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D∓(2.10)

2.3.2 Forma Polar

O fasor A quando representado na forma polar consiste da magnitude |A| e da posição angular relativa ao eixo real, expresso como:

|A|∠±θ(2.1)

Um fasor na forma retangular pode ser convertido para a forma polar e vice-versa. Na conversão retangular → polar tem-se:

x θ

|A| y

-x φ θ=180 -φ

-y |A|

-x φθ=-180+φ-y

1º quadrante 2º quadrante 3º quadrante 4º quadrante

Profa Ruth Leão Email: rleao@dee.ufc.br

Figura 2.13: Coordenadas cartesianas de um fasor.

Ax yyx jsencosAjyxA

A tg (2.12)

()AAjyxjsencosAA±±=±⋅≡±∠θθθ(2.13)

A conversão polar → retangular tem-se:

2.3.3 Identidade de Euler Seja o fasor A representado em sua forma retangular trigonométrica:

A = ⏐A⏐.(cosθ + jsenθ)(2.14)

As funções senθ e cosθ expandidas em série:

+) + j(θ - θ3
+)] (2.15)
+) (2.16)

Reconhecendo que:

+(2.17)

A = ⏐A⏐.e jθ = ⏐A⏐.(cosθ + jsenθ) (2.18) com

+j

A +xA=|A|cosθ

+jyA=j|A| senθ θ

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e jθ = (cosθ + jsenθ)(2.19)

que representa a identidade de Euler. De modo análogo tem-se que:

e -jθ = (cosθ - jsenθ)(2.20)

O fasor A quando representado como A = |A|.e±jθ diz-se estar na forma exponencial.

A forma polar é a representação concisa da forma exponencial.

A =|A|.e±jθ ≡|A|∠±θ(2.21)

A Equação 2.2 apresenta as diferentes formas de representar uma onda senoidal variante no tempo por um fasor com magnitude definida pela amplitude da onda senoidal, que gira a uma velocidade angular ω, e cuja representação gráfica indica a condição no instante t=0, para um ângulo de fase que se mantém constante no tempo.

A = ± xA ± j yA = |A|.e ±jθ ≡⏐A⏐∠±θ(2.2)

Assim, ondas senoidais e co-senoidais, de amplitude e freqüência definidas, encontram representação através de fasores.

(2.23)

|A|.cos(ωt±ϕ) = Re[|A|.ej(ωt±ϕ)] = |A|∠±ϕ |A|.sen(ωt±ϕ) = Im[|A|.ej(ωt±ϕ)] = |A|∠±ϕ

Uma outra maneira de apresentar a identidade de Euler consiste na definição do fasor como:

A = (cosθ + jsenθ)(2.24)

A derivada de A em relação a θ é dada por:

dA dθ= -senθ + jcosθ = j(cosθ +jsenθ) = jA (2.25)

Re-escrevendo a Equação 2.25, tem-se:

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= jdθ(2.26)

dAA

LnA = jθ + C(2.27)

Integrando ambos os lados da Equação 2.26:

A constante complexa de integração C é obtida fazendo-se θ=0 na

Equação (2.27) onde obtém-se C=LnA. O valor de A para θ=0 é obtido da Equação 2.24; assim, para A = 1 + j0 implica em C=0. Portanto:

LnA = jθ(2.28)

ou

A = ejθ(2.29)

O ângulo θ pode ser expresso em função do tempo: θ =ωt + ϕ.

2.4. Operação Matemática com Grandezas Complexas

Os fasores, representados por números complexos, podem ser somados, subtraídos, multiplicados e divididos, além das operações de potenciação, raiz, e logaritmo.

2.4.1 Soma

A = a + jb(2.30)
B = c + jd(2.31)

Seja os fasores A e B definidos como:

A soma de A e B é dada por:

C = A + B = (a + c) + j(b + d) (2.32) A representação gráfica da soma de fasores é mostrada na Figura 2.13.

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Figura 2.13: Soma de fasores.

2.4.2 Subtração

A subtração dos fasores A e B é dada por: C = A - B = (a - c) + j(b - d) (2.3)

Figura 2.14: Subtração de fasores. 2.4.3 Produto

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