(Parte 1 de 3)

Prof. Fábio Meneghetti Ugulino de Araújo Fevereiro de 2007 Natal - RN

Sistemas de Controle i

1 PROBLEMA DE CONTROLE1

Índice

• Planta1
• Processo1

• Sistema Físico _ 1

• Sistema de Controle _ 1

• Sistema de Controle em Malha Aberta2
• Sistema de Controle em Malha Fechada2
1.3 FORMULAÇÃO GERAL DO PROBLEMA DE CONTROLE3
2 MÉTODO DO LUGAR GEOMÉTRICO DAS RAÍZES (LGR)4
2.2 PASSOS PARA A CONSTRUÇÃO DO LGR6
• Exemplo 1: Sistema com 2 pólos e 1 zero reais7
• Exemplo 2: Sistema com 4 pólos e 1 zero reais8
• Exemplo 3: Sistema com 2 pólos reais e 2 pólos complexos10
2.3 LGR PARA FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA TÍPICAS12
2.4 LOCALIZANDO RAÍZES NO LGR16
• Exemplo: Teste de localização de raízes para um sistema de segunda ordem17
3 AÇÕES DE CONTROLE BÁSICAS19
• Controladores por Realimentação19
3.2 AÇÕES PROPORCIONAL, INTEGRAL E DERIVATIVA (P-I-D)20

• Controle Proporcional (P)_ 20

• Controlador Proporcional + Integral (PI)21

• Controlador Proporcional + Derivativo (PD)_2

• Controlador Proporcional + Integral + Derivativo (PID)23
3.3 AÇÕES DE CONTROLE AVANÇO-ATRASO23
• Controlador Avanço de Fase (Lead)23
• Controlador Atraso de Fase(Lag)24
• Controlador Avanço-Atraso de Fase(Lead-Lag)24
3.4 MODIFICAÇÕES DAS AÇÕES DE CONTROLE PID25
4 PROJETO DE CONTROLADORES PELO MÉTODO DO LGR27
4.1 ESPECIFICAÇÕES DE DESEMPENHO27
4.2 PROJETO DE CONTROLADORES PD28
• Passos para o projeto de controladores PD28
4.3 PROJETO DE CONTROLADORES PI30
• Passos para o projeto de controladores PI30
4.4 PROJETO DE CONTROLADORES PID32

• Passos para o projeto de controladores PID_____________________________________32

4.4.1 Regras de Zigler-Nichols para o Ajuste dos Parâmetros do PID33
• Primeiro Método de Ziegler-Nichols34
• Segundo Método de Ziegler-Nichols37
4.5 PROJETO DE CONTROLADORES AVANÇO DE FASE40
• Passos para o projeto de controladores Avanço de Fase40
4.6 PROJETO DE CONTROLADORES ATRASO DE FASE42
• Passos para o projeto de controladores Atraso de Fase42
4.7 PROJETO DE CONTROLADORES ATRASO-AVANÇO DE FASE44
• Passos para o projeto de controladores atraso-avanço44

i Sistemas de Controle 4.8 EXERCÍCIOS _ 49

5 APROXIMAÇÃO DISCRETA DE FUNÇÕES DE TRANSF. CONTÍNUAS50
5.2 APROXIMAÇÕES POR INTEGRAÇÃO NUMÉRICA50
• Método de Euler ou Forward50
• Método Trapezoidal, Tustim ou Aproximação Bilinear52
5.3 INVARIÂNCIA AO DEGRAU52
6 IMPLEMENTAÇÃO DE CONTROLADORES DIGITAIS54
6.2 PRÉ-FILTRAGEM E ATRASO COMPUTACIONAL54
• Pré-Filtragem54
6.7 PROJETO DE CONTROLADORES DIGITAIS60
7 PROJETO DE SISTEMAS DE CONTROLE USANDO O ESPAÇO DE ESTADOS63
7.1 DESCRIÇÃO POR VARIÁVEIS DE ESTADO63
7.2 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE ESTADO64

• Caso Escalar _ 64

7.3 ESTABILIDADE64
7.6 REALIZAÇÕES DE FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA66
7.6.1 Realização na Forma Canônica Observável67
7.6.2 Realização na Forma Canônica Controlável67
• Fórmula de Ackermann para Determinação da Matriz de Ganhos K69
• Erro de Estimação71
• Fórmula de Ackermann para Determinação da Matriz de Ganhos do Observador L72
7.9 REALIMENTAÇÃO DE ESTADOS OBSERVADOS74
• Princípio do modelo interno para referência do tipo degrau unitário77
• Princípio do modelo interno para referência do tipo rampa unitária80
7.1 DESCRIÇÃO POR VARIÁVEIS DE ESTADO DE SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO81
7.1.1 Discretização da Equação de Estado82
7.12 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE ESTADO DE SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO84
7.13 ESTABILIDADE DE SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO84
7.14 CONTROLABILIDADE DE SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO84
7.15 OBSERVABILIDADE DE SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO85
7.16 REALIMENTAÇÃO DE ESTADOS DE SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO85
7.17 OBSERVADORES DE ESTADO DE SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO85

7.18 SEGUIDOR DE REFERÊNCIA PARA SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO____________________86

• Entrada do Tipo Degrau86
7.19 EXERCÍCIOS87
8 INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DE CONTROLE ÓTIMO90
8.1 CONTROLE ÓTIMO QUADRÁTICO90
8.2 CONTROLE ÓTIMO QUADRÁTICO DISCRETO93
• Equação de Riccati de Regime Permanente94

Sistemas de Controle i REFERÊNCIAS____________________________________________________________________ 96 iv Sistemas de Controle

Agradecimentos

Agradecemos ao Prof. Dr. André Laurindo Maitelli (w.dca.ufrn.br/~maitelli) por ter, gentilmente, cedido o material didático que serviu de fonte para elaboração deste texto. Agradecemos ainda, a todos os demais professores do Departamento de Engenharia de Computação e Automação (DCA / UFRN) que, de alguma forma, também contribuíram com o conteúdo deste material. Por fim, agradecemos a todos os alunos que têm contribuído para o aprimoramento deste texto com suas importantes sugestões.

Sistemas de Controle 1

O objetivo principal do estudo dos sistemas de controle e resolver o que se costuma denominar por “Problema de Controle”. Para que se possa apresentar uma formulação geral do que seja o problema de controle, são necessárias algumas definições iniciais.

1.1 Definições

• Planta

É uma parte de um equipamento ou instalação industrial, eventualmente um conjunto de itens de uma máquina que funcionam juntos, cuja finalidade é desempenhar uma dada operação.

• Processo

Pode ser definido como uma operação ou desenvolvimento natural que evolui progressivamente, caracterizado por uma série de mudanças graduais que se sucedem de modo relativamente fixo, conduzindo a um resultado ou finalidade particular.

• Sistema

É uma disposição, conjunto ou coleção de partes, dentro de um universo, que estão conectadas ou relacionadas de tal maneira a formarem um todo.

• Sistema Físico É uma parte do universo que foi delimitada para estudo.

• Especificações de Desempenho

São descrições do comportamento a ser apresentado pelo sistema físico, conforme solicitação do usuário.

• Modelo

Consiste na representação de certas características do sistema físico que são relevantes para seu estudo.

• Controle

É a ação de fazer com que um sistema físico atenda as especificações de desempenho determinadas a priori.

• Controlador Dispositivo utilizado para a obtenção do controle de um sistema físico.

• Sistema de Controle Conjunto formado pelo sistema a ser controlado e o controlador.

2 Sistemas de Controle

• Sistema de Controle em Malha Aberta É aquele em que a saída ou resposta não possui nenhuma influência sobre a entrada.

Controlador

Resposta Desejada

(Referência ou Set-Point) SP

Saída (Variável de Processo)

PVPlanta

Sinal de Controle

(Variável Manipulada) MV

• Sistema de Controle em Malha Fechada É aquele em que a saída ou resposta influencia a entrada do sistema.

Resposta Desejada

(Referência ou Set-Point) SP

Saída (Variável de Processo)

PVPlanta

Sensor + Transmissor

Comparação Sinal de Controle

(Variável Manipulada) MV

1.2 Exemplos Ser humano tentando pegar um objeto

Cérebro+ -

Posição do Objeto

Posição da MãoBraço e Mão

Olhos

Controlador Sistema Controle de temperatura de uma sala

Temperatura Desejada

Temperatura Ambiente

Sala

Termostato

Controlador Sistema Controle do nível de um reservatório

Nivel

Desejado Nível de

Água Reservatório

Sensor Bóia

Controlador Sistema

Sistemas de Controle 3

1.3 Formulação Geral do Problema de Controle

Um problema de controle consiste em determinar uma forma de afetar um dado sistema físico de modo que seu comportamento atenda às especificações de desempenho previamente estabelecidas.

Como, normalmente, não é possível alterar a estrutura funcional do sistema físico em questão, a satisfação das especificações de desempenho é atingida mediante o projeto e implementação de controladores (compensadores).

U= Universo

Entradas Manipuladas ut()

Entradas Exógenas wt()

Saídas Observadas yt()

Saídas de Interesse zt()

Meio Ambiente

Sistema Físico

Modelos ||

Quantitativos (Ex.: Modelos Matemáticos) ou Qualitativos (Ex.: Modelos em Escala)

Especificações de

Desempenho

Velocidade Segurança Conforto Custo

Durabilidade . . .

Análise Projeto Implementação

4 Sistemas de Controle

2 MÉTODO DO LUGAR GEOMÉTRICO DAS RAÍZES (LGR)

2.1 Introdução

O diagrama do LGR consiste em um conjunto de curvas no plano complexo s, onde estas curvas representam as posições admissíveis para os pólos de malha fechada de um dado sistema quando o seu ganho varia de zero a infinito.

Considere o seguinte sistema:

G(s) R(s) C(s)+

G(s)H(s)1 G(s)R(s) C(s)(s)GMF+==

Os pólos de malha fechada são as raízes do polinômio característico:

Como G(s)H(s) representa uma quantidade complexa, a igualdade acima precisa ser desmembrada em duas equações, as quais nos fornecem as seguintes condição para a localização dos pólos no plano s:

Condição de Módulo:

0,1,...=)12(180 G(s)H(s)k+±=∠ ( 2.2 )

Condição de ângulo:

Re Imp1

Ponto de Teste

Sistemas de Controle 5

Ex:

s ( s + 4 ) R(s) C(s)+

Variando K temos a seguinte tabela de pólos de malha fechada:

K p1 p2 0 0 -4

1 -0,27 -3,73 2 -0,59 -3,41 4 -2,0 -2,0 5 -2,0 + j 1,0 -2,0 - j 1,0 8 -2,0 + j 2,0 -2,0 - j 2,0

ReIm

K = 0K = 0

ReIm

Ponto de Teste

1G(s)H(s)

6 Sistemas de Controle

2.2 Passos para a Construção do LGR

1. Escrever o polinômio característico do modo que o parâmetro de interesse (K) apareça claramente: p.ex.: 1 + G(s)H(s) = 1 + KP(s)

2. Fatorar o polinômio P(s) em termos dos nP

PZ n j j i i

3. Assinalar os pólos e zeros de malha aberta no plano s com os símbolos correspondentes.

X = Pólos e O = Zeros.

O LGR começa nos pólos e termina nos zeros.

4. Assinalar os segmentos do eixo real que são LGR.

O LGR se situa à esquerda de um número ímpar de pólos e zeros

5. Determinar o número de lugares separados,

LS (seguimentos de curva que compõe o LGR).

LS = nP, quando np ≥ nZ; nP = Número de pólos finitos nZ = Número de zeros finitos

6. O LGR é simétrico com relação ao eixo real (eixo horizontal)

Basta desenhar a parte acima do eixo real e depois espelhar o esboço.

7. (nP - nZ) seguimentos de um LGR prosseguem em direção aos zeros infinitos ao longo de assíntotas centralizadas em σA e com ângulos φA.

A n zp −

A nnq n

8. Determinar o ponto de saída (se existir) sobre o eixo real. 1º Fazer K = p(s);

2º Determinar as raízes de 0ds )s(dp=.

9. Utilizando o critério de Routh-Hurwirtz, determinar o ponto no qual o eixo imaginário é cruzado (se isso ocorrer).

Ver critério de estabilidade de Routh-Hurwirtz.

10. Usando a condição de ângulo, determinar o ângulo de partida para os pólos complexos e o ângulo de chegada para os zeros complexos.

oo360180 P(s) q±=∠ em s = pj ou zi.

Ângulo de Partida = 180° - (∑θi) + (∑φj)

Ângulo de Chegada = 180° - (∑φi) + (∑θj) onde:

θi = ângulos de vetores partindo dos demais pólos até o pólo em questão.

φj = ângulos de vetores partindo dos demais zeros até o pólo em questão

Sistemas de Controle 7

• Exemplo 1: Sistema com 2 pólos e 1 zero reais

Considere o seguinte sistema:

s + 2 s ( s + 4 )

1. Escrever o polinômio característico do modo que o parâmetro de interesse (K) apareça claramente:

KP(s)1

2. Fatorar o polinômio P(s) em termos dos nP pólos e nZ zeros. ()fatorada forma )4s(s

3. Assinalar os pólos e zeros de malha aberta no plano s com os símbolos correspondentes:

X = Pólos e O = Zeros.

O LGR começa nos pólos e termina nos zeros.

Lugar Geométrico das Raízes (LGR)

4. Assinalar os segmentos do eixo real que são LGR.

O LGR se situa à esquerda de um número ímpar de pólos e zeros.

Lugar Geométrico das Raízes (LGR)

Total de 1 pólos e zeros (nº Impar)

Total de 2 pólos e zeros (nº Par)

Total de 3 pólos e zeros (nº Impar)

8 Sistemas de Controle

• Exemplo 2: Sistema com 4 pólos e 1 zero reais Considere agora o seguinte sistema:

K ( s + 4 )( s + 2 )

( ( s + 4 ) s + 1 ) s

1. Escrever o polinômio característico do modo que o parâmetro de interesse (K)

2. Fatorar o polinômio P(s) em termos dos

3. Assinalar os pólos e zeros de malha aberta no plano s com os símbolos correspondentes:

X = Pólos e O = Zeros.

O LGR começa nos pólos e termina nos zeros.

5Re

Pólo com multiplicidade 2

4. Assinalar os segmentos do eixo real que são LGR.

O LGR se situa à esquerda de um número ímpar de pólos e zeros.

5Re Im

Total de 1 pólos e zeros (nº Impar)

Total de 2 pólos e zeros (nº Par)

Total de 3 pólos e zeros (nº Impar)

Pólo com multiplicidade 2

Trecho entre 2 pólos

5. Determinar o nº de lugares separados,

LS = nP, quando np ≥ nZ; LS = nP = 4

6. LGR é simétrico em relação ao eixo real .

Sistemas de Controle 9

7. (nP - nZ) seguimentos de um LGR prosseguem em direção aos zeros infinitos ao longo de assíntotas centralizadas em σA e com ângulos φA.

A n zp −

A nnq n qφ o o q q q n q A zP A φ

5Re Im

8. Determinar o ponto de saída (se existir) sobre o eixo real.

1º Fazer K = p(s);

2º Determinar as raízes de 0ds dp(s)=.

logo:

5Re dp(s)ds= 0 ⇒ s = -2,5994 (Pto. de saída sobre Re)

10 Sistemas de Controle

• Exemplo 3: Sistema com 2 pólos reais e 2 pólos complexos Ex.: Considere agora o seguinte sistema:

1 ( s + 4 )

1. Escrever o polinômio característico do modo que o parâmetro de interesse (K) apareça claramente: s 128s 64s 12s

2. Fatorar o polinômio P(s) em termos dos

3. Assinalar os pólos e zeros de malha aberta no plano s com os símbolos correspondentes:

X = Pólos e O = Zeros.

O LGR começa nos pólos e termina nos zeros.

4. Assinalar os segmentos do eixo real que são LGR.

O LGR se situa à esquerda de um número ímpar de pólos e zeros.

Total de 1 pólos e zeros (nº Impar)

Total de 2 pólos e zeros (nº Par)

5. Determinar o nº de lugares separados, LS = nP = 4 6. LGR é simétrico em relação ao eixo real .

Sistemas de Controle 1

7. (nP - nZ) seguimentos de um LGR prosseguem em direção aos zeros infinitos ao longo de assíntotas centralizadas em σA e com ângulos φA.

o o o o o q q q q n q zPA φ

8. Determinar o ponto de saída (se existir) sobre o eixo real.

1º Fazer K = p(s);

2º Determinar as raízes de 0ds dp(s)=.

logo:

9. Utilizando o critério de Routh-Hurwirtz, determinar o ponto no qual o eixo real é cruzado (se isso ocorrer).

O polinômio característico é:

A partir do critério de Routh-Hurwirtz, determinamos o polinômio auxiliar:

cujo as raízes determinam os pontos onde o LGR cruza o eixo imaginário.

s4 1 64 K s3 12 128 s1 c1 s0 K

Logo, o limite de ganho para estabilidade é:

12 Sistemas de Controle

10. Usando a condição de ângulo, determinar o ângulo de partida para os pólos complexos e o ângulo de chegada para os zeros complexos.

oo360180 P(s) q±=∠ em s = pj ou zi. Logo:

θ1= 225º

Por simetria dp(s)ds= 0 ⇒ s = -1,5767 (Pto. de saída sobre Re)

2.3 LGR para Funções de Transferência Típicas G(s) LGR

1 τsK

Sistemas de Controle 13

K Re

14 Sistemas de Controle

+a ReIm sK2 Re

Im Pólo com multiplicidade 2

Pólo com multiplicidade 2

Sistemas de Controle 15

+a; 1ττ>a ReIm sK3 Re

Im Pólo com multiplicidade 3

Im Pólo com multiplicidade 3

Pólo com multiplicidade 3

16 Sistemas de Controle

+a ReIm

Pólo com multiplicidade 2

2.4 Localizando Raízes no LGR

Um ponto qualquer no plano s pertence ao LGR de um sistema, ou seja, é raiz deste sistema, se forem satisfeitos os critérios de módulo e ângulo de fase (eqs. ( 2.1 ) e ( 2.2 )). Desta forma, uma vez traçado o LGR, é possível, através de dois passos adicionais, verificar se um ponto qualquer no plano s pertence ao LGR de um dado sistema.

1. Determinar a localização das raízes que s n jn s φθ

12. Determinar o valor do parâmetro K na raiz si. () iss K1KP(s)

ZP n k k j j

Sistemas de Controle 17

• Exemplo: Teste de localização de raízes para um sistema de segunda ordem Considere o seguinte sistema de segunda ordem:

s ( s + 4 ) R(s) C(s)+

Dado um ponto s1 no plano s, é possível verificar se ele pertence ao LGR do sistema em questão através do critério do ângulo de fase:

1. Determinar a localização das raízes que satisfazem o critério do ângulo de fase.

i s

12. Determinar o valor do parâmetro K na raiz si. ()

ZP n k k j j

() () 4ssKK i i i k k j j onde: |si| é a magnitude do vetor que vai da origem até si. |(si + 4)| é a magnitude do vetor que vai de -4 até si.

Re Im

18 Sistemas de Controle

2.5 Exercícios

1. Traçar o LGR para os seguintes sistemas (com K>0), e, testar se o ponto dado pertence ao LGR do sistema:

b) 1H(s);

c) d) s 1H(s) ;

2. Dadas as seguintes funções de transferência de malha fechada. Considerando que estes sistemas têm realimentação unitária, traçar o LGR, e, testar se o ponto dado pertence ao LGR:

b)

Sistemas de Controle 19

3.1 Introdução

A introdução de um controlador em um determinado sistema visa a modificação de sua dinâmica, manipulando a relação entrada/saída através da atuação sobre um ou mais dos seus parâmetros, com o objetivo de satisfazer certas especificações com relação a sua resposta (Ogata, 1993). Os parâmetros do sistema que sofrem uma ação direta do controlador, são denominadas de variáveis manipuladas, enquanto que os parâmetros no qual se deseja obter as mudanças que satisfaçam as dadas especificações, denominam-se variáveis controladas.

O controlador é um dispositivo físico, podendo ser: eletrônico, elétrico, mecânico, pneumático, hidráulico ou combinações destes. No projeto real de um sistema de controle, o projetista deverá decidir pela utilização de um ou mais controladores. Esta escolha depende de vários fatores. O tipo de controlador mais comumente usado, mesmo em plantas das mais diversas naturezas, é o controlador eletrônico. De fato, os sinais não elétricos são, normalmente, transformados em sinais elétricos, através de transdutores, e, devido a simplicidade de transmissão, aumento da performance, aumento da confiabilidade e principalmente, facilidade de compensação. Geralmente controladores eletrônicos são circuitos simples, formados basicamente por amplificadores operacionais, sendo assim de fácil implementação prática e baixos custos (Ogata, 1993).

Uma vez determinada a necessidade de se projetar um controlador, existem algumas configurações possíveis, com respeito ao posicionamento do mesmo no sistema a ser controlado. Algumas das configurações mais usadas em sistemas de controle, são:

• Controladores Série

Em geral, o projeto de controladores série é mais simples que o de controladores por realimentação. Entretanto, normalmente exige amplificadores adicionais para aumentar o ganho do sistema. Consiste em colocar o controlador no ramo direto de alimentação, ou seja, em série com a planta

• Controladores por Realimentação

Em geral, o número de componentes necessários na compensação por realimentação será menor que o número de componentes na compensação série. Esta configuração recebe este nome pois, neste caso, o compensador é inserido num ramo de realimentação.

R(s) C(s)U(s)E(s) Planta +-

R(s) C(s)U(s) Planta

Comp.

20 Sistemas de Controle

3.2 Ações Proporcional, Integral e Derivativa (P-I-D)

• Controle Proporcional (P)

A razão entre a saída e a entrada do compensador é chamada de ganho proporcional ‘K’, quanto maior for o ganho do compensador, menor será o erro de estado estacionário ‘ess’, contudo, o tempo de acomodação aumenta, tendendo, em certos casos, a desestabilizar o sistema. O inverso acontece quando se reduz (atenua) o ganho. Um compensador deste tipo, como não acrescenta pólos nem zeros ao sistema principal, representa apenas um ajuste no seu ganho original.

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