Anéis e corpos

Anéis e corpos

(Parte 1 de 2)

§ I.4 Aneis e Corpos

Aneis e subaneis

As mais importantes estruturas algebricas com duas composicoes internas, sao os chamados aneis:

Uma estrutura algebrica com duas composicoes internas ( A; + , · ) e denominada um anel, se i) ( A; + ) e um grupo comutativo.

i) Valem as leis distributivas

c) Seja ( A; + ) um grupo comutativo aditivo.

Definindo-se uma multiplicacao trivial em A por ab = 0 ∀ a,b∈A, temos

Particularmente, se ( {0}; + ) e um grupo com um so elemento,

d) Seja

o conjunto das (2 × 2)-matrizes com entradas reais.

Definindo-se para todas as

a soma e o produto por

temos que ( M2 e) Seja E um conjunto e considere A = 2E, o conjunto de todas as partes de E. Definindo-se para todas as X,Y ∈ A :

temos que ( A ; + , · ) e um anel, chamado o anel de Boole sobre o con-

(Provar estas assercoes !)

Uma consequencia das leis distributivas em aneis e:

0 · x = 0 e mostrado da mesma forma, empregando-se a outra lei distributiva.

Um subconjunto S de um anel ( A; + , · ) e dito um subanel de A, se

i) S e um subsemigrupo de ( A; · ) .

Isto significa portanto que S 6= 6O e vale a−b∈S e ab∈S para todos os a,b∈S.

a) Para todos os n ∈ IN0 , os subgrupos Un = { sao de fato subaneis de ( Z; + , · ) .

, ±2,

d) Para qualquer anel ( A; + , · ) temos os subaneis triviais {0} e A.

(Detalhar !)

Homomorfismos e relacoes de congruencia num anel - ideais

Um homomorfismo ϕ de um anel ( A; + , · ) para uma estrutura algebrica ( L; + , ·

Entao

(Nao estamos supondo que ( L; + , · ) e um anel !)

Demonstracao: Certamente, ϕ(A) e uma subestrutura de ( L; + , · ) . Mas ϕ(A) e de fato um subgrupo comutativo de ( L; + ) e um sub-semigrupo de(

Tambem valem as leis ditributivas em ϕ(A) : Para todos os x,y,z∈ϕ(A), existem a,b,c∈A com ϕ(a) = x, ϕ(b) = y, ϕ(c) = z. Segue

A lei (y + z)x = yx + zx e analoga. Logo a subestrutura ϕ(A) de L e de fato um anel.

Uma relacao de congruencia do anel A, i.e. uma κ ∈ Cg( A; + , · ) , e um

Se κ e uma relacao de congruencia do anel ( A; + , · ) e γ e o epimorfismo canonico de A sobre A/κ, vemos por I.4.6 que a estrutura quociente ( A/κ; + , · e de fato um anel.

A/κ; + , · ) chama-se o anel quociente de A mod κ.

Para classificar (a menos de isomorfismos) os aneis que sao as imagens homomorficas de um anel ( A; + , · ) , e preciso determinar ou descrever o conjunto Cg( A; + , · de suas relacoes de congruencia (ver I.2.24/25).

Se ( A; + , · ) e um anel e S e um subanel de A, podemos claramente con- siderar a relacao de equivalencia κS definida por a κS relacao e compatıvel com a adicao, pois todo subgrupo S do grupo comutativo(

Alem disso, sabemos que toda relacao de congruencia de ( A; + ) e assim obtida.

Problemas vamos ter em geral quanto a compatibilidade de κS com a multiplicacao:

Considerando-se em ( IR; + , · ) o subanel Z dos numeros inteiros e a relacao temos

Qual a propriedade adicional que um subanel S deve ter para que a relacao κ S seja tambem multiplicativamente compatıvel?

Um subconjunto I de um anel A e denominado um ideal de A, indicado por I A (i.e. usamos a mesma notacao usada para indicar subgrupos normais em grupos), se

1) I e um subgrupo do grupo aditivo ( A; + ) , i.e. I 6= 6O e x − y ∈ I para todos os x,y∈I.

i.e. I naoe apenas multiplicativamente fechado: I contem um produto ax ou xa sempre se (pelo menos) um fator esta em I.

Por I(A) indicamos o conjunto de todos os ideais de A. Escrever I ∈ I(A) significa o mesmo quanto I A.

Os ideais de um anel sao portanto uma categoria especial de subaneis - da mesma forma que os subgupos normais de um grupo sao uma categoria especial de subgrupos.

a) Para qualquer anel A temos {0} , A ∈ I(A), i. e. os subgrupos aditivos triviais {0} e A sao ideais de A, os chamados ideais triviais.

Para os subaneis Un = { c) O subanel Z de ( IR; + , · ) naoe um ideal de IR.

(Confirmar estas assercoes !)

Parecido aos subgrupos normais em grupos, os ideais sao responsaveis pelas relacoes de congruencia de um anel:

, entao κ

Demonstracao: Ja sabemos κI

∈ Cg( A; + ) . Tambem sabemos que

Suponhamos a,a′,b,b′∈A sao tais que b κI b′ . Isto significa

Como I e um ideal de A, temos a(b − b′)∈I e (a − a′)b′∈I. Segue

Vemos que κI

Tambem ao contrario vale: Toda relacao de congruencia de A e induzida por um ideal de A :

Entao

b) Para todos os a,b∈A temos

Demonstracao: a) Sabemos que Iκ e um subgrupo do grupo aditivo ( A; + ) .

Se x∈Iκ e a∈A, temos

xa, ax∈Iκ . Isto significa Iκ

Portanto temos a I.4.1 Consequencia.

Seja A um anel. Entre o conjunto I(A) dos ideais de A e o conjunto Cg( A; + , · das suas relacoes de congruencia, existe uma correspondencia biunıvoca, estabelecida por cuja inversa e

Alem disso, i.e. nesta correspondencia, o ideal I = {0} corresponde a relacao da igualdade, o ideal I = A corresponde a relacao universal em A.

Aneis quocientes e ideais I.4.13 Observacao.

um anel, I A e κI e a congruencia associada ao I.

a) A classe de equivalencia a do elemento a∈A mod κI e

b) O anel quociente A/κI e

Escreve-se tambem A/I = A/κI .

b) tambem e claro.

o anel quociente de A mod I. Entao a) A adicao e multiplicacao induzidas em A/I sao dadas por

b) O epimorfismo canonico γ ∈ (A/I)A e a aplicacao dada por

Demonstracao: Abreviamos a = a+I, a) Se a,b∈A, a adicao e multiplicacao indicadas sao i.e. sao de fato as composicoes das classes atraves das composicoes dos representantes.

As demais afirmacoes tambem sao imediatas.

Sejam (

Seja κϕ a relacao de congruencia associada ao ϕ, i.e.

Entao valem:

a) O ideal Iκϕ e

Este ideal Iκϕ de A e usualmente indicado por

e se chama o nucleo do homomorfismo ϕ

Demonstracao: a) Temos ϕ(0A ) = 0L . Logo, Iκϕ

Se (

c) κϕ = κ Nuc ϕ

O teorema geral do homomorfismo (ver I.2.24), reformulado para aneis e agora assim:

I.4.17 Teorema. (teorema do homomorfismo para aneis)

Sejam (

dois aneis. Seja ϕ∈LA um homomorfismo de(

} e um ideal de A.

c) Existe um unico isomorfismo ψ do anel quociente (

Particularmente,

O teorema do homomorfismo para aneis diz entao:

O anel quociente de um anel mod um qualquer ideal, e uma imagem homomorfica do anel original.

Reciprocamente vale: A imagem homomorfica de um anel por um homomorfismo ϕ e um anel, o qual pode ser reencontrado isomorficamente em forma de um anel quociente, olhando o anel original mod o ideal Nuc ϕ associado ao homomorfismo ϕ.

Propriedades especiais de aneis I.4.18 Definicao.

a) um anel com identidade se existe um elemento 1∈A tal que 1 · a = a · 1 = a para todo a∈A.

Isto significa portanto que o semigrupo ( A; · ) e um monoide.

b) anel comutativo, se ab = ba para todos os a,b ∈ A. Isto significa que o semigrupo ( A; · ) e comutativo.

c) anel comutativo com identidade se A tem as propriedades de a) e b) si- multaneamente. Isto significa portanto que ( A; · ) e um monoide comuta- tivo.

d) um domınio de integridade, se A e um anel comutativo com identidade, tal que R(A; · ) = A\{0}. Isto significa que, se 0 6= a ∈ A e x,x′ ∈ A entao temos a lei do cancelamento e) um corpo, se A e um anel comutativo com identidade 1 6= 0, tal que U(A; · ) = A\{0}. Isto significa portanto que se 0 6= a∈A, entao existe x∈A com ax = 1.

a) ( Z; + , · ) , o anel dos numeros inteiros e um domınio de integridade porem naoe um corpo.

b) ( IR; + , · ) , o anel dos numeros reais, e um corpo.

c) O anel ( 2ZZ; + , · ) dos numeros inteiros pares e um anel comutativo sem elemento identidade.

d) Seja ( A; + ) um grupo comutativo aditivo.

anel comutativo. Ele nao possui uma identidade se |A| ≥ 2.

O anel trivial A = {0}, cujo unico elemento e tanto o elemento nulo quanto a sua identidade, no nosso entendimento e um domınio de integridade.

e) O anel das (2 × 2)-matrizes com entradas reais, e um anel nao-comutativo com o elemento identidade 1 0

f) O anel de Boole ( A ; + , · ) sobre o conjunto E (A = 2E e o conjunto de todas as partes de E), e um anel comutativo cuja identidade e a parte E ∈A (a parte vazia 6O ∈ A e o elemento nulo!). Ele naoe um domınio de integridade se |E| ≥ 2 (i.e. se |A| ≥ 4 [ver I.4.2 b)]). Para E = 6O temos que A= {6O} e um anel trivial com um so elemento.

Para E = {b} um conjunto unitario, temos que A= { 6O , E} e um corpo com 2 elementos.

(Provar estas assercoes !)

Pelos nossos conhecimentos podemos afirmar: I.4.20 Observacao.

tidade c) Um anel comutativo com identidade A e um domınio de integridade, se e somente se ∀ a,b∈A :

c) Se R(A; · ) = A\{0} e tendo em vista que R(A) e multiplicativamente fechado, concluimos ab 6= 0 sempre se a 6= 0 6= b.

Reciprocamente, se R(A) ⊂ 6= A\{0}, vai existir 0 6= a ∈ A que naoe regular.

Um produto de dois elementos num anel e 0, sempre se um dos fatores e 0 (ver I.4.3). Vemos que esta conclusao, porem, nem sempre e reversıvel, i.e.

um produto ab num anel pode ser 0 com ambos os fatores a,b 6= 0. Isto justifica a

Um elemento a de um anel comutativo A 6= {0} chama-se um divisor de zero, se existe um 0 6= b∈A tal que ab = 0.

Observamos que a = 0 sempre e um divisor de zero (trivial) (por I.4.3).

Por I.4.20 c), os domınios de integridade A 6= {0} portanto, nao possuem divisores de zero nao-triviais.

Portanto, 2 e 3 sao dois divisores de zero nao-triviais.

b) Seja E um conjunto com |E| ≥ 2 e A= 2E. Seja A ⊆ E com 6O 6= A 6= E e B = CptE (A). Temos

Portanto, A e B sao dois divisores de zero nao-triviais do anel de Boole(

A; + , ∩ ) (observe que 6O e o elemento nulo de A !).

Ideais principais em aneis comutativos com identidade I.4.23 Observacao.

um qualquer elemento. Entao

i.e. o conjunto de todos os multiplos de a, forma um ideal de A. Vale a∈aA e aA e o menor ideal de A que contem a.

Este ideal aA, as vezes tambem denotado por Ia ou (a), e denominado o ideal principal de A gerado por a.

Demonstracao: Certamente, a = a · 1∈aA 6= 6O. Se x,y ∈ aA sao dois quais- quer elementos, existem x1 , y1

. Segue x − y =

)∈aA, mostrando que aA e um subgrupo aditivo de A.

Se ainda c∈A, segue xc = cx = (ax1 )c = a(x1 c)∈aA. Portanto, aA de fato e um ideal de A.

Como qualquer ideal de A que contem a tambem deve conter todos os multiplos ax, vemos que aA e de fato o menor ideal de A contendo a.

e o ideal principal de Z gerado por 6. Observamos (6) = (−6) .

b) Seja E um conjunto, A= 2E e seja ( A ; + , · ) o anel de Boole sobre

E, as composicoes de A sendo

O ideal principal de A gerado por A ∈ A, e

Em qualquer anel (comutativo com elemento identidade) temos

isto significa que os ideais principais formam uma subfamılia do conjunto de todos os ideais de A. Observamos que, alem dos ideais principais podem existir outros ideais num anel A :

No anel de Boole A = 2IN sobre os numeros naturais (ou sobre qualquer conjunto infinito) temos que

a famılia dos subconjuntos finitos de IN, forma um ideal (demonstracao ?).

F nao pode ser um ideal principal de ( 2IN ; + , · ) :

Como F contem subconjuntos de tamanho finito arbitrario, isto significa que

(F) = FA= 2F ⊂ 6= F, qualquer que seja o elemento F ∈ F e nao podemos ter

Portanto: So excepcionalmente vamos ter

A seguinte definicao destaca entre os domınios de integridade aqueles nos quais os ideais principais exaurem o conjunto de todos os ideais.

Um anel ( A; + , · ) e chamado um domınio de ideais principais, se i) A e um domınio de integridade. i) Todo ideal de A e um ideal principal.

O anel ( Z; + , · ) dos numeros inteiros e um domınio de ideais principais.

Demonstracao: Seja dado um ideal J de Z. Por I.2.10 sabemos: A relacao de congruencia κJ de Z definida pelo J, e da forma κJ = ≡n onde

n = o menor numero natural contido em J se J 6= {0} .

Portanto, J = (n) e um ideal principal e vemos

Aneis simples e Corpos

caracterizacao transparente, se A e um anel comutativo com elemento identidade. Esta queremos mencionar:

Seja ( A; + , · ) um anel comutativo com elemento identidade 1.

Equivalentes sao :

simples. Isto significa I(A) ={

{0} , A} com A 6= {0}. Seja dado 0 6= a∈A e considere o ideal principal

Temos {0} 6= aA ∈ I(A). Portanto, aA = A, devido a simplicidade de A. Par- ticularmente, 1 ∈ aA, i.e. existe x0 ∈ A com ax0

= 1. Mas isto significa que

E preciso mostrar que I = A. Para isto peguemos um 0 6= a∈I. Como A e um

∈I. Para todo y∈A

Vemos a simplicidade de A.

Ideais primos e ideais maximais

Ideais com propriedades especıficas conduzem a aneis quocientes especıficos. Vejamos alguns exemplos no caso de aneis comutativos com elemento identidade.

Lembremos que qualquer ideal contem um produto ab de elementos de A desde que ele contenha pelo menos um dos fatores a ou b. Esta conclusao nem sempre e reversıvel: O produto de dois elementos ab pode estar num ideal com ambos os fatores fora do ideal. A seguinte definicao trata dos ideais para os quais isto nao ocorre:

I.4.29 Definicao. Seja A um anel comutativo com identidade. Um ideal P e denominado um ideal primo, se para todos os a,b∈A pudermos concluir:

ab∈P =⇒ a∈P ou b∈P , i.e. P contem um produto ab somente se ele contem um dos fatores.

a) Seja p um numero primo. Entao o ideal principal P = (p) de ( Z; + , · e um ideal primo. b) O ideal I = (6) de Z naoe um ideal primo. c) Em qualquer anel comutativo com identidade temos que o ideal trivial

P = A e um ideal primo.

O ideal trivial I = {0} e primo, se e somente se A e um domınio de integridade.

Demonstracao: a) Se a,b ∈ Z sao tais que ab ∈ P, isto significa que ab e multiplo de p. Como um primo nao pode ser multiplicativamente distribuido para dois fatores, concluimos que p tem que dividir um dos fatores a ou b (ou ambos). Mas entao a ∈ (p) = P ou b ∈ (p) = P. Vemos que (p) e um ideal primo.

ideal primo.

c) A primeira afirmacao e evidente.

De ab ∈ {0} podemos concluir a ∈ {0} ou b ∈ {0}, se e somente se ab = 0 implica em a = 0 ou b = 0. Mas isto caracteriza os domınios de integridade entre os aneis comutativos com identidade.

Os ideais primos podem ser assim caracterizados:

Equivalentes sao:

a) J e um ideal primo. b) O anel quociente A/J e um domınio de integridade. c) O conjunto complementar A\J e multiplicativamente fechado.

”a) ⇒ b)”: Seja J e um ideal primo de A e sejam a+J, b+J∈A/J tais que (a+J)(b+J) = J

(lembrar que J e o elemento nulo de A/J !). Isto significa ab+J = J, ou seja, ab ∈ J. Por J ser ideal primo, concluimos a ∈ J ou b ∈ J. Mas isto quer dizer a+J = J ou b+J = J. Logo o unico divisor de zero de A/J e J, o elemento nulo de A/J.

”b) ⇒ a)”: Suponhamos A/J e um domınio de integridade e sejam a,b∈A com ab ∈ J. Temos portanto (a+J)(b+J) = ab+J = J. Por A/J ser domınio de integridade, concluimos a+J = J ou b+J = J. Mas entao a∈J ou b∈J. Vemos que J e um ideal primo de A.

Ja que os ideais primos sao exatamente aqueles cujos aneis quocientes sao domınios de integridade, uma pergunta justificada e:

Como sao os ideais cujos quocientes sao corpos?

Como todo corpo e um domınio de integridade, estes ideais deverao ser ideais primos especıficos.

Seja ( A; + , · ) um anel comutativo com elemento identidade. Um ideal M A e denominado um ideal maximal de A, se i) Se X A com M ≤ X 6= A, entao X = M, i.e. que entre M e A nao existe propriamente nenhum ideal de A. (Equivalentemente: Se M < X A, entao X = A.)

Seja ( A; + , · ) um anel comutativo com identidade e J A. Entao sao equiv- alentes:

b) J e um ideal maximal de A.

Demonstracao: Certamente,

A/J e um anel comutativo cujo elemento identidade e 1+J

(a classe 0+J = J e seu elemento nulo). Por I.4.28, a afirmacao da proposicao pode ser substituida por:

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