Baixe Tópicos de Matemática Financeira e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! Tópicos de Matemática Financeira 28 de junho de 2010 Conteúdo A Grandezas Proporcionais 3 A.1 Números proporcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 A.1.1 Exercícios complementares: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 A.2 Série de razões iguais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 A.2.1 Propriedade fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 A.3 Divisão em partes proporcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 A.3.1 Fórmulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 A.3.2 Exercícios complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 A.4 Divisão em partes proporcionais composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 A.4.1 Exercícios complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 B Regra de sociedade 8 B.1 Regra de sociedade simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 B.2 Regra de sociedade composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 B.3 Exercícios complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 C Regra de três 11 C.1 Regra de três simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 C.2 Regra de três composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 C.3 Exercícios complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 D Percentagens 14 D.1 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 E Juro Simples 16 E.1 Fórmulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 E.2 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 E.3 Montante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 E.4 Exercícios complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 F Juro composto 19 F.1 Cálculo do montante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 A.1 Números proporcionais Dois números a e b ∈ R são proporcionais quando a = b.k ou b = a.k Observe uma série de números e, em seguida, outra série, cujos termos sejam proporcionais aos da primeira: 1o série 3 5 7 8 2o série 9 15 21 24 Vemos que 9 é o triplo de 3; 15 é o triplo de 5; 21 é o triplo de 7; 24 é o triplo de 8. Esses números são proporcionais pois 3 9 = 5 15 = 7 21 = 8 24 = 1 3 O coeficiente de proporcionalidade entre eles é 1 3 . A.1.1 Exercícios complementares: Exercício A.1. Na série de números proporcionais 15 7 14 12 90 42 84 72 determinar o co- eficiente de proporcionalidade. Exercício A.2. Na série de números proporcionais 36 45 54 4 5 6 calcular o coeficiente de proporcionalidade. Exercício A.3. Calcular três números proporcionais a 27, 12 e 17, sendo 6 o coeficiente de proporcionalidade. Dados os números proporcionais 6 9 7 42 x 49 calcular x. A.2 Série de razões iguais Considerando as razões: 6 3 , 10 5 , 12 6 , 8 4 Vemos que todas as razões são iguais a 2. Logo, podemos escrever: 6 3 = 10 5 = 12 6 = 8 4 Essa expressão é denominada série de razões iguais ou proporção múltipla. Em simbolos: 4 a b = c d = ... = m n A.2.1 Propriedade fundamental Seja a série de razões iguais: a b = c d = ... = m n Fazendo a razão comum igual a k, obtemos: a b = k, c d = k, ..., m n = k Onde: a = b.k, c = d.k, ..., m = n.k Pondo k em evidência, temos: a + c + ... + m = k.(b + d + ... + n) a + c + ... + m b + d + ... + n = k Como: a b = c d = ... = m n = k Podemos escrever: a + c + ... + m b + d + ... + n = a b = c d = ... = m n Em uma série de razões iguais, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes assim como qualquer antecedente está para o seu respectivo consequente. A.3 Divisão em partes proporcionais Dividir um número em partes proporcionais a outros números dados, é procu- rar parcelas desse número que sejam proporcionais aos números dados, e que, somadas, reproduzam o número. Vamos dividir 720 em partes proporcionais aos números 2, 3 e 4. Vamos supor que as partes de 720 sejam a, b e c. 5 Teremos: a + b + c 2 + 3 + 4 = a 2 = b 3 = c 4 a + b + c 2 + 3 + 4 = a 2 ⇐⇒ 720 9 = a 2 ∴ a = 720× 2 9 = 160 a + b + c 2 + 3 + 4 = b 3 ⇐⇒ 720 9 = b 3 ∴ b = 720× 3 9 = 240 a + b + c 2 + 3 + 4 = c 4 ⇐⇒ 720 9 = c 4 ∴ c = 720× 4 9 = 320 Resposta: As partes são 160, 240 e 320. A.3.1 Fórmulas Temos: Dividir N em partes proporcionais aos números a, b e c. Como foi observado anteriormente o coeficiente de proporcionalidade pode ser obtido através da fórmula: k = N a + b + c Chamando x, y, z, as três partes, vemos que cada uma delas se obtém multipli- cando o número correspondente pelo coeficiente de proporcionalidade. Logo: x = N a + b + c × a; y = N a + b + c × b; z = N a + b + c × c A.3.2 Exercícios complementares Exercício A.4. Dividir 540 em partes proporcionais aos números 1, 2, 3. Exercício A.5. Dividir 840 em partes proporcionais aos números 2 3 , 1 2 , 5 6 . Exercício A.6. Dividir R$ 12, 00 em partes proporcionais aos números 3 5 , 3 2 e 0, 9. Exercício A.7. Um senhor lega uma fortuna de R$ 3.000, 00, a ser repartida entre 3 filhos, proporcionalmente às suas idades, que são: 3 anos, 4 anos e 5 anos. Quanto receberá cada um? 6 Exemplo: A, B, C, associaram-se, entrando cada qual com o capital de R$ 15.000, 00 e tiveram um prejuízo de R$ 750, 00. A ficou na sociedade 8 meses; B, 7 meses e C, 10 meses. Qual foi o prejuízo de cada um? Solução: x = N a + b + c × a = 750× 8 8 + 7 + 10 = 6.000 25 = 240 y = N a + b + c × b = 750× 7 8 + 7 + 10 = 5250 25 = 210 z = N a + b + c × = 750× 10 8 + 7 + 10 = 7.500 25 = 300 Resposta: R$ 240, 00, R$ 210, 00 e R$ 300, 00. B.2 Regra de sociedade composta Quando os capitais e os tempos forem diferentes, os lucros ou os prejuizos serão proporcionais aos capitais multiplicados pelos tempos respectivos. Exemplo: Três sócios lucram juntamente R$ 21.500, 00. O primeiro entrou com R$ 7.000, 00 durante 1 ano; o segundo com R$ 8.500 durante 8 meses e o terceiro com R$ 9.000, 00 durante 7 meses. Qual foi o lucro de cada um? Vamos dividir R$ 21.500, 00 em partes proporcionais aos produtos dos capitais pelos tempos respectivos: 7.000× 12 = 84.000 8.500× 8 = 68.000 9.000× 7 = 63.000 Dividimos todos os valores por 1.000 para efeito de simplificação. 21.500 84 + 68 + 63 = 21.500 215 = 100 Logo: 9 x = 100× 84 = 8.400 y = 100× 68 = 6.800 z = 100× 63 = 6.300 Resposta: R$ 8.400, 00, R$ 6.800, 00 e R$ 6.300, 00. B.3 Exercícios complementares Exercício B.1. Dois sócios lucraram R$ 276, 00. O primeiro entrou para a sociedade com R$ 180, 00 e o segundo com R$ 210, 00. Qual será o lucro de cada sócio? Exercício B.2. Três moços formaram uma sociedade com o capital de R$ 200, 00 e lucraram R$ 80, 00. Calcular a entrada de cada sócio, sabendo que ao primeiro coube R$ 24, 00; ao segundo R$ 36, 00, e o terceiro, R$ 20, 00. Exercício B.3. Três sócios lucraram R$ 3.500, 00. Calcular o lucro de cada sócio sabendo que o lucro do primeiro está para o do segundo assim como 2 3 ; e que o lucro do segundo está para o do receiro assim como 4 5 . 10 C Regra de três Constituem regra de três os problemas que envolvem pares de grandezas direta- mente (regra de três direta) ou inversamente (regra de três inversa) proporcionais. C.1 Regra de três simples Quando envolve somente dois pares de grandezas direta ou inversamente propor- cionais. Exemplo 1: Comprei 36 Kg de café por R$ 10,72. Quantos Kg compraria com R$ 13,50? 36 kg custam 10,72 x custarão 13,50 36 x = 10, 72 13, 50 ⇐⇒ x = 36× 13, 50 10, 72 = 50 Observe que as grandezas são diretas pois com mais R$ compramos mais Kg. Resposta: 50 Kg. Exemplo 2: Com a velocidade de 75 Km/h um automovel percorre, em 8 horas, certo per- curso. Em quanto tempo o percorreria se a velocidade fosse de 60 Km/h? A 75 Km/h demora 8 h A 60 Km/h demorará x D Percentagens Chama-se percentagem à porção de um valor, que se determina sabendo o quanto corresponde a cada 100. Quando dizemos quinze por cento de um valor, quere- mos dizer que em cada 100 partes desse valor tomamos 15 partes. A expressão quinze por cento, que se representa por 15 %, chama-se taxa de percentagem. Uma fração, pois, expressa com o denominador 100 seria uma percenta- gem; e o seu numerador é a taxa de percentagem. Assim, na razão 8 100 a taxa de percentagem é 8. Escreve-se 8 %, e lê-se oito por cento. Exemplo: Calcular 8 % de R$ 1.200,00. Formamos, de acordo com a definição, a seguinte regra de três simples: 100 8 1.200 x ⇐⇒ 100 1200 = 8 x ⇐⇒ x = 1200× 8 100 = 96 Resposta: R$ 96,00. A percentagem tem aplicação no cálculo de percentagem, comissões, prêmios de seguros, etc. D.1 Exercícios resolvidos Exercício D.1. Um negociante efetua a compra de R$ 4.800,00 de mercadorias. Paga por intermédio de um banco que lhe cobra 1,75 % de comissão. Quanto terá que desembolsar se tem ainda 0,25 % de corretagem? Temos: i) 100 1,75 4.800 x ⇐⇒ 100 4800 = 1, 75 x ⇐⇒ x = 4800× 1, 75 100 = 84 ii) 100 0, 25 4.800 x ⇐⇒ 100 4800 = 0, 25 x ⇐⇒ x = 4800× 0, 25 100 = 12 Chegamos a seguinte conclusão: Quantia a pagar 4.800 Comissão 84 corretagem 12 Total R$ 4.896,00 Exercício D.2. Um vendedor ganhou R$ 270,00. Sendo a sua comissão 9 %, pergunta-se por quanto importou a mercadoria vendida? Sobre 100 ganha 9 Sobre x ganha 270 ⇐⇒ 100 x = 9 270 ⇐⇒ x = 100× 270 9 = 3000 Resposta: R$ 3.000,00 Exercício D.3. Comprei um cavalo por R$ 54,00 e o vendi por R$ 63,00. Que percen- tagem do preço de custo representa o lucro? Lucro:R$ 63,00 - R$ 54,00 = R$ 9,00. Sobre 54 lucrou 9 Sobre 100 lucraria x ⇐⇒ 54 100 = 9 x ⇐⇒ x = 100× 9 54 = 16 2 3 % Resposta: 16 2 3 % 15 E Juro Simples Juro é o valor que se paga por um capital emprestado. Assim, se uma pessoa empresta a outra a importância de R$ 10,00 e no fim de um ano recebe, além da quantia emprestada, R$ 1,20, como juro desse empréstimo, dizemos que esse R$ 1,20 representa o juro do capital emprestado. Observamos que R$ 1,20 corresponde a 12 % de seu valor em um ano. Deste modo, o juro produzido na unidade de tempo representa uma certa percenatgem do capital, cuja taxa se chama taxa de juro. No problema proposto, temos o capital R$ 10,00, que foi a quantia emprestada; R$ 1,20 o rendimento do capital emprestado, são os juros; a taxa, representada pelos 12%; o tempo durante o qual o capital rendeu juros é 1 ano. E.1 Fórmulas Temos: C = capital inicial ou principal; j = juro simples; t = tempo de aplicação; i = taxa de juros unitária1. Podemos escrever: 1a.a é a abreviatura de ao ano, assim como a.m é a de ao mês etc. F Juro composto Juro composto é aquele que em cada período, a partir do segundo, é calculado sobre o montante relativo ao período anterior. Assim, no regime de juro composto, o juro produzido no fim de cada período é somado ao capital que o produziu, passando os dois, capital e juro, a render juro no período seguinte. F.1 Cálculo do montante Exemplo: Um capital de R$ 100,00, aplicado a 2% ao mês, tem a seguinte evolução no regime de juros simples: Ano Juros Montante 0 — 100,00 1 100, 00× 0, 02× 1 = 2, 00 102,00 2 100, 00× 0, 02× 1 = 2, 00 104,00 3 100, 00× 0, 02× 1 = 2, 00 106,00 Tomando o exemplo anterior, de acordo com a definição de juros compostos, temos: Ano Juros Montante 0 — 100,00 1 100, 00× 0, 02× 1 = 2, 00 102,00 2 102, 00× 0, 02× 1 = 2, 04 104,04 3 104, 04× 0, 02× 1 = 2, 08 106,12 Isso nos permite concluir que o montante no regime de juros compostos é maior que no regime de juros simples (a partir do segundo período). Temos para o enésimo período: Mt = C.(1 + i) t Esta é a fórmula do montante em regime de juros compostos, também chamada fórmula fundamental dos juros compostos, para um número inteiro de períodos. O fator (1+ i)t é denominado fator de capitalização ou fator de acumulação de capital. F.2 Exercícios complementares Exercício F.1. Calcule o montante de uma aplicação de R$ 8.200,00, por um prazo de 8 meses, no regime de juros compostos, à taxa de 1,5% ao mês. Exercício F.2. Calcule o montante do capital de R$ 75.000,00 colocando a juros com- postos à taxa de 2 3 4 % ao mês, no fim de 6 meses. Exercício F.3. Qual o montante produzido por R$ 12.000,00, em regime de juros com- postos, à taxa de 2% ao mês durante 40 meses? Exercício F.4. Uma loja financia um bem de consumo durável, no valor de R$ 3.200,00, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 4.049 no final de 6 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja? Exercício F.5. Determine em que prazo um empréstimo de R$ 11.000,00 pode ser quitado em um único pagamento de R$ 22.125,00, sabendo que a taxa contratada é de 15% ao semestre em regime de juros compostos. 20