introduçao a mecanica analitica

introduçao a mecanica analitica

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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica

PME 20 - Mecânica Geral B

Introdução à Mecânica Analítica Notas de Aula

Prof. Dr. Clóvis de Arruda Martins 2003

1. INTRODUÇÃO 1

2. GRAUS DE LIBERDADE 1

3. COORDENADAS GENERALIZADAS 2

4. VÍNCULOS HOLÔNOMOS 3

5. DESLOCAMENTOS VIRTUAIS 4

6. TRABALHO VIRTUAL 5

7. FORÇAS VINCULARES 5

8. O PRINCÍPIO DO TRABALHO VIRTUAL 8

9. O PRINCÍPIO DE D’ALEMBERT 1

10. FORÇAS GENERALIZADAS 1

1. EQUAÇÕES DE LAGRANGE 14

12. FUNÇÃO DE DISSIPAÇÃO DE RAYLEIGH 27

13. PEQUENAS OSCILAÇÕES 31 14. BIBLIOGRAFIA 36

1. INTRODUÇÃO

As leis da mecânica foram formuladas por Newton para uma partícula isolada, mas podem ser estendidas para um sistema de partículas considerando as forças vinculares, que resultam das relações cinemáticas que restringem os movimentos das partículas. Uma das abordagens usadas para montar as equações do movimento, que é chamada de mecânica vetorial, é baseada diretamente nas leis de Newton e trabalha com grandezas vetoriais, como força e quantidade de movimento. Este caminho considera separadamente as forças atuando em cada partícula e necessita do cálculo das forças vinculares, embora tais forças possam não ser de interesse.

Uma outra abordagem, que é o objeto principal destas notas de aula, é atribuída a Leibnitz e Lagrange e é chamada de mecânica analítica. Esta abordagem considera o sistema como um todo, formulando o problema da mecânica a partir de duas quantidades escalares fundamentais: a energia cinética e a energia potencial. As restrições cinemáticas do movimento são levadas em conta, sem que seja necessário o cálculo das forças que as mantêm. A introdução de coordenadas generalizadas no lugar das coordenadas físicas torna a formulação mais versátil e as equações do movimento são obtidas de uma forma padronizada, independente do particular sistema de coordenadas utilizado.

2. GRAUS DE LIBERDADE

A posição ocupada no espaço por uma partícula em movimento é perfeitamente descrita pelo terno de coordenadas cartesianas (x,y,z). Se o seu movimento é livre, as três coordenadas são funções independentes, pois a partícula pode ocupar qualquer ponto do espaço. Diz-se, nesse caso, que a partícula possui três graus de liberdade, cada um correspondendo a uma das coordenadas independentes.

Considere, agora, o caso de uma partícula que é obrigada a se mover sobre uma esfera de centro (x0,y0,z0) e raio R. Nesse caso as coordenadas da partícula não são mais independentes, pois estão vinculadas pela condição

2202020)()()(Rzzyyxx=−+−+−

Se, em vez de coordenadas cartesianas, for usado um sistema de coordenadas esféricas (r, θ,φ), a posição da partícula está perfeitamente descrita pelo par de coordenadas independentes (θ,φ), pois a condição de que o movimento esteja confinado à superfície da esfera obriga que r=R e, portanto, r não é uma variável. Diz, nesse caso, que a partícula possui dois graus de liberdade.

O número de graus de liberdade de um sistema de partículas é o número de coordenadas usadas para descrever a sua configuração menos o número de condições independentes de vínculo. Se a posição de um sistema é descrita usando um conjunto de n coordenadas e há m equações independentes vinculando essas coordenadas, então o sistema possui n-m graus de liberdade.

Freqüentemente é possível achar um conjunto de coordenadas independentes que descreve a configuração de um sistema, podendo variar livremente sem violar os vínculos, como no caso das coordenadas (θ,φ) para a partícula movendo-se sobre a esfera. Nesse caso o número de graus de liberdade é igual ao número de coordenadas.

É importante mencionar que o número de graus de liberdade é uma característica do sistema e não depende de um particular conjunto de coordenadas adotado para descrever sua configuração. Em outras palavras, enquanto a escolha das coordenadas influencia o n e m, a diferença (n-m) é fixa para um dado sistema.

3. COORDENADAS GENERALIZADAS

A configuração de um sistema formado por N partículas pode ser expressa pelas coordenadas cartesianas de cada uma delas. A posição do sistema, em cada instante, está perfeitamente determinada por um conjunto de 3N números (xi,yi,zi). Por outro lado, se forem utilizadas coordenadas esféricas, será necessário conhecer um outro conjunto de 3N números (ri, θi,φi), no mesmo instante. Conhecidas as coordenadas esféricas de um ponto, as suas coordenadas cartesianas são obtidas pela transformação de coordenadas:

i i i rz ry rx cos sensen cossen

Além desses dois conjuntos, existe um número infinito de outros que podem ser usados para representar a configuração do sistema. Alguns desses conjuntos podem não ter um significado geométrico aparente, mas, como representam a posição do sistema, podem ser considerados como coordenadas em um sentido mais amplo. Qualquer conjunto de números que é utilizado para representar a posição de um sistema é um conjunto de coordenadas generalizadas.

Em muitos casos, a análise de um sistema mecânico fica bastante simplificada pela escolha adequada de um conjunto de coordenadas generalizadas independentes. Nesse caso, o número de coordenadas generalizadas é igual ao número de graus de liberdade e, portanto, não existem equações vinculares.

As equações de transformação de um conjunto de k coordenadas ordinárias xi para um conjunto de n coordenadas generalizadas qj têm a forma geral

tqqqfx tqqqfx tqqqfx nkk n n

. (1)

Associado a cada conjunto de coordenadas pode existir um conjunto de equações de vínculo. Se essas equações são independentes, o seu número é igual à diferença entre o número de coordenadas usadas para descrever o sistema e o seu número de graus de liberdade. Assim, se há l equações de vínculo relacionando as coordenadas ordinárias xj e m equações de vínculo relacionando as coordenadas generalizadas qj, então, como o número de graus de liberdade é uma característica do sistema,

4. VÍNCULOS HOLÔNOMOS

, qn e suponha que existem m equações vinculares na forma

Considere um sistema cuja configuração é descrita por n coordenadas generalizadas q1, q2,

Vínculos deste tipo são conhecidos como vínculos holônomos. Como este sistema possui (n-m) graus de liberdade, existem apenas (n-m) coordenadas independentes. As relações (3) podem ser usadas para expressar m das coordenadas como função das outras (n-m) e, assim, eliminá-las do conjunto de coordenadas generalizadas, resultando, dessa forma, (nm) coordenadas generalizadas independentes, que podem ser alteradas arbitrariamente sem violar as condições de vínculo1.

Como exemplo de vínculos holônomos, considere o pêndulo duplo da figura 1. As hastes de comprimentos l1 e l2 são consideradas rígidas e sem massa. O sistema é articulado em m1 e em O, de maneira que o movimento é confinado a um plano vertical. Se forem escolhidas as coordenadas (x1,y1) e (x2,y2) para representar, respectivamente, as posições das massas m1 e m2, então as equações de vínculo têm a forma

1 Este procedimento nem sempre é possível ou desejável. Nesse caso pode ser usado o método dos Multiplicadores de Lagrange, que não será objeto deste curso.

que expressa o fato de que os comprimentos das hastes são constantes. Note que esses particulares vínculos holônomos não dependem explicitamente do tempo

Figura 1 - Um pêndulo duplo

Neste exemplo do pêndulo duplo, foram usadas quatro coordenadas para representar a configuração do sistema que tem apenas dois graus de liberdade. Mas como os vínculos são holônomos em sua natureza, é possível achar um conjunto de coordenadas generalizadas independentes tais que sejam de mesmo número que os graus de liberdade.

Por exemplo, os ângulos θ1 e θ2, que representam os ângulos que as hastes formam com a vertical, poderiam ter sido escolhidos como coordenadas generalizadas. Outras escolhas poderiam ter sido feitas, como definir θ2 como o ângulo que a haste l2 forma com a haste l1.

Os vínculos não-holônomos não podem ser expressos por expressões com a forma (3), pois são expressos por relações de diferenciais das coordenadas e do tempo que não podem ser integradas. Vínculos deste tipo não serão estudados no presente curso.

5. DESLOCAMENTOS VIRTUAIS

Um deslocamento virtual de um sistema é uma mudança na sua configuração que resulta de uma variação arbitrária das suas coordenadas, consistente com os seus vínculos, em um dado instante t. Um deslocamento virtual se processa de maneira instantânea, mantendo as forças aplicadas e as condições de vínculo constantes.

Para representar um deslocamento virtual usa-se uma notação devida a Lagrange. De acordo com esta notação, um deslocamento virtual é representado pelo símbolo δ colocado

configuração é expressa pelas coordenadas cartesianas x1, x2,, x3N, um conjunto de
deslocamentos virtuais será indicado por δ x1, δ x2,, δ x3N.

à frente da coordenada correspondente. Por exemplo, para um sistema de N partículas, cuja

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