Matemática Financeira

Matemática Financeira

(Parte 1 de 4)

Professora Ms. Beatriz V. Vaccari

1 PORCENTAGEM4 1.1 FUNÇÕES DE PORCENTAGEM NA HP 12C4

2 ABATIMENTOS SUCESSIVOS7 3 ACRÉSCIMOS SUCESSIVOS8 4 DIFERENÇA PERCENTUAL ENTRE DOIS VALORES9

5 OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS11 5.1 LUCRO SOBRE O PREÇO DE CUSTO11 5.2 LUCRO SOBRE O PREÇO DE VENDA11

6 JUROS SIMPLES13 6.1 ELEMENTOS BÁSICOS13

7 MONTANTE SIMPLES DE UM CAPITAL (M)15 8 PRAZO MÉDIO19

9 DESCONTO SIMPLES21 9.1 DESCONTO SIMPLES COMERCIAL21 9.2 DESCONTO SIMPLES RACIONAL25

10 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS28

1 JUROS COMPOSTOS31 1.1 CONCEITO31 1.2 FÓRMULA PARA O CÁLCULO DO PRESENTE VALOR32 1.3 FÓRMULA PARA O CÁLCULO DA TAXA32 1.4 CÁLCULO DO NÚMERO DE PERÍODOS FINANCEIROS33 1.5 CÁLCULO DO MONTANTE QUANDO O NÚMERO DE PERÍODOS FINANCEIROS NÃO FOR UM NÚMERO INTEIRO33

12 TAXAS PROPORCIONAIS37 13 TAXAS EQUIVALENTES38 14 TAXA NOMINAL40 15 TAXA EFETIVA (i)41

16 TAXA DE JURO REAL (ir)43 17 TAXA ACUMULADA45

18 CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA46 19 DESCONTO COMPOSTO48

20 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS A JUROS COMPOSTOS50

21 RENDAS52 21.1 CONCEITO52 21.2 CLASSIFICAÇÃO DAS RENDAS52 21.3 VALOR ATUAL DE UMA RENDA53

21.4 VALOR ATUAL OU PRESENTE VALOR DE UMA RENDA UNITÁRIA IMEDIATA ¬na53

21.5 PRESENTE VALOR DE UMA RENDA UNIFORME (PV)53 21.6 MONTANTE DE UMA RENDA57

2 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS61 2.1 SISTEMA FRANCÊS (DE PRESTAÇÕES IGUAIS OU PRICE)61 2.2 SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES CONSTANTES (SAC)63 2.3 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO65 2.4 CORREÇÃO MONETÁRIA SOBRE FINANCIAMENTOS66

23 ANÁLISE DE INVESTIMENTOS69 23.1 VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL)69

23.2 TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR)70

GABARITO 74

ANEXO 179

1 PORCENTAGEM

A porcentagem é muito utilizada na prática. Ela é usada no cálculo de comissões, abatimentos, lucros, descontos, reajustes, etc.

Elementos básicos:

Principal (C): Valor sobre o qual se calcula a porcentagem. O principal corresponde sempre a 100% da operação.

Porcentagem (p): É a parte do principal que corresponde à taxa. Taxa percentual (r): É a razão representada pela fração de denominador 100.

Cálculo da porcentagem: Por ser um sistema proporcional, para o cálculo da porcentagem utiliza-se a seguinte regra de três:

1.1 FUNÇÕES DE PORCENTAGEM NA HP 12C

1.1.1 Para calcular a porcentagem: C enter r % Caso em seguida for clicada a tecla +, o valor da porcentagem será somado ao principal. Se for pressionada a tecla -, o valor será subtraído do principal.

1.1.2 Para calcular o principal: r enter p %T

1.1.3 Para calcular a diferença de percentual entre dois valores a e b: a enter b ∆% 1.1.4 Para calcular a taxa de porcentagem: C entre p %T

Exemplo 1: Um empregado que ganha R$ 1.80,0 recebeu um aumento R$ 360,0. Qual foi a taxa percentual desse aumento?

1.800 ---------- 100%Na HP 12 C
360 ---------- x1.800

enter

=360
x = 20%%T

Exemplo 2: Um investidor comprou um terreno por R$ 50.0,0 e vendeu-o, um ano depois, por R$ 62.50,0. Qual o lucro, em porcentagem, do preço de custo?

62.500 ----------- x50.0
100500.62×=xenter

O lucro foi de 25%.

Exemplo 3: Calcular 10% de 12.

x -------- 10%12
1012×=xenter
x = 1,210
%

Exemplo 4: Calcular que taxa percentual 8 representam de 80.

8 --------x 80
x = 10%8

Exercícios propostos

a) 50%b) 5% c) 60% d) 65% e) 70%

1)O número de funcionários de uma agência bancária passou de 80 para 120. Em relação ao número inicial, o aumento no número de funcionários foi de;

2)Uma escola tem 600 alunos dos quais 40% são meninas e os demais meninos.

Sabendo-se que apenas 10% dos meninos ainda não aprenderam a ler, indique quantos meninos já sabem ler.

3)No transporte de frutas, determinada transportadora registra uma perda média de 1,7%. Para uma carga de 15.0 kg, qunato será a perda esperada?

4)Uma pessoa comprou um automóvel por determinado valor e vendeu-o com um lucro de R$ 680,0, correspondente a 3,4% do preço de compra. Qual foi esse preço de compra?

5)Um livro que custava R$ 43,0 foi vendido numa liquidação com abatimento de 15%. Qual o valor do abatimento?

6)Um televisor foi comprado numa liquidação por R$ 420,75, já deduzidos os 6,5% de abatimento. Qual o valor do televisor antes do abatimento?

7)Num depósito, há dois tipos de refrigerantes. O refrigerante A representa 36% do total, e do refrigerante B há 1.296 garrafas. Qual o número total de garrafas existentes no depósito?

8) Um comerciante adquiriu 2.0 cadernos a R$ 3,60 cada um. Vendeu ¼ por R$ 2.0,0 e o restante por R$ 6.0,0. De quanto por cento foi o lucro.

9) O preço de capa de uma revista mensal é de R$ 5,0. Na assinatura anual, com direito a 12 edições dessa revista, há um desconto de 12%. Qual o preço da assinatura?

10)Após um aumento de 3,5%, certo empregado passou a ganhar R$ 2.173,50. Qual era seu salário antes do aumento?

Produção e vendas, em setembro, Três montadoras de automóveis

ProduzidasDa produção

Sabendo que nesse mês as três montadoras venderam 7.0 dos 10.0 carros produzidos, qual é o valor de x?

12)O Sr. Manoel contratou um advogado parra receber uma dívida cujo valor era de R$ 10.0,0. Por meio de um acordo com o devedor, o advogado conseguiu receber 90% do total da dívida. Supondo que o Sr. Manoel pagou ao advogado 15% do total recebido, quanto dinheiro lhe restou?

13)Certo artigo que custava R$ 20,0 teve seu preço reajustado em 18%. Qual o seu preço final?

14)Para aumentar as vendas, o dono de uma loja de roupas resolveu dar 20% de desconto em qualquer peça de inverno. Qual era o preço original de um casaco que, na promoção, estava sendo vendido por R$ 96,0?

15)Um investidor comprou uma casa por R$ 50.0,0 e gastou 80% do custo em reparos.

Mais tarde vendeu a casa por R$ 120.0,0. Qual foi o seu lucro? De quanto por cento foi o seu lucro?

16)Um produto é vendido por R$ 1.850,0 com 15% de lucro. Se o preço de venda fosse R$ 2.210,0, qual seria o percentual de lucro?

17)Sobre uma fatura de R$ 3.679,49 se concede um abatimento de R$ 93,91. De quanto por cento é este abatimento?

2 ABATIMENTOS SUCESSIVOS

No meio comercial é muito comum o uso de abatimentos sucessivos, isto é, calcular os abatimentos sobre os valores líquidos encontrados anteriormente.

O cálculo do valor líquido ou valor final é dado pela seguinte fórmula:

niiiCVF −−−= 1)(1)(1( 21 ()
i= taxas unitárias sucessivas

Sendo: VF = valor real a ser pago C = principal, ou seja, valor de 100%

Exemplo 1: Sobre uma fatura de R$ 124.0,0 são dados os seguintes descontos sucessivos: 20% + 10% + 5%. Qual o valor líquido a ser pago?

VF = 124.0 (1- 0,2) (1- 0,1) (1- 0,05)Na HP 12C
VF = 124.0 x 0,8x 0,9 x 0,951240 enter 20% - 10% - 5%

Exemplo 2: Por uma mercadoria foi pago R$ 70,0. Sabendo-se que sobre o preço constante na tabela foram dados descontos sucessivos de 30%+ 20%, qual era o preço da tabela?

70= C x 0,7 x 0,8
niiii −−−−= 1)(1)(1(1 21 )

Taxa única no sistema de abatimentos sucessivos:

Exemplo : Sobre os valores constantes numa tabela de preços são dados os descontos sucessivos de 50%+ 30%+ 20%. Na realidade qual o desconto oferecido pela empresa?

i= 1- (1- 0,5) (1- 0,3) (1 – 0,2)
i= 1 – 0,5x 0,7x 0,8)

3 ACRÉSCIMOS SUCESSIVOS O cálculo do valor líquido ou valor final é dado pela seguinte fórmula:

)1)(1)(1( 21 niiiCVF +++=

Exemplo 1: O preço de uma mercadoria era de R$ 8,0, no início de um determinado mês. Durante o mês sofreu aumentos sucessivos de 2,5% + 5%. Qual o preço final dessa mercadoria?

VF= 8 (1+ 0,025) (1+0,05) Na HP 12C

Exemplo 2: Uma mercadoria sofreu aumentos sucessivos de 20% + 15%., pagando o comprador R$ 144,90, qual era o valor da mercadoria?

144,90 = C (1+0,2) (1+0,15)
144,90 = C x 1,2 x 1,15

Taxa única no sistema de acréscimos sucessivos:

1)1)(1)(1( 21 −+++= niiii
i= (1+ 0,2) ( 1+ 0,15) – 1
i= 1,2 x 1,15 -1

Exemplo: Qual a taxa total de aumento no exemplo anterior? i= 0,38 x 100= 38%

4 DIFERENÇA PERCENTUAL ENTRE DOIS VALORES

Para calcular a diferença percentual entre dois valores ( do principal para o valor final), utiliza-se a seguinte fórmula:

Exemplo 1: O preço de uma mercadoria era de R$ 8,0, no início de um determinado mês. Durante o mês sofreu aumentos sucessivos de 2,5% + 5%, passando a custar R$ 8,61. Calcular o percentual total de aumento.

−=iNa HP 12C
107625,1−=i8 enter 8,61 ∆%

Exercícios propostos

1)Uma mercadoria que custava R$ 24,0 foi vendida com abatimentos sucessivos de 30% +20%+10%. Pergunta-se: a)Por quanto foi vendida? b)Qual o percentual total do abatimento?

2)Na compra de uma mercadoria foi obtido abatimentos sucessivos de 20%+10%+5% se o total pago foi R$ 273,60, pergunta-se: a)Qual o valor da mercadoria antes dos abatimentos? b)Qual o percentual total do abatimento?

3)Um produto cujo preço era de R$ 36,0, sofreu aumentos sucessivos de 30%+25%.

Pergunta-se: a)Qual o preço atual? b)Qual o percentual do aumento?

4)O preço de um objeto foi aumentado, sucessivamente 10%, 10% e 20%, passando a custar R$ 450,12. Qual era o preço inicial?

5)Uma mercadoria sofreu dois aumentos sucessivos de 20%. Na venda foi concedido um desconto de 15%, pagando o comprador R$ 24,48. Qual era o preço inicial desta mercadoria?

6)Uma mercadoria custava R$ 75,0 foi vendida com abatimentos sucessivos de 10%+5% +2%. Pergunta-se: a)Por quanto foi vendida? b)Qual o percentual total do abatimento?

7)Na compra de uma mercadoria foi obtido abatimentos sucessivos de 10%+2%. Se o valor pago foi de R$ 110,25, pergunta-se: a)Qual o valor da mercadoria antes do abatimento? b)Qual o percentual total do abatimento? 8)Um produto cujo preço era R$ 712,0,sofreu aumentos sucessivos de 6%+3%. Pergunta-se:

a)A que preço está sendo vendida? b)Qual foi o percentual total de aumento?

9)O preço da gasolina foi aumentado, sucessivamente 1,5%+7,2%+4,5% passando a custar R$ 1,30. Qual era o preço antes dos aumentos?

10)Uma mercadoria sofreu aumentos sucessivos de 14%+9%. Na venda foi concedido um desconto de 10%, pagando o comprador R$ 239,32. Qual era o preço inicial desta mercadoria?

1)Um operário ganhou um salário líquido de R$ 515,97. Sabendo-se que recebeu um aumento de 5% em relação ao salário anterior e lhe foi descontado 9% referente a impostos previdenciários, qual era o salário deste operário?

5 OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS

Utilizando o processo da porcentagem pode-se facilmente calcular, partindo do preço de custo, o preço de venda de mercadorias considerando o lucro sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda.

5.1 LUCRO SOBRE O PREÇO DE CUSTO

Para calcular o preço de venda com lucro sobre o preço de custo, considera-se o preço de custo como o valor correspondente a 100%. O preço de venda será equivalente a 100%+ r.

Exemplo 1: Uma mercadoria foi comprada por R$ 120,0. Por quanto deverá ser vendida se o lucro desejado é de 40% sobre o preço de compra?

V= 120 (1+0,4)Na HP 12C
V= 120 x 1,4120 enter 40% +

5.2 LUCRO SOBRE O PREÇO DE VENDA

Para calcular o preço de venda com lucro sobre o preço de venda, considera-se o preço de venda como o valor correspondente a 100%. O preço de custo será equivalente a 100% - r.

Fórmula:

Exemplo 1: Por quanto deverá ser vendida uma mercadoria, comprada por R$20,0, desejando-se obter um lucro de 20% sobre o preço de venda?

=V
0,20=V

Exercícios propostos:

1)Uma mercadoria foi comprada por R$ 24,0. Por quanto deverá ser vendida para que o lucro seja de 30% sobre o preço de compra?

2)Uma mercadoria foi vendida por R$ 50,75, com um lucro de 45% sobre o preço de compra. Quanto custou esta mercadoria?

3)Uma casa foi vendida por R$ 54.0,0, com um lucro de R$ 6.0,0. A quanto por cento corresponde este lucro?

4)Uma mercadoria foi comprada por R$ 240,0 e deverá ser vendida com um lucro de 40% sobre o preço de venda. Qual o preço de venda?

5)Um terreno foi comprado por R$ 4.750,0 e vendido com um lucro de 5% sobre o preço de venda. Por quanto foi vendido?

6)Uma mercadoria foi vendida por R$ 12,50 com um lucro de 40% sobre o preço de venda. Quanto custou esta mercadoria?

7)Uma mercadoria está sendo vendida por R$ 75,90. Se o percentual das despesas incidentes sobre o preço de venda é 29% e o lucro 15% sobre o mesmo valor, quanto custou esta mercadoria?

8)Um objeto comprado por R$ 80,0 foi vendido por R$ 104,0. Qual a taxa pela qual se calculou o lucro sobre o preço de custo?

9)Uma mercadoria foi comprada por R$ 1.20,0 e vendida por R$ 1.50,0. Qual o percentual de lucro sobre o preço de compra?

10)Um comerciante vendeu um artigo por R$ 5.250,0. De quanto foi o lucro, em reais, se ele representa 25% sobre o preço de custo?

6 JUROS SIMPLES

Juro é: a)valor pago pelo uso de dinheiro emprestado, ou seja, custo do capital de terceiros colocado à nossa disposição; b)remuneração do capital empregado em atividades produtivas; c)remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capital nelas aplicados; d)remuneração do capital emprestado, podendo ser entendido, de forma simplificada, como sendo o aluguel pago pelo uso do dinheiro.

Se aplicarmos um capital durante determinado período de tempo, ao fim do prazo obteremos um valor (montante) que será igual ao capital aplicado acrescido da remuneração obtida durante o período de aplicação.

A diferença entre o montante e a aplicação é denominada remuneração, rendimento do capital ou juros.

No regime de juros simples, os juros de cada período são calculados sempre sobre o mesmo capital, portanto os rendimentos em cada período são os mesmos e os montantes crescem linearmente.

Observe o cálculo a seguir:

PeríodoCapitalJuros do períodoJuros Montante

Cálculo dos juros simples inicial (i= 10%a.p.)acumulados

6.1 ELEMENTOS BÁSICOS

Capital (C): É a quantia empregada no início da aplicação. Juro (j): É o valor pago pelo empréstimo do dinheiro.

Taxa de juro (i): É a unidade de medida dos juros. Nas fórmulas de cálculo utiliza-se a taxa na forma unitária. (divide-se a taxa percentual por 100 para transformá-la em unitária).

Tempo(t): É o tempo de duração do empréstimo. Deverá ser sempre representado em relação ao período da taxa.

Montante (M): É o valor total a ser pago ou recebido com a finalidade de quitar ou encerrar um empréstimo.

Fórmula Fundamental de Juros Simples é:

j = Cit

Exemplo 1: João assumiu o compromisso de restituir a Pedro a importância de R$ 20.0,0 que havia tomado emprestado, a uma taxa de juros simples de 2,5% ao mês, a ser restituído em 9 meses. Calcule o valor dos juros que Pedro receberá de João.

j = R$ 45.0,0200 enter 2,5% 9 x

Exemplo 2: Calcule o capital necessário para que uma aplicação financeira produza rendimentos iguais a R$ 148.612,61, à taxa de juros simples de 12% ao ano, durante 3 anos.

C = 148.612,61/ 0,36
C = R$ 412.812,81

Exemplo 3: Um título de R$ 2.0,0 vencido em 24/06 e liquidado em 08/08 do mesmo ano, foi penalizado com um juro de R$ 1.650,0. Qual foi a taxa mensal de juros simples cobrada?

1.650,0 = 2.0,0 x 45/30 x i
i = 1650,0/3.0,0
i = 0,05 x 100 = 5%

Obs: Os dias são contados de data a data, através do ano civil.

Exemplo 4: Qual o tempo necessário, para que um capital de R$ 20.0,0 renda juros de R$ 4.0,0, a uma taxa simples de 12% ao ano?

Exemplo 5: Que capital deve ser empregado em juros simples a taxa de 60% ao ano, para que se obtenha um juro de R$ 240,0 em 72 dias?

7 MONTANTE SIMPLES DE UM CAPITAL (M) Montante de um capital é igual a soma deste capital com os juros por ele produzido.

Como a fórmula de juros é: j = Cit Então o montante simples pode ser calculado pela fórmula:

Exemplo 1: Um capital de R$ 20.0,0 foi aplicado em juros simples num prazo fixo de 3 meses a taxa de 72%a.a.. Qual o valor do resgate?

Exemplo 2: Qual o valor a ser aplicado, em juro simples, durante 42 dias a taxa de 4% a.m., para resgatar no fim deste tempo R$ 12.672,0?

Para calcular taxa de juro efetiva de uma aplicação, basta apenas dividir o valor do resgate pelo valor aplicado, diminuindo 1 do quociente.

Exemplo 3: Uma empresa aplicou R$ 32.0,0. No fim de 48 dias resgatou R$ 35.072,0. Determinar a taxa de juro efetiva que a empresa ganhou na aplicação?

−=iNa HP 12C

M = C + j M = C ( 1+ it)M = C + Cit

A taxa mensal de juros simples será:

Exercícios propostos:

1)Calcular os juros produzidos por uma aplicação de R$ 2.0,0, à taxa de 30% a.a. de juros simples, durante 4 meses e 18 dias.

2)Que capital aplicado em juro simples produz um juro de R$ 24.0,0 à taxa de 30% a.a. em 2 anos?

3)A que taxa anual de juros simples deve-se empregar o capital de R$ 80.0,0 para se obter um juro de R$ 32.0,0 durante 8 meses?

(Parte 1 de 4)

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