Controle Analógico Cap9

Controle Analógico Cap9

9. Projeto de compensadores no Domínio da Freqüência

As vantagens de trabalhar no domínio da freqüência são simplicidades de análise e de projeto, e facilidade de determinar experimentalmente a resposta em freqüência de um sistema. Os parâmetros da resposta transitória são especificados indiretamente no domínio de freqüência. Estes são as margens de fase e ganho ),(mmMφ e o pico de ressonância , ambos dependentes de )( rM ζ. As freqüências de cruzamento de ganho e da ressonância ),(rcωω e a largura da faixa bω são indicadores da rapidez da resposta transitória, análogo ao tempo de acomodação. As constantes de erro (em particular, ) continuam sendo os indicadores da precisão em regime permanente. vK

Baseados nas considerações acima, as especificações no domínio de freqüência são as seguintes:

• A constante de erro de velocidade deve ser maior que o valor especificado. vK

• A margem de fase mφ deve ser maior que o valor especificado.

• Outros indicadores como, a margem de ganho e a largura de faixamMbω, podem ser especificados. Estes devem ser verificados após o projeto do compensador.

O projeto de compensadores no domínio de freqüência segue os seguintes passos: (a) Ajustar o ganho do sistema para satisfazer o requisito da constante de erro de velocidade. (b) Traçar os diagramas de Bode do sistema sem compensação, mas com ganho ajustado. Determinar as margens de fase e do ganho. (c) Caso as margens forem abaixo dos valores mínimos especificados, projetar um compensador para remodelar os diagramas de Bode.

9.1 Compensador Avanço de Fase Considere o sistema de controle mostrado na Fig. 9.1:

+ R(s) C(s)

Fig. 9.1-Sistema com Compensação Avanço de Fase. As especificações são: Seja a função de transferência do

1. Então, a função de transferência de malha aberta (ftma) do sistema compensado é:

onde é a ftma do sistema sem compensação, mas com ganho ajustado. Desenha-se os diagramas de Bode de e determina-se as margens, como mostra a Fig.9.2. )(1 sG

Dos diagramas de Bode, obtém-se °−=14mφ. A margem de ganho é infinita.

A margem de fase especificada é 50°. Deve-se adicionar 5° a essa especificação para contrabalancear o deslocamento da freqüência de cruzamento do ganho para a direita. É um efeito colateral do compensador avanço de fase.

M (dB) ω ω 14°-π

0.11 2 10 20 100
0.11 2 10 20 100

φ (rads) -6,83 dB

Fig. 9.2-Diagramas de Bode para sG.

temos que:

mcmcφφα

A freqüência de maior contribuição de fase é mω (ainda desconhecida), sendo o ganho do compensador, nesta freqüência:

Por fim:

j jGc

Deve se verificar a margem de ganho do sistema compensado. Caso esta margem for menor que o valor desejado, então aumenta-se a margem de fase especificada para re-projetar o compensador.

9.2 Compensador atraso de fase

Considere o sistema de controle da Fig. 9.3:

+ R(s) C(s)

Fig.9.3-Sistema com Compensação Atraso de Fase. As especificações são: a margem de fase ,51−≥sKv,40°=mφ e a margem de ganho

Seja o compensador atraso de fase

1. Então, a função de transferência de malha aberta do sistema compensado é:

Daí,10

onde é a ftma do sistema sem compensação, mas com ganho ajustado. )(1sG Desenha-se os diagramas de Bode de e determina-se a margem de fase, ver Fig.9.4. )(1sG

0.11 10 100
0.11 10 100

M (dB) φ1(rads) ω cω 21,5 dB

-130º

Fig. 9.4-Diagramas de Bode para

Dos diagramas de Bode (Fig.9.4), obtém-se °−=18mφ enquanto a margem especificada é 40°. Adiciona-se 10° à especificação, levando em conta a contribuição negativa do

de cruzamento do ganho, o módulo em dB da função de transferência do compensador deve ser –21,5dB. Isto é,

As freqüências de quebra do compensador são: Tz1=ω e βωωzp=. Escolhe-se zω uma oitava a uma década menos que cω. Isto é, 210 cz cωωω<<. Uma boa escolha seria

Por fim,

Deve se verificar a margem do ganho do sistema compensado. 9.3 Compensador avanço - atraso de fase

Considere um sistema de controle com função de transferência de malha aberta (ftma) dada

por

KsG. Sejam as especificações e a margem de

ganho > 10. Projeta-se a seguir um compensador avanço-atraso de fase. A função de transferência do compensador é

TssT

Então, a função de transferência do sistema compensado é:

TssT Ts sTsG c Nβα

Portanto,

Ts sTsGNβα

Colocando sG, traça-se os diagramas de Bode desta função de

transferência.

sG

Fig. 9.5-Diagramas de Bode para sG.

A Fig.9.5 mostra os diagramas de Bode de de onde a margem de fase é –28°. Gs1() Escolhe-se como a freqüência de cruzamento do ganho do sistema compensado, a

Uma vez que a freqüência de cruzamento do ganho foi escolhida, é nesta freqüência que o compensador avanço de fase deve contribuir o maior ângulo de fase. O ângulo máximo de φmc é dado por,

= 50° + 5° = 55°.

mcφ= margem de fase desejada + 5°

O parâmetro β do compensador atraso de fase é normalmente escolhido de modo que

Mc (dB)

ωptωzt ωzv ωc ωpv

- 14 dB

Fig.9.6-Diagrama de Módulo do Compensador Avanço - Atraso de Fase.

Em cωω= (= 1,4 rad/s), 14)(1=ωjGdB. Portanto, o ganho do compensador avanço de fase deve ser –14dB em cωω=. Da Fig.9.6, temos que:

zv pv c pv

(9.1)

zero do compensador avanço de fase é localizado em 0,7 rad/s. A função de transferência do compensador é:

ssGc

e o sistema compensado é:

ssGN

Exemplo 9.1: Considere o sistema mostrado na Fig.9.7:

Projetar um compensador avanço de fase para alcançar os seguintes objetivos: Margem de fase = 40°

+ R(s) C(s)

Fig.9.7-Sistema com Compensação Avanço de Fase. 1. A função de transferência para um compensador avanço de fase tem a seguinte função de transferência:

2. A função de transferência de malha aberta (ftma) do sistema compensado é:

Ts sTKsGcNα

Para um valor de : 20=K

A nossa especificação da constante de erro de velocidade é , então: 112−=sKv

onde é a função de transferência de malha aberta do sistema sem compensação,

4. Traçam-se os diagramas de Bode de e obtêm-se suas margens de ganho e de fase. A

Fig. 9.8 mostra os diagramas de Bode, de onde G s1( ) φm=20º e a margem de ganho é infinita.

Fig.9.8-Diagramas de Bode de ()ωωω j jG += 1

5. A margem de fase especificada para o nosso projeto é de 40°. Deve-se adicionar 5° à especificação para contrabalancear o deslocamento da freqüência de cruzamento do ganho

6. O parâmetro mcmcφφα

A freqüência de maior contribuição de fase é mω, sendo o ganho do compensador, nesta freqüência:

9. Desta forma, a função de transferência do compensador avanço de fase é:

j jGc

Exemplo 9.2: A função de transferência de malha aberta (ftma) de um sistema com realimentação unitária é:

s KsG++=

Projetar um compensador atraso de fase para realizar uma margem de fase de 40° e uma constante de erro de velocidade . 18−=sKv 1. A função de transferência para um compensador atraso de fase é dada por:

Logo, a função de transferência de malha aberta (ftma) do sistema compensado é:

s K

Para um valor de 2=K:

onde é a função de transferência de malha aberta do sistema sem compensação,

3. Traçam-se os diagramas de Bode de e obtém-se a sua margem de fase. Gs1()

A margem de fase especificada é 40°. Adiciona-se 10° à especificação para compensar a contribuição negativa do compensador ao ângulo. Temos então,

Fig.9.9-Diagramas de Bode para

6.As freqüências de quebra do compensador são: Tz1=ω e βωωzp=. Escolhe-se zω de uma oitava a uma década menos que cω. Isto é, 210 cz cωωω<<. Uma boa escolha seria

7. Desta forma, a função de transferência do compensador atraso de fase é:

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