séries de potências

séries de potências

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Capıtulo 2 Series de Potencias

2.1. Introducao

Serie de potencias e uma serie infinita de termos variaveis. Assim, a teoria desenvolvida para series infinitas de termos constantes pode ser estendida para a analise de convergencia de series de potencias. As series de potencias podem ser usadas em varias aplicacoes como encontrar aproximacoes de numeros irracionais tais como √ 2, pi, e, etc., para encontrar valores aproximados de integrais que nao podem ser

integrados de forma analıtica tais como ∫ 1/2

Cos(√ x)dt, etc. e, principalmente, na resolucao de equacoes diferenciais que seria a aplicacao mais importante do ponto de vista da engenharia eletrica.

co + c1(x − a) + c2(x − a)2 ++ cn(x − a)n + ... (2.1)

que e representada de forma esquematica por ∞∑

Um caso especial acontece quando a = 0. Nesse caso temos uma serie de potencias em x da seguinte forma:

cnxn = co + c1x + c2x2 ++ cnxn + ... (2.2)

Neste caso analisamos apenas as series de potencias da forma (2.2) mas essa teoria pode ser usada para analisar (2.1) apenas fazendo a transformacao x = x − a. O topico de interesse e encontrar os valores de x para os quais a serie de potencias (2.2) converge. Assim, podemos considerar as series de potencias como a seguinte funcao:

n=o cnxn (2.3) que tem como domınio todos os valores de x para os quais (2.2) converge. Em geral, series de potencias do tipo (2.2) podem convergir apenas para x = 0, para valores de x de um intervalo especificado ou para todos os valores de x.

Exemplo 1: Encontrar os valores de x para os quais a serie de potencias ∞∑ n xn

3n e convergente.

Usamos o teste da razao e, portanto, temos o seguinte:

un = n xn

De acordo com o teste da razao, a serie anterior e convergente se L < 1. Assim, temos:

Adicionalmente, usamos o teste da razao para provar que a serie e divergente para L > 1, isto e, para |x| > 3. Entretanto, para L = 1 (que equivale a |x| = 3) o teste da razao nao apresenta prova conclusiva. Em outras palavras, para L = 1, o teste da razao nao pode ser usado para provar a convergencia de uma serie. Assim, precisamos provar a convergencia ou divergencia da serie para |x| = 3 usando outras estrategias.

n xn

n=o n

Nesse caso a serie e claramente divergente e pode ser verificado usando a propriedade:

que prova que a serie e divergente.

n xn

Nesse caso a serie tambem e divergente e pode ser verificado usando a propriedade:

que prova que a serie e divergente.

Portanto, a serie em analise converge apenas para o intervalo aberto (−3,3).

Exemplo 2: Encontrar os valores de x para os quais a serie de potencias ∞∑

Usamos o teste da razao e, portanto, temos o seguinte:

A relacao anterior mostra que L < 1 para todo valor de x e, portanto, a serie e convergente para todo valor de x tal que x ∈ (−∞,∞). Este problema mostra um tipo especial de serie que converge para todos os valores de x.

Exemplo 3: Encontrar os valores de x para os quais a serie de potencias ∞∑ n=o n! xn e convergente.

Usamos o teste da razao e, portanto, temos o seguinte:

Na relacao anterior, se x = 0 entao L = 0 < 1 e, portanto, a serie e convergente para x = 0. Para x 6= 0 entao L = ∞ e nesse caso a serie e divergente. Este problema mostra um tipo especial de serie que converge apenas para x = 0.

Oservacao: Para verificar o intervalo de convergencia de uma serie de potencias dos problemas deste capıtulo vamos usar o teste da razao ou o teste da raiz que permite encontrar o intervalo de convergencia mas, adicionalmente, nesse caso devemos usar outros teoremas do capıtulo de series infinitas com termos constantes para verificar a convergencia nos extremos do intervalo de convergencia como foi realizado no exemplo 1.

Teorema 1: Sobre convergencia de series de potencias:

n=o cnxn e convergente para x = x1 com x1 6= 0 entao ela e obsolutamente convergente para todos os valores de x para os quais |x| < x1. Teorema 2: Sobre divergencia de series de potencias:

n=o cnxn e divergente para x = x2 entao ela e divergente para todos os valores de

n=o cnxn uma serie de potencias. Nesse contexto, apenas uma e somente uma das seguintes afirmacoes e verdadeira:

1. A serie converge somente para x = 0. 2. A serie e absolutamente convergente para todos os valores de x.

3. Existe um numero R > 0 tal que a serie e absolutamente convergente para todos os valores de x para os quais |x| < R e, a serie e divergente para todos os valores de x para os quais |x| > R.

Observacoes: As seguintes observacoes sao importantes em relacao ao Teorema 3:

O Teorema 3 nao diz nada em relacao a convergencia em |x| = R.

O conjunto de valores de x para os quais a serie de potencias e convergente e chamado de intervalo de convergencia da serie de potencias.

Se uma serie de potencias e convergente para valores de |x| < R com R > 0 entao R e chamado de raio de convergencia.

O teste da razao e o teorema mais adequado para determinar o intervalo de convergencia. Entretanto, o teste da razao nao responde sobre a convergencia nas extremidades do intervalo de convergencia. Se uma serie de potencias e absolutamente convergente em uma extremidade entao e absolutamente convergente em ambas extremidades.

Uma serie de potencias define uma funcao que tem como domınio o intervalo de convergencia.

Existem series de potencias para os quais nao e simples determinar a convergencia ou divergencia nos extremos do intervalo de convergencia.

2.3. Derivacao de series de potencias

Sabemos que uma serie de potencias ∞∑ n=o cnxn define uma funcao cujo domınio e o intervalo de con- vergencia. Nesse contexto, um topico importante e analisar as caracterısticas de convergencia das series obtidas derivando uma serie de potencias com intervalo de convergencia conhecido.

Teorema 4: A derivada de uma serie de potencias tem o mesmo raio de convergencia:

n=o cnxn e uma serie de potencias com um raio de convergencia R > 0 entao a serie tambem tem R como raio de convergencia.

xn n2

Usamos o teste da razao para encontrar o raio de convergencia da serie original:

un = xn

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