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Capítulo 2 FASORES E NÚMEROS COMPLEXOS

2. Introdução 2.1 Fasor

2.1.1 Representação Fasorial de uma Onda Senoidal e Co-senoidal 2.1.2 Diagramas Fasoriais 2.2 Sistema de Números Complexos 2.2.1 Plano Complexo 2.2.2 Operador j 2.3 Forma Retangular e Polar 2.3.1 Forma Retangular 2.3.2 Forma Polar 2.3.3 Identidade de Euler 2.4 Operação Matemática com Grandezas Complexas 2.4.1 Soma 2.4.2 Subtração 2.4.3 Produto 2.4.4 Divisão 2.4.5 Potenciação 2.4.6 Raiz N-ésima 2.4.7 Logaritmo

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2. Introdução

Os fasores e os números complexos são duas importantes ferramentas para a análise de circuitos ca. As tensões e correntes senoidais podem ser matemática e graficamente representadas por fasores em termos de suas magnitudes e ângulos de fase. O sistema de números complexos é um meio de expressar os fasores e de operá-los matematicamente.

2.1. Fasor

Um fasor é uma representação gráfica semelhante a um vetor, mas em geral refere-se a grandezas que variam no tempo como as ondas senoidais.

O comprimento de um fasor representa sua magnitude, e o ângulo θ representa sua posição angular relativa ao eixo horizontal tomado como referência. Os ângulos positivos são medidos no sentido antihorário a partir da referência (0o) e os ângulos negativos são medidos no sentido horário a partir da referência.

Figura 2.1: Exemplo de fasores: magnitude e direção.

A Figura 2.2 mostra um fasor de magnitude |A| que gira com velocidade angular ω.

Figura 2.2: Fasor girante.

θ 90º 180º 0º magnitude -60º

180º 0º ωt

|A|90º 0º 180º

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2.1.1 Representação Fasorial de uma Onda Senoidal e Co-senoidal

Um ciclo completo de uma senóide pode ser representado pela rotação de um fasor que gira 360º. O valor instantâneo da onda senoidal em qualquer ponto da senóide é igual à distância vertical da extremidade do fasor ao eixo horizontal, isto é, a projeção do fasor no eixo vertical.

Figura 2.3 Onda senoidal representada por fasor em movimento.

Figura 2.4 Onda co-senoidal representada por fasor em movimento.

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A Figura 2.4 apresenta a representação de uma onda co-senoidal por um fasor girante. O valor instantâneo da co-senoide em qualquer ponto da onda é igual à distância horizontal da extremidade do fasor ao eixo vertical, ou seja, igual à projeção do fasor sobre o eixo horizontal.

Note que a amplitude do fasor é igual ao valor de pico da onda senoidal na Figura 2.3 (pontos 90º e 270º) e da onda co-senoidal na Figura 2.4 (pontos 0o e 180º).

A Figura 2.5 mostra um fasor de tensão em uma posição angular específica de 45º e o correspondente ponto na onda senoidal. O valor instantâneo da onda senoidal neste ponto está relacionado à posição

(θ) e à amplitude do fasor (Vp). Note que quando uma linha vertical é traçada da extremidade do fasor até o eixo horizontal é formado um triângulo retangular. O comprimento do fasor é a hipotenusa do triângulo, e a projeção vertical, o seu cateto oposto. Assim, o cateto oposto do triângulo reto é igual à hipotenusa vezes o seno do ângulo θ e representa o valor instantâneo da senóide.

Figura 2.5: Relação matemática entre a senóide e o fasor.

O período e a freqüência da onda senoidal estão relacionados à velocidade de rotação do fasor. A velocidade de rotação do fasor é denominada de velocidade angular, ω. Quando um fasor gira a uma velocidade ω, então ωt representa o ângulo instantâneo do fasor que pode ser expresso como:

θ=ωt(2.1)

2.1.2 Diagramas Fasoriais

Como visto anteriormente, uma onda senoidal periódica de freqüência e amplitude constantes pode ser representada por um fasor girante. Como amplitude e freqüência são constantes, tem-se que uma vez

Profa Ruth Leão Email: rleao@dee.ufc.br conhecida o valor instantâneo de uma senóide em t=0, em qualquer tempo o valor da senóide pode ser determinado.

(a) (b)

Figura 2.6: Definição de uma onda senoidal.

A onda senoidal mostrada na Figura 2.6 é definida matematicamente como:

ν(t)= Vp.sen(ωt+45º)(2.2)

Assim, o fasor da Figura 2.6 (b) tem amplitude igual a Vp, gira a uma velocidade angular ω, e tem um ângulo de fase igual a 45º.

Um fasor em uma posição fixa é usado para representar uma onda senoidal completa porque uma vez estabelecido o ângulo de fase entre a onda senoidal e uma referência, o ângulo de fase permanece constante ao longo dos demais ciclos.

Um diagrama fasorial pode ser usado para mostrar a posição relativa de duas ou mais ondas senoidais de mesma freqüência, pois uma vez que o ângulo de fase entre duas ou mais ondas de mesma freqüência é estabelecida, o ângulo de fase permanece constante ao longo dos ciclos.

Na Figura 2.7 três ondas senoidais são representadas por um diagrama fasorial. A senóide A está adiantada das senóides B e C, a senóide B está adiantada em relação à senóide C, porém atrasada em relação à senóide A, e a senóide C está atrasada em relação às senóides A e B, como indicado no diagrama fasorial.

Figura 2.7: Exemplo de diagrama fasorial.

45º 0º

180º 270º

45º -60º

Vp

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2.2. Sistema de Números Complexos

Os números complexos permitem operações matemáticas com fasores e são úteis na análise de circuitos ca.

A álgebra de números complexos é uma extensão da álgebra de números reais. Os números reais constituem um sub-conjunto dos números complexos.

Os números complexos são formados pelos números reais e pelos números imaginários.

{Conjunto dos Complexos} = {Reais} + {Imaginários} (2.3)

Os números imaginários são distinguidos dos números reais pelo uso do operador j ou i.

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