Trabalho e energia

Trabalho e energia

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UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA

amanda bianchini

jamila maragno candido

jonathan formigoni

patricia cabral cechinel

vanessa duarte mariano

trabalho e energia

TUBARÃO

2010

Trabalho de uma Força Constante

Trabalho é a medida da energia que é transferida para um corpo, em razão da aplicação de uma força ao longo de um deslocamento. Em Física trabalho é normalmente representado por W(que vem do inglês work) ou mais usadamente a letra grega tau

O trabalho de uma força F aplicada ao longo de um caminho C pode ser calculada de forma geral através da seguinte integral de linha:

onde:

F é o vetor força.

r é o vetor posição ou deslocamento.

O trabalho é um número real, que pode ser positivo ou negativo. Quando a força atua no sentido do deslocamento, o trabalho é positivo, isto é, existe energia sendo acrescentada ao corpo ou sistema. O contrário também é verdadeiro, uma força no sentido oposto ao deslocamento retira energia do corpo ou sistema. Qual tipo de energia, se energia cinética ou energia potencial, depende do sistema em consideração.

Como mostra a equação acima, a existência de uma força não é sinônimo de realização de trabalho. Para que tal aconteça, é necessário que haja deslocamento do ponto de aplicação da força e que haja uma componente não nula da força na direção do deslocamento. É por esta razão que aparece um produto interno entre F e r. Por exemplo, um corpo em movimento circular uniforme (velocidade angular constante) está sujeito a uma força centrípeta. No entanto, esta força não realiza trabalho, visto que é perpendicular à trajetória.

Portanto há duas condições para que uma força realize trabalho:

a) Que haja deslocamento; b) Que haja força ou componente da força na direção do deslocamento.

Segundo vários estudos, sabemos que dois “ingredientes” são necessários para que a energia possa se transferir de um sistema para outro, ou de uma força para outra. Nesse tema nosso propósito é encontrar uma combinação desses dois ingredientes, que permita medir a quantidade de energia transferida ou transformada. Esta combinação será chamada de Trabalho. Podemos definir formalmente o trabalho de uma força qualquer aplicada a uma partícula que descreve uma trajetória qualquer entre uma posição inicial R1, e uma força posição final R2.

Definição:

- O trabalho da força F é:

W₁ ₂= ∫₁₂ F . dr

A integral acima deve ser calculada ao longo do arco considerado da Trajetória. Essa integral pertence à classe chamada “integrais de linha”. Ela se calcula em princípio, d seguinte maneira:

Desde que se saia expressar Fx em função de x (somente) e Fy em função de y (somente).

O Trabalho da Força F mede a quantidade de energia entregue à partícula (se w<0) pelo agente que exerce a força F.

- O Trabalho, e conseqüentemente a energia, são grandezas escalares.

-A unidade de trabalho e de energia é Newton metro (n.m) ou Joule (J).

Para calcular o trabalho de uma força é importante ressaltar que ele pode ser: Trabalho de uma força constante e paralela ao deslocamento: é calculado quando se tem a força sendo aplicada no mesmo sentido do deslocamento. Pode ser calculado da seguinte forma:

Como o ângulo entre a força e o deslocamento é zero faz com que o cosseno deste ângulo seja igual a 1 tornando a expressão equivalente à:

Onde D é o deslocamento sofrido pelo corpo. Trabalho de uma força constante e não-paralela ao deslocamento:

Quando temos a aplicação da força constante e não-paralela, como no esquema acima, calculamos o trabalho da seguinte forma:

Trabalho de uma força variável

O trabalho é realizado por uma força variável em direção, sentido ou intensidade durante o deslocamento. Assim, quando uma mola é esticada lentamente, a força requerida para isto aumenta à medida que a mola aumentar o comprimento; quando um corpo é lançado verticalmente, a força gravitacional exercida pela Terra decresce em proporção inversa à distância do corpo ao centro terrestre.

            Suponha que uma partícula, movendo ao longo de uma linha, está sob a ação de uma força variável com a posição e seja ainda paralela a essa linha. A Fig.5-1, mostra a variação do módulo da força em função da coordenada x da partícula. Para encontrar o trabalho realizado por esta força, dividi-se o deslocamento em pequenos segmentos D x1, D x1, D xn. Em cada segmento temos um valor para a força atuando sobre a partícula. Assim o trabalho total realizado é igual à soma dos trabalhos infinitesimais,

                                                        

Cada termo na soma (2) representa o trabalho realizado por uma força constante cujo valor é aproximadamente igual ao valor mínimo da força real no intervalo infinitesimal D x. Cada retângulo, na Fig. 5-1, tem um área dada por Fi .D xi, onde o índice i assume o valor i=1,2,3,…n, correspondendo a cada um dos retângulos mostrados. Conseqüentemente a equação (2) é a soma das áreas devido a todos os segmentos o que equivale a área total sob a curva F=F(x).

Fig. 5-1

Como o número de segmentos torna-se muito grande a medida que diminuímos o intervalo em x, esta soma torna-se (no limite) a integral de F em função de x:

                                                        

            Neste sentido, a integral é uma soma contínua de Fdx, no intervalo de a até b. Usaremos esta integral como sendo nossa definição de trabalho. O valor deste trabalho integral é função da dependência de F com x. Contudo, é fácil mostrar que esta integral é sempre igual a variação na energia cinética.

Para demonstrar esta afirmação vamos fazer uso da segunda lei de Newton, isto é

                                                            

Substituindo este resultado na equação (3), obtemos

                                                                     

Como D xi ® 0, então as quantidades D ti e D vi também tendem a zero neste limite. Nós podemos agora reescrever a equação (4) como a seguir

                                                        

onde v1 e v1 são as velocidades do objeto nos pontos a e b, respectivamente. Esta integral é simples de ser resolvida, sabendo a que anti-derivada de v é v2/2 :

                                                                         

            O lado direito da equação (6) é denominado de energia cinética do objeto. Este resultado mostra que o trabalho realizado por uma força sobre um objeto é igual a variação da energia cinética. Algumas vezes este resultado é chamado de teorema do trabalho-energia cinética, para forças variáveis.

Trabalho realizado por uma mola

Ao mover uma massa m, presa nas extremidades de uma mola, perceberemos rapidamente que será necessário despender uma energia, ou realizar trabalho, para comprimi-la ou estende-la.

            Para compreender melhor este fenômeno, vamos estudar um sistema massa-mola como desenhado na Fig.5-2. A partir de resultados experimentais, pode-se mostrar que a força que a mola (estendida ou comprimida) exerce sobre a massa é proporcional afastamento da massa com relação a posição de repouso, isto é F = -kx, onde x é a medida do deslocamento. Isto é conhecido como lei de Hooke. O sinal negativo significa que a força é sempre restauradora, isto é, ela agirá no sentido de manter a massa no ponto de equilíbrio. Se a mola estiver comprimida a força será no sentido de estender a mola, e caso contrário ela estiver estendida a força será no sentido de comprimi-la. A constante k é chamada de constante da mola e tem dimensão de força/comprimento. Esta lei de força se aproxima de muitas forças na natureza. Como por exemplo, as ligações químicas podem, em certos casos, serem descritas por estas forças elásticas.

Fig. 5-2

 O trabalho realizado para mover uma massa presa em uma das extremidade da mola é igual a  

                                               

ou

                                                            

onde  é a energia potencial elástica.

A equação (7) mostra que o trabalho realizado para mover uma massa sob a ação de uma mola, depende apenas da posição da mola e não de sua velocidade, como no caso da relação trabalho-energia cinética. Esta energia acumulada, por exemplo, pode ser transformada em energia cinética.

Usando o teorema da conservação de energia total temos que a soma das energias cinética e potencial deve ser uma constante,

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