Experiencia4 - V2004

Experiencia4 - V2004

(Parte 4 de 7)

R(s) -

+ H(s) G(s)

Figure 9: Diagrama esquemático de um sistema de controle em malha fechada.

A equação característica para este sistema é obtida igualando-se o denominador a zero, ou seja:

Os valores de s que satisfazem esta condição são as raízes da equação característica ou os pólos da malha fechada. Em geral deseja-se obter os pólos da malha fechada em função do ganho do controlador. O gráfico que fornece os pólos da malha fechada em função do ganho é chamado de lugar das raízes.

Para se obter o lugar das raízes de uma malha fechada primeiramente precisa-se reescrever a equação (4) de forma que o ganho do controlador apareça explicitamente. Assim, para uma planta de primeira ordem do tipo:

e um controlador PI:

sT KsH i

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Experiência 4 – Projeto de Controladores tipo PID

Obtém-se:

sTKsHsG i

Antes que se possa aplicar o método do lugar das raízes na equação acima é preciso que todas os parâmetros com exceção do ganho K sejam especificados, ou seja, deve-se definir a localização do zero do compensador, pela escolha de Ti, para que o único parâmetro variável seja o ganho K. Assim, a equação acima deve ser escrita na seguinte forma:

bs b

onde os coeficientes ai e bi são constantes que dependem de T, Ti e Kw.

Esta é a função de transferência para a qual deve ser feito o lugar das raízes. A melhor localização do zero do compensador PI, para a nossa planta, é à esquerda do pólo da planta

Com o gráfico do lugar das raízes feito, basta verificar o ganho K referente à posição dos pólos da malha fechada que satisfazem as especificações do sistema de controle.

Um exemplo. Suponha que se deseja obter o lugar das raízes de um sistema composto de uma planta de 1a. ordem e um controlador PI. Os parâmetros referentes à planta e o tempo de integração Ti escolhido para o controlador PI são os seguintes:

• Kω=1.0; • T=0.35;

• Ti=0.25.

Para estes parâmetros, o gráfico do lugar das raízes obtido está ilustrado na Figura 10.

No gráfico do lugar das raízes, pode-se observar o local onde se encontram os pólos de malha fechada, a medida que K varia de zero a infinito. Deve-se observar que, quando K=0 os pólos da malha fechada são os pólos da malha aberta, ou seja, s = 0 e s = −1/T. A medida que K aumenta, os dois pólos se aproximam até se encontrar. Depois se separam em direções distintas, caminhando sobre um círculo. Quando se encontram novamente do outro lado do círculo, tomam direções opostas. Sendo que um vai em direção ao zero dado por s=-1/Ti e o outro caminha em direção ao menos infinito sobre o eixo real. Para cada valor de K tem-se um par de pólos no domínio s. Na Figura 10 está evidenciado um ponto sobre a curva, juntamente com um quadrado onde está descrita a grandeza relacionada àquele ponto particular.

Obviamente, quando deseja-se obter um ganho K do controlador que satisfaça as especificações escolhidas para o sistema de controle, deve-se procurar as raízes que estejam simultaneamente sobre o gráfico do lugar das raízes e que satisfaçam as especificações dadas e traduzidas em termos de uma região desejada para os pólos da malha fechada.

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Figura 10: Gráfico do lugar das raízes – Sistema de 1a ordem + Controlador PI.

É importante ter em mente que este método é aproximado, já que as equações (30) a (37) valem para um sistema de 2a ordem do tipo dado pela equação (2), ou seja, um sistema sem zero. No caso do motor, que é uma planta de 1a ordem em conjunto com o controlador PI existe a presença de um zero em s=−1/Ti.

3.2. Uma outra maneira – Alocação de pólos

Uma outra maneira de projetar um controlador PI para um sistema de 1a ordem é o método de alocação de pólos. Suponha que o processo possa ser descrito pela seguinte função de transferência.

e o controlador PI:

sT KsH i

A função de transferência de 2a ordem resultante é dada por: 18 de 32-

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sHsG sHsG

Os pólos de malha fechada podem ser escolhidos arbitrariamente através da escolha adequada do ganho (K) e do tempo integral (Ti) do controlador. Os pólos são obtidos através da seguinte equação característica:

Suponha agora que os pólos da malha fechada desejada possam ser caracterizados pelo grau de amortecimento ξ e pela freqüência natural ωn A equação característica pode então ser escrita como:

Resolvendo estas equações para a determinação dos parâmetros do controlador, obtém-se:

T T n

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4. Projeto de controladores PID em tempo discreto

As técnicas utilizadas para projetar um controlador em tempo discreto são exatamente as mesmas utilizadas para projetar controladores em tempo contínuo. Não existe praticamente nenhuma diferença no emprego destas técnicas tanto para um controlador digital como para um controlador em tempo contínuo. A única diferença é que a região desejada para os pólos da malha fechada em tempo discreto é diferente da região desejada para os pólos em tempo contínuo. Assim, todas as regras e procedimentos utilizados para calcular o lugar das raízes em tempo contínuo são exatamente iguais para sistemas em tempo discreto. O procedimento de alocação de pólos também é o mesmo tanto para tempo contínuo como para tempo discreto.

4.1. Região desejada para os pólos da malha fechada em tempo discreto

Na medida em que a planta trabalha em tempo contínuo, a região desejada para os pólos em tempo discreto também é obtida pelas especificações da resposta transitória em tempo contínuo. Contudo, para se obter a região desejada no plano z deve-se usar a expressão que mapeia os planos z e s, ou seja:

asTez=(59)

A Figura 1 ilustra o mapeamento entre o plano complexo s e o plano complexo z. Por exemplo, o semi-plano esquerdo em s é mapeado em um disco unitário em z. Note que o semi-plano esquerdo em s é a região que contêm os pólos que definem sistemas estáveis. Desta forma, a região que contêm os pólos que definem os sistemas estáveis em z é um disco unitário.

O mapeamento não é bijetor já que muitos pontos em s são mapeados no mesmo ponto em z (veja Figura 11b). Para pólos na faixa fundamental S0 da Figura 11b, existe uma relação simples entre pólos contínuos e discretos.

Note que o lugar dos pólos com mesmo coeficiente de amortecimento, que no plano s é uma reta inclinada com ângulo β, se transforma no plano z em uma curva com formato tipo espiral. Você saberia dizer como o lugar dos pólos com mesma constante de decaimento (σ) mapeia no plano z? Você vai precisar disso para projetar o controlador em tempo discreto.

Dessa forma, através do mapeamento entre os domínios s e z é fácil determinar a região desejada para os pólos da malha fechada em tempo discreto.

Para a determinação da região desejada para os pólos da malha fechada somente os pólos do sistema interessam. Contudo, além de pólos um sistema pode ter também zeros, e uma questão que surge é como estes zeros são mapeados entre os planos s e z? Para os zeros não é possível estabelecer uma relação tão direta entre o domínio s e o domínio z. Se uma função de transferência de tempo contínuo é vista como uma função racional, ela possui r zeros finitos no numerador e d zeros no infinito, onde d é o excesso de pólos, isto é, a diferença entre o número de pólos e o números de zeros finitos. Um sistema em tempo discreto possui em geral n−1 zeros, pois o procedimento de amostragem provoca o aparecimento de zeros adicionais além dos r zeros já existentes.

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