Baixe Conceitos principais sobre Cames, cap. IV e outras Notas de estudo em PDF para Mecânica Aplicada, somente na Docsity! MECÂNICA APLICADA Capítulo IV CAMES Curso de Licenciatura em Engenharia Mecânica Departamento de Engenharia Mecânica Escola de Engenharia UNIVERSIDADE DO MINHO J.C.Pimenta Claro [e-version: 2004] MECÂNICA APLICADA - Cames 1 4.1 CLASSIFICAÇÃO Came é um orgão mecânico cuja função é, por contacto directo, conduzir ou impôr um determinado movimento a um outro elemento, designado como seguidor. As cames podem classificar-se em três grandes grupos, a saber: - lineares - Fig.4.1.a) - de disco - Fig.4.1.b) a f) - cilíndricas - Fig.4.1.g) e h) enquanto os seguidores se podem dividir em: - de deslocamento linear ou de translacção - Fig.4.1.a) a e) e h) - de deslocamento angular ou oscilantes - Fig.4.1.f) e g) ou ainda: - de faca - Fig.4.1.d) - de rolete - Fig.4.1.a) a c), g) e h) - de prato - Fig.4.1.e) e f) podendo, no caso das cames de disco com seguidor radial, este ter a sua linha de acção alinhada com o centro de rotação da came - Fig.4.1.d) e f) - ou descentrada - Fig.4.1.c) e e). Figura 4.1 - Tipos de cames e de seguidores Em qualquer caso, é imprescindível que o seguidor seja obrigado a manter o contacto com a superfície da came, quaisquer que sejam as condições de funcionamento. Isto implica uma análise cuidada das características do movimento induzido pela came ao seguidor, nomeadamente em termos de aceleração e impulso, de modo a serem contabalançadas pela cinética do MECÂNICA APLICADA - Cames 4 4.3 DIAGRAMA DE DESLOCAMENTOS 4.3.1 Introdução A geometria de uma came é determinada pelo movimento que se pretende induzir ao seguidor. O problema resolve-se mais facilmente com recurso a uma inversão do mecanismo, considerando a came estacionária e o seguidor em rotação em sentido oposto, obtendo-se assim o denominado Diagrama de Deslocamentos. Na realidade, o processo de concepção de uma came inicia-se pela traçagem do referido diagrama, em que: - a abcissa corresponde aos 360o de rotação completa da came, (devendo ter o perímetro da circunferência principal) - a ordenada representa o deslocamento linear pretendido do seguidor. tal como o esboçado na Fig.4.4, aplicado ao caso da came da Fig.4.3. Figura 4.4 - Diagrama de deslocamentos Neste diagrama podem identificar-se facilmente os períodos de subida, de retorno e de estacionamento quer ‘em cima’ quer ‘em baixo’ do seguidor, sendo de salientar que uma came pode apresentar vários destes estágios ao longo de uma única rotação. De notar também a existência de pontos de inflexão das curvas, que correspondem aos pontos primitivos do traçado da came e que, coincidindo com a maior inclinação da curva primitiva, se traduzem nos pontos de ângulo de pressão máximo. A abcissa do diagrama divide-se num número conveniente de partes, dependendo unicamente da precisão requerida para a traçagem, correspondendo a sectores angulares de rotação da própria came. Obs.: do exposto acima depreende-se que, para a criação de um Diagrama de Deslocamentos, deverão ter sido definidos previamente os diâmetros do rolete (caso exista) e da circunferência principal (ou da circunferência de base) da came; a forma de dimensionar estes parâmetros, assim como as implicações dos seus valores no resultado final, serão abordadas mais adiante neste capítulo. MECÂNICA APLICADA - Cames 5 4.3.2 Movimentos Básicos do Seguidor 4.3.2.1 Movimento uniforme O movimento uniforme (ou, mais exactamente, o movimento a velocidade constante) corresponde a um deslocamento regido por uma equação do tipo, y = C ⋅ θ em que (y) é o deslocamento do seguidor, (C) uma constante e (θ) o ângulo de rotação da came. Considerando que se pretende uma elevação total (d) numa rotação de (β) radianos, então: d = C ⋅ β ou seja, C = d/β pelo que, y = d/β ⋅ θ ou seja, (y = d) para (θ = β), o que equivale à equação de uma recta - Fig.4.5. Por sua vez, velocidade e aceleração do seguidor serão dadas por, v = dy/dt = d/β dθ/dt = d/β⋅ω a = d2y/dt2 = d/β dω/dt = 0 em que (ω) é a velocidade angular (constante) da came. Figura 4.5 - Diagrama de movimento uniforme Nota: no caso de o movimento ser de descida, e não de subida como o ilustrado, a análise e respectivas conclusões seriam idênticas, sendo apenas necessário ajustar o sinal nas equações acima. MECÂNICA APLICADA - Cames 6 4.3.2.2 Movimento uniforme modificado Pelo facto de implicar uma passagem abrupta da condição de repouso à de velocidade constante (e vice-versa) tornam-se óbvios os inconvenientes da utilização de um movimento uniforme 'puro'. A situação - que se traduz na existência de acelerações teóricamente infinitas na zona de transição, como se pode ver na Fig.4.5 - levaria à geração de forças elevadíssimas no ínício do movimento e à impossibilidade de o seguidor se manter em contacto com a superfície da came, no fim da subida. Questões similares se põem na sua utilização para o retorno (descida) do seguidor. Assim, uma solução simples reside no 'arredondamento' das zonas de transição, com o auxílio de arcos de raio igual à elevação total (d), tal como ilustrado na Fig.4.6. Figura 4.6 - Movimento uniforme modificado 4.3.2.3 Movimento parabólico Correspondendo à construção de uma curva de deslocamentos como a da Fig.4.7, Figura 4.7 - Diagrama de movimento parabólico a respectiva equação vem como, y = C ⋅ θ2 expressão que apenas é aplicável para (0 ≤ θ ≤ ponto de inflexão). MECÂNICA APLICADA - Cames 9 Como mostra a Fig.4.10, os problemas de funcionamento devido à existência de impulso 'infinito' no início e no fim do movimento levam a restrições na sua aplicação, não muito diferentes daquelas verificadas para o movimento parabólico. Figura 4.10 - Movimento harmónico simples 4.3.2.5 Movimento cicloidal Geometricamente, a curva para pode ser obtida como ilustrado na Fig.4.11, sendo o deslocamento do seguidor dado por: y = d ⋅[(θ/β) - (1/2π)⋅sen(2πθ/β)] Figura 4.11 - Diagrama de movimento cicloidal MECÂNICA APLICADA - Cames 10 sendo a velocidade e a aceleração dadas por: v = dy/dt = (d⋅ω/β) ⋅[1 - cos(2πθ/β)] a = d2y/dt2 = (2πd) ⋅[(ω/β)2⋅sen(2πθ/β)] Os diagramas correspondentes encontram-se na Fig.4.12. A notória ausência de problemas de funcionamento faz com que este tipo de perfil seja indicado para mecanismos de alta velocidade. Figura 4.12 - Movimento cicloidal MECÂNICA APLICADA - Cames 11 4.4 DETERMINAÇÃO GRÁFICA DO PERFIL DA CAME 4.4.1 Came com Seguidor de Rolete Centrado de Deslocamento Linear Inicia-se o procedimento dividindo o diagrama de deslocamentos num número conveniente de partes, tendo em consideração os pontos mais relevantes do movimento - isto é, início e fim de subida, descida, etc. Estes troços são depois sub-divididos equitativamente, contrabalançando a precisão requerida com o número de pontos de traçagem a obter. Seguidamente, divide-se a circunferência de base da came nos sectores angulares equivalentes à divisão efectuada no diagrama de deslocamentos. Partindo de um diagrama de deslocamentos, como o da Fig.4.13.b) - o valor da ordenada de cada ponto pode ser transferido para o correspondente raio do sector angular, no desenho da came - Fig.4.13.a) - adicionando-o à circunferência principal. (a) (b) Figura 4.13 - Came com seguidor de rolete centrado A união de todos os pontos assim determinados dá origem à curva primitiva da came, que MECÂNICA APLICADA - Cames 14 A superfície da came é traçada do mesmo modo que nos casos anteriores. Figura 4.16 - Came com seguidor oscilante MECÂNICA APLICADA - Cames 15 4.5 PARÂMETROS DE DESEMPENHO Quando indevidamente seleccionados, os sistemas de cames empregues em mecanismos de média/alta velocidade tornam-se em importantes fontes de ruído e de vibração, sendo frequente a sua ruptura por fadiga. Assim, além de exigirem um nível de manutenção elevado, podem originar deficiências gerais de funcionamento de todo um equipamento. Normalmente, uma análise cuidadosa dos diagramas de aceleração e de choque (ou impulso) permite a detecção de pontos de funcionamento problemáticos e a sua correcção no estágio de projecto. Todavia, em sistemas de média/baixa velocidade, apenas o deslocamento e a velocidade são realmente importantes factores de escolha e decisão. 4.5.1 Comparação de movimentos do seguidor Uma comparação entre os diferentes tipos de movimentos básicos, descritos atrás, poder-se-ia realizar igualando à unidade os parâmetros (d), (ω) e (β) e calculando os valores característicos resultantes: Tipo de Movimento Uniforme Parabólico Harmónico Cicloidal ymax 1 2 π/2 2 vmax 0 4 π2/2 2π amax 0 0 π3/2 4π2 Nota: desprezando as descontinuidades de início/fim de movimento, bem como o ponto de inflexão no movimento parabólico Numa rápida análise à Tabela acima, pode constatar-se ser o movimento uniforme o mais aconselhável e o movimento cicloidal o de piores características. Como esta conclusão é evidentemente errónea face à realidade dos factos, o estudo comparativo deve ser mais aprofundado. Assim, e traçando os diagramas de velocidade, aceleração e impulso - Fig.4.17, tendo em consideração que: - a velocidade é considerada nula, no início e no fim do movimento; - a aceleração é tomada como ‘positiva’ quando a velocidade aumenta e ‘negativa’ quando diminui; - a área total circunscrita pela curva de aceleração é nula, isto é, as áreas acima e abaixo da linha de zero equivalem-se; algumas conclusões poderão ser retiradas. Numa primeira análise, constata-se que o movimento uniforme apenas poderá ter um interesse teórico, uma vez que a magnitude atingida simultaneamente pela aceleração e pelo impulso lhe retiram qualquer aplicabilidade prática. MECÂNICA APLICADA - Cames 16 Tendo em consideração a relativamente baixa aceleração que se verifica no movimento parabólico, este seria uma boa solução caso não se verificassem os três picos de impulso que vedam qualquer hipótese da sua utilização para velocidades elevadas. O movimento harmónico apresenta igualmente pontos de muito elevado impulso, pelo que a sua utilização enferma das mesmas restrições do movimento parabólico. Quanto ao movimento cicloidal, apesar de ter uma aceleração que, globalmente, é superior à dos outros movimentos, apresenta um impulso de grandeza finita, assegurando assim um funcionamento capaz, mesmo a altas velocidades. Nota: em Anexo pode ser consultada uma comparação extensiva dos movimentos do seguidor, bem como uma análise de aplicabilidade, para todas as curvas básicas usuais. Figura 4.17 - Diagramas comparativos MECÂNICA APLICADA - Cames 19 Adicionalmente, e como o comprimento do arco da circunferência primitiva (l) e o respectivo raio (rP) são relacionados por: l = rP ⋅ β então: rP = l / β = f ⋅ y / β o que permite definir, à partida, o raio primitivo da came para se obter determinado ângulo de pressão, conhecidos que sejam o deslocamento pretendido, o ângulo de rotação da came em que se processa e retirado o factor de came da Tabela abaixo. Factores de Came para movimentos básicos Tipo de Movimento Ângulo de Pressão Uniforme Uniforme modificado Harmónico Parabólico e Cicloidal 10 5.67 5.84 8.91 11.34 15 3.73 3.99 5.85 7.46 20 2.75 3.10 4.32 5.50 25 2.14 2.58 3.36 4.28 30 1.73 2.27 2.72 3.46 35 1.43 2.06 2.24 2.86 40 1.19 1.92 1.87 2.38 45 1.00 1.83 1.57 2.00 4.5.4 Raio de Curvatura Nem sempre o projecto correcto de uma came (em termos de deslocamento, velocidade, aceleração e ângulo de pressão) resulta no correcto movimento do seguidor. A Fig.4.20 (a) mostra duas soluções possíveis para uma mesma curva primitiva: duas superfícies diferentes, para dois diêametros de rolete diferentes. Para o rolete maior, há uma área da came materialmente impossível (um ‘laço’) que, uma vez maquinada, origina uma zona de transição ponteaguda. O resultado final é um rolete que segue uma trajectória ‘rebaixada’, longe da pretendida. (a) duas soluções (b) situação limite Figura 4.20 - Raio mínimo da curva primitiva MECÂNICA APLICADA - Cames 20 Na Fig.4.20 (b) encontra-se a situação limite em que um rolete consegue seguir a curva pretendida, ou seja, quando: rR ≥ ρK em que (rR) representa o raio do rolete e (ρK) o raio de curvatura. A obtenção de uma expressão analítica para o raio mínimo da curva primitiva pode ser demonstrada, para um caso genérico como o ilustrado na Fig.4.21. Figura 4.21 - Raio da curva primitiva em que, sendo (rA) o raio da circunferência primitiva e (y4) o deslocamento do seguidor, dependente do angulo (θ2) da came, o raio da curva primitiva em qualquer ponto é dado por: r = rA + y4 A equação geral do raio de curvatura pode ser deduzida por cálculo diferencial, como: [r2 + (dr/dθ2)2]3/2 ρ = -  r2 + 2⋅(dr/dθ2)2 - r⋅(d2r/dθ22) ou, como (dr/dθ2) = (dy4/dθ2), [(rA + y4)2 + (dy4/dθ2)2]3/2 ρK = -  (rA +y4)2 + 2⋅(dy4/dθ2)2 - (rA + y4)⋅(d2y4/dθ22) em que o sinal negativo indica a existência de uma concavidade na curva. Nas cames, usualmente, o raio (ρK) atinge o seu valor mínimo quando (dy4/dθ2=0), o que ocorre para (θ2=0) e (y4=0). Recordando que (dθ2/dt=ω2), (dy4/dt=v4) e (d2y4/dt2=a4), além de que (d2θ2/dt2=0) para (ω2=const), pode concluir-se que a curvatura primitiva mínima será dada por: rA2 ρK, min. = -  rA - (a4/ω22) MECÂNICA APLICADA - Cames 21 dependendo, assim, do raio da circunferência primitiva e da razão entre a velocidade de rotação da came e a aceleração do seguidor. Por seu turno, o raio mínimo da superfície da came deverá ser de, ρC, min. = ρK, min. + rR No caso de curvatura convexa o estudo é em tudo semelhante, excepto no facto da expressão de (ρK) ser positiva. Neste caso, o raio mínimo de curvatura corresponde ao ponto de máxima aceleração negativa. Para seguidores de prato plano, a came deve ter dimensões suficientes para evitar que o raio de curvatura do perfil seja nulo, no período de aceleração negativa. Para evitar esta situação basta garantir que: ρC, min. = rB + y + (a4/ω22) > 0 4.5.5 Relação de Acelerações No decurso da elevação ou da descida do seguidor, existem pelo menos dois pontos de aceleração máxima, uma positiva e outra negativa. A ‘relação de acelerações’ define-se como a razão entre estes dois valores absolutos máximos. Utilizando os índices (i) e (ii) para definir a primeira e segunda partes do movimento do seguidor, a relação de acelerações é dada por: K = ai,max/aii,max Assim, e se o movimento for de elevação, (K>1) indica que a aceleração positiva é mais elevada que a aceleração negativa, e vice-versa. Por vezes, no projecto de cames, é conveniente limitar um destes picos, mas não necessáriamente os dois. Na hipótese de um seguidor que seja mantido contra a respectiva came unicamente por acção da gravidade, o contacto perder-se-á caso a aceleração negativa ultrapasse os 9.8 m/s2. Neste caso a solução, para evitar o recurso à acção de molas, passaria por garantir uma relação de acelerações diferente da unidade. Analizando, por exemplo, um caso de elevação parabólica em que podem ser individualizadas duas fases distintas do movimento de subida - uma primeira que se processa durante um ângulo (βI) de rotação da came, e uma segunda num ângulo (βii), sendo o ângulo total de elevação de (β=βi+βii) - para a primeira parte do movimento teremos uma equação básica do tipo: yi = C ⋅ θ em que, sendo (yi=y/2) para (θ=β), então (C=y/2βi2) e portanto, yi = (y⋅θ2)/(2⋅β2) pelo que: vi = (y⋅ω)/(2⋅βi) ⋅ θ ai = (y⋅ω2)/βi2 MECÂNICA APLICADA - Cames 24 boa aproximação a qualquer movimento, muito embora o seu cálculo possa ser complicado. A equação é do tipo, y = C0 + C1⋅θ + C2⋅θ2 + C3⋅θ3 + ... + Cn⋅θn sendo (y) o deslocamento do seguidor e (θ) o angulo de posição da came. As constantes (Ci) dependem das ‘condições de fronteira’, ou seja, das particularidades geométricas do movimento e serão em número idêntico ao das condições a serem cumpridas. Assim e se, por exemplo, se pretender que: Movimento do seguidor θ y v a 0 0 0 0 β d 0 0 para seis condições, teremos: y = C0 + C1⋅θ + C2⋅θ2 + C3⋅θ3 + C4⋅θ4 + C5⋅θ5 cujas primeira e segunda derivada serão: v = ωC1 + 2ωC2⋅θ + 3ωC3⋅θ2 + 4ωC4⋅θ3 + 5ωC5⋅θ4 a = 2ω2C2 + 6ω2C3⋅θ + 12ω2C4⋅θ2 + 20ω2C5⋅θ3 Subsituindo as condições da Tabela acima nestas três equações, obtem-se 0 = C0 d = C0 + C1⋅β + C2⋅β2 + C3⋅β3 + C4⋅β4 + C5⋅β5 0 = ωC1 0 = ωC1 + 2ωC2⋅β + 3ωC3⋅β2 + 4ωC4⋅β3 + 5ωC5⋅β4 0 = + 2ω2C2 0 = + 2ω2C2 + 6ω2C3⋅β + 12ω2C4⋅β2 + 20ω2C5⋅β3 a partir das quais se podem calcular: C5 = C1 = C2 = 0 C3 = 10⋅d/β3 C4 = -15⋅d/β4 C5 = 6⋅d/β5 Assim, finalmente, virão o deslocamento, 10⋅d 15⋅d 6⋅d y =  θ3 -  θ4 +  θ5 β3 β4 β5 MECÂNICA APLICADA - Cames 25 a velocidade, 30dω 60dω 30dω v =  θ2 -  θ3 +  θ4 β3 β4 β5 a aceleração, 60dω2 180dω2 120dω2 a =  θ -  θ2 +  θ3 β3 β4 β5 e o impulso, 60dω3 360dω3 360dω3 i =  -  θ +  θ2 β3 β4 β5 Na Fig.4.23 encontram-se as curvas correspondentes. De notar que, embora substancialmente diferentes, os resultados são comparáveis com os obtidos por um movimento cicloidal. Figura 4.23 - Curvas de deslocamento polinomial -----oOo----- MECÂNICA APLICADA Anexo ao Capítulo IV CAMES Curso de Licenciatura em Engenharia Mecânica Departamento de Engenharia Mecânica Escola de Engenharia UNIVERSIDADE DO MINHO J.C.Pimenta Claro (2001) [e-version: 2004]