRESA FLORESTAL A maximização do lucro (L) ocorre quando a diferença entre a receita total (RT) e os custos totais (CT) são máximos. Matematicamente, tem-se: L = RT – CT L = Py. Y – Px. X Em que Py = preço do produto (constante); e Px = preço do fator (constante). O lucro máximo é determinado no ponto em que a inclinação da função de lucro é igual a zero (primeira derivada = 0 e segunda derivada < 0). Derivando a função de lucro em relação á do fator variável tem-se: dL/dX = Py. dY/dX + Y.0-Px . dX/dX +.0 dL/dX = Py . dY/dX - Px 14 O termo diferenciável é sinônimo de derivável e também será usado de agora em diante com a mesma liberdade com que passaremos de uma para qualquer outra das notações acima. A notação dy/dx é devida a Leibnitz. No seu tempo a formalização do conceito de limite não havia sido atingida e o uso dessa notação pode ser explicado da seguinte forma: O acréscimo da variável x Produz um acréscimo da variável y, . A idéia é que, ao se tornarem infinitamente pequenos esses acréscimos passavam a ser denotados por dx e dy, respectivamente, e operavam-se com eles formalmente como com dois números quaisquer. A razão Transformava-se em dy/dx e este símbolo não representava um nem outro, como acontece hoje, mas o quociente entre dy e dx. A despeito desses argumentos não ter uma clara fundamentação lógica, devem ser julgados no contexto de sua época. A notação de Leibnitz permanece e notará que ela é útil sendo, em muitas circunstâncias, a mais sugestiva. A notação f' (x) é atribuída a Lagrange. É a notação mais conveniente quando f é diferenciável em um conjunto A e se considera a função derivada em A. Isto é, a função f' que associa a cada a derivada f'(x) de f no ponto x. Quando a variável independente representa o tempo e é indicada por t, também se usa para a derivada de y = f (t) a notação 17 , atribuída a Newton. Após as considerações feitas até aqui é natural colocar: Definição 3.1.2 Sendo y = f (x) derivável em a, a reta tangente ao gráfico, G (f), em (a, b), b = f (a), é a reta dada por: y - b = f (a)(x - a). Se a equação horária de um movimento retilíneo é x = s (t), onde s é uma função diferenciável da variável tempo t, a velocidade v(t0) num instante t0 é a derivada de s em t0, isto é, v (t0): = s (t0). Exemplo 3.1.1 (1) Se, então f (x) = 0. De fato, neste caso, o limite (1.1) fica em qualquer ponto a. (2) Se f (x) = x2, então f' (a) = 2a. De fato, (3) A reta tangente à parábola y = x2, no ponto (2,4) é: y – 4 = 4(x – 2). (3.3) De fato, a derivada de x2 no ponto x = 2 é igual a 4. Usando agora o fato de que a equação da reta de coeficiente angular m, passando pelo ponto (a,b), é dada por y – b = m (x-a) Chega-se à equação (3.3). 18 (4) Generalizando o item (2), tem-se: Antes de provarmos esse fato, convém observar que, se f é uma função diferenciável em um ponto a, na definição de derivada, o limite (1.1) pode ser escrito na forma: O que será feito com muita freqüência daqui a diante. Retomando o nosso exemplo, aplicando o desenvolvimento do binômio obtemos: Para n = 1, temos um caso particular importante dessa fórmula: (x) = 1, Isto é, a derivada da função identidade é 1. A fórmula neste caso faz sentido apenas para: uma vez que a expressão 00 não é definida. Entretanto, pode verificar diretamente, a partir da definição de derivada, que (x) = 1, inclusive no ponto x = 0. (5) . De fato, usando o Primeiro Limite Fundamental para justificar a penúltima e a última linha da seguinte cadeia de igualdades, tem: 19 (3.4) (3.5) logo, não existe f' (0). As expressões (3.4) e (3.5) são chamadas, respectivamente, derivada à esquerda e derivada à direita de f em 0. São denotadas por f (0 -) e f' (0 +). Considerando limites laterais em (3.2) e lembrando as propriedades desses limites temos: Seja a um ponto do domínio de uma função f e também ponto de acumulação lateral desse domínio, deixando-o à esquerda e à direita. f é diferenciável em a se, e somente se, suas derivadas laterais existem e coincidem. Neste caso, f' (a) = f (a-) = f (a +). Exemplo 3.1.3. A função: é contínua, mas não diferenciável, nos pontos Deixamos ao leitor, como exercício, a verificação da continuidade de f. A não diferenciabilidade em a=1 é conseqüência da propriedade que enunciamos acima a respeito das derivadas laterais. De fato, como x4 < x2, para – 1 < x < 1, e x2 < x4, para x > 1, usando o mesmo raciocínio do Exemplo 3.1.2, obtemos: . O dispondo de mais de um recurso para verificar a não diferenciabilidade em a = - 1, inclusive o de explorar o fato de ser f uma função par. Por isso deixamos essa tarefa a seu encargo como exercício. 22 O gráfico acima representa a função do Exemplo 3.1.3. Observando essa figura, bem como o gráfico de f (x) = |x|, e refletindo um pouco sobre uma possível recíproca da Proposição 3.1.1, o concluiremos que ela é inviável. Além das descontinuidades, os pontos onde o gráfico apresenta uma quina, “uma situação de não concordância”, são pontos onde não existe reta tangente ao gráfico, embora tenhamos continuidade da função nesses pontos. Numa linguagem intuitiva, estas são situações típicas de não diferenciabilidade, enquanto que, grosso modo, o gráfico de uma função diferenciável tem um aspecto suave, não anguloso, como o gráfico de f (x) = x3 ou das funções ou , por exemplo. 23