Lista de Transformação Linear , Exercícios de Geometria Analítica e Álgebra Linear

Baixe Lista de Transformação Linear e outras Exercícios em PDF para Geometria Analítica e Álgebra Linear, somente na Docsity! MAT 0222 Álgebra Linear II Lista 8 1. Seja A ∈ Mm×n(K). Defina posto linha (coluna) de A como sendo a dimensão do subespaço de Kn (Km) gerado pelas linhas (colunas) de A. (a) Seja T : Kn → Km a transformação linear cuja matriz em relação às bases canônicas de Kn e Km é A. Prove que KerT = W⊥, onde W é o subespaço de Kn gerado pelas linhas de A. (b) Prove que o posto linha de A é igual ao posto coluna de A. 2. Sejam V e W espaços vetoriais de mesma dimensão (finita) sobre K e com produtos internos < , >V e < , >W respectivamente. Seja T : V → Wuma transformação linear. Prove que as seguintes afirmações são equivalentes: (a)< Tu, Tv >W =< u, v >V para todo u, v ∈ V. (b)T leva toda base ortonormal de V em uma base ortonormal de W. (c)T leva uma base ortonormal de V em uma base ortonormal de W. (d)‖Tv‖ = ‖v‖ para todo v ∈ V. Tal T é um isomorfismo de espaços com produto interno. 3. Seja V um espaço vetorial sobre K com produto interno < , > e seja T um operador linear invert́ıvel em V . Prove que se < Tu, Tv >=< u, v > para todo u, v ∈ V , então T admite um adjunto e T ∗ = T−1. Mostre que a rećıproca também é verdadeira, isto é , se T é um operador linear em V e se T admite um adjunto tal que T ∗T = TT ∗ = I então T é um isomorfismo de espaços com produto interno (isto é, < Tu, Tv >=< u, v > para todo u, v ∈ V ). Tal T é chamado operador unitário se K = C e ortogonal se K = R. 4. Seja T o operador linear em C2 (com o produto interno usual) definido por: T (1, 0) = (1+i, 2) e T (0, 1) = (i, i). Ache a matriz de T ∗ em relação á base canônica de C2. Vale que TT ∗ = T ∗T? 5. Seja V um espaço vetorial sobre K, de dimensão finita e com produto interno < , > e seja T um operador linear em V . Mostre que ImT ∗ = (KerT )⊥. 6. Seja V um espaço vetorial sobre K, de dimensão finita e com produto interno < , > e seja T um operador linear em V . Prove que se T é invert́ıvel, então T ∗ é invert́ıvel e (T ∗)−1 = (T−1)∗. 7. Seja V = P3(R) com o produto interno < p, q >= ∫ 1 0 p(x)q(x)dx. Seja D o operador derivação. Ache D∗.