(Parte 1 de 2)

Capítulo 1 - MOVIMENTO EM UMA DIMENSÃO

Rubens Pantano Filho

3.1 Introdução

3.2 Sistemas unidimensionais

3.3 Velocidade média

3.4 Velocidade instantânea

3.5 Movimento uniforme

3.6 Aceleração

3.7 Movimento com aceleração constante

3.8 Queda livre

3.9 Movimento com aceleração variável

Resumo

Questões e problemas

3.1 – Introdução

Nas experiências cotidianas, observamos que os movimentos estão sempre presentes nas mais variadas situações que nos cercam, quer sejam nos momentos de trabalho ou nos instantes de lazer. Entre esses inúmeros movimentos, encontramos alguns relativamente simples, tais como os movimentos dos ponteiros de um relógio ou, ainda, a queda de um corpo nas proximidades da Terra, sob a ação da gravidade.

Figura 3.1 – Carros de corrida em movimento numa prova de Fórmula 1.

Além desses movimentos mais elementares, há também muitos outros mais complexos como, por exemplo, os movimentos dos corpos celestes, os movimentos de partículas carregadas submetidas à ação de campos elétricos e/ou magnéticos, como ocorre nos aceleradores de partículas ou, ainda, os movimentos das peças de um complexo equipamento industrial quando em funcionamento.

Figura 3.2 – Trajetórias de partículas carregadas numa câmara de bolhas.

A compreensão desses movimentos que observamos permite-nos um melhor entendimento do mundo em que vivemos, bem como o desenvolvimento de novas tecnologias importantes ao homem contemporâneo. Para que possamos adquirir os conhecimentos que nos permitam entender os movimentos mais complexos, começamos pelas análises dos mais simples, tais como alguns que ocorrem sobre uma reta, ou seja, os movimentos denominados unidimensionais. Convém ressaltar que vários movimentos na Natureza acontecem dessa forma: a queda de um corpo nas proximidades da Terra é um bom exemplo disso.

Figura 3.3 – A queda de uma maçã.

Nos estudos que faremos nesse capítulo, assim como no seguinte, os movimentos analisados serão descritos sem que se tenha preocupação alguma com as causas que lhe deram origem. Em outras palavras, procuraremos descrever o movimento de um corpo através da caracterização de sua posição, da rapidez com que se desloca – a velocidade – e também da análise da variação dessa rapidez – a aceleração. Esse estudo apenas descritivo dos movimentos, sem a análise das causas, é o que denominamos Cinemática. A discussão das causas – a Dinâmica - será feita num conjunto de capítulos seguintes.

Outra consideração que se faz importante nesse momento tem a ver com o fato de que o movimento de um corpo pode incluir translação e rotação. Como exemplo, imaginemos o movimento de uma bola de futebol quando chutada pelo jogador. Além do deslocamento a partir de sua posição inicial, a bola pode também girar em torno de si mesma, dependendo, entre outros fatores, de como foi chutada pelo atleta. Também nessa fase introdutória, imaginaremos um corpo ideal, ao qual denominaremos partícula, cujas dimensões não levaremos em conta face às demais dimensões envolvidas no problema. Em outras palavras, o corpo será tratado como um ponto geométrico, porém dotado de massa; por isso mesmo o denominamos ponto material. Note-se que, não tendo dimensões, não há possibilidade de falarmos em rotação; o movimento de uma partícula é exclusivamente translacional.

3.2 - Sistemas unidimensionais

Uma análise inicial e relativamente simples dos movimentos unidimensionais nos permitirá a compreensão de conceitos importantes, tais como velocidade e aceleração, grandezas estas extremamente úteis na descrição de um movimento qualquer. Num momento seguinte, veremos que a extensão de alguns conceitos definidos no caso de uma dimensão pode ser feita sem grandes dificuldades para duas ou três dimensões.

Figura 3.4 – Um avião voando horizontalmente em linha reta.

A rigor, as duas grandezas citadas, velocidade e aceleração, são grandezas que dizemos vetoriais. Conforme visto no Capítulo 2, são grandezas para as quais a perfeita caracterização necessita dos conhecimentos de magnitude (módulo), direção e sentido; sem um desses atributos a grandeza estará conhecida apenas parcialmente. No entanto, como a análise inicial dos movimentos será feita em uma única dimensão, não necessitaremos discutir o caráter vetorial de tais grandezas, tratando-as, dessa forma, como se fossem elementos escalares. No Capítulo 4, os conceitos de velocidade e aceleração serão ampliados e essas duas grandezas serão definidas em seus aspectos mais amplos, ou seja, vetorialmente.

Imaginemos então uma partícula que se desloca sobre uma reta. Como esse deslocamento pode se dar tanto num sentido como em outro, sobre a mesma reta, ou seja, sobre a mesma direção, convém atribuirmos a essa direção dois sentidos. Em outras palavras, convém estabelecer nessa direção um eixo orientado e dotado de um ponto de origem ou de referência. Podemos utilizar esse ponto de referência para especificar a posição de uma partícula que se move sobre a reta. Assim, indicaremos a posição da partícula através de sua coordenada em relação à origem previamente estabelecida sobre o eixo. Por exemplo, se num determinado instante dizemos que as coordenadas de posição das partículas A, B e C, são xA = +4 m, xB = -2 m e xC = 0 m, respectivamente, estamos indicando que essas partículas distam 4 m, 2 m e 0 m da origem, além de explicitarmos também de que lado da origem elas se encontram. Observe-se que o sinal “–” associado à coordenada da partícula B indica que a mesma se encontra no semi-eixo negativo x.

B C A

0 x

Figura 3.5 – Partículas sobre um eixo orientado.

Uma vez em movimento, obviamente a partícula muda de posição, ou seja, sua coordenada é função do tempo. Indicamos esse fato, escrevendo sua equação de movimento na forma:

(3.1)

A equação de movimento de uma partícula pode se constituir numa ferramenta que nos permite fazer previsões à partir do conhecimento antecipado de certas características do sistema. Se a partícula muda de posição, sua coordenada x varia com o tempo. Em um certo intervalo de tempo, sua coordenada mudará de x1 para x2. Definimos então deslocamento (o melhor seria dizer, por enquanto, deslocamento escalar) à diferença entre esses dois valores, ou seja, x2 - x1. Convencionando dessa forma, ou seja, o valor final da coordenada de posição menos o valor inicial, percebe-se que o resultado poderá ser positivo, nulo ou negativo. Será positivo quando x2 for maior que x1, ou seja, quando a partícula se deslocar no sentido positivo do eixo. Será nulo quando a posição final e inicial forem coincidentes e será negativo quando o deslocamento se der contra o sentido adotado para o eixo. Em geral, para indicar variação de uma determinada grandeza física utilizamos a letra maiúscula grega  (lê-se “delta”) seguida do símbolo representativo da grandeza em questão. Assim, no caso do deslocamento, como o mesmo está representando a variação da coordenada de posição x, podemos escrever:

(3.2)

Deve-se observar também que tanto a coordenada x como a variação dela, ou seja, x têm dimensão de comprimento, ou seja, [x] = [x] = L. Assim, no sistema Internacional de Unidades, coordenada de posição e deslocamento serão medidos em metros (m).

Convém ressaltar que o deslocamento x não indica necessariamente o quanto a partícula percorreu. O deslocamento x indica apenas o quanto a posição final está à frente ou atrás da posição inicial. Note que entre as posições de coordenadas x1 e x2, a partícula pode ter ido e voltado diversas vezes e o deslocamento x simplesmente informa a medida do segmento que une as duas posições. No caso de ter ocorrido um movimento de vai-e-vem, o espaço efetivamente percorrido pela partícula é maior que o módulo de x. Uma segunda situação interessante é que a posição final x2 pode ser igual à posição inicial x1, sem que isso queira dizer que a partícula permaneceu em repouso: ela pode ter saído de x1 e voltado a x1; houve movimento, mas o deslocamento no intervalo foi nulo, indicando que a posição final é coincidente com a posição inicial.

3.3 - Velocidade média

Continuando com as considerações anteriores, para cada posição ocupada pela partícula teremos um instante de tempo associado. Da mesma forma que fizemos para o deslocamento, também para o tempo utilizaremos a representação t como indicativo da magnitude do intervalo de tempo entre os instantes t1 e t2. Assim:

(3.3)

Analisando as dimensões da igualdade acima, [t] = [t] = T. Assim, no SI, a unidade utilizada será o segundo (s).

Agora, podemos definir a velocidade média de uma partícula num certo intervalo de tempo. Considerando que a mesma sofre um deslocamento x num intervalo de tempo t, definimos velocidade média como sendo a taxa média de variação de posição em relação ao tempo, ou seja:

(3.4)

Pela definição, observa-se que [vm] = L.T-1, ou seja, no SI a unidade de velocidade é o m/s ou m.s-1.

Exemplo 3.1:

Como é muito comum medirmos a velocidade em km/h, como no caso dos automóveis de passeio ou nos veículos de carga, como podemos fazer a conversão de m/s para km/h?

A solução é muito simples; vejamos:

1 m/s = 10-3 km/(1/3600) h = 3,6 km/h

Convém observar que a velocidade média representa uma velocidade única, tal que, se mantida constante em todo o intervalo, faria com que a partícula tivesse saído do mesmo local e chegado ao mesmo ponto que chegou, no mesmo intervalo de tempo.

Uma situação interessante para refletir é o caso de uma partícula que está numa determinada posição, sai dela e volta à posição inicial depois de certo tempo. Nesse caso, de acordo com a definição proposta, a velocidade média associada é nula, uma vez que o deslocamento no intervalo considerado também foi nulo. Mas, qual o significado de velocidade média nula? Se o corpo avançou à 60 km/h e depois voltou pela mesma reta, também a 60 km/h, por que então a velocidade média não é também 60 km/h?

Note que, no exemplo proposto, o fato de a partícula ter seu sentido de movimento invertido, nos garante que a velocidade já não é mais a mesma. Lembre-se de que velocidade é uma grandeza vetorial; se mudou o sentido, mudou a velocidade: 60 km/h num sentido não é mesma velocidade que 60 km/h em sentido oposto. Note também que ter velocidade média nula significa que as posições iniciais e finais serão coincidentes, ou seja, é a velocidade que mantida durante todo o intervalo fará com que o corpo apresente-se na mesma posição no início e no final do processo. Reflita um pouco mais sobre isto.

3.4 - Velocidade instantânea

A velocidade média nos dá informações relativamente importantes sobre o movimento num determinado intervalo. Por exemplo, quando dizemos que, numa viagem de Campinas ao Rio de Janeiro a velocidade média foi de 80 km/h, concluímos que a viagem deve ter durado umas cinco horas aproximadamente, na medida em que, medindo-se pela estrada, Campinas dista aproximadamente 400 km do Rio de Janeiro. Apesar disso, a velocidade média não nos informa o que aconteceu instante por instante. No exemplo proposto não conseguiríamos dizer, por exemplo, a velocidade do veículo quando o mesmo passou pelo quilômetro 165 da Via Dutra, nem mesmo se o motorista parou por alguns instantes em algum posto de combustível ou em algum restaurante. Significa então que o fato de conhecermos a velocidade média num certo intervalo de tempo não nos garante conhecer a velocidade num determinado instante qualquer desse mesmo intervalo.

A velocidade num determinado instante pode ser obtida da seguinte forma. Imagine que escolhemos um certo intervalo de tempo e calculamos nele a velocidade média de uma partícula. Depois, reduzimos a duração do intervalo de tempo e calculamos novamente a velocidade nesse novo intervalo. Se fizermos isso sucessivamente, ou seja, se diminuirmos sucessivamente o intervalo de tempo no qual calculamos a velocidade média, chegaremos, por extensão a uma velocidade média num intervalo de tempo tão pequeno que o valor calculado é praticamente a velocidade instantânea num dos pontos do intervalo, uma vez que o mesmo é tão pequeno que a velocidade não poderá ter variado tão significativamente.

Na linguagem do cálculo escrevemos assim:

(3.5)

Exemplo 3.2:

Para entendermos melhor a expressão acima, ou seja, o conceito de velocidade instantânea, tomemos como exemplo a equação de movimento de uma partícula: x =t2. Como poderíamos determinar a velocidade instantânea da partícula no instante t = 2,000 s?

Com a equação, calculemos a velocidade média em vários intervalos de tempo, todos eles com início no instante 2,000 s. Vamos, propositadamente, fazer os intervalos irem diminuindo, mantendo-se o instante inicial t = 2,000 s.

t1 (s)

x1 (m)

t2 (s)

x2 (m)

Dx (m)

Dt (s)

vm = Dx/Dt (m/s)

2,000

4,000

4,000

16,000

12,000

2,000

6,000

2,000

4,000

3,000

9,000

5,000

1,000

5,000

2,000

4,000

2,500

6,250

2,250

0,500

4,500

2,000

4,000

2,400

5,760

1,760

0,400

4,400

2,000

4,000

2,300

5,290

1,290

0,300

4,300

2,000

4,000

2,200

4,840

0,840

0,200

4,200

2,000

4,000

2,100

4,410

0,410

0,100

4,100

2,000

4,000

2,050

4,203

0,203

0,050

4,050

2,000

4,000

2,040

4,162

0,162

0,040

4,040

2,000

4,000

2,030

4,121

0,121

0,030

4,030

2,000

4,000

2,020

4,080

0,080

0,020

4,020

2,000

4,000

2,010

4,040

0,040

0,010

4,010

2,000

4,000

2,005

4,020

0,020

0,005

4,005

2,000

4,000

2,004

4,016

0,016

0,004

4,004

2,000

4,000

2,003

4,012

0,012

0,003

4,003

2,000

4,000

2,002

4,008

0,008

0,002

4,002

2,000

4,000

2,001

4,004

0,004

0,001

4,001

É fácil perceber pelos cálculos que, na medida em que o intervalo de tempo foi se tornando pequeno, ou seja, foi tendendo a zero, a velocidade média no mesmo intervalo foi tendendo a um limite, induzindo-nos que a velocidade no instante t = 2,000 s deve apresentar valor igual a 4,000 m/s.

A expressão define o que, no Cálculo Diferencial, denominamos derivada da função. Assim, a velocidade instantânea pode ser compreendida como sendo a derivada da posição com relação ao tempo num determinado instante. Dessa forma, escrevemos:

(3.6)

Graficamente, pode-se observar que o valor da derivada de uma função num ponto da curva nos fornece a inclinação da reta tangente à curva no ponto considerado. Para compreender isso, observe na figura a seguir que a velocidade média corresponde à inclinação da reta secante à curva pelos pontos inicial e final do intervalo. A velocidade instantânea por sua vez corresponde à inclinação da reta tangente à curva num ponto da mesma.

Figura 3.6 – Velocidade média e instantânea e inclinação de retas.

Exemplo 3.3:

A equação de movimento de uma partícula é conhecida e dada por x = 3t2, onde x representa a coordenada de posição e t um instante de tempo qualquer, ambos medidos em unidades SI. a) determine a equação de velocidade da partícula; b) calcule a velocidade da partícula para t = 5,0 s; c) qual a interpretação geométrica para valor encontrado em b?

a) Para esse movimento, a velocidade da partícula será dada por:

Assim, a velocidade da partícula em cada instante pode ser dada pela expressão acima.

b) No instante t = 5 s, por exemplo, a velocidade instantânea será v = 6.5 = 30 m/s.

c) O valor 30 corresponde à inclinação da reta tangente à curva x =3t2 pelo ponto da mesma cujas coordenadas são: (5 s, 75 m).

Sabendo que a operação inversa da derivação é a integração, conhecida a equação de velocidade como função do tempo, ou seja, a equação v = f(t), podemos obter a equação de movimento, ou seja, x = f(t), promovendo-se a integração da primeira em relação ao tempo. Simbolicamente, indicamos assim:

(3.7)

Nesse ponto, devemos lembrar que a integral representa, numericamente, a área sob a curva no intervalo delimitado. Assim, a integral do lado esquerdo da igualdade representa a área sob a curva v = f(t), entre os instantes definidos na integração.

Figura 3.7 – A integral como área sob a curva num interalo.

Definidos os intervalos de integração, de um lado e de outro da equação acima, obtém-se então x = f(t). Observe o exemplo a seguir:

Exemplo 3.4:

Sabe-se que a equação de velocidade de uma partícula é dada por v = 8,0t, em unidade SI. Além disso, sabe-se também que para o instante t = 0 a partícula se encontrava a 2,0 m da origem das abscissas. Assim:

v.dt = dx

8,0.t.dt = dx

Resolvendo a integral para o intervalo proposto, tem-se:

4,0.t2 – 4,0.02 = x – 2,0

x = 2,0 + 4,0.t2

Agora, conhecida a equação de movimento, podemos obter, por exemplo, a posição da partícula para um instante futuro. Por exemplo, substituindo t = 3,0 s na equação acima, obtemos x = 2,0 + 4,0.3,02 = 38 m. Observe-se, dessa forma, que a equação de movimento nos permite fazer previsões de como se comporta a partícula num momento futuro ou como se comportou num momento passado, desde que as características fundamentais do movimento tenham sido mantidas.

3.5 – Movimento uniforme

O movimento mais simples que podemos analisar em linha reta é o movimento de um corpo que se desloca com velocidade constate, ou seja, um movimento que apresenta velocidade igual em qualquer instante do intervalo considerado. Note que, se a velocidade é constante, podemos escrever:

(3.8)

Em outras palavras, podemos afirmar que a velocidade média em qualquer intervalo é igual a velocidade instantânea em qualquer um dos instantes desses intervalos. Assim:

Se considerarmos t0 = 0, a expressão ficará:

(3.9)

Dessa forma, observamos que a equação de movimento para uma partícula em movimento uniforme é uma equação de primeiro grau na qual o coeficiente de t representa a velocidade do movimento e o termo independente representa a posição inicial.

Figura 3.8 – Fotografia de múltipla exposição de uma bolha de bilhar em MRU.

3.6 – Aceleração

Nem todos os movimento apresentam velocidade constante com o tempo. Na verdade, a grande maioria deles não é assim, ou seja, os movimentos que observamos na Natureza em geral apresentam velocidade variável e que variam mais ou menos rapidamente. Para descrevermos a taxa de variação de velocidade introduzimos o conceito de aceleração. A idéia é que um movimento apresenta aceleração quando sua velocidade muda de alguma maneira. Ressaltamos que, nesse capítulo, estamos levando em conta somente a variação da magnitude da velocidade, ou seja, a mudança de seu valor. No capítulo seguinte, observaremos que a velocidade de uma partícula pode manter seu valor, podendo, porém, mudar de direção. Como nenhum corpo faz isso espontaneamente, verificaremos que há também aí uma aceleração associada, ou seja, um corpo também pode apresentar aceleração quando sua velocidade muda de direção apenas, sem mudar de magnitude. Essa discussão será feita posteriormente.

Imaginemos então uma partícula que se move sobre uma reta e apresenta velocidade v1 num instante de tempo t1 e velocidade v2 num instante posterior t2. Definimos aceleração média no intervalo considerado como sendo o quociente entre a variação de velocidade v = v2 - v1 pelo intervalo de tempo t = t2 - t1. Em linguagem simbólica, temos:

am = v/t (3.10)

Percebe-se pela definição que [am] = [v]/[t] = L.T-1/T = L.T-2. Portanto, no Sistema Internacional de Unidades, a unidade de aceleração será o m/s2 ou m.s-2.

Assim como fizemos para velocidade, também para aceleração convém definir a aceleração instantânea. Fazemo-lo da mesma forma, ou seja, a aceleração num determinado instante é definida pelo limite da aceleração média quando fazemos o intervalo de tempo tornar-se tão pequeno quanto se queira torná-lo, ou seja, quando fazemos o intervalo de tempo tender a zero. Assim, podemos escrever:

a = lim v/t (3.11)

t0

Sabemos que, na linguagem do Cálculo Diferencial, a expressão acima pode ser escrita como:

a = dv/dt (3.12)

Dizemos então que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Lembrando que a velocidade por sua vez é obtida pela derivada da posição em relação ao tempo, podemos escrever que a aceleração é a derivada de uma função que já corresponde à derivada da função posição. Assim, podemos dizer que derivando duas vezes a posição com relação ao tempo, obtemos a aceleração. Dessa forma:

a = dv/dt

a = d(dx/dt)/dt

a = d2x/dt2 (3.13)

Agora, por integração, conhecida a equação de aceleração como função do tempo, ou seja, a equação a = f(t), podemos obter a equação de velocidade, ou seja v = f(t), promovendo-se a integração da primeira em relação ao tempo. Simbolicamente, indicamos assim:

a = dv/dt

a.dt = dv

a.dt = dv (3.14)

Mais uma vez observemos que a integral do lado esquerdo da igualdade, ou seja, a.dt, representa agora a área sob a curva da função a = f(t).

Definidos os intervalos de integração, de um lado e de outro da equação acima, obtém-se então v = f(t). Observe o exemplo a seguir:

Exemplo 3.3:

Sabe-se que a equação de aceleração de uma partícula é dada por a = 2,0t, em unidade SI. Além disso, sabe-se também que para o instante t = 0 a partícula apresentava velocidade inicial de 3,0 m/s na posição x = 2,0 m. Assim:

a.dt = dv

2,0.t.dt = dv

Resolvendo a integral para o intervalo proposto, tem-se:

1,0.t2 – 1,0.02 = v – 3,0

v = 3,0 + 1,0.t2

Agora, conhecida a equação de velocidade, podemos obter, por exemplo, a velocidade da partícula para um instante futuro. Por exemplo, substituindo t = 2,0 s na equação acima, obtemos v = 3,0 + 1,0.2,02 = 7 m/s.

Em seguida, também podemos determinar a equação de posição da partícula, integrando a função v = f(f) obtida.

v = dx/dt

v.dt = dx

(3,0 + 1,0.t2).dt = dx

3,0.t + 1,0.t3/3 = x – 2,0

x = 2,0 + 3,0.t + 1,0.t3/3

3.7 – Movimento com aceleração constante

Um outro movimento relativamente simples, em linha reta, é o movimento de um corpo que se desloca com aceleração constante, ou seja, um movimento retilíneo que apresenta aceleração igual em qualquer instante do intervalo considerado. Note que, se a aceleração é constante, podemos escrever:

am = v/t = a (3.15)

Em outras palavras, podemos afirmar que a aceleração média em qualquer intervalo de tempo é igual a aceleração instantânea em qualquer dos instantes desses intervalos. Assim:

a = v/t

a = (v – v0)/(t – t0)

a.(t – t0) = v – v0

Se considerarmos t0 = 0, a expressão ficará:

v = v0 + a.t (3.16)

Então, observamos que a equação de velocidade para uma partícula em movimento com aceleração constante é uma função de grau um, na qual o coeficiente de t representa a aceleração do movimento e o termo independente representa a velocidade inicial, ou seja, a velocidade no instante t = 0.

Sabendo que a função de posição, ou seja, a equação de movimento pode ser obtida pela integração da velocidade em relação ao tempo, temos:

A integral do primeiro membro resulta em x + C1 e a do segundo membro em v0.t +a.t2/2 + C2. Observe que essas constantes C1 e C2 podem ser quaisquer, na medida em que suas derivadas são nulas. Em outras palavras, quando integramos uma função sem definir o intervalo de integração – a integral indefinida – obtemos não uma única função, mas sim uma família de funções que diferem uma da outra apenas pelo valor da constante. Note que todas essas funções têm a mesma derivada, qualquer que seja o valor da constante.

De outra forma, se definidos os extremos de integração de 0 a t, para a variável tempo, e de x0 a x para a variável x, temos:

(3.17)

Representando graficamente as funções descritas por (3.17), (3.16) e (3.15) respectivamente, obtemos as seguintes figuras:

Figura 3.9 – Gráficos x = f(t), v = f(t) e a = f(t) para um movimento com aceleração constante

Com a equação acima (3.17) e com a equação (3.16) podemos obter uma terceira equação (3.18) que poderá ser muito útil na análise de movimentos com aceleração constante.

(3.18)

Tente resolver essa situação como exercício de raciocínio, tomando o quadrado dos dois lados da equação (3.16) e substituindo-se parte do obtido pela equação (3.17).

A equação acima é comumente conhecida por Equação de Torricelli. Além dela, uma outra expressão que poderá nos ser útil nas analises de problemas é a que deduzimos a seguir:

vm = x - x0/t - 0

substituindo x por (3.17):

vm = (x0 + v0.t + a.t2/2 - x0)/t

vm = (v0.t + a.t2/2)/t

vm = v0 + a.t/2

vm = (2v0 + a.t)/2

vm = (v0 + v0 + a.t)/2

substituindo parte da expressão por (3.16):

vm = (v0 + v)/2 (3.19)

Em outras palavras, pode-se dizer que a velocidade média num certo intervalo, para um movimento com aceleração constante, é igual à média aritmética das velocidades inicial e final no referido intervalo.

3.8 - Queda livre

Um exemplo de movimento que apresenta aceleração constante é o movimento de um corpo que cai nas proximidades da Terra, sem que a resistência imposta pelo ar seja significativa. Podemos considerar que são assim os movimentos de corpos sólidos, pequenos, compactos e que caem de alturas não muito grandes comparadas ao raio terrestre. Assim é a queda de uma bola de tênis da janela de uma residência ou dos andares superiores de um edifício. Essa propriedade já não é válida, por exemplo, para uma pena de ave que cai de alguns metros de altura. Para esse caso, a resistência do ar não permite que a aceleração do movimento seja sempre a mesma. Também não podemos considerar em queda livre um pára-quedas aberto e em movimento. A grande área do mesmo fará com que a resistência do ar seja muito significativa, impedindo que o mesmo caia com a mesma aceleração da bola de tênis.

Figura 3.10 – Fotografia de múltipla exposição de uma bola em queda livre.

Um corpo que cai apenas sob a ação da gravidade apresenta uma aceleração de queda, nas proximidades da Terra, que tem valor muito próximo de 10 m/s2. Na verdade esse valor varia de 9,78 m/s2 (nas proximidades do equador) a 9,83 m/s2 (nas proximidades dos pólos). Veremos nos próximos capítulos que essa diferença de valor da chamada aceleração local da gravidade tem a ver com o achatamento da Terra nos pólos bem com a rotação da Terra em torno de seu próprio eixo. Nesse capítulo, utilizaremos o valor médio de 9,81 m/s2 para indicar a gravidade terrestre.

Dessa maneira, as equações características para um corpo pequeno e compacto em queda livre da resistência do ar, nas proximidades da Terra, são as equações de um movimento com aceleração constante, visto no parágrafo anterior. Assim:

a =  g

v = v0  g.t

x = x0 + v0.t  g.t2/2

v2 = v02  2.g.x (3.20)

O sinal + ou - adotado para g tem a ver com uma orientação positiva escolhida para a trajetória, para baixo ou para cima respectivamente.

3.9 – Movimento com aceleração variável

Tendo analisado alguns movimentos mais simples, agora estamos aptos a discutir o fato de que os movimento mais complexos apresentarão velocidade e aceleração variáveis, não só em magnitude como também em direção. Apenas para iniciarmos essa discussão, observamos, ainda sobre a reta, o movimento de um corpo que executa um movimento de vai e vem em torno de uma posição de equilíbrio. Esse movimento, denominado movimento harmônico simples, será analisado posteriormente. Por ora, observemos que as ferramentas de cálculo diferencial e integral utilizadas nesse capítulo são gerais, ou seja, pode-se aplica-las a qualquer movimento. Assim:

x = f(t)

v = dx/dt

v.dt = dx

a = dv/dt

a.dt = dv (3.21)

Observemos que se o corpo oscila - um movimento de vai e vem - sua velocidade deve mudar, uma vez que nos extremos da trajetória por ele descrita, sua velocidade deverá ser momentaneamente nula. Um movimento desse tipo, como no caso do pêndulo da Figura 3.4, apresenta uma equação de movimento do tipo:

Assim, sua velocidade pode ser obtida através da derivada dessa função:

Figura 3.11 – Fotografia de múltipla exposição de um pêndulo em oscilação

Da mesma forma, sua aceleração pode ser obtida derivando-se novamente a função obtida ou, então, derivando duas vezes a primeira.

Assim, o importante é ressaltarmos que as definições de velocidade e de aceleração são genéricas, permitindo que analisemos movimentos mais complexos que esses propriamente discutidos.

Figura 3.12 – Pêndulo de Foucault no Pantheon de Paris.

Nesse capítulo, toda discussão foi feita considerando uma partícula em movimento sobre uma reta, ou seja, em movimento unidimensional. Veremos no capítulo seguinte que os movimentos em duas ou três dimensões também podem ser analisados como se fossem compostos de movimentos parciais segundo as direções de dois ou três eixos de um sistema cartesiano tomado como referência. As discussões realizadas aqui e as equações obtidas serão muito úteis nessas análises.

3.11– Resumo

3.1 – Introdução

Movimentos unidimensionais: movimentos sobre uma reta

Cinemática: estudo descritivo dos movimentos, sem a análise das causas

Partícula: corpo cujas dimensões não levamos em conta; como se fosse um ponto geométrico dotado de massa (ponto material)

O movimento de uma partícula é exclusivamente translacional

3.2 - Sistemas unidimensionais

Equação de movimento: x = f(t)

Deslocamento: x = x2 - x1

[x] = [x] = L

3.3 - Velocidade média

Intervalo de tempo: t = t2 – t1

[t] = [t] = T

Velocidade média: vm = x/t

[vm] = L.T-1

1 m/s = 3,6 km/h

3.4 - Velocidade instantânea

v = lim x/t

t0

v = dx/dt

v.dt = dx

3.5 – Movimento uniforme

vm = v

x = x0 +v.t

3.6 – Aceleração

am = v/t

[am] = L.T-2.

a = lim v/t

t0

a = dv/dt

a = d2x/dt2

a.dt = dv

3.7 – Movimento com aceleração constante

am = a

v = v0 + a.t

x = x0 + v0.t + a.t2/2

v2 = v02 + 2.a.x

vm = (v0 + v)/2

3.8 - Queda livre

a = g

v = v0 g.t

x = x0 + v0.t g.t2/2

v2 = v02  2.g.x

Sinal  para g: trajetória orientada para baixo ou para cima.

3.9 – Movimento com aceleração variável

Equação de movimento: x = f(t)

v = dx/dt

v.dt = dx

a = dv/dt

a.dt = dv

Questões e Problemas

3.1 - Introdução

1) Podemos considerar a Terra como sendo uma partícula quando descrevemos seus movimentos de rotação em torno de seu próprio eixo? E quando descrevemos o de translação em torno do Sol?

2) Ao jogarmos uma moeda para verificarmos se dá “cara ou coroa”, para decidirmos algo como, por exemplo, “quem começa o jogo”, podemos tratá-la como uma partícula?

3) Resolvendo-se uma equação de movimento de uma determinada partícula, encontram-se dois valores de tempo, um positivo e outro negativo. Esse valor negativo pode ter algum significado físico?

4) Massa e força são grandezas importantes na análise cinemática do movimento de um corpo?

5) Velocidade e aceleração são termos sinônimos? Um corpo pode apresentar velocidade sem ter aceleração? E aceleração sem ter velocidade?

3.2 - Sistemas unidimensionais

6) A equação de movimento de uma partícula é dada por x = 5,0.t2, onde x representa a coordenada de posição da partícula sobre o eixo x e t o tempo, ambos medidos em unidades SI. Determinar as posições da partícula para: a) t = 2,0 s; b) t = 3,0 s; c) t = 4,0 s.

7) Considerando os cálculos do exercício anterior, determinar os deslocamentos da partícula: a) de 2,0 a 3,0 s; b) de 3,0 a 4,0 s; c) levando em conta os valores obtidos em a) e b), pode-se dizer que a rapidez com que a partícula se deslocou foi a mesma nos dois intervalos considerados? Justificar.

8) A equação de movimento de uma partícula é x = A + Bt + Ct2 + Dt3, na qual x representa a coordenada de posição e t o tempo. Quais as dimensões de A, B, C e D no SI?

9) A igualdade t = (x – 2).(x – 3), sendo t o tempo e x a coordenada de posição, pode representar a equação de movimento de uma partícula?

10) Imagine uma partícula que se move sobre um eixo x, obedecendo à equação de movimento x = 20.cos(t), em unidades CGS. Na igualdade, x é a coordenada que estabelece a posição da partícula no instante t. A partícula executa um movimento oscilatório (de vai e vem)? Em caso positivo, seu movimento está confinado num segmento de quantos centímetros? Justificar

3.3 - Velocidade média

11) A equação de movimento de uma partícula é x = 3 + 2t2, em unidade SI. Determinar a velocidade média da partícula no intervalo de: a) de 0 a 4 s; b) 3 a 7 s.

12) Um veículo se descola a 72 km/h. Se o motorista de distrai por 1,0 s, qual é a distância percorrida pelo veículo nesse tempo?

13) Um corpo em movimento pode apresentar velocidade escalar média não nula se seu deslocamento no mesmo intervalo foi nulo? Justificar.

14) Na rodovia dos Bandeirantes, que liga São Paulo a Campinas, o limite de velocidade para os veículos de passeio é 120 km/h. Qual o valor desse limite expresso em m/s?

15) Um automóvel percorre a distância AM com velocidade 30 km/h e a distância MB com velocidade 40 km/h. Sabendo que M é o ponto médio do segmento AB, determinar a velocidade média no percurso AB.

3.4 - Velocidade instantânea

16) Se a equação de movimento de uma partícula é x = 5t3, em unidades SI, qual é o valor de sua velocidade para t = 2 s?

17) Uma partícula em movimento apresenta equação x = 2t2, em unidades CGS. Determinar a velocidade média da partícula nos seguintes intervalos de tempo: a) 2,0 a 3 s; b) 2,0 a 2,5 s; c) 2,0 a 2,4 s; d) 2,0 a 2,3 s; e) 2,0 a 2,2 s; f) 2,0 a 2,1 s. A partir dos resultados, estimar a velocidade da partícula para t = 2,0 s. Conferir o resultado derivando a equação de movimento e substituindo t = 2 s.

18) A equação de movimento de uma partícula é x = 6t, em unidades SI. Determinar a velocidade escalar para: a) t = 2 s; b) t = 5 s.

19) Em que condições a velocidade média num intervalo de tempo pode ser igual à velocidade instantânea em qualquer instante desse mesmo intervalo?

20) A equação de movimento de uma partícula é x = 6.cos(t), em unidades SI. Determinar a velocidade escalar para: a) t = 0,5 s; b) t = 1 s; c) t = 1,5 s; d) t = 2,0 s.

3.5 – Movimento uniforme

21) Uma partícula em movimento retilíneo apresenta equação de movimento x = 40 – 5t, em unidades SI. Determinar: a) a posição inicial, a velocidade da partícula e sua aceleração; b) o instante em que a partícula passa pela origem do eixo.

22) Quanto tempo gasta um trem de 100 m, movimentando-se a 15 m/s, para atravessar uma ponte de 50 m de extensão?

23) A velocidade do som no ar é próxima de 340 m/s. Suponha que, num dia de tempestade, um indivíduo vê o relâmpago e ouve o ruído do trovão 6,0 s depois. Estimar a distância entre o indivíduo e o local do relâmpago.

24) Dois trens se aproximam, em sentidos opostos, com velocidades iguais (em módulo) a 18 km/h. Um pássaro que consegue voar mais rapidamente que os trens parte de um deles em direção ao outro, com velocidade constante de 10 m/s, no instante em que a distância entre os trens é de 100 m. Uma vez encontrando o segundo trem, o pássaro volta em direção ao primeiro e, assim, sucessivamente. Desprezando o tempo de contato do pássaro com os trens, bem como o tempo de inversão do sentido de seu movimento, determinar o tempo e a distância total percorrida pelo pássaro até o instante da colisão.

25) Dois barcos partem simultaneamente das margens opostas de um grande lago retangular, movimentando-se com velocidades constantes, em sentidos contrários, perpendicularmente às margens, de modo a atingirem pontos opostos aos locais das partidas. Durante os trajetos, os dois barcos se cruzam a 720 metros da margem mais próxima. Completada a travessia, cada barco aguarda no respectivo cais por 10 minutos, partindo em seguida, de volta, mantendo os mesmos valores das velocidades iniciais. O novo encontro se dá a 400 metros da outra margem. Com essas informações, determinar a largura do lago.

3.6 – Aceleração

26) A velocidade de um veículo decresce de 72 km/h para 36 km/h em 5 s. Determinar a aceleração média nesse intervalo de tempo.

27) Um corpo pode apresentar velocidade crescente e aceleração decrescente? Justificar.

28) Em competições de atletismo, nas provas de 100 metros rasos para homens, os grandes campeões já completam a prova em pouco menos de 10 segundos. Qual a velocidade média que o atleta desenvolve nessas provas? Admitindo que o movimento ocorra com aceleração constante, qual a velocidade do atleta ao final dos 100 m?

29) Numa revista especializada em automóveis, pode-se encontrar a informação sobre o tempo que um veículo comum de passeio gasta para ir de 0 a 100 km/h. Um corpo em queda livre apresenta aceleração próxima de 10 m/s2. Quanto tempo leva um objeto abandonado, em queda livre, para atingir 100 km/h? Comparar esse tempo com aquele gasto pelo veículo para ir de 0 a 100 km/h.

30) Um corpo é atirado verticalmente para cima e se move, a partir do lançamento, sob ação exclusiva da gravidade local. No ponto mais alto de sua trajetória ele pára momentaneamente e seu movimento é, então, invertido. É correto dizer que, no referido instante, sua aceleração também é nula?

3.7 – Movimento com aceleração constante

31) Uma partícula em movimento retilíneo apresenta equação de movimento x = 6 – 5t + t2, em unidades SI. Determinar: a) a posição inicial, a velocidade inicial e a aceleração da partícula; b) o instante em que a partícula passa pela origem do eixo; c) a equação de velocidade; d) o instante em que há inversão no sentido de movimento; e) esboçar os gráficos x = f(t), v= f(t) e a = f(t).

32) Um elétron emitido num tubo de TV atinge a tela com velocidade 3x106 m/s, tendo percorrido uma distância de 50 cm entre o sistema emissor e a tela, a partir do repouso. Determinar a aceleração do elétron, supostamente constante.

33) O tempo de reação médio de um motorista, ou seja, o tempo entre a percepção de um sinal para parar, por exemplo, e o acionamento dos freios é da ordem de 0,8 s. Se um veículo trafega a 40 km/h e pode ser freado a 5 m/s2, qual será a distância percorrida pelo veículo entre a percepção do sinal vermelho pelo motorista e a parada do veículo?

34) Um projétil, ao ser disparado por um rifle, apresenta velocidade da ordem de 700 m/s ao sair do cano da arma. Supondo que o mesmo percorra o cano com aceleração aproximadamente constante, estimar o valor desta aceleração.

35) Dois veículos se movem em sentidos opostos em um trecho reto e estreito de uma estrada, um a 100 km/h e o outro a 120 km/h. Avistando um ao outro, no mesmo instante, os dois motoristas acionam os freios, impondo aos veículos acelerações de retardamento de 6 m/s2 e 8 m/s2, respectivamente. Nesse momento, qual a mínima distância entre eles para que não ocorra colisão?

3.8 - Queda livre

36) Uma bola de tênis é atirada para cima, de uma altura de 1,5 m em relação ao solo, com velocidade inicial 10 m/s. Aproximando o valor da gravidade local para 10 m/s2, determinar: a) a altura máxima atingida; b) o tempo de subida; c) a velocidade ao retornar ao local de lançamento; d) o instante em que a mesma toca o solo; e) a velocidade de impacto no solo.

37) Uma pulga pode atingir uma altura aproximada de 45,0 cm quando salta. Considerando g = 10 m/s2, determinar: a) a velocidade inicial do salto; b) o tempo de ascensão do salto.

38) Um garoto abandona uma pedra na borda de um poço e ouve o ruído do impacto com a água 4 s após ter abandonado o objeto. Considerando g = 10 m/s2 e 340 m/s a velocidade do som no ar, calcular a profundidade do poço.

39) Um garoto está a uma certa altura h acima do solo e, num determinado instante, lança duas bolas; uma para cima e outra para baixo, ambas com a mesma velocidade inicial v0 (módulo). Qual das bolas terá maior velocidade ao tocar o solo?

40) Um corpo é abandonado nas proximidades da Terra e cai sob ação da gravidade. Desprezando a resistência do ar sobre o movimento, demonstrar que as diferenças entre os deslocamentos em dois intervalos sucessivos e unitários são iguais, numericamente, à aceleração de queda.

3.9 – Movimento com aceleração variável

41) Uma esfera se move sobre uma superfície retilínea e obedece à equação de movimento x = 0,4 + 0,5t3, em unidades SI. Determine: a) a equação de velocidade; b) a equação de aceleração; c) a posição, a velocidade e a aceleração iniciais da esfera.

42) A velocidade de um carrinho de brinquedo é dada por v = 2t.(3t - t2), sendo x medido em centímetros e t medido em segundos. Sabendo-se que o carrinho se apresenta na origem dos espaços quando t = 0, determine: a) a equação de movimento (das posições) do carrinho; b) a equação de aceleração do carrinho; c) a velocidade do carrinho quando sua aceleração se anula.

43) A aceleração de um corpo em movimento é dada por a = 2,0t – 0,4t2 (SI). O corpo está inicialmente em repouso e parte da origem no instante t = 0. a) Determine as equações de velocidade e de movimento em função do tempo; b) Calcule a posição, a velocidade e a aceleração para t = 3,0 s.

44) Um oscilador massa-mola é constituído por um bloco de massa m preso a mola helicoidal de constante elástica k, e que está presa verticalmente a um suporte rígido. Uma vez deslocado da posição de equilíbrio e abandonado a seguir, o bloco passa a executar um movimento de vai e vem em torno de uma posição de equilíbrio, um MHS, segundo a equação de movimento x = 20.cos(t/2 + ), em unidades SI. Determine a posição do corpo, sua velocidade e aceleração para t = 4 s.

45) Uma partícula em movimento sobre o eixo x, apresenta a seguinte equação de movimento: x = v0/[(v0.t/C) + 1], na qual v0 representa a velocidade inicial da partícula e C uma constante numérica. Determinar as equações v = f(t) e a = f(t) para essa partícula.

Movimento Circular: Fundamentos Teóricos

Conceito de movimento circular uniforme

Vamos afirmar que: "Um carro estando com a velocidade escalar constante pode ter aceleração". O que você acha?

Esta afirmativa parece falsa, mas é verdadeira.

Esta situação acontece quando o carro está se movimentando em uma trajetória circular (fig. 5.1A).

Figura 5.1A - Carro em movimento circular.

Figura 5.1B - Vetores força centrípeta e aceleração centrípeta.

Neste caso o vetor velocidade varia de direção e sentido no decorrer do tempo, podendo o seu módulo permanecer constante ou não.

Quem provoca esta variação na direção do vetor velocidade?

Sabemos que para mudar qualquer característica do vetor velocidade é necessária uma força .

Esta força, denominada força centrípeta, atua na direção do raio da circunferência, buscando o centro, imprimindo ao carro uma aceleração na mesma direção e no mesmo sentido denominada aceleração centrípeta (fig. 5.1B).

No caso do carro, a força centrípeta é a força de atrito entre os pneus e a estrada. Se não existisse esta força, o carro sairia pela tangente em movimento retilíneo uniforme (posição 4 da fig. 5.1A).

Veja que esta aceleração é devida à variação à direção do vetor velocidade e não da variação do módulo do vetor velocidade.

Concluímos que a nossa afirmativa inicial é verdadeira, isto é, o carro pode estar com velocidade escalar constante e possuir uma aceleração (aceleração centrípeta), quando sua trajetória é circular.

Movimento circular uniforme: Quando a trajetória é circular e a velocidade é constante em módulo.

Da fig. 5.1A, o carro estando em movimento circular uniforme, temos que:

V1 = V2 = V3 = V4 (velocidades escalares iguais)

V1 V2 V3 V4 (velocidades vetoriais diferentes)

Características do vetor aceleração centrípeta

Notação: ac vetor aceleração centrípeta

Direção do vetor aceleração centrípeta: a direção do raio (perpendicular ao vetor V)

Sentido do vetor aceleração centrípeta: de fora para dentro da circunferência (buscando o centro)

Módulo do vetor aceleração centrípeta: ac = V2/R

Demonstração da expressão ac = V2/R

Figura 5.2 (A) - Movimento circular uniforme de uma partícula indo de uma posição A B. VA = VB.(B) - Determinação do vetor diferença V.(C) - Medida do arco S = V t.

Os triângulos POQ e ACB são semelhantes porque são isósceles, tendo os ângulos dos vértices iguais. Considerando a medida do arco Vt aproximadamente igual à medida do arco corda AB, obtemos:

(Vt) / V = R / V

Aproximadamente, temos:

V / t = V2 / R

Esta relação será mais exata quanto menor for t, porque o arco tende para a corda e vice-versa.

Considerando t 0, no limite obtemos:

ac = V2/R

módulo do vetor aceleração centrípeta

(5.1)

Observação: Quando a velocidade escalar varia no decorrer do tempo, o movimento circular não é mais uniforme e o movimento tem, além da aceleração centrípeta, uma aceleração tangencial.

Aplicação numérica 5.1

Vamos determinar o valor da aceleração centrípeta, sabendo que o carro faz a trajetória circular com uma velocidade escalar constante igual 20,0 m/s e o raio da trajetória é igual a 100 m.

Dados: V = 20,0 m/s e R = 100 m

De (5.1) temos que:

ac = V2/R

Substituindo os valores de V e R, obtemos:

ac = 20,02/100 = 400/100

ac = 4,0 m/s2

Conceito de velocidade angular

A posição de um ponto em uma trajetória circular pode ser determinada por um espaço linear (arco) ou por um espaço angular (ângulo).

Quando o carro vai da posição A para a posição B, ele percorre um arco S e, simultaneamente, "varre" um ângulo (fig. 5.3).

Figura 5.3 - ângulo descrito e arco percorrido em um intervalo de tempo (t), quando o carro vai da posição A para B.

Velocidade angular é o ângulo ( ) percorrido em um intervalo de tempo (t).

Notação: velocidade angular.

Expressão:

= ( ) / (t)

velocidade angular

(5.2)

onde (ângulo descrito) é medido em radianos.

Unidade da velocidade angular (Sistema Internacional) 1 rad/s

Relação entre a velocidade escalar e a velocidade angular

Você sabe que a medida de um ângulo pode ser em graus ou radianos.

Figura 5.4 - Medida de um ângulo em radianos.

Para medir um ângulo em radianos (rad) basta dividir o arco compreendido entre os lados do ângulo pela medida do raio (fig. 5.4), obtendo:

() = ( S) / R

(5.3)

Dividindo os dois membros de (5.3) por t, obtemos:

()/ t = ( S) / (R t)

(5.4)

Como = () / (t) e V = (S) / (t), substituindo em (5.4), obtemos:

= V/R

(5.5)

ou

V = .R

relação entre a velocidade escalar e a velocidade angular

(5.6)

Observação: para determinar a medida de 1 rad basta considerar a medida do arco compreendido entre os lados do ângulo igual à medida do raio (fig. 5.4), obtendo:

1 rad 57,3o

Aplicação numérica 5.2

Um carro com a velocidade escalar constante de 30,0 m/s faz uma trajetória circular de raio 100 m. Determinar a velocidade angular.

Dados: V = 30,0 m/s e R = 100 m

De (5.5) temos que:

= V/R = 30,0/100

= 0,3 rad / s

Relação entre aceleração centrípeta e velocidade angular

(Parte 1 de 2)

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