As Equações de Boussinesq

As Equações de Boussinesq

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Laboratório de Mecânica de Pavimentos Prof. J. T. Balbo

As Equações de Boussinesq 1. Introdução

J. Boussinesq publicou em 1885 o trabalho “Application des Potentiels a l´Etude de lEquilibre et du Mouvement des Solides Elastiques”. Desde então, suas equações que apresentavam as interelações entre forças de contato sobre o contorno de um sólido semi-infinito foram utilizadas bem como expandidas para outras formas geométricas de aplicação de forças, tendo inclusive servido de fundamento para o estabelecimento da Teoria Elástica de Sistemas de Camadas proposta por Burmister em 1945.

As equações de Boussinesq tratam-se de uma particularização da Teoria da Elasticidade formalizada por Cauchy em 1822, sendo ainda hoje de grande aplicação a diversos estudos relacionados à Engenharia Geotécnica.

Para fundamentar a dedução de Boussinesq, recordar-se-á neste texto os conceitos envolvidos na Teoria de Cauchy, apresentando-se inicialmente a base de equacionamento da Teoria da Elasticidade.

Espera-se que a transposição de sistemas de coordenadas apresentada no texto seja de fácil intelecção aos leitores bem como a ampliação da Teoria de Boussinesq para cargas aplicadas em áreas circulares (por integração) seja posteriormente estudada por meio das referências aqui ao final indicadas.

Na formulação da Teoria da Elasticidade admite-se um estado de equilíbrio dinâmico no qual o semi-espaço elástico pode estar sujeito a dois tipos de ações: forças externas e internas.

As forças externas ou forças de superfície são aquelas distribuídas ou concentradas sobre a superfície do meio elástico tais como pressões de contato e pressões hidrostáticas.

As forças internas são também chamadas de forças de volume, como as forças gravitacionais e de inércia.

As forças internas, em diversas situações se tornam inexpressivas face às ações externas ao meio elástico (caso genérico das estruturas de pavimentos). Para o estudo do equilíbrio dos semi-espaços elásticos, sob condições de carregamento estático, as forças internas são desprezadas e as forças de superfície são

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Para a análise elástica-linear dos semi-espaços são assumidas as seguintes hipóteses:

(a) o material é homogêneo. (b) o material é isotrópico. (c) as tensões ficam caracterizadas por duas propriedades do material: seu módulo de deformação e seu coeficiente de Poisson, sendo que o material obedece à Lei de Hooke Generalizada.

A Lei de Hooke Generalizada relaciona as tensões Às deformações sofridas em um ponto qualquer do material.

A partir de tais hipóteses as equações de equilíbrio de um semi-espaço elástico podem ser obtidas conforme apresenta-se na sequência. Seja P um ponto de um semi-espaço elástico sob um determinado estado de solicitações causado exclusivamente pela ação de forças de superfície. Assuma-se tal ponto como um elemento infinitesimal da matéria de dimensões dx, dy e dz (figura 1).

As Equações Gerais de Equilíbrio Estático são definidas pelos somatórios de ações, considerada cada uma das direções (x,y,z), resultando nas seguintes:

· Para a direção x:

-sx.dy.dz - txy.dx.dz - txz.dx.dy +

[sx+(¶sx/¶x).dx].dy.dz + [txy+(¶txy/¶y).dy].dx.dz +

[txz+(¶txz/¶z).dz].dx.dy + fx.dx.dy.dz = 0 dividindo-se a equação de equilíbrio acima por (dx.dy.dz), chega-se à equação de equilíbrio para a direção x:

Utilizando-se do mesmo procedimento de equilíbrio para as direções y e z, obtém-se, analogamente, as seguintes equações, respectivamente:

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4 Figura 1 Tensões nas faces de um elemento da matéria

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As Equações de Compatibilidade de Deslocamentos e Deformações são deduzidas tendo-se por princípio que os deslocamentos planares que ocorrem em um dos vértices do ponto (paralelepípedo elementar) devem ser compatíveis com as deformações que surgem neste mesmo vértice (figura 2)

Figura 2 Deslocamentos no plano x-y

Generalizando-se para as três dimensões do elemento, o deslocamento total do ponto P será devido aos deslocamentos sofridos nos três planos que o contém (xy, x-z, y-z), sendo as deformações sofridas funções dos deslocamentos u, v, w; as funções-deslocamento serão:

u = u(x,y,z) v = v(x,y,z) w = w(x,y,z)

Tais funções devem, por definição, ser contínuas, pois suas derivadas primeiras representam as deformações sofridas, conforme indicadas pelas equações que se seguem:

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ey = ¶v/¶y[5]
ez = ¶w/¶z[6]

Tomando-se a hipótese de linearidade entre deformações e tensões (o material obedece à Lei de Hooke Generalizada), as seguintes equações são necessárias:

ex = (1/E) . [sx - n.(sy+sz)][10] ey = (1/E) . [sy - n.(sx+sz)][1] ez = (1/E) . [sz - n.(sx+sy)][12] gxy = (1/G) . txy[13] gxz = (1/G) . txz[14] gyz = (1/G) . tyz[15] sendo E o módulo de deformação (ou módulo de Young ou módulo de elasticidade), n o coeficiente de Poisson e G o módulo de elasticidade transversal do material, denotado pela relação entre E e n, conforme indicada:

Desta forma ficam estabelecidas 15 relações para a solução do equilíbrio e compatibilidade de deformações em um semi-espaço elástico, homogêneo e isotrópico, sujeito à ação de forças externas de superfície (note que as forças volumétricas não são consideradas na dedução). Esta teoria foi a base de formulação da Teoria de Boussinesq para o cálculo de deslocamentos, deformações e tensões em semi-espaços elásticos (maciços homogêneos).

Para acompanhar-se a formulação proposta por Boussinesq é conveniente a representação das equações [1] a [9] em sistema de coordenadas polares, cuja representação gráfica das tensões de superfície é aquela da figura 3.

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Figura 3 Tensões nas faces de um elemento (em coordenadas polares)

As equações de equilíbrio e compatibilidade reescritas em termos de coordenadas polares resultam em:

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er = ¶u/¶r[19]
eq = u/r + ¶v/ (r.¶q)[20]
ez = ¶w/¶z[21]

Considerada uma situação de assimetria não torcional (trq = tqz = 0), tais equações seriam reduzidas a:

¶sr/¶r + ¶trz/¶z + (sr-sq)/r = 0[25]

er = ¶u/¶r[27]
ez = ¶w/¶z[29]

eq = u/r[28] Se é tomada uma função de tensões (f) com a seguinte forma:

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As equações de compatibilidade entre deslocamentos e deformações resultariam em:

3. Teoria de Boussinesq

A Teoria de Boussinesq apresenta uma solução para o caso de uma força aplicada concentradamente no contorno (superfície) do semi-espaço elástico. Para resolver matematicamente as equações, Boussinesq tomou partido de funções

Considerando a carga aplicada concentradamente sobre a superfície do semiespaço elástico, a função de tensões poderia ser escrita sob a forma:

* é o operador de Laplace em coordenadas cilíndricas

Laboratório de Mecânica de Pavimentos Prof. J. T. Balbo sendo B uma constante a ser ajustada de modo a satisfazer as condições de contorno do campo de tensões. Substituindo [36] nas equações [30] a [3], obtém-se:

Tais tensões tendem ao infinito quando o ponto considerado se aproxima do ponto de aplicação de cargas. Para atender a esta condição o semi-espaço elástico foi admitido como um volume esférico com a força atuante sobre a superfície esférica (figura 4).

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