Matemática Financeira

Matemática Financeira

(Parte 3 de 4)

4)Um título com valor nominal de R$ 3.836,0 foi resgatado quatro meses antes do seu vencimento, tendo sido concedido um desconto racional simples à taxa de 10% a.m. De quanto foi o valor pago pelo título?

5)Uma letra de câmbio no valor nominal de R$ 7.560,0, vence em 6 meses e 15 dias. Calcular o valor atual, deste título, considerando 48% a.a. para o desconto por dentro.

6)Admita-se que uma duplicata tenha sido submetida a 2 tipos de descontos. No primeiro caso, a juros simples, a uma taxa de 10% a.a., vencível em 180 dias, com desconto racional. No segundo caso, com desconto comercial, mantendo as demais condições. Sabendo-se que a soma dos descontos foi de R$ 635,50, qual o valor nominal do título?

7)Calcular o desconto por dentro sobre um título de R$ 3.225,0 vencível no final de 75 dias e negociado à taxa utilizada na operação é de 36% a.a.?

8)Um título com valor nominal de R$ 110.0,0 foi resgatado dois meses antes do seu vencimento, tendo sido concedido um desconto racional simples à taxa de 60% a.m. De quanto foi o valor pago pelo título?

10 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS

Às vezes temos necessidade de substituir um título (ou mais) por outro (ou outros) com vencimento diferente ou, ainda, de saber se duas formas de pagamento são equivalentes. Esses problemas estão ligados, de modo geral, à equivalência de capitais diferidos (são aqueles cujos vencimentos têm datas diferentes)

Dois ou mais capitais, disponíveis em épocas distintas, são equivalentes se possuírem, numa certa época, valores atuais iguais.

A1 = A 2ou A = A 1 + A2 + ...........+An

Para a solução: estabelecer um data de comparação e comparar os valores atuais dos títulos nessa data. No regime de juros simples, a data deve ser a data zero (data de contração da dívida), também conhecida como data focal.

Obs: A equivalência de capitais pode ser calculada, no sistema de capitalização simples, através do desconto comercial (com taxa de desconto) ou do desconto racional (com taxa de juro).

Exemplo 1: Um título de R$ 26.950,0, vencível no final de 45 dias, deve ser substituído por outro, vencível no final de 39 dias. Calcular o valor do novo título se a transação for realizada numa taxa de desconto de 15% a.m..

Exemplo 2: Um título de R$ 26.950,0 vencível no final de 45 dias, deve ser substituído por outro, vencível no final de 39 dias. Calcular o valor do novo título se a transação for realizada numa taxa de juro simples de 15%a.m..

Exemplo 3: Uma empresa deve pagar dois títulos, sendo um de R$ 720,0, vencível em 2 meses, e outro de R$ 960,0, vencível em 3 meses. Entretanto, não podendo resgatá-los nos prazos estipulados, propõe ao credor substituí-los por um único título, com vencimento para 4 meses. Calcular o valor nominal do novo título, considerando a taxa de desconto simples de 2% a.m..

Exercícios propostos:

1)Um comerciante deve dois títulos, um de R$ 8.0,0 para 90 dias e outro de R$ 10.0,0 para 72 dias. Pede para substituí-los por um único título com vencimento para 60 dias. Calcular o valor do novo título se a taxa de desconto utilizada é 7,5% a.m..

2)Um título de R$ 240.0,0, vencível em 60 dias foi substituído por dois novos títulos, de mesmo valor nominal, vencíveis no final de 30 e 70 dias, respectivamente. Calcular o valor dos novos títulos, se a transação é realizada numa taxa de desconto de 10%a.m..

3)Por uma mercadoria foram feitas as seguintes propostas: a) R$ 50,0 de entrada, R$ 20,0 no fim de 3 meses e R$ 30,0 no fim de 5 meses. b) R$ 30,0 de entrada, R$ 350,0 no fim de 1 mês e R$ 350,0 no fim de 2 meses. Sabendo-se que a taxa corrente de juro simples é de 8%a.m., quanto deveria dar mais, de entrada o portador da menor oferta para igualar-se com a maior?

1)Um comerciante devedor de um título no valor de R$ 17.050,0, vencível em 60 dias, propõe ao credor a substituição deste título por dois novos títulos, sendo um no valor de R$ 7.20,0 para 30 dias e um outro para 45 dias. Calcular o valor deste outro título considerando uma taxa de desconto igual a 2% a.m..

2)Dois títulos de valor nominal R$ 5.20,0 cada, vencíveis em 50 e 75 dias, respectivamente, serão substituídos por um único título de valor R$ 10.0,0. Calcular o prazo deste título se a taxa de desconto simples utilizada na transação é de 3%a.m..

3)Uma empresa devedora de um título no valor de R$ 2.540,0, vencível no final de 3 meses, propõe ao credor a substituição deste por dois novos títulos de valores nominais iguais, vencíveis no final de 4 e 5 meses respectivamente. Calcular o valor de cada um dos novos títulos sendo 5%a.m. a taxa de juros simples empregada na transação.

4)Um negociante tem as seguintes obrigações de pagamento com um banco: •R$ 18.0,0 vencíveis em 37 dias;

Com problemas de caixa nestas datas deseja substituir este fluxo de pagamentos pelo seguinte esquema:

•o restante em 150 dias.

Sendo 3,2% ao mês a taxa de juros simples adotada pelo banco nestas operações, pede-se calcular o valor do pagamento remanescente.

8)Um título de R$ 4.20,0 que vencerá em cinco meses deve ser substituído por outro com vencimento para daqui a oito meses. Admitindo que esse títulos podem ser descontados à taxa de 1,5% ao mês, calcule o valor nominal do novo título.

9)Um título de R$ 1.0,0 que vencerá em 3 meses, deve ser substituído por outro com vencimento para daqui a 5 meses. Admitindo-se que esses títulos podem ser descontados à taxa de 2,5%a.m., calcular o valor nominal do novo título.

10)Uma pessoa deseja trocar dois títulos, um de valor nominal de R$ 30.0,0 e outro de R$ 36.0,0, vencíveis, respectivamente, dentro de 2 e 6 meses, por um único título vencível em 4 meses. Sendo a taxa de juro igual a 3%a.m., qual será o valor do novo título?

1)Um título de R$ 70.0,0, pagável em 50 dias, vai ser substituído por outro com vencimento para 120 dias. Sabendo que o credor pode resgatar o título à taxa de desconto igual a 36% a.a., determine o valor nominal do título.

12)Queremos substituir dois títulos, um de R$ 50.0,0 para 90 dias e outro de R$ 120.0,0 para 60 dias, por três outros, com o mesmo valor nominal, vencíveis, respectivamente, em 30, 60 e 90 dias. Calcular o valor nominal comum, sabendo que a taxa de desconto comercial da transação é de 3% a.m.

13)Uma pessoa tem dois compromissos a pagar: R$ 5.0,0 daqui a 60 dias e R$ 8.0,0 daqui a 75 dias. Desejo trocar esse débitos por dois pagamentos iguais, um daqui a 3 meses e outro a ser pago daqui a 4 meses. Determine o valor desses pagamentos, sabendo que a taxa de juros simples usada é de 6%am.

14)Uma empresa apresenta o borderô de duplicatas a seguir, para sem descontadas em um banco à taxa de desconto comercial de 2% a.m. Qual o valor líquido recebido pela empresa?

1 JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos é o mais comum no dia-a-dia do sistema financeiro e do cálculo econômico. Os juros compostos são popularmente chamados de juros sobre juros.

Na capitalização composta ao final de cada período, os juros são calculados e somados ao capital, formando um montante, que irá ser o capital do período seguinte. A esse processo de agregação dos juros ao capital é que se dá o nome de capitalização composta.

i= taxa unitária (sempre referente ao período da capitalização)

Utilizando as seguintes notações: PV = capital inicial FV = montante final n = número de períodos de capitalização (ano, trimestre, mês, dia, etc.)

Regime de Capitalização Composta

Capital aplicadoJuros de cada períodoValor acumulado

O cálculo do montante foi assim efetuado:

Substituindo os valores pelos símbolos, temos: •montante ao final do 1º período

1FV= 0PV ( 1 + i ) •montante ao final do 2º período

2FV= 0PV ( 1 + i )² •montante ao final do 3º período

3FV= 0PV ( 1 + i )³ •montante ao final do n-ésimo período

Portanto, a fórmula fundamental para o Cálculo do Futuro Valor:

Exemplo 1: Uma pessoa toma emprestados R$ 5.0,0 a juros de 3%a.m., pelo prazo de 10 meses, com capitalização composta. Qual o valor a ser pago no final do período?

Na HP 12C

Na calculadora cientifica

1,03 yx 10 Multiplicar o resultado acima por 5000

Exemplo 2: Um empréstimo de R$ 20.0,0 deverá ser pago no final de um ano a taxa de 5% a.m., num sistema de capitalização mensal. Qual o valor a ser pago no vencimento?

1.2 FÓRMULA PARA O CÁLCULO DO PRESENTE VALOR ou

Exemplo: Que capital deve ser empregado a juros compostos a taxa de 12% a.t., para em dois anos, em capitalização trimestral, constituir um montante de R$ 838.426,0?

8 n PV

1.3 FÓRMULA PARA O CÁLCULO DA TAXA

1 PV FV i1

Exemplo: A que taxa de juro deve-se empregar o capital de R$ 30.0,0 para obter um montante de R$ 506.736,04 no final de dois anos em capitalização mensa ?

()ni 1 FV PV+

1.4 CÁLCULO DO NÚMERO DE PERÍODOS FINANCEIROS

Exemplo: No final de quanto tempo, em capitalização mensal, a aplicação de um capital de R$ 120.0,0 à taxa de 6% a.m. oportuniza um resgate de R$ 287.586,98? Na HP 12C

i6

meses 15 n= n

1.5 CÁLCULO DO MONTANTE QUANDO O NÚMERO DE PERÍODOS FINANCEIROS NÃO FOR UM NÚMERO INTEIRO q p m n+=

Onde m representa a parte inteira e p/q a parte fracionária. Existem dois sistemas de cálculo. Um através da Convenção Linear e outro através da Convenção Exponencial.

Convenção Linear:

O cálculo da convenção linear calculamos a parte inteira com capitalização composta e , para a parte fracionária, calculamos o juro simples sobre esse montante.

Exemplo: Uma dívida de R$ 10.0,0 está sendo paga com 132 dias de atraso. Qual deverá ser o valor cobrado se o cálculo é realizado no sistema de convenção linear e a taxa é de 12% a.m.?

n= 132/30 = 4,4 mesesm = 4 p/q= 0,4
FV= 100.0,009 1= 0,12)4 ( 1 + 0,12 x 0,4)Na HP 12C
FV = R$ 164.904,83Retirar o C da calculadora

Convenção Exponencial:

O cálculo da convenção exponencial se baseia na fórmula fundamental, ou seja inclusive no período fracionário o juro é calculado através do juro composto.

()p/q mi 1 PV FV++=

FV = 10.0,0 (1 + 0,12) 4,4 Na HP 12C

Exemplo: Cálculo do exemplo anterior, através da convenção exponencial. FV= R$ 164.649,08Colocar o C da calculadora 100000 CHS PV 132 enter 30 : n 12 i FV

Exercícios Propostos:

1)Foram aplicados R$ 1.80,0 durante cinco trimestres a uma taxa de 8% a.t., no regime de juros compostos. Calcular o montante.

2)Qual será o valor do resgate, aplicando-se R$ 5.0,0, em juros compostos a taxa de 6% a.m., durante dois anos em capitalização mensal?

3)Josilma toma emprestados R$ 25.0,0 a uma taxa de juro de 2% ao mês, pelo prazo de 24 meses, com capitalização composta. qual o valor a ser pago no final do período?

4)Um título de renda fixa deverá ser resgatado por R$ 14.345,0 daqui a um ano. Sabendo que o rendimento desse título é de 28,8% ao ano, determine o seu valor atual.

5)5-Um capital de R$ 6.60,0 foi aplicado durante um ano, a uma taxa de 1,6% ao mês. Qual foi o valor do juro composto produzido?

6)O capital de R$ 2.0,0 foi aplicado durante dois anos e produziu o montante a juro composto de R$ 31.449,06. Calcule a taxa de juro mensal dessa aplicação.

7)Um investidor quer resgatar R$ 35.0,0 daqui a seis meses. Se o banco oferecer uma rentabilidade de 1,8% ao mês, quanto deverá aplicar hoje? Suponha capitalização mensal.

8)Uma empresa tomou um empréstimo de R$ 98.0,0 e comprometeu-se liquidá-lo no final de 8 meses mediante um pagamento de R$ 158.570,43. Calcular a taxa mensal de juro, sabendo-se que a capitalização é mensal.

9)A que taxa de juro semestral um capital de R$ 43.0,0 pode ser dobrado em 36 meses?

10)Um capital de R$ 2.0,0 foi aplicado à taxa de 3%a.m. por 60 dias, e o de R$ 1.20,0, à taxa de 2% a.m. por 30 dias. qual foi o montante total recebido?

1) Um capital foi depositado a juros compostos e, após 2 anos, triplicou de valor. Qual a taxa mensal de juros compostos usada?

12)A que taxa de juro composto devem ser emprestados R$ 35.0,0 para, em oito meses, obtermos um montante de R$ 42.0,0?

13)Calcule o juro produzido por um capital de R$ 10.0,0, a uma taxa de juro composto de 25% ao ano, em dois anos.

14)Uma certa pessoa concedeu um empréstimo de R$ 10.0,0 à taxa efetiva de 4,8% a.m.. Qual o valor a ser cobrado na liquidação, um ano, três meses e seis dias após a realização do empréstimo: a) Calculado através da convenção linear. b) Calculado através da convenção exponencial.

15)Um capital de R$ 10.0,0 foi aplicado em juro composto a taxa de 6% a.m., durante um ano, oito meses e 12 dias, em capitalização mensal. Calcular o valor do montante através da convenção linear.

16)Foram aplicados R$ 28.70,0 a uma taxa efetiva de 2% ao mês, e foram recebidos R$ 10.698,95 de juro. Qual foi o prazo da aplicação?

17)Calcular o montante de R$ 18.0,0 durante 2 a 4 m 8 d, a juros de 5% a.t., capitalizados trimestralmente : a) Pela convenção linear. b) Pela convenção exponencial.

18)Uma pessoa aplicou R$ 50,0, a 1,4% a.m. de juros compostos, obtendo como saldo R$ 615,95. Determine o prazo da aplicação.

19)O capital de R$ 50.0,0 ficou empregado durante 6 meses, sendo que nos dois primeiros à taxa de 4,7% a.m., nos dois seguintes à taxa de 4,9% a.m. e nos dois últimos à taxa de 5,3% a.m.. Qual o montante constituído no final de seis meses?

20)Que capital deverá ser aplicado, em juros compostos, durante 3 anos, em capitalização mensal, taxa de 7,5% a.m., para que proporcione um juro no valor de R$ 30.277,0?

21)Por quantos meses o capital de R$ 1.80,0 foi aplicado a uma taxa de juro composto de 1,6% ao mês, tendo produzido o montante de R$ 2.247,94?

2)Calcule o montante resultante da aplicação de um capital de R$ 28.40,0 durante um ano e quatro meses, a uma taxa de juro composto de 8% ao trimestre, pela convenção linear.

23)Resolva o problema anterior pela convenção exponencial.

24)Foram aplicados R$ 20.0,0 durante 35 anos, a uma taxa de juro composto de 15% ao ano nos primeiros dez anos, 18% ao ano nos dez anos seguintes e 17% ao ano nos últimos 15 anos. Determine o montante obtido.

25)Certo capital foi aplicado a juros compostos durante quatro meses. As taxas de juros foram de 1,95%, 2,24%, 2,73% e 2,08%, respectivamente. O total de rendimentos calculado foi de R$ 2.723,14. a)Determine o capital aplicado. b)Determine a taxa acumulada no período. c)Determine o valor dos juros recebidos no terceiro mês. d)Se o capital permanecer aplicado ao quinto mês qual deve ser a taxa recebida neste mês

26)Um capital de R$ 8.10,0 foi aplicado a juros compostos, da seguinte forma: a 2,25% a.m. durante os primeiros cinco meses, a 1,8% a.m. nos três seguintes meses e a 1,65% a.m. nos próximos três meses. Calcule o total de juros apurado.

27)Certo capital foi aplicado a juros compostos de 3% a.m., durante cinco meses. O montante de R$ 1.022,94, daí resultante, foi novamente aplicado a juros compostos, agora por sete meses, gerando um montante de R$ 1.392,08. Calcule: a)a taxa de juros da aplicação. b)o total de juros recebido nas duas aplicações.

12 TAXAS PROPORCIONAIS

Duas, ou mais taxas, são proporcionais se entre elas e os tempos a que elas se referem existir uma mesma razão. Exemplo:60% a.a.12 meses

Taxas equivalentes são aquelas que produzem o mesmo montante quando o tempo é o mesmo. Por exemplo:

taxa anualtaxa trimestral
capitalização anualcapitalização trimestral

Obs.: Em juros compostos as taxas proporcionais não são equivalentes.

Exemplo: Em um regime de juros compostos, relativo ao capital de R$ 1.0,0, calcule o montante nas duas situações: Durante 1 ano, à taxa de 24% a.a.

=+=+= 1)24,01(0.1)1( n iCM

Durante 12 meses, à taxa de 2% a.m.

12)02,01(0.1)1( n iCM

Como os dois montantes obtidos não são iguais, as taxas não são equivalentes, mas são proporcionais.

13 TAXAS EQUIVALENTES

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