Experiência3 - v2004

Experiência3 - v2004

(Parte 1 de 3)

PMR2400 – CONTROLE E AUTOMAÇÃO I

EXPERIÊNCIA 3

1. INTRODUÇÃO

Os objetivos desta experiência são observar a resposta temporal de sistemas em tempo discreto e realizar a identificação dos parâmetros de um motor elétrico de corrente contínua.

Na primeira parte desta experiência você estará simulando alguns sistemas em tempo discreto de primeira ordem e observando a resposta temporal das suas saídas. A partir das simulações destes sistemas você poderá verificar que existem alguns sistemas em tempo discreto que não existem correspondentes em tempo contínuo.

Na segunda parte da experiência, você irá identificar a função de transferência de um

Motor de Corrente Contínua. Deseja-se identificar os parâmetros das funções de transferência entre a tensão de entrada do motor e a velocidade angular e entre a tensão de entrada e a posição angular. Nesta identificação serão utilizados métodos em tempo contínuo, de forma a obter um função de transferência em tempo contínuo, e métodos em tempo discreto, de forma a obter uma função de transferência em tempo discreto.

A Seção 2 desta apostilha apresenta o motor de corrente contínua utilizado nessa experiência, a Seção 3 apresenta uma breve introdução teórica sobre resposta temporal de sistemas contínuos e discretos de primeira ordem e a Seção 4 apresenta os fundamentos teóricos sobre identificação de sistemas em tempo contínuo e discreto. Finalmente a Seção 5 apresenta a parte experimental, ou seja, o que você deve fazer nesta experiência.

2. O MÓDULO DE MOTOR DE CORRENTE CONTÍNUA

O Módulo de Motor de Corrente Contínua MS15 (Figura 1) possibilita ao usuário a realização de controle em malha fechada de velocidade ou posição. A velocidade e a direção de rotação do motor pode ser controlada ou por um sinal analógico ou por uma modulação de largura de pulso.

Figura 1: Módulo do motor C MS15.

As informações de velocidade de rotação e posição para realimentação estão disponíveis tanto na forma analógica quanto na forma digital, portanto o módulo pode ser controlado utilizando um sistema analógico ou digital.

O módulo consiste dos seguintes elementos:

• Motor C: o motor é capaz de manter rotações de 2.500rpm em ambas as direções. A saída do motor é reduzida através de engrenagens com uma relação 9:1 até o eixo de saída onde existe um disco indicador da posição angular. O módulo possui a possibilidade de ser comandado através de uma entrada analógica, VIN, ou entrada digital p.w.m. PW; • Tacogerador: um segundo motor C impulsionado pelo primeiro motor que fornece uma tensão analógica proporcional à velocidade e direção de rotação. Uma carga

variável pode ser aplicada a um motor C ativando o circuito Generator Load

(Gerador de Carga). Neste caso a saída do tacogerador, VOUT, não está disponível; • Potenciômetro: este potenciômetro é impulsionado pelo eixo de saída e fornece um sinal analógico proporcional à posição angular do eixo de saída;

• Disco com Código Gray: um disco de Código Gray com 4 bits impulsionado pelo motor C fornece informações da posição angular do eixo de saída;

• Slotted Disc: impulsionado diretamente pelo eixo do motor fornece um pulso de saída a cada revolução do eixo de saída;

• Tacômetro digital: um tacômetro digital fornece, num painel de 3 dígitos, a velocidade angular do eixo de saída. A velocidade é derivada da informação fornecida pelo disco com Código de Gray;

• Freio Magnético (eddy current brake): um freio magnético de duas posições permite a inserção de diferentes carregamentos ao motor.

• Alimentação: Os requisitos de alimentação para o Módulo são os seguintes: o +5V em aproximadamente 400mA; o +12V em aproximadamente 0.5 a 0.9A (1.5A com o motor travado); o +12V em aproximadamente 0.5 a 0.9A (1.5A com o motor travado).

OBS: Deve ser garantido que as fontes de alimentação devem ter um Neutro (0V) comum.

• Chave do Acionamento do Motor:

o Posição VIN: seleciona a entrada do acionamento analógico VIN; o Posição PWM: seleciona a entrada do p.w.m. digital PW.

• Chave do tacogerador: o Posição VOUT: habilita a saída do tacogerador; o Posição LOAD: habilita a carga variável a ser aplicada ao motor por meio do circuito Gerador de Carga.

• Controle do Gerador de Carga: utilizado para variar a carga aplicado ao motor C quando a chave do tacogerador está na posição LOAD.

• Entrada para o Acionamento do Motor (VIN): a entrada para o acionamento do motor no intervalo –5V a +5V, o nível de tensão determina a velocidade e a polaridade determina a direção de rotação: o +5V - Velocidade máxima, sentido horário; o 0V – Estacionário; o –5V – Velocidade máxima, sentido anti-horário.

• Habilita a Entrada (E): um sinal 0 habilita a entrada VIN ou PWM, para controlar o motor.

• Entrada PWM (PW): entrada para o sinal digital com modulação de largura de pulso.

Formato: um sinal TTL positivo com duração de 1-2ms é requerido e deve ser repetido a cada 20ms.

Largura de Pulso Velocidade e Direção 1.0ms Velocidade máxima, sentido anti-horário 1.5ms Estacionário 2.0ms Velocidade máxima sentido horário

Figura 2: Sinal de entrada PWM.

• Saída do Disco com Código GRAY (D0 a D3): Fornece um sinal TTL de 4 bits dependente da posição do eixo do motor. Uma redução com um relação de 9:1 fornece uma resolução de 2.5o. Portanto o código se repete a cada 40o de rotação. Com 0o marcado no indicador do disco a saída do Disco é 0 e o indicador irá como indicado na tabela abaixo no sentido horário:

• Tacogerador: sinal no intervalo de –5V a +5V indicando a velocidade e a direção de rotação como indicado na Tabela abaixo:

Velocidade e Direção Tensão de Saída Velocidade máxima, sentido anti-horário +5V approx. Estacionário 0V Velocidade máxima sentido horário -5V approx.

• Saída do Potenciômetro (VOUT): sinal de tensão analógica variando entre –5V a +5V para uma volta completa do eixo de saída. A saída do potenciômetro é mantida artificialmente em 5V por aproximadamente 20o onde o potenciômetro é descontinuo.

• Slotted Disc (P0): normalmente em nível lógico ‘1’ com um único pulso t.t.l. de lógica ‘0’ gerado a cada revolução completa do eixo de saída.

2.3. Modelagem do sistema O sistema a ser modelado pode ser representado pela Figura 3 abaixo.

Figura 3: Diagrama esquemático do sistema a ser modelado.

O sistema consiste de um amplificador de tensão, um motor C.C. com um sistema de engrenagens e carga associada, um tacogerador e um potenciômetro. O objetivo da modelagem é estabelecer a função de transferência entre a tensão de entrada ev(t) e a velocidade angular fornecida pelo tacômetro ωT(t), e a função de transferência entre a tensão de entrada ev(t) e a posição angular fornecida pelo potenciômetro θP(t).

As funções de transferência do amplificador, do tacômetro e do potenciômetro são dadas respectivamente por:

1)(KsGAMP=;(1)
TTACKsG=)(;(2)
PPOTKsG=)((3)

Para um motor de corrente de campo constante, o torque desenvolvido pelo motor é dado por:

aiKT2=,(4)

onde K2 é a constante de torque do motor e ia é a corrente de armadura. Se o sinal da corrente ia é revertido, o sinal do torque T também será revertido, o que resultará na reversão da direção de rotação do motor.

Quando a armadura está em rotação, uma tensão proporcional ao produto do fluxo pela velocidade angular ω é induzido na armadura. Para um fluxo constante, a tensão induzida eb é diretamente proporcional à velocidade angular dθ/dt:

dKeb==,(5)

onde eb é tensão induzida, também chamada de força contra-eletromotriz, e K3 é constante de força contra-eletromotriz do motor, e θ é o deslocamento angular do eixo de saída do motor.

A velocidade do motor de corrente contínua controlada por armadura é controlada pela tensão de armadura, ea. A equação diferencial do circuito de armadura é dada por:

diL=++,(6)

abaaaa eeiRdt onde La é a indutância da armadura e Ra é a resistência da armadura. A equação de equilíbrio de torque no eixo do motor é dada por:

aiKTdt dbdt

0==+θθ,(7a)
dJ200==+ωω,(7b)

aiKTbdt onde J0 é a inércia combinada do motor, carga e engrenagens referida ao eixo do motor e b0 é o atrito viscoso combinado do motor, carga, e engrenagens referida ao eixo do motor.

Utilizando as Equações (1), (2), (5), (6) e (7b), pode-se determinar a função de transferência entre a saída proporcional à velocidade angular fornecida pelo tacogerador ωT e a tensão de entrada ev:

sE ssG

=Ω=ω,(8)

onde ΩT(s)=L[ωT(t)], EV(s)=L[ev(t)] e L representa a Transformada de Laplace.

Utilizando-se as Equações (1), (3), (5), (6) e (7a), pode-se determinar a função de transferência entre a saída proporcional à posição angular fornecida pelo potenciômetro θP e a tensão de entrada ev:

sE ssG

=Θ=θ(9)

onde ΘP(s)=L[θP(t)]. A Figura 4 apresenta um diagrama de blocos do sistema.

Figura 4: Diagrama de blocos do sistema.

Usualmente, a indutância de armadura La é bastante pequena e pode ser desconsiderada e as funções de transferência Gω(s) e Gθ(s) podem ser representadas da seguinte forma:

sE ssG a TVT ++

=Ω=ω,(10)

- aaRsLK+2

1 PK

TK3K

+ )(sEV ΘP(s)

ΩT(s)

Tm(s) Motor C.C. Potenciômetro

Tacômetro Amplificador

sE ssG a PVP ++

=Θ=θ(1)

As equações acima podem ser rearranjadas da seguinte forma:

TsK sE

ssG wV

(12)

onde:

KKbR K a

=,(13)

w + e,

KKbR JRT a a+

=(14)

Para a função de trasferência Gθ(s) tem-se:

Tss K sE

ssG V

Pθθ,(15)

onde:

KKKaP+=θ(16)

KKbR Dessa forma, em resumo, para o motor C tem-se as seguintes funções de transferência:

TsK sE

ssG wV

(17)

Tss K sE

ssG V

Pθθ(18)

2.4. Distúrbios de torque

Usualmente, o sistema sofre a ação de distúrbios de torque. Esses distúrbios de torque, devem ser considerados para o projeto de um sistema de controle eficiente. A representação do distúrbio de torque Td é feita conforme mostra a Figura 5.

O Módulo de Motor de Corrente Contínua MS15 possui um freio magnético (eddy current brake) com duas posições. Este freio magnético provoca um torque oposto ao motor C proporcional à velocidade angular:

)(tKTddω=(19)

Obviamente, este distúrbio provoca alterações nos parâmetros do sistema.

Figura 5: Diagrama de blocos com a representação de distúrbios de torque.

- aaRsLK+2

1 PK

TK3K

ΩT(s) Tm(s)

Motor C.C. Potenciômetro

Tacômetro

Amplificador -

Td(s)

TL(s)

3. RESPOSTA TEMPORAL DE SISTEMAS DE 1A ORDEM

3.1. Sistemas em tempo contínuo

Somente como recordação, um sistema de primeira ordem pode ser descrito pela seguinte função de transferência:

as bsG sU sY −

)(,(20)

onde, Y(s) é a saída do sistema, U(s) é a entrada do sistema, e a e b são coeficientes constantes. O pólo deste sistema está localizado em a no plano s. Para um sistema de 1a ordem é conveniente definir uma constante de tempo e um ganho. A constante de tempo e o ganho do sistema estão relacionados com os coeficientes a e b, sendo que a constante de tempo é dada por −1/a e o ganho por −b/a. É fácil de observar que os coeficientes a e b, ou o ganho e a constante de tempo do sistema bastam para se determinar este sistema de forma única.

Em termos da constante de tempo, T, e ganho, K, a função de transferência do sistema é dada por:

sY,(21)

ksG sU A equação diferencial equivalente à função de transferência da equação (20) é dada por:

tdy+=(2)

A resposta temporal deste sistema à uma entrada conhecida u(t) com uma condição inicial y0 é dada pela seguinte expressão:

τττ dtbueeyty t

0∫−+=(23)

Nesta expressão, o primeiro termo do lado direito é a resposta do sistema devido à condição inicial diferente de zero (resposta homogênea) e o segundo termo do lado esquerdo é a resposta forçada do sistema, ou seja, devido à entrada.

É conhecido e também fácil de ser observado pela equação (23) que a estabilidade do sistema está relacionada com o coeficiente a, ou seja:

instável. sistema ,0 estável; ntemarginalme sistema 0 estável; sistema ,0

Se a condição inicial for igual a zero e a entrada for uma degrau unitário, ou seja,

U(s) = 1/s, a resposta temporal deste sistema será dada por:

bty(24)

A Figura 6 apresenta a resposta de um sistema de 1a ordem à uma entrada na forma de degrau unitário.

tempo (s)

Figura 6: Resposta temporal de um sistema de 1a ordem devido à uma entrada na forma de degrau.

Na Figura 6 pode-se observar o efeito do ganho do sistema e da constante de tempo na resposta à uma entrada na forma de degrau unitário.

0.632K T 4T

0.982K K

3.2. Sistemas em tempo discreto

Praticamente todos os processos controlados em malha fechada são em tempo contínuo e atualmente os controladores são implementados via computador. A Figura 7 apresenta uma malha de controle implementada via computador.

Figura 7: Esquema de uma malha de controle implementada via computador.

Como pode ser visto, parte da malha de controle da Figura 7 trabalha em tempo contínuo e parte em tempo discreto. A existência dos dois domínios em uma mesma malha dificulta a análise do sistema. Assim, é necessário transformar todas as variáveis, ou para tempo contínuo, ou para tempo discreto. Contudo, na medida em que é desejado projetar um controlador digital e tal controlador enxerga um sistema de tempo contínuo como se fosse de tempo discreto, a forma mais conveniente é transformar todas as variáveis para tempo discreto. Assim, para o projeto de controladores digitais (controlador implementado via computador) é interessante trabalhar como se os processos fossem todos em tempo discreto. A Figura 8 apresenta uma malha de controle em tempo discreto, onde o processo foi transformado de tempo continuo para discreto.

Figura 8: Esquema de uma malha de controle em tempo discreto.

Controlador

Gc(z) D/AProcesso Gp(s)

Computador Mundo real y(t) y(kTa) r(kTa) e(kTa) u(kTa)u(t)

Controlador

Gc(z) Processo Gp(z)

+y(kTa) r(kTa) e(kTa) u(kTa)

Na transformação do processo de tempo contínuo para tempo discreto incorporou-se ao processo a dinâmica dos conversores D/A e A/D como mostra a Figura 9.

Figura 9: Discretização de um processo de tempo contínuo.

De acordo com o esquema da Figura 9, a função de transferência do processo em tempo discreto pode ser calculada através da seguinte expressão:

[]{})()()(1sGsHzGpROZp−=LZ,(25)

onde Z representa a transformada Z, L representa a transformada de Laplace e HROZ(s) é a função de transferência do conversor D/A (retentor de ordem zero), dada por:

−−=1)((26)

esH sTROZ Substituindo a equação (26) na equação (25), obtém-se:

pp1)()(1LZ(27)

esGzG sT

Como sTe− representa em tempo contínuo um atraso de um período de amostragem, em tempo discreto é igual z-1, portanto, este termo pode ser retirado das transformadas e a função de transferência do processo em tempo discreto fica sendo dada por:

sG zzG p

1()(11L)Z(28)

Observe que a função de transferência de um sistema em tempo discreto, Gp(z), não é igual à Transformada Z da resposta a impulso da função de transferência em tempo contínuo,

Gp(s), ou seja,

Retentor de ordem zero

Processo

Gp(s) y(kTa) y(t) u(kTa)u(t)

Gp(z) Ta

[]{})()(1sGzGpp−≠LZ(29)

Equação de diferenças:

A função de transferência de um sistema em tempo discreto de ordem n genérico é dada por uma função racional na variável complexa z, de acordo com a seguinte expressão:

YzUz

Gz bz b z b z b za z a z a m m m m

,(30)

onde m ≤ n.

No domínio do tempo contínuo o equivalente no tempo à uma função de transferência na variável s, é uma equação diferencial. No domínio do tempo discreto o equivalente no tempo à uma função de transferência na variável z, é uma equação de diferenças.

Para obter a equação de diferenças a partir da função de transferência em tempo discreto, o primeiro passo é colocar a função G(z) em função de potências negativas de z. Assim, dividindo-se a equação (30) em cima e em baixo por z−n, tem-se:

YzUz

Gz bz b z b z b z az a z a z m mn m mn n n

(31)

Multiplicando-se Y(z) pelo denominador de G(z) e U(z) pelo numerador de G(z), obtém-se:

(Parte 1 de 3)

Comentários