Baixe Introdução à mecânica analítica e outras Notas de aula em PDF para Mecânica, somente na Docsity! ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica PME 2200 - Mecânica Geral B Introdução à Mecânica Analítica Notas de Aula Prof. Dr. Clóvis de Arruda Martins 2006 i ÍNDICE 1. INTRODUÇÃO 1 2. GRAUS DE LIBERDADE 1 3. COORDENADAS GENERALIZADAS 2 4. VÍNCULOS HOLÔNOMOS 3 5. DESLOCAMENTOS VIRTUAIS 4 6. TRABALHO VIRTUAL 5 7. FORÇAS VINCULARES 5 8. O PRINCÍPIO DO TRABALHO VIRTUAL 8 9. O PRINCÍPIO DE D’ALEMBERT 11 10. FORÇAS GENERALIZADAS 11 11. EQUAÇÕES DE LAGRANGE 14 12. FUNÇÃO DE DISSIPAÇÃO DE RAYLEIGH 27 13. PEQUENAS OSCILAÇÕES 31 14. BIBLIOGRAFIA 36 3 ),,,,( ),,,,( ),,,,( 21 2122 2111 tqqqfx tqqqfx tqqqfx nkk n n L L L L L L = = = . (1) Associado a cada conjunto de coordenadas pode existir um conjunto de equações de vínculo. Se essas equações são independentes, o seu número é igual à diferença entre o número de coordenadas usadas para descrever o sistema e o seu número de graus de liberdade. Assim, se há l equações de vínculo relacionando as coordenadas ordinárias xj e m equações de vínculo relacionando as coordenadas generalizadas qj, então, como o número de graus de liberdade é uma característica do sistema, mnlk −=− (2) 4. VÍNCULOS HOLÔNOMOS Considere um sistema cuja configuração é descrita por n coordenadas generalizadas q1, q2, ... , qn e suponha que existem m equações vinculares na forma ),,2,1(0),,,,( 21 mjtqqq nj KK ==φ . (3) Vínculos deste tipo são conhecidos como vínculos holônomos. Como este sistema possui (n-m) graus de liberdade, existem apenas (n-m) coordenadas independentes. As relações (3) podem ser usadas para expressar m das coordenadas como função das outras (n-m) e, assim, eliminá-las do conjunto de coordenadas generalizadas, resultando, dessa forma, (n- m) coordenadas generalizadas independentes, que podem ser alteradas arbitrariamente sem violar as condições de vínculo1. Como exemplo de vínculos holônomos, considere o pêndulo duplo da figura 1. As hastes de comprimentos l1 e l2 são consideradas rígidas e sem massa. O sistema é articulado em m1 e em O, de maneira que o movimento é confinado a um plano vertical. Se forem escolhidas as coordenadas (x1,y1) e (x2,y2) para representar, respectivamente, as posições das massas m1 e m2, então as equações de vínculo têm a forma 2 2 2 12 2 12 2 1 2 1 2 1 )()( lyyxx lyx =−+− =+ , 1 Este procedimento nem sempre é possível ou desejável. Nesse caso pode ser usado o método dos Multiplicadores de Lagrange, que não será objeto deste curso. 4 que expressa o fato de que os comprimentos das hastes são constantes. Note que esses particulares vínculos holônomos não dependem explicitamente do tempo x y m1 m2 l2 θ1 θ2 1(x ,y )1 (x ,y )2 2 l1 O Figura 1 - Um pêndulo duplo Neste exemplo do pêndulo duplo, foram usadas quatro coordenadas para representar a configuração do sistema que tem apenas dois graus de liberdade. Mas como os vínculos são holônomos em sua natureza, é possível achar um conjunto de coordenadas generalizadas independentes tais que sejam de mesmo número que os graus de liberdade. Por exemplo, os ângulos θ1 e θ2, que representam os ângulos que as hastes formam com a vertical, poderiam ter sido escolhidos como coordenadas generalizadas. Outras escolhas poderiam ter sido feitas, como definir θ2 como o ângulo que a haste l2 forma com a haste l1. Os vínculos não-holônomos não podem ser expressos por expressões com a forma (3), pois são expressos por relações de diferenciais das coordenadas e do tempo que não podem ser integradas. Vínculos deste tipo não serão estudados no presente curso. 5. DESLOCAMENTOS VIRTUAIS Um deslocamento virtual de um sistema é uma mudança na sua configuração que resulta de uma variação arbitrária das suas coordenadas, consistente com os seus vínculos, em um dado instante t. Um deslocamento virtual se processa de maneira instantânea, mantendo as forças aplicadas e as condições de vínculo constantes. Para representar um deslocamento virtual usa-se uma notação devida a Lagrange. De acordo com esta notação, um deslocamento virtual é representado pelo símbolo δ colocado 5 à frente da coordenada correspondente. Por exemplo, para um sistema de N partículas, cuja configuração é expressa pelas coordenadas cartesianas x1, x2, ... , x3N, um conjunto de deslocamentos virtuais será indicado por δ x1, δ x2, ... , δ x3N. 6. TRABALHO VIRTUAL Considere um sistema de N partículas, cuja configuração é especificada em termos das coordenadas cartesianas x1, x2, ... , x3N. Suponha que as forças F1, F2, ... , F3N estão aplicadas na direção crescente da coordenada correspondente. Imagine, agora, que, em um dado instante, são aplicados ao sistema os deslocamentos virtuais δ x1, δ x2, ... , δ x3N. O trabalho realizado durante os deslocamentos virtuais pelas forças aplicadas é conhecido como trabalho virtual é e dado por ∑ = = N j jj xFW 3 1 δδ . (4) Se Fi é a força aplicada à partícula i cujo vetor de posição é ri, o trabalho virtual das forças aplicadas pode ser escrito, também, na forma: ∑ = ⋅= N i iiW 1 rF δδ . (5) 7. FORÇAS VINCULARES Se um sistema está sujeito a vínculos, forças vinculares devem ser aplicadas às suas partículas para garantir que as condições de vínculo sejam respeitadas. Para uma ampla classe de problemas, o trabalho virtual realizado pelas forças vinculares é nulo. Considere, por exemplo, duas partículas conectadas por uma haste rígida sem massa, como está esquematizado na figura 2. Pelo princípio da ação e reação, as forças transmitidas pela haste às partículas devem ser iguais, opostas e colineares. Se R1 é a força vincular em m1 e R2 é a força vincular em m2, então rR eRR 221 −=−= , (6) onde er é o vetor unitário direcionado de m1 para m2. Na aplicação dos deslocamentos virtuais δ r1 e δ r2, o trabalho virtual realizado pelas forças vinculares, na forma da equação (5) é 2211 rRrR δδδ ⋅+⋅=W . (7) Mas as componentes do deslocamento na direção da haste devem ser iguais, para que ela não se deforme, resultando na condição de vínculo: 8 8. O PRINCÍPIO DO TRABALHO VIRTUAL Um sistema está em equilíbrio estático em relação a um referencial inercial se todas as suas partículas estão em repouso em relação a esse referencial e se a soma vetorial de todas as forças que atuam sobre cada uma das partículas é nula. A força total que atua sobre uma partícula mi pode ser separada em uma força vincular Ri e uma força aplicada Fi. Se o sistema de N partículas está em equilíbrio, então para cada partícula: 0RF =+ ii . (9) Portanto, o trabalho virtual de todas as forças, que resulta de um deslocamento virtual δ ri é 0)( 111 =⋅+⋅=⋅+ ∑∑∑ === N i ii N i ii N i iii rRrFrRF δδδ . (10) Se as forças vinculares não realizam trabalho, conforme foi discutido no item anterior, então 0 1 =⋅∑ = N i ii rR δ (11) Das equações (10) e (11), conclui-se que 0 1 =⋅= ∑ = N i iiW rF δδ , (12) ou seja, que se um sistema de partículas cujas forças vinculares não realizam trabalho está em equilíbrio, então o trabalho virtual das forças aplicadas é nulo, para quaisquer deslocamentos virtuais. Considere, agora, um sistema de partículas com vínculos que não realizam trabalho que está inicialmente em repouso, porém não está em equilíbrio. Então uma ou mais de suas partículas possui uma força não nula aplicada sobre ela e, de acordo com a segunda lei de Newton, tende a se mover na direção dessa força. Como qualquer movimento deve ser compatível com os vínculos sempre se pode achar um deslocamento virtual na direção da força em cada ponto. Nesse caso, o trabalho virtual é positivo, ou seja, 0 11 >⋅+⋅ ∑∑ == N i ii N i ii rRrF δδ . (13) Mas, mais uma vez, as forças vinculares não realizam trabalho e a equação (11) se aplica. Então, para esse sistema, o trabalho virtual realizado pelas forças aplicadas nesses deslocamentos virtuais é positivo, isto é, 0 1 >⋅= ∑ = N i iiW rF δδ . (14) 9 Em outras palavras, se o dado sistema não está em equilíbrio, sempre será possível achar um conjunto de deslocamentos virtuais, para os quais o trabalho virtual das forças aplicadas é positivo. Este resultado pode ser sintetizado no Princípio do Trabalho Virtual: A condição necessária e suficiente para o equilíbrio estático de um sistema inicialmente em repouso cujas forças vinculares não realizam trabalho é que seja nulo o trabalho virtual realizado pelas forças aplicadas durante deslocamentos virtuais arbitrários. O Princípio do Trabalho Virtual é de importância fundamental no estudo da estática e, se é utilizado o Princípio de d’Alembert, pode ser estendido para sistemas dinâmicos. Fornecendo um critério relativamente simples para o equilíbrio de uma classe grande e importante de sistemas e evitando a necessidade de calcular forças vinculares em muitos casos, ele simplifica a análise de uma variedade ampla de problemas em Mecânica. Exemplo Duas massas iguais são conectadas por uma barra rígida sem massa, conforme o esquema da figura 5. (a) Considerando que não há atrito em nenhum dos contatos, calcule a força F2 necessária para manter o equilíbrio estático do sistema. (b) Para o caso em que F2=0, qual é o mínimo coeficiente de atrito μ que deve haver no contato entre m2 e o solo, para não haver escorregamento? Figura 5 - Um sistema que se move no plano Solução (a) Sendo x1 e x2 os deslocamentos das massas medidos a partir da configuração inicial do sistema, como o comprimento da barra não se altera, eles estão ligados pela condição de vínculo: 10 22 2 2 1 2)()( axaxa =++− , cuja forma diferencial é 0)()( 2211 =++−− xdxaxdxa e, portanto, na configuração inicial 21 xdxd = . (15) As forças aplicadas ao sistema são a força F2, os pesos e as forças normais nos contatos. O peso de m2 atua em uma direção perpendicular ao deslocamento virtual δ x2 e, portanto, não realiza trabalho em um deslocamento virtual. As forças normais são perpendiculares aos deslocamentos virtuais correspondentes e, portanto, também não realizam trabalho. A aplicação do princípio do trabalho virtual resulta na condição para que o sistema esteja em equilíbrio 0221 =+ xFxmg δδ . Mas como todo deslocamento virtual deve ser consistente com a equação de vínculo (15), então 21 xx δδ = (16) e, portanto, mgF −=2 . (b) Para calcular a força de atrito no contato de m2 com o solo é necessário calcular, em primeiro lugar, a força normal N2, que é obtida diretamente do equilíbrio do sistema na direção vertical: mgN 22 = . Então, usando a lei de Coulomb, a força de atrito na iminência do escorregamento será mgN 22 μμ = . Aplicando, novamente, o princípio do trabalho virtual, considerando a força de atrito como uma força aplicada, resulta a condição para equilíbrio estático do sistema: 02 21 =− xmgxmg δμδ . Mais uma vez a condição de vínculo (16) deve ser satisfeita e, portanto, o mínimo coeficiente de atrito, correspondente à situação em que o escorregamento é iminente é 2 1 =μ . 13 3213 312 3211 2 1 4 3 2 1 4 3 qqqx qqx qqqx +−= −= ++= . (27) FFF 321 321 xxx Figura 6 - Coordenadas e forças associadas aos movimentos planos transversais de uma corda elástica carregada Note que os coeficientes em (27) podem ser escolhidos de forma arbitrária, garantindo apenas que os qi sejam independentes. As forças generalizadas são calculadas diretamente aplicando as relações de transformação (27) na definição (26): 3213 312 3211 2 1 2 1 4 3 4 3 FFFQ FFQ FFFQ +−= −= ++= (28) O significado geométrico de cada coordenada generalizada pode ser observado fazendo com que ela varie separadamente das outras. Por exemplo, se apenas q1 é liberada para variar, verifica-se a partir da equação (27) que as coordenadas ordinárias assumem valores de acordo com a relação 4 3:1: 4 3:: 321 =xxx . Um procedimento similar pode ser usado para obter as relações correspondentes a q2 e q3. Então cada coordenada generalizada pode ser associada a uma forma de deflexão particular como pode ser visto na figura 7 para este exemplo. A superposição dessas formas de deflexão multiplicadas pelos valores das coordenadas generalizadas correspondentes torna possível que qualquer configuração possa ser descrita. Coordenadas generalizadas desse tipo encontram uma aplicação ampla no estudo dos problemas de vibrações lineares de sistemas com múltiplos graus de liberdade. O conceito de forças generalizadas pode ser usado para expressar as condições requeridas para o equilíbrio estático. Para verificar isto, note da equação (25) que, se δ W=0 para um 14 deslocamento virtual arbitrário de qi independentes, então todas as forças generalizadas devem ser nulas. Portanto, pode-se usar o Princípio do Trabalho Virtual para mostrar que a condição necessária e suficiente para o equilíbrio de um sistema inicialmente em repouso é que todas as forças generalizadas correspondentes às coordenadas generalizadas sejam nulas. Forças vinculares não entram diretamente neste caso porque foi assumido que os qi são independentes e, portanto, não vinculados. 3 q =11 2q =q =0 x =1/23 x =-12 x =1/21 12 3 q =1 q =q =0 x =-13 x =0x =11 2 321 q =1 q =q =0 1x =3/4 2x =1 3x =3/4 Figura 7 - Formas de deflexão correspondentes às coordenadas generalizadas 11. EQUAÇÕES DE LAGRANGE Considere um sistema com N partículas cujas posições são especificadas pelas coordenadas cartesianas x1, x2, ... , x3N, onde (x1, x2, x3) são as coordenadas da primeira partícula, (x4, x5, x6) as da segunda e assim por diante. A energia cinética total desse sistema é ∑ = = N j jj xmT 3 1 2 2 1 & . (29) 15 Considere, agora, que a configuração desse mesmo sistema seja representada por um conjunto de n coordenadas generalizadas independentes. As coordenadas ordinárias e as coordenadas generalizadas estão relacionadas pelas equações de transformação (1), cuja derivação em função do tempo permite concluir que t x q q x x j n i i i j j ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∑ =1 && . (30) Cada conjunto de coordenadas permite o mesmo número de graus de liberdade, que é uma característica do sistema de partículas, embora as xj tenham vínculos a elas associados. A expressão (30) permite verificar que as velocidades ordinárias jx& são, no caso geral, funções das coordenadas generalizadas qi, das velocidades generalizadas iq& , e do tempo, isto é, ),,,,,( 11 tqqqqgx nnjj &K&K& = . (31) Substituindo a equações (30) na expressão da energia cinética (29), verifica-se que ela pode ser colocada na forma 23 1 12 1 ∑ ∑ = = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = N j j n i i i j j t x q q x mT & (32) onde as derivadas parciais ij qx ∂∂ / e tx j ∂∂ / são funções das coordenadas generalizadas qi e do tempo. Verifica-se, então, que a energia cinética é uma função das coordenadas generalizadas qi, das velocidades generalizadas iq& e do tempo. A quantidade de movimento generalizada pi associada à coordenada generalizada qi é definida pela equação i i q Tp &∂ ∂ = . (33) Note que pi é uma quantidade escalar. Para o caso de sistema de coordenadas relativamente simples, pi é justamente a componente do vetor quantidade de movimento na direção da coordenada qi. Como exemplo, considere uma partícula cuja posição é expressa por coordenadas cartesianas. Sua energia cinética é )( 2 1 222 zyxmT &&& ++= . A quantidade de movimento associada à coordenada x é xm x Tpx && = ∂ ∂ = que é a componente da quantidade de movimento na direção do eixo x. 18 ∑ = ∂ ∂ = N j i j ji q x FQ 3 1 . (44) e de uma maneira similar, o termo ∑ = ∂ ∂N j i j j q x f 3 1 é uma força generalizada que resulta das forças vinculares. O trabalho realizado pelas forças vinculares fj em um deslocamento virtual arbitrário é ∑∑ = = ∂ ∂ = n i N j i i j jc qq x fW 1 3 1 δδ . (45) De acordo com a equação (11) este trabalho deve ser nulo para qualquer conjunto de δ q. Como os δ q são independentes, então os coeficientes de cada δ qi na equação (45) devem ser nulos. Portanto, ∑ = = ∂ ∂N j i i j j qq x f 3 1 0δ . (46) As equações (44) e (46) podem ser usadas para simplificar a equação (43) na forma i i i q TQ td pd ∂ ∂ += (47) ou, usando a equação (33) ),,2,1( niQ q T q T td d i ii K & == ∂ ∂ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ . (48) Estas n equações são conhecidas como Equações de Lagrange e aparecem aqui em uma das suas formas principais. O significado físico das Equações de Lagrange pode ser mais bem visto na equação (47) que mostra que a taxa de variação em relação ao tempo da quantidade de movimento generalizada pi é igual à força generalizada Qi devida às forças aplicadas mais o termo iqT ∂∂ / que é uma força de inércia generalizada causada pelo movimento nas outras coordenadas generalizadas. Para verificar este último ponto mais claramente, considere novamente o exemplo de uma partícula cuja energia cinética é expressa em termos de coordenadas esféricas. Verifica-se que 222 sen φθθ && mrmr r T += ∂ ∂ . 19 O primeiro termo à direita da igualdade é a força centrífuga causada pelo movimento em θ, enquanto o segundo termo é a componente r da força centrífuga que resulta do movimento em φ. Uma outra forma das Equações de Lagrange pode ser obtida para sistemas em que todas as forças generalizadas são deriváveis de uma função potencial V=V(q1,q2,...,qn,t), ou seja, i i q VQ ∂ ∂ −= . (49) Aqui estão incluídos tanto os sistemas para os quais as funções potenciais são funções explícitas do tempo, quanto os sistemas conservativos, nos quais V é uma função exclusiva da posição. Substituindo a expressão (49) para Qi na equação (48), conclui-se que ),,2,1( ni q V q T q T td d iii K & = ∂ ∂ −= ∂ ∂ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ . (50) Definindo-se, agora, a função Lagrangiana L como a diferença entre a energia cinética e a função potencial, ou seja, VTL −= (51) e como V não é uma função das velocidades generalizadas iq& , então, ),,2,1(0 ni q L q L td d ii K & == ∂ ∂ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ , (52) que é a forma mais comum das equações de Lagrange. Considere, agora, um sistema em que as forças não são todas deriváveis de uma função potencial. A equação (48) é sempre aplicável, mas é mais conveniente escrever as equações de Lagrange na forma ),,2,1( niQ q L q L td d i ii K & =′= ∂ ∂ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ , (53) onde os iQ′ são aquelas forças generalizadas que não são deriváveis de uma função potencial. Como antes, as outras forças são obtidas da função Lagrangiana L. Exemplos típicos de iQ′ são forças de atrito, forçantes que dependem do tempo e forças vinculares não-holônomas. Neste item foram obtidas as equações de Lagrange a partir das Leis de Newton, usando o conceito de trabalho virtual e expressando os resultados por meio de coordenadas generalizadas e forças generalizadas. Para descrever um sistema com n graus de liberdade resultam n equações diferenciais de segunda ordem. Estas equações são equivalentes às equações do movimento que teriam sido obtidas pela aplicação direta das Leis de Newton 20 e, portanto, elas não contêm princípios físicos novos e independentes. Entretanto, o método de Lagrange para obter as equações do movimento é mais sistemático e freqüentemente mais fácil de ser aplicado que as equações de Newton. Apenas velocidades e deslocamentos aparecem na função Lagrangiana. Nenhuma aceleração é necessária e, portanto, a necessidade de cálculos cinemáticos intrincados é freqüentemente evitada. Uma vez que L é determinada, o procedimento para obter as equações do movimento é muito direto. Mais ainda, essas equações tendem a apresentar uma forma conveniente e, particularmente no caso de sistemas lineares, as equações apresentam uma simetria nos coeficientes que pode não estar aparente na formulação de Newton. É um fato a ser lembrado que o enfoque Lagrangeano permite que se obtenham as equações do movimento para uma larga classe de problemas a partir de uma única função escalar, a função Lagrangiana L. A ênfase em energias em lugar de forças e acelerações permite que se lide com grandezas escalares. O enfoque analítico da Mecânica pode ser também formulado usando procedimentos variacionais. Em um tratamento mais avançado da Mecânica, os princípios variacionais ou de minimização são usados como o ponto de início para escreverem-se as equações de Lagrange do movimento e, de fato, as equações de Lagrange podem ser derivadas dessa maneira. Exemplo 1 Escreva as equações diferenciais do movimento de uma partícula de massa m em um campo gravitacional uniforme usando coordenadas esféricas. Solução A posição da partícula em relação à origem O pode ser especificada pelo conjunto de coordenadas esféricas (r,θ,φ) conforme a figura 8. z y x g O φ θ r Figura 8 - Coordenadas Esféricas 23 Solução Como r é constante e ωφ =& , o único grau de liberdade da partícula é θ e o movimento é descrito apenas pela equação diferencial associada a essa coordenada. A energia cinética da partícula pode ser obtida diretamente da expressão (54) do exemplo anterior: )sen( 2 1 22222 θωθ rrmT += & (59) e colocando a referência da energia potencial na altura do centro do tubo, θcosmgrV = . (60) Figura 9 - Uma partícula em um tubo que gira Assim, a Lagrangiana da partícula é θθωθ cos)sen( 2 1 22222 mgrrrmVTL −+=−= & . (61) A partir de L é obtida a equação diferencial do movimento: Etapas intermediárias: θ θ & & 2mrL = ∂ ∂ θ θ && & 2mrL dt d =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ 24 )sencossen( 22 θθθω θ grrmL += ∂ ∂ Forma final: 0sencossen222 =−− θθθωθ grrr && Exemplo 3 O bloco de massa m2 pode escorregar sobre o bloco de massa m1 que, por sua vez, pode deslizar sobre uma superfície horizontal sem atrito, conforme está esquematizado na figura 10. Pede-se calcular a aceleração do bloco de massa m1, supondo que o coeficiente de atrito no contato entre os dois blocos seja μ < 1. Figura 10 - Um sistema formado por blocos deslizantes O sistema possui dois graus de liberdade. As coordenadas x1 e x2 podem variar livremente sem violar os vínculos do sistema e podem ser usadas para descrever o movimento. A força gravitacional pode ser derivada de um potencial, mas a força de atrito entre os dois blocos não, de modo que devem ser usadas as equações de Lagrange na forma (53). A velocidade do bloco de massa m1 é iv 11 x&= e a velocidade do bloco de massa m2 é jiv 2212 2 2 2 2 xxx &&& −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −= , de forma que a energia cinética total do sistema é 25 ( )2221212211 22 1 2 1 xxxxmxmT &&&&& +−+= . Para a energia potencial do sistema contribui apenas a força peso do bloco de massa m2, já que o movimento do bloco de massa m1 não tem componente na direção vertical. Assim, colocando a referência da energia potencial na origem de x2, 222 2 xgmV −= . A Lagrangiana do sistema é, então, ( ) 222221212211 2 22 2 1 2 1 xgmxxxxmxmVTL ++−+=−= &&&&& . O próximo passo é calcular as forças generalizadas 1Q′ e 2Q′ que levam em conta o efeito das forças de atrito correspondente, respectivamente, aos deslocamentos virtuais δ x1 e δ x2. Como um deslocamento virtual de x1 não envolve escorregamento entre os blocos, a força de atrito não realiza trabalho e, portanto, 01 =′Q . Um deslocamento de x2, entretanto, envolve trabalho virtual da força de atrito. Segundo a lei de Coulomb, a força de atrito no escorregamento é proporcional à força normal que aparece no contato entre os blocos. Esta força, infelizmente, não aparece de forma explícita na formulação de Lagrange. No entanto, ela pode ser calculada a partir do diagrama de corpo livre que aparece na figura 11, onde estão representadas as forças que atuam sobre m2, incluindo as forças de inércia, pois os blocos se encontram em movimento no instante dos deslocamentos virtuais. Figura 11 - Diagrama de corpo livre de m2 28 onde os coeficientes cj dependem das coordenadas mas não das velocidades. Funções deste tipo são dissipativas, pois sua potência é negativa e, por isso, o sistema perde energia quando elas agem. Essas forças merecem uma atenção especial pois, como será discutido neste item, elas também podem ser derivadas de uma função escalar. De fato, o trabalho realizado por elas em um deslocamento virtual é ∑∑ == −== N j jjj N j jj xxcxFW 3 1 3 1 δδδ & (65) Mas, de (23) e (35) i n i i j i n i i j j qq x q q x x δδδ ∑∑ == ∂ ∂ = ∂ ∂ = 11 & & . (66) Então a expressão (65) pode ser colocada na forma ( )∑ ∑∑ ∑ = == = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ −=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ −= n i i N j jj i n i i N j i j jj qxcq q q x xcW 1 3 1 2 1 3 1 2 1 δδδ & && & & . (67) Definindo a função R pela expressão ∑ = = N j jj xcR 3 1 2 2 1 & , (68) o trabalho virtual das forças não conservativas proporcionais à velocidade pode ser colocado na forma ∑ = ∂ ∂ −= n i i i q q RW 1 δδ & (69) Mas este trabalho também pode ser escrito em termos das forças e coordenadas generalizadas, ∑ = ′= n i ii qQW 1 δδ . (70) Então as forças generalizadas correspondentes às forças não conservativas proporcionais à velocidade podem ser obtidas diretamente da função R, comparando-se as expressões (69) e (70), ou seja, i i q RQ &∂ ∂ −=′ . (71) Assim, se as únicas forças não conservativas existentes forem proporcionais à velocidade, as equações de Lagrange (53) assumem a forma 29 ),,2,1(0 ni q R q L q L td d iii K && == ∂ ∂ + ∂ ∂ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ . (72) Agora as equações que governam o movimento são obtidas a partir de duas funções escalares, a Lagrangiana L e a função R que é conhecida como função de dissipação de Rayleigh. Exemplo Montar as equações do movimento do sistema esquematizado na figura 12. Solução Este é um sistema de dois graus de liberdade cuja posição é perfeitamente descrita pelas coordenadas x1 e x2 que medem os deslocamentos das massas a partir de suas posições de equilíbrio. A energia cinética do sistema é dada por 2 22 2 11 2 1 2 1 xmxmT && += e a energia potencial total corresponde à energia armazenada nas três molas Figura.12 - Sistema composto por massas molas e amortecedores ( ) 2232122211 2 1 2 1 2 1 xkxxkxkV +−+= , de forma que a Lagrangiana do sistema é ( ) 2232122211222211 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 xkxxkxkxmxmVTL −−−−+=−= && . As forças nos amortecedores são proporcionais às velocidades e para levá-las em conta basta montar a função de Rayleigh conforme a definição (68) ( ) 2232122211 2 1 2 1 2 1 xcxxcxcR &&&& +−+= . 30 Para este problema devem ser montadas, então, as equações de Lagrange na forma (72): i) equação para a coordenada x1 Etapas intermediárias: 11 1 xm x L & & = ∂ ∂ 11 1 xm x L dt d && & =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ )( 12211 1 xxkxk x L −+−= ∂ ∂ )( 12211 1 xxcxc x R &&& & −−= ∂ ∂ Forma final: 0)()( 221212212111 =−++−++ xkxkkxcxccxm &&&& ii) equação para a coordenada x2 Etapas intermediárias: 22 2 xm x L & & = ∂ ∂ 22 2 xm x L dt d && & =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ 23122 2 )( xkxxk x L −−−= ∂ ∂ 23122 2 )( xcxxc x R &&& & +−= ∂ ∂ Forma final: 0)()( 232122321222 =++−++− xkkxkxccxcxm &&&& 33 Montem-se, agora, as equações de Lagrange. De (89), (81) e (88) ∑ = = ∂ ∂ = ∂ ∂ n k kik ii qa q T q L 1 22 & && (90) e, portanto, ∑ = =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ n k kik i qa q L td d 1 2 && & . (91) Das expressões (89), (81) e (88) segue também que ∑ = −= ∂ ∂ −= ∂ ∂ n k kik ii qb q V q L 1 22 . (92) Substituindo-se as expressões (91) e (92) na expressão (78), obtêm-se as equações de Lagrange na forma linear ),,2,1(0 11 niqbqa n k kik n k kik K&& ==+ ∑∑ == (93) que são válidas para pequenos movimentos em torno da posição de equilíbrio. Estas equações também podem ser apresentadas na forma matricial, mais compacta. Para isso definam-se as matrizes [A] e [B] tais que ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = nnn n aa aa K MOM K 1 111 ]A[ (94) e ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = nnn n bb bb K MOM K 1 111 ]B[ (95) e coloquem-se as coordenadas generalizadas no vetor {q}, definido por ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = nq q M 1 }q{ . (96) Com essas definições as equações de Lagrange linearizadas podem ser escritas na forma }0{}B]{q[}q]{A[ =+&& . (97) 34 A matriz [A] é chamada de matriz de massa do sistema e a matriz [B] é chamada de matriz de rigidez do sistema. A relação (87) mostra que a matriz de rigidez é simétrica. Pode-se mostrar que a matriz de massa também é simétrica. Exemplo Monte as equações de Lagrange para o sistema formado pelos dois pêndulos acoplados, esquematizado na figura 13, linearizadas em torno da posição de equilíbrio θ1=θ2=0, sabendo que nessa posição a mola está indeformada. Figura 13 - Dois pêndulos acoplados por uma mola Solução A energia cinética do sistema é 2 2 2 2 1 2 )( 2 1 TmLT =+= θθ && . e a energia potencial é a soma da energia armazenada na mola com a energia potencial gravitacional )cos(cos)sen(sen 2 1 21 2 21 2 θθθθ +−−= mgLkaV , com a referência da energia potencial fixada na extremidade superior dos pêndulos. Lembrando as expansões em série da função seno )(O 6 sen 5 3 θθθθ +−= e da função cosseno 35 )(O 2 1cos 4 2 θθθ +−= , a parte quadrática da energia potencial será )( 2 1)( 2 1 2 2 2 1 2 21 2 2 θθθθ ++−= mgLkaV e a Lagrangiana a ser considerada no problema linearizado será )( 2 1)( 2 1)( 2 1 2 2 2 1 2 21 22 2 2 1 2 222 θθθθθθ +−−−+=−= mgLkamLVTL && . A partir daqui é só montar as equações de Lagrange. i) equação para a coordenada θ1 Etapas intermediárias: 1 2 1 2 θ θ & & mLL = ∂ ∂ 1 2 1 2 θ θ && & mLL dt d =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ 121 2 1 )( θθθ θ mgLkaL −−−= ∂ ∂ Forma final: 0)( 2 2 1 2 1 2 =−++ θθθ kamgLkamL && (98) ii) equação para a coordenada θ2 Etapas intermediárias: 2 2 2 2 θ θ & & mLL = ∂ ∂ 2 2 2 2 θ θ && & mLL dt d =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ 221 2 2 )( θθθ θ mgLkaL −−= ∂ ∂ Forma final: 0)( 2 2 1 2 2 2 =++− θθθ mgLkakamL && (99)