Experiencia5 - V2004

Experiencia5 - V2004

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Experiência 5 – Implementação Digital de Controladores PID

EXPERIÊNCIA 5: IMPLEMENTAÇÃO DIGITAL DE CONTROLADORES PID

1. Introdução

Na Experiência 4 você projetou dois controladores da classe PID, um em tempo contínuo e outro em tempo discreto, (mais precisamente você deve ter projetado controladores PI) para o Motor C. Nesta experiência, será realizada a implementação em computador (digital) destes controladores. A implementação do controlador em computador é feita através da sua equação de diferenças, que é obtida pela sua Função de Transferência.

A Seção 2 apresenta um esquema de uma malha fechada com um controlador implementado em um computador digital e o método de obtenção da equação de diferenças correspondente à função de transferência do controlador em tempo discreto. A equação de diferenças é executada no computador de forma a implementar o controlador projetado. A Seção 3 apresenta diversas técnicas de discretização de controladores em tempo contínuo, de forma a permitir a sua implementação através de um computador digital.

2. Um Sistema de Controle Digital

A Figura 1(a) ilustra um sistema de controle digital. O sistema de controle é composto de um Amostrador (Conversor Analógico-Digital - A/D), um Controlador Digital (no caso implementado em um computador) e um Conversor Digital-Analógico (Reconstrutor de Ordem Zero – D/A). Observa-se que apesar do controlador estar implementado em um computador e trabalhar em tempo discreto, este sistema de controle produz um sinal de controle u(t) contínuo no tempo.

A Figura 1(b) ilustra o diagrama de blocos do sistema com as suas respectivas funções de transferência. Note que este sistema de controle possui simultaneamente sinais de tempo discreto e sinais de tempo contínuo. Os sinais E(z), H(z) e M(z) são sinais discretos no tempo. A parte de tempo discreto se refere ao algoritmo executado pelo computador e a parte de tempo contínuo se refere ao sistema físico correspondente a planta a ser controlada.

Note que existem variantes para este sistema. Por exemplo, a referência pode ser gerada pelo computador, assim, a saída da planta deve ser amostrada antes de ser comparada com o sinal de referência digital (tempo discreto), de forma a gerar um sinal de erro digital.

Como visto na Experiência 4 existem duas formas de projetar um controlador que será implementado através de um computador. A primeira consiste em projetar o controlador em tempo contínuo, depois discretizá-lo, usando algum método de integração numérica de equações diferencias, para permitir a sua implementação em um computador. A segunda consiste em projetar o controlador diretamente em tempo discreto usando o modelo em tempo discreto do sistema a ser controlado.

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Experiência 5 – Implementação Digital de Controladores PID y(t) u(t) u(kTa) e(kTa) e(t) Planta Segurador de

Ordem Zero D/A

Controlador DigitalAmostrador A/D

Y(s) U(s) M(z) E(z) E(s) GP(s) H(z)

(b)

Figura 1: (a) Diagrama de blocos de um sistema de controle digital. (b) Diagrama de blocos equivalente evidenciando as funções de transferência.

Em qualquer uma das formas de abordagem, o projeto do controlador resulta em uma função de transferência, ou em s ou em z. Entretanto, a implementação digital de um controlador é realizada através de uma equação de diferenças, que é obtida pela função de transferência em z. Uma equação de diferenças tem em tempo discreto a mesma função de uma equação diferencial em tempo contínuo e ambas podem ser obtidas pela função de transferência correspondente em z ou em s. Ou seja, o equivalente de uma função de transferência em s é uma equação diferencial (domínio do tempo contínuo), e o equivalente de uma função de transferência em z é uma equação de diferenças.

2.1 Obtenção da equação de diferenças a partir da Transformada Z

Neste item é apresentado como obter a equação de diferenças correspondente à função de transferência do controlador em tempo discreto, H(z), que será implementada em computador. Note que no caso de projeto do controlador ter sido realizado em tempo contínuo, antes de se obter a equação de diferenças, é necessário obter a função de transferência em tempo discreto equivalente à função de transferência em tempo contínuo. Os métodos para fazer esta aproximação (discretização) estão apresentados na Seção 3.

Para se obter a equação de diferenças equivalente a uma função de transferência em z, procede-se da seguinte forma. Seja a seguinte função de transferência genérica de ordem n:

YzUz

Gz bz b z b z b za z a z a m m m m

10KK,(1)

Experiência 5 – Implementação Digital de Controladores PID onde m ≤ n. O primeiro passo é colocar a função G(z) em função de potências negativas de z. Assim, dividindo-se em cima e em baixo por z−n, tem-se:

YzUz

Gz bz b z b z b z az a z a z m mn m mn n n

111101KK(2)

Multiplicando-se Y(z) pelo denominador de G(z) e U(z) pelo numerador de G(z), obtém-se:

Yz a z Yz a z Yz a z Yz b z U z

b z Uz b z Uz b z Uz n n m nm m nm n n

K

+ (3)

Analogamente ao fato de que no plano s (domínio de tempo contínuo) a variável sn multiplicando Y(s), significa no tempo a derivada n-ésima de y(t), tem-se que no plano z

(domínio de tempo discreto) a variável z−n multiplicando Y(z), significa no tempo a variável y(kTa) atrasada de nTa segundos, onde Ta é o tempo de amostragem. Assim, calculando-se a Transformada Z Inversa, obtém-se a seguinte equação de diferenças:

y kT a y kT T a y kT n T a y kT nT bu kT n m T b u kT n m T bu kT n T b u kT nT an a a a a a a ma a m a a a a a

K

K (4) onde, kTa representa o tempo absoluto. Esta equação representa uma fórmula de recorrência, onde conhecendo-se os valores passados de y(kTa) e os valores da entrada u(kTa) presente e passadas, pode-se avançar no tempo com um processo marchante. Note que são necessárias n condições iniciais para a variável y(kTa), ou seja, y(0), y(Ta), y(2Ta), …, y((n-1)Ta), para se iniciar o processo de marcha no tempo. Observa-se ainda, que é com uma equação deste tipo que se implementa um controlador digital.

3. Implementação Digital de Controladores Analógicos

O projeto de um controlador em tempo contínuo resulta em uma função de transferência em s, digamos H(s). Para implementar este controlador em um computador é necessário a sua discretização no tempo. Existem, também, algumas situações onde um controlador de tempo contínuo já está disponível e deseja-se converter este controlador para um controlador de tempo discreto.

3.1. Aproximação digital de controladores analógicos

A discretização, ou aproximação digital de um controlador em tempo discreto pode ser realizada por diversos métodos de integração de equações diferenciais. O objetivo final da discretização de um controlador analógico é a obtenção da equação de diferenças que será implementada em um computador.

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Uma forma de realizar esta discretização seria obter a equação diferencial correspondente à função de transferência do controlador H(s) utilizando algum método numérico de integração de equações diferenciais ordinárias. Contudo, na área de controle o processo preferido é obter a função de transferência em tempo discreto, H(z), a partir de H(s) e depois obter a equação de diferenças. Assim, o problema passa a ser o seguinte: dado um controlador em tempo contínuo descrito por sua função de transferência, H(s), deseja-se encontrar uma função de transferência em z, que aproxime H(s) em tempo discreto.

Existem inúmeros métodos que podem ser utilizados para discretizar um controlador, contudo alguns são mais simples e mais usuais. A seguir são apresentados alguns destes métodos mais usuais.

Método de diferenças a Frente (ou Método de Euler):

No método da diferença para frente, a primeira derivada no tempo de uma função é aproximada por uma diferença no tempo da seguinte forma:

aaT txTtxdt

tdx)()()(−+≈(5)

Calculando a Transformada de Laplace do lado esquerdo e a Transformada Z do lado direito da equação (5) tem-se:

a T zXzT

zXzzXssX)()1()()()(−=−≈(6)

Para que os dois lados da equação (6) sejam equivalentes, ou pelo menos aproximadamente iguais, tem-se que:

zs−≈(7)

Ou seja, para uma função H(s) a função em tempo discreto H(z) equivalente pode ser obtida pela simples substituição de s pela expressão de z dada pela equação (7), ou seja:

(8)

Método de Diferenças a Trás:

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