Coletanea P3 MAT2456, Provas de Engenharia Civil

Baixe Coletanea P3 MAT2456 e outras Provas em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity! COPIADORA Poda pie eai COLETÂNEA DE PROVAS DISCIPLINA: MAT 2456. PROVA: ar a a POLI - 06.11.2000 er | 19 ERR: su 1 zh, ê tê Nome : E di] BAR! / | - NºUSP : E Professor: F a Turma: 3 | Total OBS. Justifique as suas afirmações 1º Questão: (2,0) Encontre o intervalo de convergência da série: oo il. E E n=i q = : Nua lo a ATOM AVL porem g= (x-+3 EA CÂN analdos m , 1 4 2" R=>3 E [El Ee pa o nato da Coudiigimiia dt S 1 m Pos [| o» Ea om = = . [Mu | . (me) BU 3!) quota 3 o ro. a A dÁriuge & pers Pos U=3 ía aa o * tomjuge conde eita É o” Daio ques -3 2(x-4) < 8 e o A & = BE Lava. Em tos mo Vemavl 1) o 3º Questão: a) Considere n cqnação y' + (rsen 22)y = sen o (1.5) 1) Encontre a solução geral (0.5) ii) Encontre a solução y(:c) Lal que g(0) = 9. Co ses tao E Ena ves Rs 3 AMADA ( x fia X S d x SA, o a e 2 Patos em les aut ph)= É E E p : > Rox lo x ss VS va 2 e à ig8A | =jesnie E a E osedlE - to xé AA q AD 2 Toa fere E dx + É 3º Questão: homogênea b) Encontre a solução ! al da cquação diferencial linear 0 4 ag) pm 4 gg 994" + 162 + By =0 cujo polinômio característico se fatora em plt)=(t+1($ + 1842 +81) 2 2 Eilaada Apaes ri P (E) = (e +) é: 9) . 1 des id ces Pos mal pleco cada asa e [ — Str) -— É o: ouso t=-L dado = x é id GA A) E da E , ma 3X fts! z y X) = su . Es 13 Boy = NE y À) a x Sam 34 E dd gm A É =” io Tua 7 Seu do Gema co é ssa 22 Prova MAT 2456 2a - A P3 Rd - 06.11.2000 per 1 Nome : EN NºUSP : 3 Professor: = Turma: E Total | OBS. Justifique as suas afirmações 1º Questão: (2,0) Encontre o intervalo de convergência da série: oo n=1 ' º MA uu obama Ar std 4= EM O a Eca a o E % , = à 4 ser R= a peu fas AD Con no am La am da > pETE ams! = da] o" o ma > ua Poe =D ou [a (meato Rlmt) non à - os hei Pig E É: à uol diduça + Se O rgasanaça pas O pi — Aa 3º Questão: a) Considere a equação y' + (r cosa) = 1 cosa? (1,5) i) Encontre a solução geral (0,5) ii) Encontre a solução y(.r) tal que y(0) = 0. Co mam O & Guia cos 3 dy md GA (x Cox dx Simm XT - ad pré = € a ie É um Fala Ingemb z Sua x*? I Sek ( E ) = [x Eu ç) c 4 o = fre A us E E mta tdo e tas a! “en E (s 3º Questão: db) Encontre a solução serai da equação diferencial lincar homogênea vs gy ty 489 + 88y"” + 96y' + Iddy = 0 cujo polinômio característico se faLora em P)=(Psmr9Ãe+Bt+ 16). o b AV O asma Cate om fé POr = (6.3) CL ty) + portada Los So tocar Pau ga autts loco dade ns r —— E Efe ia E 5 L = 3X pr go=*€ 4,6)= Eo2x , - x + =tai 2 qm) = Sm 2 q €» 2X Res A “> a Rd | Lgy6r=* —— Á - cd : E qu DA DE AXE +Çlnax 6 Sul + 4 6) = Cc 2 3 = X Gu2X 7 UMES 6, Sêu Smole AGU, Cse.qeRr, pane LIO] 3º PROVA DE MAT 2 | TIPO A Q3IN I Nome : 3 NºUSP : 3 Total 1º Questão (3,0 pontos) Sabendo que w(z)] = a é uma solução da equação homogênea associada à equação (1) zip" + ey” + (=2 -a)y=2ivz determine a solução geral de (1). í — dA x AX a n * [nx AA A ul mar + | ue Koi sea, )* E = va fe z x | iu dus pu | tar — des |) + (= x x? $24N tu ba A =0 4] x 3 da Seu | ru [a AE dá E seua ZA dj nE iE Ta — duas + xt ulimas q 7 du - = x + da Te = Rio e / 2% x A dA X =0 =D 3 — TA  / ) 4 a J = 4Y4Dy= x Es AxrE É ld alo. Suttitiuudo: -4A+5 (Ax+B)=x = Gh=1", 4A+E B=0 ap =4 e rh Ig = «4 | | as | 3º Questão a) (2,0 pontos) Determine a série de Fourier da função Eai » Se -T<7<0 He)=4 7 i pr Se U<Xgz< 7 periódica de período 2z. oo 1 b) (D,5 ponto) Calcule 2 EnriÊ Dio E 7 c) (1,5 pontos) Conhecendo que » Rag Calcule x BrrIA r o 210 a) Tao= Ride ER dm +( "dica A) +27=-X ste ST -Á Th j 2! Eq 2 Ag= 3 ao= 34 E x o x J/ Tome | ses X Ego Re GR prot =” A q4 q U=xá A K *o = Codux = ARMAMX 0 D A O =X MMnx La | dunxdr. 4º max | = Aee Tn nº Tn ig n?A a in —+ 2 e n=2t+) (OtayZn = Tive | do) guendoe= | q Lund +! nei « hn LH A -K o U =X ul=1 J!s ARA AX is: = MAMA O O X E n — * cbx + | CBS, dy= ES, 2 ama En do dx nm n A n mA 3 Ea) je a ” A [SA- Em : (1-0) Burr TO dA nx A faço & cos. sau (7). Dis tia MS aum) e” at situ + dia fui eçã masa L tu(-6o) é O mu(om). Niva fotos Em trictua ou duismdas Sokiumi pos Jouima. Potato a Duuncõo é ET por pads À SC): +) dm CRT) onde c, e cy são constantes arbitrárias. Questão 3. a) (1,5) Verifique que y(z) = 7º é solução de zºy" + 2zy' — 6y = O e determine sua solução geral. são soluções de z?y" + 3zy' — 8y = 0, tj b) (1,5) Sabendo que m(z) = 1º e ya(z) = determine a solução geral de + Jry — By= H Sia Solução: a) À verificação é imediata: w = 2z, y = 2; portanto 2ºy + 2zyi —- Gy = 2 + 47º - 6x? = 0. Vamos procurar outra solução y, na forma ya(x) = z?e(z). Temos: va(x) = 2ze(z) + 22c'(x) e y"(x) = 2e(z) + dzc'(z) + s2c"(z). Substituindo, obtemos 22?e(2) + 4rºc'(x) + 2ºc!(x) + 4r?e(z) + 2xºc'(7) — 6x2c(z) = 0, que é equivalente a pio"(z) + 6x%c'(7) = 0 isto é 2e"(z) + 6c'(z) = 0. Fazendo c'(z) = uí(z), a última equação é equivalente a zu'(z) + Gu(z) = O, cuja solução geral é u(x) = &, onde 4 é uma constante arbitrária. Segue então que c(z) = fulz)dr+d = E EN Podemos tomar b = -S5 e d=0e, portanto, va(z) = a como outra solução. Nida aa, (y1, 42) é L.l. Portanto, a solução geral da equação dada é e v=02" += = onde c; e cy são constantes arbitrárias. b) Já sabemos que a solução geral da equação homogênea associada é dada por y = exyi(z)+coyalz), onde c; e ca são constantes arbitrárias. Vamos procurar uma solução partic- ular da equação não-homogênea da forma yp(z) = ci(ziyn(z)+ca(z)ya(z) (método da variação das constantes). Isso implica que ci(z) e ca(x) devem satisfazer o sistema (6) ut) (dé) = (sp) (lembre-se: para aplicar o método, é necessário escrever a equação na forma ytêy— ey = 3.) Esse sistema é, então ) (668) = (8). - Podemos, portanto, tomar e? 25 cuja solução é ci(z)= S e calz)=—z de ty s! 1 E = diz= e =-—. ala)= [ adz=-35 ca(a) = E Logo, yp(z) = — 3 7? — & = —& é uma solução particular e, portanto, a solução geral o 2 E ja-— +arr> y 3z À e onde c; é ca são constantes arbitrárias. 8 [e Gabarito da 3a. Prova de MAT2456 - Cálcuio IV - 26/11/01 - Turma B Questão 1. (4,0) Resoiva as equações diferenciais z e +1—2y ycosz — 2zy) ajy=———==—= b)y=——— dy = ) yr + y E :y 3zºy!? — sen Solução: a) Trata-se de uma equação de variáveis separáveis e, portanto, [isa= | onde C' é uma constante arbitrária. Para calcular a segunda integrai, fazemos a mudança de variável u = xº + 1, donde du = 2z dz e obtemos = du — J=[—>=+C=u,.C=v1l+22+0, e na à Portanto, a solução geral é y? = v1 +27 +, onde C é uma constante arbitrária. b) Trata-se da equação linear de la. ordem xy + 2zy = e* + 1. Multiplicando a equação por x, obtemos ry + 2ry==(e" +1), ou seja, Elety) =28 +27. Integrando, obtemos 3 2'y= [ue +ajdo+C=e(o- n+>-+o, e, portanto, a solução geral é onde C é uma constante arbitrária. e) Escrevendo a equação dada na forma (ycosz — 2zy)) dz + (sen x = 3x?y?) dy = 0, isto é, na forma Pdz + Qdy = O, verificamos rapidamente que se trata de uma equação exata: 2º = cosr — 6ry? e 2º = cosz — 6zy?. Logo, solução geral é dada por F(z,y) =, onde € é uma constante arbitrária e F é uma função que satisfaz 3y 5 9F E so - rg? dE ycosr cy 9F Mad ad —— =senz-52'y ay Integrando a primeira equação com relação a x, obtemos F(z,y) = ysen x — s3y3 + ely e, substituindo o resultado na segunda equação. concluimos que c'(y) = O. Logo, a solução gerai é dada por ysen z — 1ºy” = €, onde É é uma constante arbitrária. | Questão 2. a) (1,0) Determine a solução geral de vi 6 + 15y! — 18y +94 =0 - sabendo que seu polinômio característico é p(A) = (A2 = 31 + 3), b) (2,0) Determine a solução geral de y” — dy = 2e* cosz. Solução: a) O polinômio característico tem raízes duplas, dadas pelas raízes da equação À? — 3A+3 =, que são AÉ = asd Logo, as funções y = e*=/2 cos v3x/2, ya = e3/2sen v3x/2, va = ve2/ cos v3z/2 e ya = 1e3/2sen v3x/2 são soluções linearmente independentes da equação dada. Portanto, sua solução geral é E Sr vêz T +eqsen — + can cos —— + carsen — ), = e y=e?(ecos 3 onde c1, €2, €3 & c4 são constantes arbitrárias. b) À solução gerai da equação homogênea associada é dada por miz)=ce” +qe =, cnaeRr. Vamos procurar uma solução particular da não-homogênea na forma volz) = e=(Acosz + Bsen x), onde A e B são constantes a serem determinadas. Temos uolz) = €*(24cosz + 2B'sen 2 - Asen x + Bcoss) = eJ=[(24+ B)cosz + (2B — A)sen 2)), vilz) = E [2(24 + B)cosz + 2(2B — A)sen 2 — (24 + B)sen 2 + (2B — AJcosz] = eZE[(34 + 4B) cosa + (—4A + 38) sen 2]. Substituindo, temos vo — 4yp = CEIA + 4B) cosz + (>4A — B)sen 2). Portanto, yp será solução se -—A+4B =2 -4A-B=0 Isso implica que A= -Z e B = y. Assim, uma solução particuiar é 2e?= Vplz) = E (4sen z — cosz) e 2,0) Questão 1) b) Encontre a solução gerai da equação diferencial (yiny+ye)dz+(r+pcsy)dy=0, y>0, nba MUDO St = tua Cie el 34 É (20. dns. thgtt as ae dor amas es 3 E | ptal E ' o 1 um qd tema (da rolas E F + Cn a aa o É ek Fitas) | Qugret) dx = * wa (4f+ 3!3) E E q dE Vs = = ama + 30 a ad ql mark E O o |cmgretama=c pteê Mérro to GLERUEME DETERMINAR + (3,0) Questão 2) Encontre a solução gerai da equação 59 +17y— 3y= Ze Piadas conefiicha: pltlo SETE €,= Na pas he pit) p= lt-D(tT4e+ 13) An cai de PIO nos 2 A, 143%, d-31 E abas x a Ce +c,e 2 à x W (nIa + ce am 3X, o ytfL A qd de Edo bem jiuma Dri da Loma —1 5 À noiy de Pt), provaram uma A abra do) quant doa, da free. e 1 Ee “ =“ “ e - 4 lu- -A e, dy to= Ae, de. (ep =-A e x -— X AL Sa ASA CA NA IX e p= fx Gu qu; [a 04= Rs ia A 3 ae 4 E 3, Tx “x UnIx+ CE muIx — Cr Ca tm aa az 3,0) Questão 3) Encontre a solução geral da equação ;>0, ! fas dA aa? my +(o --jy= art, cy + q! sabendo que w = 1"2senz ey = 2 “2cosz são soluções Li. da equação homogênea associada. t4 a .e u u o] 1 E: Sa | p= X |) E SR Ú - i Ef, a i | XY EA t a: x É SL x me 3X ro, 4, 5 AVE um 4 é de = O E USE sa mA is Cc mx - x pa x Açhel = Sa Le) + vo bo 4.0), cp = ç uv! W! = ss Po ud [a via Gs E fã | á = - 2 E ) É qeiy 4 4 dy = Bis fi = Lo, 1 z oi MH = E E = - x 5 3 E ) | x Ama E tane e a Wid da) = dad | = ; Lo Ea lg EE 4 A 1 e [2% ata, E + Ra 5% UEDX qt ma: E: z a q Mr O pp, > ge -=1 — X E -4 o z e NE | a GS o | l TR fusos 6 ua x -4 to I — m E EE A EM = ave É si . dak 2% maxiv cx Ir do Ig e VE A a s A ly : be Io veias Qplej= 3% male t3x us x 3a EE asp ae En me mm E RUA ! BETER MI NAR k feto pas Lachnener (3,0) Questão 2) Encontre a solução geral da equação ut = Ty + my — 13y = 1067 P Jun dmao eps Agni q fia E ui ne da pre) pu) = Le-D[e-cta 1) An miya de pit) 1, 3+30, 3-du E x x a 3x Ep tD Res o iinna 6; upa Eogrta, SH É o ndugã alo a Edo Perro iaro crprotiada Dn —1 ye asa da o, dr Uia -* um qtde res qtg =ae ) E (v)=-Ae -Ae “Ia CC IgA Ca ET. tod + bos = do Re feto Toluço id! X Ae e E | ax Ce rel ndxs Es É APSUADE oe 0 ; Cy t 3 € Re (3.0) Questão 3) Encontre a soiução geral da equação a sa) AN e df =y +v+(z m)v=* 20, sabendo que y = 17“2senz ey = 1"? cosz são soluções Li. da equação homogênea associada. " 4 f -l -W game (1-E)s» í 1 & í ” -h -% e - apra LE aeb; * NA + Me pa 5» É a 2 ME 4 -h 1 x E = * ama As “nx cdi Aptd- im, Ox) 9, Ce + us le) Gato, ama SJ wo! =o . mA de = % Ea ee cags M < E « = < o wl ) 5% Bu da] E A E á * us = MAT 2456 - Cálculo IV - POLI 4º Prova 01.12.2003 mp, Nome : HS NºUSP - RO : = Turma : Professor : - Assinatura: [ESPE e e Tor 1. Resoiva as seguintes equações de 1º ordem (2.0) (a) y = uti) = 2 (1,5) (b) Verifique que g(x) = = é fator integrante para a equação E E > =: Jaz — dy = 0 e em seguida rescivo-a, Es as Lesaido Jo) gere ama re ã 1 Arma ds . A de ara as a 4 4 Á sa Como , À = do -  & são soluções de y” 3. (2.0) (a) Sabendo que £ uma solução particular de q” — (1.5) (b) Ache a solução gerai da equação rº” — 3ey' >9y=0, 2>0 4 abas a eçã + E (n-3)*= O a 1 Pude A =X e Ls Cata 5 js a) je palistazem E, tu) A+ E Cx E Go) 4 vÉ fx) e* = RE 4 Je Clau) as E, (x) es E onde + = O 1 ã 2» , E LO - ent cg; ale l=-€ rated e” 2 PA E Ria 1 Gde af Ca fo z GABARITO MAT 2456 - Cálculo IV - POLI 3º Prova 01.12.2003 B [-l [IN | Nome o NºUSP: RG: ri S Tuema : o Professor : e TS a si T 1. Resolva as seguintes equações de 1º ordem 7 + 3zy (2,0) 40) 4 = "E. guj=2 11,5) (b) Verifique que g(y) = y é fator integrante para a equação % LM, E -ad + (= : dy = 0) e em seguida resolva-a. te pix + é) did q  ze Rova Mat 2456 - Z004 a JUSTIFIQUE TODAS AS SUAS AFIRMAÇÕES Questão 1: a) Ache um fator integrante e resolva a equação (2lz+y)secz+terlde+tgz dy=0. b) Resolva a equação (7 + gel? ide — xev2 dy = 0. Oo [2.009 mem atlas tg dy 00 (A) E) Po) = 2 (ee g)dx + tgx ae 22. nês Er Qua) = tax ox 2% Csmo Eni pm 4 bquda AX, tax Sornils a a is a um pata tapa q- so” gta 2[ po q) = a po = A = um po Ego A tuftsal - po E Sais, sd o dar Ea cal + Fatah, as e pita dm qu sto a E G9) = Na A Judo COualn É hit MA + tj (1) e É e 009 Side ER alte Fou) = 4" asas aa o, om 2uyfp nda een tea am > “ME - Co = dx tax peca + te Px ct) = 2) ptipcndo Joc 1) de - ata ator o) - ate pace = Rand sara ou (rest = E ») (x+ ge ae - nem o dg q da a - ur ada facão Q dr fia a x des E et du À a E dh sE 1» 9O = A (Lic) , CER anbitóio x = Mi eSA cenlito Dur geo Và “o E ) Questão 2: a) Determine a solução geral das equações (1) q" + 2y + 5y = 4sendz (ty —2y = e b) Dar a solução geral da equação diferencial linear de coeficiente constantes cujo polinômio característico é pla) = (RA). 2 6) O gl ga ms Em 3% EG. Lema anmeciedo o We Zn 4 SG 0 tp di cotuu cetim: PRC ea ) Set, qual da 23 hero. ee d ; Erg É “4 Do e (e umZx +, om2r) Sabu podiuter , Como bio Loud, e EA e air conse leusdrca , Qrist uma sela ga7 pe dez na ad - hun é Bask, Ab Ano Sulodiue indo o Ande + SB code » c 3x - IDstmix ap 0d se jA Um , - 3 4.568? Apimix + CB qodx + SA cad + Sm — Doendx, m5 We C-4A + 68) un 3x a (-n-aB)emês = oamix , pda « Be. A= E. = - SA coxa -Ybomir— 6 -4h4GB = O af dB Sduças qu 469) o etc uo2x +Cam2s) = a eote + 28) sea “um tator integrante e resolva a equação (secz + ytgz)dr + dy=0. ») Resolva a equação y v(inZ+1) de sin tay=o, 18 Capao Pcs) = Mex + q gx o Quy) = + ae = 0 -tx= Az Conus (28 GEE obg pa aque e, ap sir dee, pi quit q As depando de; 3 po) - 2[poGuer st] P'os = gn) pros pes = q frear Ps da Ioox ] deco, PoI = CX 2 um fis E plus pes dadm po FOp-C us Ce uma adiado Galctiania 2 F prada fas, A . pecêx + uy tga ae çã o) 3 a = Mex (2) LO Atua Fx) = eae + Ud atx + Cly). Sadia ita dn doa (2) E sbtium AR + cc) =/RÇK ê eécq)= º a cly)= O Toluaços Gral é tau + yuex=C 4(MmE +) nd dy 1 Tn “ Sepé. “to mão Cm hds Ce ja Euesges ex — wu (Buu 41) Auta x du ulmu eu dm uu dx Ame uam teem = fáeic Sdaçã que Aba = debe + (Mu = 2 (Le (44C) Questão 2: a) Determine a solução geral das equações )y + a + 5y = 4cos3r (ij gy — dy = ei b) Dar a solução geral da equação diferencial linear de coeficiente constantes cujo polinômio característico é PA) = (22 — 9) o q) q) j'- Cit ie Fora E o — Gryetaidos, O gr + Se > plard cane das dress py = Nr RAS | Pede, = Ape t+R « Ras Eid Sa js Prado de 1a arerrséiai g 0) = g Ec, top 2x + 6, un2x) Sbeçã puto msliicddo ain Nai da pl=0, pão q ag der uma REA aco Ea dp = Asse + E aemdx , AB custom Aa odeia dis pm? 4 ot, Acoà o JAcodxT GB im? 3x + a(- 3A namdx + 3B (3%) + 5(Acs 3 )- ; q era Sex C4A+CBoo dx + CA- JE) pombo = -|A+GD= 4 aro Bia É À -A-GB=0 A sd às + EE Glx +€ namex a f Bend 4) Sonluças apa. E j (x) = goto