Experiencia4 - V2004

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A proposta da ação derivativa é o aumento da estabilidade da malha fechada. A razão de uma possível instabilidade pode ser descrita intuitivamente como se segue. Devido à dinâmica do processo, levará algum tempo até que o efeito da mudança na variável de controle u seja notado na saída do processo y. Portanto, o sistema de controle passará a agir tardiamente para uma correção de erro. A ação de um controlador com uma ação de controle proporcional e derivativa pode ser interpretada como proporcional à saída predita do processo,

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Experiência 4 – Projeto de Controladores tipo PID onde a predição é feita extrapolando o erro através da tangente à curva de erro. A estrutura básica de um controlador PD é dada por:

)()()((9)

tdeTteKtu d A expansão em Série de Taylor de e(t+Td) fornece:

A ação de controle é portanto proporcional à estimativa do erro de controle no tempo t+Td, onde esta estimativa é obtida através de extrapolação linear.

As propriedades da ação de controle derivativa estão ilustradas na Figura 4, que mostra a simulação de um sistema de malha fechada com um processo de função de transferência G(s)=1/(1+s)3 e um controlador PID. O ganho do controlador e o tempo de integração são mantidos constantes, K=3 e Ti=2, e o tempo derivativo Td é mudado. Para

Td=0 tem-se um controlador PI puro. O sistema de malha fechada é oscilatório para os parâmetros escolhidos. Inicialmente, o amortecimento aumenta com o aumento do tempo derivativo, mas diminui novamente quando o tempo derivativo se torna bastante grande.

(b) (a)

Figura 4: Simulação de um sistema de controle em malha fechada com controlador PID. (a) sinal de refer6encia e saída do sistema; (b) entrada do sistema.

2.2. Controlador PID em tempo discreto

Um controlador PID digital pode ser definido pela seguinte função de transferência em z:

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Experiência 4 – Projeto de Controladores tipo PID

a−−+−+=α,(1)

KzU adi onde Ta é o período de amostragem e α é um pólo introduzido na parte derivativa para tornar este termo causal e evitar a amplificação de ruídos pelo processo de derivação.

A operação e funcionamento de um controlador PID digital segue os mesmos princípios de um controlador PID em tempo contínuo, como foi discutido no item anterior.

Em geral os controladores tipo PID digitais são obtidos através de aproximações numéricas dos controladores PID em tempo contínuo. Os métodos mais utilizados são diferenças para frente, diferenças para trás, casamento de pólos e zeros etc. Assim, para cada método de integração numérica utilizado para aproximar a equação (1) do PID em tempo contínuo, obtém-se um controlador digital diferente. Observa-se que ao obter o controlador digital a partir do contínuo, o controlador digital mantém a relação entre os seus tempos integrativos e derivativos com os do controlador PID em tempo contínuo equivalente.

Calculando o mínimo múltiplo comum e rearranjando de forma a colocar todos os termos em potência de z negativo, a equação (1) fica:

zE z zTTTTzTTTTT T

KzU adiaadiaa d

(12)

A equação de diferenças correspondente a este controlador PID é dada pela seguinte expressão:

(14)

adia T T

Controlador PI:

No caso de se ter somente os termos proporcionais e integrais, ou seja, um controlador PI, a função de transferência torna-se a seguinte:

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Experiência 4 – Projeto de Controladores tipo PID zT T

KzU i a

,(15)
)1()()1()(1−++−=kekbkkekuku,(16)

cuja equação de diferenças será dada por:

T b.

Observa-se que o pólo deste controlador é localizado em z=1 e o zero em z = −b1.

Controlador PD:

No caso de ter-se somente os termos proporcionais e derivativos, ou seja, um controlador PD, a função de transferência se torna a seguinte:

zTTT T

KzU ada d

(17)
)1()()1()(12−++−=kekbkekbkukuα,(18)

A equação de diferenças será dada por:

T b.

O pólo do controlador PD é localizado em z = α e o zero em z = b1/b2.

Nota-se que não é necessário manter qualquer relação entre os termos derivativos e integrativos entre o controlador digital e um controlador equivalente em tempo contínuo. Assim, um controlador PID digital pode ser simplesmente definido por uma função de transferência do seguinte tipo:

KzU−−+−+=αλβ,(19)

onde β e λ são constantes do controlador a serem definidas durante o projeto. Rearranjando esta equação, tem-se:

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Experiência 4 – Projeto de Controladores tipo PID

λβαααλβλ(20)

Nota-se que o controlador PID digital tem dois pólos, um localizado em z = α e outro em z = 1, e dois zeros localizados em:

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Experiência 4 – Projeto de Controladores tipo PID

3. Técnicas de projeto de controladores PID em tempo contínuo

3.1. Pólos dominantes

Qualquer sistema de ordem n pode ser considerado como sendo composto por subsistemas de 1a e de 2a ordens. Além disso, para o projeto de controladores PID é possível utilizar o conceito de pólos dominantes. Assim, pode-se considerar apenas os pólos que dominam a resposta do sistema, ou seja, aqueles que fornecem as maiores constantes de tempo para o sistema. Dentro deste contexto, o sistema resultante em malha fechada é aproximado como sendo um sistema de 1a ou de 2a ordem. Quanto menor forem as partes reais dos pólos dominantes em relação aos outros pólos melhor a aproximação.

Tanto para sistemas de 1a como para de 2a ordens, é possível correlacionar facilmente as características transitórias no domínio do tempo com os pólos do sistema. Assim, dadas as especificações transitórias e estacionária do sistema de controle, é possível escolher os parâmetros do controlador de tal forma a alocar os pólos numa região que satisfaça as especificações desejadas.

A seguir é apresentado uma análise da resposta transitória de sistemas de 2a ordem seguido de uma apresentação do método do lugar das raízes que pode ser utilizado para o projeto do controlador. A resposta transitória de sistemas de 1a ordem foi apresentada na apostilha da Experiência 3 e portanto não será repetida aqui.

Resposta transitória a degrau de um sistema de 2a ordem Um sistema de segunda ordem pode ser descrito pela seguinte função de transferência:

n s sG sR onde, Y(s) é a saída do sistema, R(s) é a entrada do sistema, ωn é a freqüência natural do sistema e ξ é o grau de amortecimento. A resposta a degrau deste sistema pode ser categorizada em três tipos distintos (veja Figura 5):

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