Estimadores de Estados e Parâmetros - Filtro de Kalman e Soft Sensors

Estimadores de Estados e Parâmetros - Filtro de Kalman e Soft Sensors

ESTIMADORES DE ESTADOS E PARÂMETROS – FILTRO DE KALMAN E SOFT-SENSORS UMA BREVE REVISÃO

Diego Dias CARNEIRO

De acordo com Raïssi (2004) quando se deseja implementar um controlador ou regulador em um sistema, normalmente assume-se que os estados do sistema são bem conhecidos. Entretanto, na maioria das vezes, os estados apresentam dificuldades ou impossibilidade de medição. Uma solução para esse problema é a estimação de estados, que se baseia na estimativa de um estado atual baseado nas saídas obtidas de medidas possíveis.

Um bom esquema de estimação de estado e parâmetros é de muito valor para fermentações em batelada – caso encontrado nas cervejarias – principalmente pela falta de uso de instrumentos de medidas disponíveis para algumas variáveis importantes. Dado um modelo matemático razoalvemente correto do processo, as informações podem ser combinadas com um estimador para fornecer aos operadores dados mais completos sobre o progresso da fermentação (GEE & RAMIREZ, 1996)

De forma simples, a estimação de estados pode ser representada de acordo com a 8.

Figura – Esquema simplificado de estimação de estados.

A determinação acurada das grandezas que regem os sistemas químicos e bioquímicos, por exemplo, é de grande importância prática devido à possibilidade de previsão do comportamento dos mesmos (AMBRUS et al. 2006)

De acordo com Gee& Ramirez (1996) a estimação de estados e parâmetros pode ser realizadas por diversos métodos, dos quais vale a pena destacar o Filtro de Kalman (para sistemas lineares) e o Filtro de Kalman Estendido (para sistemas não lineares). Se parâmetros importantes do modelo são identificados usando um desses métodos em conjunto com a estimação de estado, o analista tem uma grande chance de obter não apenas estados estimados confiáveis mas uma informação sobre as mudanças que ocorrem no processo.

Segundo Russel et al. (2000) existem diversos aspectos dos problemas de estimação para sistemas em batelada que são importantes para discussão. Um exemplo é o fato que processos em batelada são processos de transição com um estado fixo não muito bem definido fazendo com que o uso de técnicas de estimação não lineares são sempre necessárias. Outro fato é a necessidade da estimação da incerteza do estado inicial ou alimentação, que deve ser modelada (normalmente como variável aleatória). Isso é importante pois uma alta incerteza na condição inicial pode resultar em baixa performance do estimador, principalmente na velocidade de convergência.

De acordo com Assis et al. (1996) o mais simples, porem menos preciso, método para obter os dados estimados é negligenciar todos os erros de medidas, ruídos instrumentais etc. e correlacionar as medidas obtidas experimentalmente com as variáveis desejadas. Não obstante, uma aproximação mais sofisticada é modelar os erros negligenciados e ruídos no estimador. Quando esses fatores são modelados estatisticamente, o estimador é chamado de filtro.

      1. Filtro de Kalman

Um método muito utilizado para a estimação de estados e/ou parâmetros de um sistema, a fim de obter um melhor controle de processo, é o uso de algoritmos de filtragem.

O termo “filtro” é mais comum em sistemas físicos de separação, como os utilizados para separar misturas líquido/sólido e gás/sólido e até soa estranho o uso do termo “filtro” para esses métodos matemáticos, porém, na década de 30 e 40 esse termo foi estendido para a separação de sinais dos ruídos de dados obtidos em modelos matemáticos (GREWAL & ANDREWS, 2001).

A importância de separar os sinais dos ruídos é ilustrada de forma bem clara por Brown (1983), onde ele cita que os ruídos são sempre indesejáveis e ilustra essa afirmação com o exemplo de ruídos adicionais em sinais de radio que acabam por perturbar o desfrute de uma música ou dificultam a compreensão das palavras do locutor. Assim como os ruídos prejudicam os sinais de radio, prejudicam também os sinais obtidos dos modelos matemáticos. Os problemas de filtragem são divididos em suavização, filtragem ou predição de acordo com o que se deseja obter e controlar.

Na suavização a informação de um dado num certo período de tempo “t” não é disponível, com isso utilizam-se medidas obtidas em tempos posteriores ao “t” (como exemplo “t + λ”) para obter a informação no tempo desejado (Anderson & Moore, 1979).

De acordo com Assis (1996), nos modelos, a filtragem é relacionada com a obtenção de um sinal a partir de dados disponíveis, porém, portadores de certo grau de incerteza, ou seja, corrompidos por um ruído. O filtro resultante pode ser projetado para passar uma faixa de freqüência selecionada ou um intervalo de baixas ou altas freqüências.

Segundo Anderson & Moore (1979) a predição é a previsão dos dados desejados a partir de dados já existentes. O objetivo principal é obter a partir de dados num tempo “t” a informação de dados em um tempo “t + λ”. Para ilustrar o que seria uma predição, os autores usaram o corpo humano, mais precisamente o cérebro, como exemplo. Quando alguém tenta pegar uma bola, essa pessoa tem que prever a sua trajetória para melhor se posicionar e pega-la corretamente. Isso pode ser dificultado se a bola sofrer perturbações aleatórias como ventos, mostrando que a predição se torna difícil se o meio tiver muitos ruídos.

Existem diversos métodos utilizados para realizar a filtragem de sinais, uns com alto grau de complexidade e esforço computacional e outros com menor grau, alguns tipos podem ser observados na Tabela 2 extraída de Brookner, 1998.

Tabela 2 - Tipos de Filtros

Filtro Wiener

Filtro Polinomial sem Memória

Filtro Polinomial com Memória

Filtro de Kalman

Filtro Bayes

Filtragem por Mínimos Quadrados

Filtro Benedict-Bordner

Filtro Lumped

Filtro g-h

Filtro de Ganho de Memoria

Dentre os filtros citados, o que será estudado e utilizado nessa dissertação é o Filtro de Kalman como uma ferramenta de predição.

Se for tomado pela origem da teoria de seu desenvolvimento, o Filtro de Kalman teve origem no século XVIII com o uso da teoria dos mínimos quadrados por Gauss no estudo das órbitas dos planetas. Porém o seu desenvolvimento como método próprio tem origem na década de sessenta, dentro da área da engenharia elétrica relacionado à teoria do controle de sistemas, onde foi desenvolvido inicialmente por Rudolph Emil Kalman como uma solução recursiva para filtragem linear de dados discretos. Para isto, utiliza equações matemáticas que, através de um estimador de estado, busca a correção à resposta de um determinado sistema a partir de variáveis conhecidas relacionadas a ele (CORREA, 2005).

Grewal & Andrews (2001), definem o Filtro de Kalman como um estimador para os denominados “Problemas quadrático-lineares”, que é o problema de estimação de estados instantâneos de um sistema linear dinâmico perturbado por um ruído branco – através do uso de medidas lineares relacionadas ao estado, porém corrompidas por ruídos brancos.

Para Welch (2004) um Filtro de Kalman é simplesmente um algoritmo ótimo para processamento de dados recursivos. A sua otimização provem da incorporação de todas as informações que estão contidas no sistema. Esse filtro processa todas as medidas disponíveis, sem se importar com a sua precisão, para estimar valores das variáveis de interesse com o uso de:

  • Conhecimentos dos dispositivos dinâmicos do sistema e das medidas.

  • Descrições estatísticas dos ruídos do sistema, erros de medidas e incertezas nas dinâmicas dos modelos.

  • Qualquer informação disponível sobre as condições iniciais das variáveis de interesse.

Alguns benefícios do Filtro de Kalman são citados por Brookner (1998), são eles:

  • Fornece dados com precisão de posições preditas de objetos (radares, satélites, armas, etc.).

  • Alta precisão de calculo.

  • Permite manipulação otimizada de medidas que variam com o tempo de forma precisa.

  • Pode ser utilizado com alguns dados perdidos e tempos desiguais entre as medidas.

  • Permite o uso ótimo de uma informação a priori se disponível.

  • Possui alta estabilidade.

O Filtro de Kalman possui uma vasta aplicação, onde é muito utilizado para a predição de comportamentos dinâmicos que normalmente não podem ser controlados, como o fluxo de rios durante uma inundação, a trajetória de corpos celestiais e preços de alguns produtos de exportação (GREWAL & ANDREWS, 2001).

De acordo com Welch (2004) o problema geral do Filtro de Kalman é a estimação de estados de um processo que é governado pela equação de diferença estocástica linear:

xk = Axk – 1+Buk – 1+wk – 1 ()

Com uma medida z m que é:

zk = Hxk + k ()

As variáveis aleatórias w e  representam os ruídos de processo e da medida (respectivamente). Esses termos são independentes um do outro, brancos, e com distribuição normal de probabilidade:

pwN0Q ()

pN0R ()

Na pratica, as matrizes de covariância dos ruídos do processo e da medida podem mudar a cada avanço de tempo ou medida, entretanto, normalmente o valor assumido por elas é constante.

A matriz n x n “A” na equação de diferença está relacionada com o estado em um tempo anterior (k – 1) para obter o estado no tempo desejado (k), na ausência de uma função principal ou ruído de processo. Vale observar que na pratica “A” deve mudar com cada passo do tempo, mas assume-se um valor constante para a matriz. A matriz n x l “B” relaciona a entrada de controle opcional u l para o estado x. A matriz m x n “H” na equação de medida relaciona o estado xk com a medida zk, A matriz “H” deve mudar com cada passo do tempo, mas assume-se um valor constante para essa matriz.

O Filtro de Kalman faz a estimativa do processo utilizando uma forma de controle em feedback: o filtro estima o estado do processo e ao mesmo obtêm o retorno na forma de (ruidosas) medidas. Como tal, as equações para o Filtro de Kalman se dividem em dois grupos: equações atualizadas com o tempo e equações atualizadas com medidas.

As equações de atualização de tempo são responsáveis pela a obtenção da projeção avançada (no tempo) do estado atual e da estimativa do erro de covariância obtendo assim a estimativa a priori para o próximo passo. Essas equações podem ser vistas como equações de predição.

As equações de atualização da medida são responsáveis pelo feedback para assim incorporar uma nova medida na estimação a priori para obter uma melhor estimativa a posteriori. Essas equações podem ser vistas como equações de correção. Ao final obtêm-se um algoritmo que pode ser denominado como um algoritmo de predição-correção para solucionar problemas numéricos. Um ciclo simplificado desse algoritmo pode ser observado na 9.

Figura – Ciclo do Filtro de Kalman.

O maior problema encontrado no uso do filtro de Kalman é a estimativa da covariância a ser aplicada para a situação estudada, esse valor normalmente é escolhido de forma aleatória, porém condizente com a situação. A dificuldade que essa escolha gera é quando, no algoritmo, se calcula o ganho do filtro de kalman, que é baseado no valor estimado da covariância (AKESSON, 2007).

Existem diversos trabalhos na literatura que mostram a aplicação do filtro de kalman em diversos processos industriais e laboratoriais, onde esse método se mostra muito eficaz na estimação de estados, parâmetros e controle de processos. É muito importante o uso de ferramentas computacionais precisas e seguras que permitam a estimação de estados e controle do processo.

      1. Sensores Virtuais (Soft-Sensors)

De acordo com Lotufo (2008) qualquer sistema de controle ou monitoramento requer o emprego de elementos de interface com o mundo real, ou mundo físico. Assim, um processo industrial requer uma diversidade de sensores para poder observar e identificar seu estado atual e poder tomar decisões de controle.

Porém o estado atual é muitas vezes difícil ou impossível de ser medido devido a diversos fatores tais como: alto custo do sensor apropriado, inexistência do sensor para determinada análise, se a metodologia for manual se gasta tempo e reagentes e muitas vezes a informação precisa ser imediata.

Lotufo (2008) explica esse problema usando como exemplo um de processo de fermentativo, onde monitoramento da concentração de biomassa e/ou produtos secundários é essencial. A inexistência de um sensor para medir essas concentrações em tempo real faz com que existam basicamente duas formas de se obter as informações ou medidas destas variáveis:

  • Método automático através de um cromatógrafo ou densidade óptica, com custo da ordem de U$ 8000,00 (oito mil dólares).

  • Método manual através de amostras coletadas periodicamente e analisadas por um especialista. Além de não fornecer sinais contínuos não os fornece também com suficiente freqüência, portanto não sendo completamente satisfatória.

Para Hulhoven et al. (2007) a escassez de medidas on-line de variáveis-chave de processos químicos e biológicos (como biomassa, substrato limitante, produtos e subprodutos de interesse) motivou o desenvolvimento de soft-sensor (sensor baseado em técnicas de estimação de estados) para o monitoramento on-line. Esses sensores são chamados de “observadores exponenciais” e são caracterizados por uma taxa de convergência ajustável para o estado real definido por ajustes rígidos nos parâmetros.

Assis & Filho (2000) definem Software sensor ou soft sensor como a associação de um sensor (hardware), que permite medições on-line de algumas variáveis do processo com um algoritmo de estimação (software) com o objetivo de fornecer estimações on-line de variáveis que não modem ser medidas, parâmetros do modelo ou para diminuir atrasos de medidas. Diversas técnicas de estimação são propostas na literatura onde dentre elas encontra-se o filtro de Kalman. As outras técnicas mais comumente utilizadas são: Estimação através de balanço elementar, observação adaptativa e redes neurais artificiais

Esse sensor utiliza as metodologias de estimação de estados e parâmetros (como o filtro de kalman e as redes neurais artificiais) aliadas ao monitoramento ou o controle realizados por computador auxiliado por medições de outros parâmetros realizadas por sensores existentes.

O soft-sensor pode ser considerado como o resultado da intersecção da tecnologia de Sensores Inteligentes e das técnicas de Modelagem e Identificação de Sistemas. Assim, o soft-sensor se mostra como uma boa alternativa em relação ao sensor tradicional (LOTUFO, 2008).

Uma grande importância e vantagem do uso dos soft-sensors é a sua capacidade de boa amostragem, com um alto grau de confiança e com um acompanhamento da evolução da variável em questão ao longo de todo o processo estudado (VOJINOVIC, 2006).

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