Análise cinemática de mecanismos articulados

Análise cinemática de mecanismos articulados

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Capítulo I ANÁLISE CINEMÁTICA DE MECANISMOS ARTICULADOS

Curso de Licenciatura em Engenharia Mecânica

Departamento de Engenharia Mecânica Escola de Engenharia

J.C.Pimenta ClaroJ.C.Pimenta ClaroJ.C.Pimenta ClaroJ.C.Pimenta Claro [e-version: 2004]

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 1

2.1 INTRODUÇÃO Duas definições se impõem no início deste capítulo, a saber:

MECANISMO - conjunto de elementos que, interactuando, produzem um movimento específico.

CINEMÁTICA - estudo do movimento em si, não considerando as forças que o produzem; isto é, o estudo da posição, geometria, deslocamento, rotação, velocidade e aceleração num mecanismo.

2.2 ALGUNS CONCEITOS DE ANÁLISE VECTORIAL

2.2.1 Sistemas de Coordenadas

Os sistemas usualmente empregues na análise vectorial aplicada ao estudo da cinemática de mecanismos articulados são os de coordenadas cartezianas e de coordenadas polares, representados esquemáticamente nas Fig.2.1(a) e (b), respectivamente.

(a) (b) Fig.2.1 - Sistemas de coordenadas

2.2.2 Notação vectorial Usar-se-á, como norma, a seguinte notação:

letra maiúscula - vector (magnitude + direcção + sentido) - ex.: R

- componente do vector, numa dada direcção - ex.: Rx letra minúscula - magnitude do vector (valor escalar) - r

- magnitude do vector, numa da direcção - rx

(pode, alternativamente, ser utilizada a forma rx) - versores, nas direcçõs coordenadas - î , j , k

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Por sua vez, um vector poderá ser representado e quantificado de diferentes formas. Assim, e para o exemplo da Fig.2.2, teremos:

R = Rx + Ry (em coordenadas.cartezianas) = r ∠ θ (em coordenadas polares) r = rx î + ry j (em coordenadas cartezianas) = rx + ry i (em coordenadas cartezianas e notação complexa)

= r ⋅ eiθ (em coordenadas polares e notação complexa)

Fig.2.2 - Vector num espaço bidimensional De notar que, geometricamente, rx = r ⋅ cos θ ry = r ⋅ sen θ r = [ (rx)2 + (ry)2 ]½ θ = arctan (ry/rx) sendo de recordar que, i = √ -1 e iθ = cos θ ± i sen θ

2.2.3 Operações com Vectores

2.2.3.1 Adição e subtracção Graficamente, estão representadas na Fig.2.3 as duas operações,

(a) adição (b) subtracção Fig.2.3 - Operações com vectores

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 3 que, em termos analíticos e coordenadas cartezianas, se traduzem por:

A + B = (ax + bx) î + (ay + by) j (2.1) A - B = (ax - bx) î + (ay - by) j (2.2)

2.2.3.2 Produto vectorial Do mesmo modo, graficamente:

Fig.2.4 - Produto vectorial ou então, em coordenadas cartezianas:

No caso de um vector no espaço,

A ∧ B = (ay ⋅ bz - az ⋅ by) î + + (az ⋅ bx - ax ⋅ bz) j +

+ (ax ⋅ by - ay ⋅ bx) k +

= î j k ax ay az

bx by bz

De notar ainda que do produto vectorial resulta um novo vector, com uma direcção diferente da dos outros dois. Em termos de versores dos eixos cartezianos, os resultados são os seguintes:

î ∧ î = j ∧ j = k ∧ k = 0 î ∧ j = -j ∧ î = k j ∧ k = -k ∧ j = î k ∧ î = - î ∧ k = j

A x B

B A k

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 4 2.2.3.3 Produto escalar

A ⋅ B = (ax ⋅ bx) + (ay ⋅ by) + (az ⋅ bz)

Nota 1: No caso de,

A ⋅ B = 0 ⇒ A = 0 ou B = 0 ou θ = 90o

Nota 2: Do produto escalar dos versores dos eixos cartezianos resulta, î ⋅ î = j ⋅ j = k ⋅ k = 1 î ⋅ j = j ⋅ î = j ⋅ k = k ⋅ j = î ⋅ k = k ⋅ î = 0

Nota 3: Sendo que,

R ⋅ î = rx R ⋅ j = ry R ⋅ k = rz para o ponto (P) da Fig.2.5,

Fig.2.5 - Versor segundo um ponto

P px î + py jpx py

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Nota 4: No caso do produto:

C ⋅ (A ∧ B) = cx î + cy j + cz k ⋅ î j k ax ay az

bx by bz

= (cx ⋅ ay ⋅ bz) - (cx ⋅ by ⋅ az) + (cy ⋅ az ⋅ bx) - - (cy ⋅ ax ⋅ bz) - (cz ⋅ by ⋅ ax) + (cz ⋅ ay ⋅ bx) (2.7)

Nota 5: Duas operações entre vectores são possíveis, utilizando a notação complexa:

A x B = (a ⋅ eiθA) x (b ⋅ eiθB) = a ⋅ b ⋅ [(cos (θ + θB) + i sen (θA + θB)] (2.8)

A / B = (a ⋅ eiθA) / (b ⋅ eiθB) = a / b ⋅ [(cos (θA + θB) + i sen (θA + θB)] (2.9) sendo de notar, contudo, que estes resultados não têm qualquer representação vectorial.

2.2.4 Rotação de Eixos no Plano

Por vezes torna-se necessário proceder a uma rotação dos eixos coordenados, criando um novo sistema de eixos.

A Fig.2.6 ilustra o caso de um vector R,

Fig.2.6 - Rotação de eixos cuja notação em coordenadas polares, relativamente aos eixos originais (x, y) é,

R = r ∠ θ e que, relativamente aos eixos (x’, y’) rodados de um ângulo (ϑ) em relação aos primeiros, toma a forma,

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De notar que esta técnica pode ser particularmente útil no caso de se pretender determinar a magnitude dos componentes coordenados de um vector, conhecida a sua direcção, pois desde que se proceda a uma rotação de valor (ϑ) igual a (θ), então virá,

R = r,ou seja rx’ = r e ry’ = 0

2.2.5 Equações Vectoriais Considerando a seguinte equação vectorial, no espaço, temos então, (ax + bx + cx) î + (ay + by + cy) j + (az + bz + cz) k = sx î + sy j + sz k que, por sua vez, dá origem ao sistema de equações:

ax + bx + cx = sx ay + by + cy = sy az + bz + cz = sz passível de ser resolvido para determinação de até três incógnitas, entre magnitudes e direcções dos vectores envolvidos.

Como é evidente, para vectores no plano, e apenas duas coordenadas, o problema simplifica-se para, A + B = S em que três casos são possíveis:

a) magnitudes de A e de B desconhecidas b) magnitude de A e direcção de B desconhecidas c) direcção de A e de B desconhecidas qualquer deles facilmente resolúvel graficamente, como se mostra na Fig.2.7.

(a) (b)

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(c) Fig.2.7 - Resolução gráfica

2.2.6 Solução Analítica de Equações Vectoriais Dos três casos da alínea anterior:

a) conhecidos (sx), (sy), (θA) e (θB), pretendendo-se determinar as magnitudes de (A) e de (B), pode construir-se o sistema:

ax + bx = -sx ay + by = -sy ay = ax ⋅ tan θA by = bx ⋅ tan θB donde, por exemplo, sy - sx ⋅ tan θB ax = tan θB - tan θA e da mesma forma se determinariam as restantes incógnitas (ay), (bx) e (by), vindo finalmente:

Nota: caso (θA) ou (θB) seja igual a 90o, a equação acima é indeterminada mas, nesse caso, ou (ax) ou (bx) tem valor nulo, pelo que a solução se torna trivial.

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 8 b) conhecidos (sx), (sy), (θA) e (b), pretendendo-se determinar a magnitude de (A) e a direcção (θB), vem que:

ax + bx = -sx ay + by = -sy ay = ax ⋅ tan θA (by)2 = b - (bx)2 donde se torna possível a determinação de (ax), (ay), (bx) e (by) e finalmente, a partir destes, os valores de (a) e (θB).

c) conhecidos (sx), (sy), (a) e (b) pretendendo-se determinar (θA) e (θB), torna-se útil recorrer a um sistema de eixos auxiliar (x’, y’) em que (x’) tenha a direcção de (S), pelo que este vector passará a ter, no novo sistema de eixos, as cooredenadas:

sx’ = s, sy’ = 0 o que se consegue colocando o novo sistema de eixos rodado de (θS) em relação ao sistema original:

Fig.2.8 - Sistemas de eixos sendo então possível escrever, s + ax’ + bx’ = 0 ay’ + by’ = 0 (ax’)2 + (ay’)2 = a2 (bx’)2 + (by’)2 = b2 e donde se retiram os valores de (ax’), (ay’), (bx’) e (ay’) e portanto, utilizando uma notação em coordenadas polares,

A = a ∠ ϕA e B = b ∠ ϕB se pode retornar as sistema de eixos original (x, y), calculando:

A = a ∠ (ϕA+θS) e B = b ∠ (ϕB+θS)

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2.2.7 ‘Solução de Chace’ para Equações Vectoriais

(não se pretendendo, aqui, explanar quaisquer conceitos ou princípios inerentes à chamada ‘Solução de Chace’, listar-se-ão apenas os resultados dela decorrentes que têm directa aplicação ao subsequente estudo de mecanismos)

Supondo um qualquer mecanismo em que, após o cálculo de todas as soluções triviais, se chega a uma realidade traduzida pela seguinte equação vectorial,

A + B + S = 0 em que (S) é um vector do qual se conhece a magnitude (s) e a direcção (s, isto é θS), e sendo também conhecidas duas características dos vectores (A) e (B) - sejam as magnitudes (a e b), as direcções (a e b, isto é θA e θB) ou uma magnitude e uma direção - a questão reside na determinação das restantes duas características destes vectores.

Da ‘Solução de Chace’, aplicada a cada um dos casos apresentados nas alíneas anteriores, obtêm-se os seguintes resultados, a) conhecidos (S), (a) e (b), com (a) e (b) desconhecidos:

s ⋅ (b ∧ k)

s ⋅ (a ∧ k)

b = cos θ (a ∧ k) + sen θ a (2.14) sendo cos θ = b ⋅ (a ∧ k) c) conhecidos (S), (a) e (b), com (a) e (b) desconhecidos:

A = ± b2 -   (s ∧ k) +  - s  s  (2.15)  2 S   2 S  

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 10 2.3 Posição e Deslocamento

2.3.1 Revisão de Alguns Conceitos

POSIÇÃO - definida pelas respectivas coordenadas - exemplo: x, y, z

DESLOCAMENTO - definido pelas coordenadas, em função do tempo - exemplo: x(t), y (t), z(t)

TRANSLAÇÃO - quando cada ponto de um corpo rígido tem exactamente o mesmo movimento de todos os outros pontos que compõem o dito corpo

TRANSLAÇÃO RECTILÍNEA - quando o movimento é executado segundo uma linha recta - exemplo: Fig.2.9, barra 6

TRANSLAÇÃO CURVILÍNEA - quando o movimento é executado segundo uma linha curva - exemplo: Fig.2.9, barra 3

ROTAÇÃO - quando existe uma linha recta tal que qualquer ponto de um corpo rígido que seja com ela coincidente tem velocidade nula; esta linha designa-se por eixo de rotação - exemplo: Fig.2.9, barras 2 e 4

MOVIMENTO PLANO - quando a trajectória dos pontos que compõem um corpo rígido descrevem trajectórias que se inscrevem num mesmo plano - exemplo: Fig.2.9, barra 5

GRAUS DE LIBERDADE - quantificação do tipo de movimentos que um corpo ou mecanismo; o número de graus de liberdade de um mecanismo pode, assim, ser definido como o número de coordenadas necessárias para especificar completamente a posição de todos os seus componentes

- exemplo:

" no plano ⇒ 2 " (translação, segundo x, y)
" em rotação ⇒ 1 " (eixo de rotação)
" em translação ⇒ 1 " (eixo de direcção)
" no plano ⇒ 3 " (translação segundo x e y, rotação em z)

ponto no espaço ⇒ 3 coordenadas (translação, segundo x, y e z) corpo no espaço ⇒ 6 coordenadas (translação e rotação, segundo x, y e z) Fig.2.9 - Tipos de deslocamento, no plano

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 1 2.3.2 Deslocamento Absoluto

2.3.2.1 de um ponto

Para um ponto (R), o deslocamento pode ser definido pela variação do seu vector-posição de (R1) para (R2) - Fig.2.10,

Fig.2.10 - Deslocamento de um ponto, no plano

R2 = R1 + ∆Rou seja ∆R = R2 - R1

o que, em notação vectorial, se traduz por:

2.3.2.2 de um corpo rígido Considerando, como corpo rígido, a recta [PQ] - Fig.2.1,

Fig.2.1 - Deslocamento de um corpo, no plano o deslocamento no plano pode ser considerado como de translação de cada um dos pontos (P) e (Q) ou como de translação de um dos pontos (P ou Q) e rotação (θ) do conjunto, mas nunca das três simultâneamente uma vez que, para um corpo rígido, são variáveis dependentes.

Assim, em notação vectorial:

∆Q = Q2 - Q1 (translação) ∆P = P2 - P1 (translação)

∆θ = θ2 - θ1 (rotação)

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 12 2.3.3 Posição e Deslocamento Relativos de um Ponto

2.3.3.1 Posição relativa A posição do ponto (B), relativamente a um outro ponto (A) - Fig.2.12,

Fig.2.12 - Posição relativa

RB = RA + RBAou seja RBA = RB - RA

define-se como:

2.3.3.2 Deslocamento relativo de translação

Supondo que os pontos (A) e (B), pertencendo a um mesmo corpo rígido, sofrem uma translação de (∆RA) e (∆RB), respectivamente - Fig.2.13,

Fig.2.13 - Translação relativa

∆RA = ∆RBe também RB1A = RB2A

então, sendo o corpo rígido, por definição: pelo que:

∆RBA = 0 ou, seja, a variação de posição de (B) relativamente a (A) é nula, o que é de esperar que aconteça se ambos pertencerem a um corpo rígido.

Nota: mesmo assim, a equação, ∆RB = ∆RA + ∆RBA é válida, embora neste caso se simplifique, por anulação do termo (∆RBA).

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2.3.3.3 Deslocamento relativo de rotação

Partindo dos mesmos pressupostos da alínea anterior, supondo agora uma rotação em torno de (A) - Fig.2.14,

Fig.2.14 - Rotação relativa para um corpo rígido:

RB2A = RB1A mas,

∆RB = RB2A - RB1A = ∆RBA

Nota: também neste caso a equação, ∆RB = ∆RA + ∆RBA é válida, embora seja nulo o termo (∆RA).

2.3.3.4 Deslocamento relativo de translação e rotação

Fig.2.15 - Translação e rotação relativa então,

∆RB = ∆RA + ∆RBA em que:

∆RA - componente de translação ∆RBA - componente de rotação x A2

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 14 2.3.4 Posição e Deslocamento num Mecanismo

2.3.4.1 Métodos analíticos a) análise geométrica Para o sistema biela-manivela da Fig.2.16, supondo:

- dado: θ2 - pretendendo-se: ax, ay, bx

Fig.2.16 - Sistema biela-manivela temos que: ax = r2 ⋅ cos θ2 ay = r2 ⋅ sen θ2 ou então, e como a terceira incógnita (bx) é, geometricamente, o máximo valor de intercepção de um círculo de raio (r3) e centro (ax, ay) com o eixo (x), vem:

r2 ⋅ sen θ2 = r3 ⋅ sen θ3 donde, sen θ3 = r2/r3 ⋅ sen θ2 pelo que:

bx = r2 ⋅ cos θ2 - r3 ⋅ cos θ3

Uma vez que:

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 15 b) análise vectorial

Considerando o mecanismo de quatro barras da Fig.2.17, do tipo manivela-barra oscilante, e supondo:

- pretendendo-se: θ3, θ4

Nota: trata-se de um problema de adição de três vectores, análogo ao exposto na alínea (c) do ponto 2.2.6, e que pode ser resolvido através da 'Solução de Chace'.

Fig.2.17 - Mecanismo de quatro barras

Assim, tomando:

R = R1 + R2 vem que,

R + R3 = -R4⇒ R + R3 + R4 = 0

ou seja,

A este problema correspondendo a solução:

 2 R   2 R  
 2 R   2 R  

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 16 c) análise vectorial, utilizando notação complexa Tendo o mecanismo de corrediça da Fig.2.18, e supondo:

- conhecidos: r1, r2 (e também θ1) - dado: θ2

Fig.2.18 - Mecanismo de corrediça

R1 + R2 = R4⇒ R1 + R2 - R4 = 0

virá, em notação vectorial,

Considerando que,

R = r ⋅ e iθ então:

r1 ⋅ e iθ1 + r2 ⋅ e iθ2 - r4 ⋅ e iθ4 = 0 e ainda, como:

r ⋅ e iθ = r ⋅ (cos θ + i sen θ) logo:

r1 ⋅ (cos θ1 + i sen θ1) + r2 ⋅ (cos θ2 + i sen θ2) - r4 ⋅ (cos θ4 + i sen θ4) = 0

Separando as componentes real e imaginária:

e sendo que, neste caso, θ1 = 180o ⇒ cos θ1 = -1 e sen θ1 = 0

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 17

r2 ⋅ cos θ2 - r1

vem, finalmente: r4 =

r2 ⋅ sen θ2 

2.3.4.2 Método gráfico

Consiste na representação do mecanismo na posição, ou posições, de maior interesse para a sua análise. A sua aplicação prática torna-se mais evidente na determinação (gráfica) de velocidades, pelo que será abordada no ponto seguinte.

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 18 2.4 VELOCIDADE

2.4.1 Velocidade Linear Na Fig.2.19 podemos observar a trajectória de um ponto.

Figura 2.19 - Trajectória de um ponto

(∆∆∆∆r/∆∆∆∆t). A velocidade instantânea, ou simplesmente a velocidade, é o limite desta razão, ou seja:

. v = lim∆t→0 (∆r/∆t) = (dr/dt) = r

A velocidade do ponto, movendo-se ao longo da sua trajectória, pode ser ilustrada de uma outra maneira. Na Fig.2.20 o ponto (P) descreve a trajectória [AB].

Figura 2.20 - Trajectória de um ponto

Consideremos um sistema de eixos [ττττ, µ, υυυυ] em (P), e tal que [ττττ] seja tangente à trajectória, [µ] normal a esta e [υυυυ] seja dado por:

υ = τ x µ

v = lim∆s→0 (∆r/∆s) = (dr/ds) = ττττ

MECÂNICA APLICADA - Análise Cinemática de Mecanismos Articulados 19

Então, a velocidade em relação ao sistema de eixos [ττττ, µ, υυυυ], será dada por:

. v = ds/dt ττττ = s ττττ em que (s) é a velocidade de (P) ao longo da trajectória e [ττττ] é o vector unitário tangente a essa trajectória. Resulta daqui que o vector velocidade é sempre tangente à trajectória. Se, r = x i + y j + z k

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