PMR2360Apost Cap5Versao2004, Notas de estudo de Mecatrônica

Baixe PMR2360Apost Cap5Versao2004 e outras Notas de estudo em PDF para Mecatrônica, somente na Docsity! 5 O método do lugar das raízes - Exemplos 5.1 Introdução Neste capìtulo, apresentamos exemplos de projeto de controladores utilizando o método do lugar das raízes. 5.2 Projeto de controladores utilizando o lugar das raízes Antes de apresentarmos os exemplos da utilização do lugar das raízes para o projeto de controladores, vamos fazer uma breve revisão da análise de resposta transitória de sistemas de 2a. ordem. 5.2.1 Revisão: Resposta transitória de sistemas de 2a. ordem Suponha o seguinte sistema de 2a. ordem: G(s) = ω2n s(s + 2ζωn) . Um sistema de controle em malha fechada com G(s) (veja Figura 5.1) pode ser descrito como: Y (s) R(s) = G(s) 1 + G(s) = ω2n s2 + 2ζω2ns + ω2n . 75 Notas de Aula PMR2360 Newton Maruyama Figura 5.1: Sistema de 2a. ordem em malha fechada. Os pólos em malha fechada (veja Figura 5.2) são dados por: s = −σ ± jωd, onde σ é a atenuação do sistema e ωd é a freqüência natural amortecida. As seguintes relações podem ser definidas: ωd = ωn √ 1− ζ2, σ = ζωn, cosβ = σ ωn = ζ. Figura 5.2: Pólos complexos e grandezas associadas. A resposta transitória deste sistema assume diferentes comportamentos de acordo com o valor do coeficiente de amortecimento ζ (veja Figura 5.3): 13 de Setembro de 2004 - 10:11 AM 76 DRAFT V 4.0 Notas de Aula PMR2360 Newton Maruyama Tempo de acomodação ts O tempo de acomodação ts é definido como o instante de tempo tal que o sinal de erro passa a ser menor que um determinado valor percentual, em geral, definido como 2% ou 5%. O tempo de acomodação ts é em geral aproximado através das seguintes equações: • Critério de 2%: ts = 4 ζωn . (5.1) • Critério de 5%: ts = 3 ζωn . Estas aproximações no entanto podem fornecer erros significativos como pode ser ob- servado na Figura 5.5 que ilustra a variação de ts em função de ζ. Figura 5.5: Tempo de acomodação ts em função de ζ. 13 de Setembro de 2004 - 10:11 AM 79 DRAFT V 4.0 Notas de Aula PMR2360 Newton Maruyama Podemos observar que o tempo de acomodação ts varia de forma discontínua. Para o critério de 2%, por exemplo, ts varia aproximadamente da seguinte forma: • 3T < ts < 4T para 0.3 < ζ < 0.7, • 3T < ts < 6T para 0.7 < ζ < 1.0. Os lugares geométricos de freqüência natural não amortecida ωn constante descrevem círculos no plano s e os lugares geométricos para coeficiente de amortecimento constante ζ são retas no plano s como pode ser observado na Figura 5.6 Figura 5.6: (a) Lugar geométrico para ωn = cte - (b) Lugar geométrico para ζ = cte - (c) Lugar geométrico para σ = cte - (d) Lugar geométrico para ωd = cte. ¥ Exemplo 5.1 Deseja-se projetar um controlador H(s) para o sistema ilustrado na Figura 5.7 onde a planta é dada por: G(s) = 0.5 s(s + 3) . 13 de Setembro de 2004 - 10:11 AM 80 DRAFT V 4.0 Notas de Aula PMR2360 Newton Maruyama E(s)R(s) Y(s)H(s) Controlador G(s) Planta − + referencia saida U(s) Figura 5.7: Sistema de controle em malha fechada. O controlador H(s) deve ser tal que garanta as seguintes especificações: 1. Erro estacionário ess = 0 para entrada a degrau; 2. Tempo de assentamento ts < 4seg (critério de 2%); 3. Máximo sobresinal Mp < 5%. O primeiro passo para o projeto é a escolha da estrutura do controlador (P, PI, PD, PID, etc.). Sabemos que para satisfazer a condição do erro estacionário ess basta utilizar um controlador proporcional H(s) = Kp já que o sistema G(s) já possui um integrador 1/s. Podemos calcular o erro estacionário através da seguinte forma: ess = lim t→∞ e(t) = lims→0 sE(s), = lim s 1 1 + G(s)H(s) R(s), = lim s s(s + 3) s(s + 3) + 0.5Kp 1 s , = lim s→0 s(s + 3) s(s + 3) + 0.5Kp , = 0. Concluímos então que o erro estacionário ess é nulo para uma entrada degrau caso seja adotado um controlador proporcional. Agora devemos escolher Kp de tal forma que satisfaça as condições do tempo de as- sentamento ts e do máximo sobresinal Mp. Para um controlador H(s) = Kp, a função de transferência do sistema de controle em malha fechada pode ser escrito como: Y (s) R(s) = 0.5Kp s2 + 3s + 0.5Kp , o que é equivalente ao sistema de 2a. ordem padrão: Y (s) R(s) = ω2n s2 + 2ζωns + ω2n . 13 de Setembro de 2004 - 10:11 AM 81 DRAFT V 4.0 Notas de Aula PMR2360 Newton Maruyama A Figura 5.9 ilustra o lugar geométrico e o lugar das raízes do sistema em função de Kp. Root Locus Real Axis Im ag A xi s −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0.985 0.94 0.86 0.76 0.64 0.5 0.34 0.16 0.985 0.94 0.86 0.76 0.64 0.5 0.34 0.16 ζ=0.69 ζ=0.69 ζ>0.69 ζ>0.69 K p =4.5 β<46.37o σ>1 σ<1 Figura 5.9: Lugar das raízes e lugar geométrico para ts e Mp. Através do grafico ilustrado na Figura 5.9 podemos escolher um pólo do sistema e consequentemente calcular o valor de Kp associado. Lembre-se que podemos escolher qualquer pólo, desde que o pólo associado também pertença a região que permitida. Desta forma, o trecho do lugar das raízes [−3, 2] não pode ser escolhido já que a escolha do pólo neste trecho implica em escolher o outro pólo associado no trecho [−1, 0] que não pertence à região permitida. Por exemplo, podemos escolher o pólo duplo s = −1.5. Utilizando a condição de módulo, obtemos: |G(s)H(s)| = 1 ⇒∣∣∣∣ Kp0.5 s(s + 3) ∣∣∣∣ = 1 ⇒ Kp = |s||s + 3| 0.5 ∣∣∣∣ s=−1.5 ⇒ Kp = | − 1.5|| − 1.5 + 3| 0.5 ⇒ Kp = 4.5 13 de Setembro de 2004 - 10:11 AM 84 DRAFT V 4.0 Notas de Aula PMR2360 Newton Maruyama Com esta escolha de Kp = 4.5 o sistema de controle em malha fechada pode ser escrito como: Y (s) R(s) = ω2n s2 + 2ζωns + ω2n = 2.25 s2 + 3s + 2.25 . onde ζ = 1 e ωn = 1.5. A resposta a degrau do sistema em malha fechada é ilustrado na Figura 5.10. Podemos observar que o tempo de assentamento ts = 3.87seg e o máximo sobresinal Mp = 0%. Se calcularmos o tempo de assentamento ts pela Equação 5.1 obtemos: ts = 4 ζωn = 2.67seg. A Equação 5.1 fornece portanto valores muito diferentes para ζ = 1.0. Step Response Time (sec) A m pl itu de 0 1 2 3 4 5 6 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 System: s3 Settling Time: 3.89 M p =0% Figura 5.10: Resposta a degrau do sistema ¥ Exemplo 5.2 Deseja-se projetar um controlador H(s) para o sistema ilustrado na Figura 5.7 onde a planta é dada por: G(s) = 0.5 (s + 3) . O controlador H(s) deve ser tal que garanta as seguintes especificações: 13 de Setembro de 2004 - 10:11 AM 85 DRAFT V 4.0 Notas de Aula PMR2360 Newton Maruyama 1. Erro estacionário ess = 0 para entrada a degrau; 2. Tempo de assentamento ts < 4seg (critério de 2%); 3. Máximo sobresinal Mp < 5%. O primeiro passo para o projeto é a escolha da estrutura do controlador (P, PI, PD, PID, etc.). Sabemos que para satisfazer a condição do erro estacionário ess é necessário a inserção de um integrador 1/s em malha aberta já que o sistema G(s) é um sistema de 1a. ordem. Desta forma, vamos escolher um controlador proporcional-integral PI: H(s) = Kp ( 1 + 1 Tis ) . Podemos calcular o erro estacionário através da seguinte forma: ess = lim t→∞ e(t) = lims→0 sE(s), = lim s 1 1 + G(s)H(s) R(s), = lim s→0 Tis(s + 3) Tis(s + 3) + 0.5Kp(Tis + 1) , = lim s→0 0 0 + 0.5Kp = 0. Concluímos então que o erro estacionário ess é nulo para uma entrada degrau caso seja adotado um controlador proporcional-integral. Para este caso, a função de transferência em malha aberta é dada por: G(s)H(s) = Kp 0.5(Tis + 1) Tis(s + 3) , Os pólos e o zero em malha aberta são dados por: • pólos em malha aberta: s = 0, s = −3; • zero em malha aberta: s = −1/Ti. A função de transferência do sistema de controle em malha fechada é dada por: Y (s) R(s) = G(s)H(s) 1 + G(s)H(s) = 0.5Kp(Tis + 1) Tis(s + 3) + 0.5Kp(Tis + 1) = 0.5KpTi(s + 1Ti ) s2 + (3 + 0.5Kp)s + 0.5Kp Ti . 13 de Setembro de 2004 - 10:11 AM 86 DRAFT V 4.0 Notas de Aula PMR2360 Newton Maruyama Step Response Time (sec) A m pl itu de 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 System: s10 Settling Time: 3.48 M p =0% Figura 5.13: Resposta a degrau do sistema padrão. 2. Vamos escolher agora Ti = 0.2, logo 1/Ti = 5. Desta forma, o zero s = −1/Ti está à esquerda dos pólos em malha aberta s = 0, s = −3. A malha aberta para esta escolha de Ti é dada por: G(s)H(s) = 0.1s + 0.5 0.2s2 + 0.6s O lugar das raízes em conjunto com o lugar geométrico para ts < 4seg e Mp < 5% está ilustrado na Figura 5.14. Note que agora, o lugar das raízes descreve um círculo aonde estão contidos os pólos conjugados complexos. Podemos por exemplo, escolher os pólos s = −1.94± j0.79 que correspondem ao ganho Kp = 1.75. A função de transferência em malha fechada resultante pode ser escrita como: Y (s) R(s) = 0.175s + 0.875 s2 + 3.875s + 4.375 . A resposta a degrau para este sistema é ilustrada na Figura 5.15. Note que o tempo de acomodação ts = 2.13seg e o máximo sobresinal Mp = 0%. 13 de Setembro de 2004 - 10:11 AM 89 DRAFT V 4.0 Notas de Aula PMR2360 Newton Maruyama Root Locus Real Axis Im ag A xi s −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 −3 −2 −1 0 1 2 3 10 8 6 4 2 0.994 0.975 0.935 0.88 0.8 0.66 0.48 0.25 0.994 0.975 0.935 0.88 0.8 0.66 0.48 0.25 X XO + + β<46.37o ζ>0.69 ζ>0.69 s=−1.94+0.79 K p =1.75 s=−1.94+0.79 K p =1.75 σ>1 σ<1 Figura 5.14: Lugar das raízes e o lugar geométrico para ts < 4seg e Mp < 5%. Step Response Time (sec) A m pl itu de 0 1 2 3 4 5 6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 System: s3 Settling Time: 2.13 Figura 5.15: Resposta a degrau do sistema em malha fechada. 13 de Setembro de 2004 - 10:11 AM 90 DRAFT V 4.0 Notas de Aula PMR2360 Newton Maruyama Para efeito de comparação, vamos analisar o comportamento do sistema de 2a. ordem padrão equivalente. O sistema de 2a. ordem padrão equivalente é dado por: Y (s) R(s) = ω2n s2 + 2ζωns + ω2n = 4.375 s2 + 3.875s + 4.375 . Para este sistema, o coeficiente de amortecimento ζ = 0.93 e a freqüência natural não amortecida ωn = 2.1. Utilizando a fórmula para o tempo de acomodação ts temos: ts = 4 ζωn = 4 0.93× 2.1 = 2.05seg. A resposta a degrau para este sistema está ilustrada na Figura 5.16. Note que o valor do tempo de assentamento ts é igual a 2.4seg e o máximo sobresinal Mp = 0.05%. Neste caso, a equação para o calculo do tempo de assentamento ts também não fornece um valor preciso. Entretanto, o sistema projetado e o sistema padrão possuem tempo de assentamento ts relativamente próximos. Step Response Time (sec) A m pl itu de 0 1 2 3 4 5 6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 System: s10 Settling Time: 2.4 Figura 5.16: Resposta a degrau do sistema padrão. ¥ Exemplo 5.3 Deseja-se projetar um controlador H(s) do tipo PID para o sistema ilustrado na Figura 5.7 onde a planta é dada por: G(s) = 1 (s + 2)(s + 3) . O controlador H(s) deve ser tal que garanta as seguintes especificações: 13 de Setembro de 2004 - 10:11 AM 91 DRAFT V 4.0 Notas de Aula PMR2360 Newton Maruyama Step Response Time (sec) A m pl itu de 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 System: s4 Settling Time: 3.28 Figura 5.18: Resposta a degrau do sistema em malha fechada. Utilizando a equação para o tempo de assentamento ts obtemos: ts = 4 ζωn = 4 0.9× 1.32 = 3.36seg. O sistema padrão similar corresponde a: Y (s) R(s) = ω2n s2 + 2ζωns + ω2n = 1.74 s2 + 2.38s + 1.74 . A resposta a degrau deste sistema está ilustrado na Figura 5.19. O tempo de assen- tamento obtido ts = 3.58 e o Máximo sobresinal Mp = 0.1%. 13 de Setembro de 2004 - 10:11 AM 94 DRAFT V 4.0 Notas de Aula PMR2360 Newton Maruyama Step Response Time (sec) A m pl itu de 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 System: s5 Settling Time: 3.58 Figura 5.19: Resposta a degrau do sistema padrão em malha fechada. 2. Escolha 2 Vamos escolher agora um outro par de pólos complexos conjugados s = −3.1 ± j1.29 que corresponde a um coeficiente de amortecimento ζ = 0.92 e uma freqüência natural ωn = 3.36rad/seg. O ganho proporcional associado vale Kp = 10.4, e o terceiro pólo é s = −9.2. A função de transferência em malha fechada pode ser escrita como Y (s) R(s) = 10.4s2 + 62.4s + 104 s3 + 15.4s2 + 68.4 + 104 . A resposta a degrau do sistema em malha fechada está ilustrada na Figura 5.20. Note que o tempo de assentamento ts corresponde a 0.83seg e o Máximo sobresinal Mp = 4.39%. 13 de Setembro de 2004 - 10:11 AM 95 DRAFT V 4.0 Notas de Aula PMR2360 Newton Maruyama Step Response Time (sec) A m pl itu de 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 System: s7 Settling Time: 0.833 M p =4.39% Figura 5.20: Resposta a degrau do sistema em malha fechada. Utilizando a equação para o tempo de assentamento ts obtemos: ts = 4 ζωn = 4 0.92× 3.36 = 3.1seg. O sistema padrão similar corresponde a: Y (s) R(s) = ω2n s2 + 2ζωns + ω2n = 11.29 s2 + 6.2s + 11.29 . A resposta a degrau deste sistema está ilustrado na Figura 5.21. O tempo de assen- tamento obtido ts = 2.44seg e o Máximo sobresinal Mp = 0.05%. 13 de Setembro de 2004 - 10:11 AM 96 DRAFT V 4.0