Apostila matemática finaceira e análise de investimento

Apostila matemática finaceira e análise de investimento

(Parte 1 de 5)

MATEMÁTICA FINACEIRA E ANÁLISE DE INVESTIMENTO

Prof. Antonio Carlos Hilsdorf

Conteúdo Programático

  1. Juros Simples

  • Taxas percentuais

  • Taxas unitárias

  • Taxas proporcionais

  1. Juros Compostos

  • Taxas equivalentes

  • Taxas efetivas

  • Taxas nominais

  1. Desconto simples

  2. Desconto composto

  3. Equivalência de capitais

  4. Substituição de títulos

  5. Rendas

  • Fluxo de caixa

  • Capitalização composta

  • Renda Imediata

  • Renda Antecipada

  • Amortização composta

  • Renda Imediata

  • Renda Antecipada

  • Renda Diferida

  • Sistemas de Amortização

  • Sistema Francês de Amortização (Tabela Price)

  • Sistema de Amortização Constante (SAC)

  • Sistema de Amortização Misto (SAM)

JUROS

Podemos introduzir o conceito de juros pelas expressões

  1. dinheiro pago (remuneração do capital) pelo uso de dinheiro emprestado  aluguel pago pelo uso do dinheiro

  2. remuneração do capital empregado em atividades produtivas ou, ainda,

remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capital nelas aplicado

Quem possui recursos financeiros pode usufruir de várias formas: compra para investimento, emprestá-los a terceiros, depositá-los ou até guardá-los.

Se o dinheiro for emprestado, o possuidor do dinheiro, deve avaliar a taxa de remuneração para os seus recursos, estando atento aos seguintes fatores:

  1. Risco: o tomador do empréstimo não resgatar o dinheiro

  2. Despesas: despesas operacionais, contratuais e tributárias

  3. Inflação: índice de desvalorização do poder aquisitivo da moeda previsto para o prazo do empréstimo

  4. Ganho (ou lucro): fixado em função das demais oportunidades de investimentos, pois seu dono não estará utilizando esse bem que poderia o ser

Objetivo da receita de juros  cobrir o risco, as despesas e a perda do poder aquisitivo do capital emprestado

Proporcionar certo lucro ao seu aplicador

Do ponto de vista do tomador do empréstimo em um negócio qualquer para haver lucro a despesa tem que ser menor do que a receita prevista.

Do ponto de vista dos Bancos e das Financeiras as taxas de remuneração dos recursos capitados devem ser menores que as taxas cobradas nas operações de empréstimos ou financiamentos, para cobrir os gastos e obter lucros.

CAPITAL

Do ponto de vista da Matemática Financeira, capital é qualquer valor expresso em moeda e disponível em determinada época.

TAXA DE JUROS

Taxa de juros é a razão entre  os juros recebidos (ou pago) e o

capital inicial aplicado (ou emprestado)

As taxas de juros se referem sempre a uma unidade de tempo (mês, semestre, ano, etc.) e podem ser representados equivalentemente de duas maneiras: taxa percentual e taxa unitária (fração decimal).

A taxa percentual refere-se aos “centos” do capital, ou seja, o valor dos juros para cada centésima parte do capital.

Por exemplo. Um capital de $1000,00 aplicado a 20% ao ano rende de juro, ao final deste período:

Juro = $ 1000,00 x 20 Juro = $ 10,00 x 20 = $ 200,00

100

O capital de $ 1.000,00 tem dez centos. Como cada um deles rende 20, a remuneração total da aplicação no período é de $ 200,00.

A taxa unitária centra-se na unidade de capital. Reflete o rendimento de cada unidade de capital em certo período de tempo.

No exemplo acima, a taxa percentual de 20% ao ano indica um rendimento de 0,20 (20% / 100) por cada unidade de capital aplicada, ou seja:

Juro = $ 1.000,00 x 20 Juro = $ 1.000,00 x 0,20 = $ 200,00

100

A transformação da taxa percentual em unitária se processa simplesmente pela divisão da notação em percentagem por 100. Para a transformação inversa, basta multiplicar a taxa unitária por 100.

Exemplos:

TAXA PERCENTUAL

TAXA UNITÁRIA

1,5%

8%

17%

86%

120%

1.500%

Nas fórmulas de matemática financeira todos os cálculos são efetuados utilizando-se a taxa unitária de juros.

DIAGRAMA DO FLUXO DE CAIXA

Conforme foi comentado, a matemática financeira se preocupa com o estudo da várias relações dos movimentos monetários que se estabelecem em distintos momentos no tempo.

Estes movimentos monetários são identificados temporalmente através de um conjunto de entradas e saídas de caixa definido com fluxo de caixa. O fluxo de caixa é de grande utilidade para as operações de matemática financeira, permitindo que se visualize no tempo o que ocorre com o capital. Esquematicamente, pode ser representado da forma seguinte:

Entradas de + + + + +

Caixa (+) ________|__________|__________|______

0 1 2 3 4 5 6 7 8

- - (Tempo)

Saídas de

Caixa (-)

A linha horizontal registra a escala de tempo, ou seja, o horizonte financeira da operação. O ponto zero indica o momento inicial, e os demais pontos representam os períodos de tempo (datas).

As setas para cima da linha do tempo indicam entradas (ou recebimentos) de dinheiro, e as setas para baixo da linha indicam as saídas (ou aplicações) de dinheiro.

REGRAS BÁSICAS

Nas fórmulas de matemática financeira, tanto o prazo da operação como a taxa de juros devem necessariamente estar expressas na mesma unidade de tempo. Por exemplo, admita que um fundo de poupança esteja oferecendo juros de 6% ao mês e os rendimentos creditados mensalmente. Neste caso, o prazo a que se refere a taxa (mês) e o período de capitalização do fundo (mensal) são coincidentes, atendendo à regra básica.

Se uma aplicação foi efetuada pelo prazo de um mês mas os juros definidos em taxa anual, não há coincidência nos prazos e deve ocorrer necessariamente um “rateio”. É indispensável para o uso das fórmulas financeiras transformar a taxa de juros anual para o intervalo de tempo definido pelo prazo, ou vice-versa, o que for considerado mais apropriado para os cálculos. Somente após a definição do prazo e da taxa da mesma unidade de tempo é que as fórmulas de matemática financeira podem ser operadas.

Os critérios de transformação do prazo e da taxa para a mesma unidade de tempo podem ser efetuados através das regras de juros simples e juros compostos, dependendo do regime de capitalização definido para a operação.

JUROS SIMPLES OU CAPITALIZAÇÃO SIMPLES

Nessa hipótese os juros de cada período são calculados sempre em função do capital inicial empregado; não incide sobre os juros acumulados.

Nesse regime de capitalização as taxas variam linearmente, isto é:

id x 360 = im x 12 = it x 4 = is x 2 = ia

onde,

id  taxa diária

im  taxa mensal

it  taxa trimestral

is  taxa semestral

ia  taxa anual

Cálculo dos Juros

J = C x i x n ou J = PV x i x n

Cálculo do Futuro Valor e do Presente Valor

O Futuro Valor (montante) é igual a soma do Presente Valor (capital inicial) aos Juros referentes ao período da aplicação.

FV = PV + J mas J = PV . i . n então:

FV = PV + PV . i . n

FV = PV . (1 + i . n)

Fator de acumulação do capital (FAC) ou

Fator do Futuro Valor (FFV)

Se quisermos o valor do Presente Valor (valor atual, capital inicial):

PV =

Abreviações e denominações que serão utilizadas

J = Juro

PV= Presente Valor

FV = Futuro Valor

PMT ou R= Parcelas

n = Período

i = Taxa de juros

D = Desconto

D = Taxa de desconto

FFV = FAC = Fator de Acumulação de Capital ou Fator do Futuro Valor

FPV = FVA = Fator de Valor Atual ou Fator do Presente Valor

PVL = Presente Valor Líquido

TIR = IRR = Taxa Interna de Retorno

CF = FC = Fluxo de Caixa

A = Amortização

Capitalização Simples

Capitalização Simples é aquela em que a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial, não incide , pois, sobre os juros acumulados. Neste regime de capitalização a taxa varia linearmente em função do tempo.

A taxa utilizada neste regime é a taxa proporcional, isto é, para converter:

Taxa diária em mensal, basta multiplicá-la por 30,

Taxa mensal em diária, basta dividi-la por 30,

Taxa diária em anual, basta multiplicá-la por 360,

Taxa anual em diária, basta dividi-la por 360,

Taxa mensal em anual, basta multiplicá-la por 12, etc.

Exercícios:

  1. Sabendo-se que certo capital, aplicado durante 10 semestres, à taxa de 36% ao ano, rende $ 72.000,00 de juros, determinar o futuro valor, no regime de capitalização simples.

Resp. $ 112.000,00

  1. Um empréstimo de $ 40.000,00 deverá ser quitado por $ 80.000,00 no final de 12 meses. Determinar as taxas mensal e anual cobradas nesta operação de capitalização simples.

Resp.: 8,33% a.m. e 100% a.a

  1. Calcular o valor dos juros e do montante de uma aplicação de $ 2.000,00, feita a uma taxa de 4,94% ao mês, no regime de capitalização simples, pelo prazo de 76 dias.

Resp.: $ 250,29 e $ 2.250,29

  1. Uma aplicação de $ 5.000,00, pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de $ 825,00. Indaga-se: qual a taxa anual correspondente a essa aplicação, no regime de juros simples?

Resp.: 33% a.a

  1. Determinar o valor de um título cujo valor de resgate é de $ 6.000,00, sabendo-se que a taxa de juros simples cobrada para gerar este título é de 5% ao mês e que o seu vencimento é de 4 meses.

Resp.: $ 5.000,00

  1. Sabendo-se que certo capital, aplicado durante 10 bimestres, à taxa de 36% ao ano rende $ 7.200,00 de juros, determinar o montante no regime de capitalização simples.

Resp.: $ 19.200,00.

Exercícios Extras:

  1. Um capital, aplicado por 2 meses, elevou-se a 3/2 de si próprio. Qual foi a taxa linear considerada?25% ao m.

  1. Depositei a quantia de $72.000,00 em um banco que remunera seus clientes a taxa simples de 36% ao ano. Depois de um certo tempo, verifiquei que o meu saldo era de $73.800,00. Por quantos dias deu-se essa aplicação? 25 dias

  1. Pretendo poupar uma parte do salário, para daqui 2 bimestres ter um montante de $500,00, sabendo que a taxa é de 48% ao ano, quanto devo aplicar sendo o regime de capitalização simples? 431,03

JUROS COMPOSTOS

É definido de acordo com o conceito de regime de capitalização composta.

Fórmula:

J = FV – PV

FV = PV (1 + i)n

Sendo (1 + i)n o fator de acumulação do capital (FAC).

FAZER OS EXERCÍCIOS 6, 7, 8 (a e b) E 9 (n).

Exercícios de Juros Compostos (FV, PV, n e i)

  1. Quanto terá Dona Gertrudes após 4 trimestres se aplicar um capital de $500.000,00 à taxa composta de 6% ao bimestre? ($709.259,55)

  1. Qual o valor do rendimento resultante de uma aplicação que gerou um montante de $293.866,00 a uma taxa efetiva de 8% ao mês, durante 5 meses? ($93.865,75)

  2. Durante quanto tempo se deve aplicar um certo capital para que a 10% ao mês ele triplique, na capitalização composta? (11 meses e 15 dias)

  1. Um capital de $180.000,00 foi aplicado durante 12 meses e proporcionou juros de $384.917,00. Qual foi a taxa exponencial de aplicação? (10% ao mês)

Capitalização Composta

Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sobre o capital inicial, acrescido dos juros acumulados até o período anterior. Neste regime de Capitalização a taxa varia exponencialmente em função do tempo.

A taxa utilizada neste regime é a taxa efetiva (taxa realmente paga).

Para conversão da taxa utilizamos o conceito de taxas equivalentes.

Equivalência de taxas

Duas ou mais taxas referenciadas a períodos unitários distintos são equivalentes quando produzem o mesmo montante no final de determinado tempo, pela aplicação de um mesmo capital inicial.

PV = PV

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