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LIMITE E CONTINUIDADE 1, Notas de estudo de Engenharia Civil

Pequena apostila ensinando o básico sobre Limites.

Tipologia: Notas de estudo

Antes de 2010

Compartilhado em 17/03/2007

bruno-basto-11
bruno-basto-11 🇧🇷

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Baixe LIMITE E CONTINUIDADE 1 e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity! NOTAS DE AULA DO CURSO DE CÁLCULO I - 2004.1 Prof. MARCELO MARCHESIN Atualizado em 12/04/04 Caṕıtulo 1 LIMITE E CONTINUIDADE 1.1 FUNÇÕES REAIS: DEFINIÇÃO:Uma função real é uma associação de elementos de um conjunto A, a elementos de um conjuto B. f : A → B x → y O conjunto A é chamado de domı́nio da função f e o conjunto B é chamado de contra-domı́nio de f . No caso em que estaremos trabalhando, a menos que mencionado em contrário, B será sempre IR, o conjunto de todos os números reais, e A será sempre um subconjunto não vazio de IR. Por este motivo as funções por nós estudadas serão chamadas de funções reais. OBS: 1)É importante que TODO elemento de A seja associado a um elemento de B e que este elemento seja ÚNICO. Ou seja, um elemento de A não pode ser associado a mais de um elemento de B, caso contrário dizemos que a relação f não define uma função. Exemplo: 1) se A = {0, 1, 2, 3} então A não pode ser um domı́nio da função f definida por f(x) = 1 x pois não se pode atribuir um valor matemático à expressao 1 0 . Contudo qualquer sub-conjunto dos números reais que não contenha o 0 poderá ser um domı́nio para esta função f . Buscaremos, em geral, o maior sub-conjunto dos números reais que sirva como domı́nio de f . Neste caso diremos que tal conjunto é o domı́nio natural de f, ou simplesmente O DOMÍNIO DE f. 2 |x| =  x , se x ≥ 0 −x , se x < 0 Exerc. 4)4.1 Encontre seu domı́nio natural e determine seu conjunto imagem. 4.2) Calcule: i)| − 1 | ii)| 1 | iii)| 0 | iv)| √ 2 | v)| − π| vi)| − x2| vii)|p2 + 2p + 1| viii)|x2 + x− 2| ix)| − x2 + 7x− 12| 4.3) Mostre que √ x2 = |x| 4.4) Considerando c uma constante positiva, esboce os gráficos de (Estude a § 1.3 pag. 38 à 43 do livro texto): i)f(x) = |x + 1| ii)f(x) = |x− 1| iii)f(x) = |x + c| iv)f(x) = |x− c| v)f(x) = |x/3| vi)f(x) = |x/− 3| vii)f(x) = |x/c| viii)f(x) = | − x/c| ix)f(x) = |3x− 5| x)f(x) = |kx− c| xi)f(x) = |x + 1| xii)f(x) = |x + 1| OBS: O VALOR ABSOLUTO COMO NOÇÃO DE DISTÂNCIA. Note que | − 3| = |3| = 3 é justamente a distância que o número real 3 se encontra da origem da reta que representa os números reais. De mesma forma a equação |x− 1| = 3 nos fornece como solução o conjunto S = {−2, 4} justamente os pontos cuja distância até o 1 é três unidades. Mais geralmente, de mesma forma que |x| = |x−0| representa a distância de x até a origem, |x−xo| representa a distância de x até xo. Desta forma a equação |x−1| = 3 poderia ser relida da seguinte forma: ”Quais são o valores de x cuja distância até o 1 é 3 unidades?”. Exerćıcios: 1)Com a noção de distância atribuida a função modular acima de- screva qual é a propriedade geométrica que caracteriza a solução das equações abaixo. Use tal descrição para encontrar, sem fazer contas, as soluções de tais equações: i)|x− 2| = 1 ii)|x− 1| = 2 iii)|x + 3| = 4 iv)|x− 5| < 3 v)|x + 3| ≥ 5 vi)|x + 10| > 2 vii)|x− 7| < −3 viii)|x− 3| < |x− 9| ix)|x + 5| ≤ |x− 2| Nos casos iv), v) e vi) acima represente o conjunto solução como intervalos ou união de intervalos. 2) Dada uma função f qualquer cujo domı́nio é IR. O que significa geometrica- mente dizer que dado um número real  > 0 (por menor que queiramos escolhê-lo) existe M > 0 (talvez muito grande pois ele dependerá da escolha do  tal que se x > M então |f(x)− 0| < . 3)Dada uma função f qualquer cujo domı́nio é IR. O que significa geometri- camente dizer que dado uma constante positiva qualquer M (por maior que seja) existe  > 0 (talvez muito pequeno pois ele dependerá da escolha do M tal que se |x| <  então f(x) > M . 1.1.2 FUNÇÕES QUE CRESCEM INDEFINIDAMENTE: Considere a função: f(x) = 1 x2 com domı́nio IR∗. O que acontece quando x ”se aproxima indefinidamente”de 0 ? Resp: f(x) cresce indefinidamente! Como podeŕıamos demonstrar matematicamente esta afirmação? Será que isto poderia ser feito atribuindo-se valores cada vez mais próximos de zeros e analisando- se a imagem de tais valores? Quantos valores precisaŕıamos analisar? Será que podeŕıamos ser levados a conclusões distintas dependendo dos valores escolhidos? Em português: f(x) cresce ilimitadamente a medida que tomamos valores de x suficientemente próximos a zero. Em ”matematiquês”’ : Dado qualquer constante positiva M (por maior que possamos escolhê-la) existe  > 0 (talvez muito pequeno pois ele dependerá da escolha do M) tal que, se |x| <  então f(x) > M . Perceba que, com a sentença acima, estamos dizendo que não importa quão grande seja a constante M escolhida, sempre haverá uma região próxima ao 0 (excluindo o próprio 0) com a propriedade de que todo x pertencente a esta região tem por imagem um valor que supera M . Isto nos leva direto às seguintes definições: OBS:Consideraremos nas definições abaixo um ponto xo que não necessaria- mente pertença ao domı́nio da função f , contudo deve ser posśıvel se encontrar um intervalo aberto centrado em xo, ”perfurado em xo”, totalmente contido no domı́nio de f . Isto se faz necessário para que se possa tomar valores de x arbitrariamente próximos de xo. A exclusão do ponto xo se justifica pois estamos interessados no comportamento da imagem de pontos próximos a xo mas diferentes deste. Na ver- dade, no estudo de limite siquer nos interessa saber se o ponto xo pertence ou não ao domı́nio da função analisada. Situação diferente enfrentaremos quando estudarmos continuidade de uma função em um ponto xo. DEF. 1 Dizemos que ” f(x) tem limite infinito quando x tende a xo ”Notação: lim x→xo f(x) = ∞ se, dado qualquer constante positiva M , formos capazes de mostrar a existência de  > 0 tal que todo x (diferente de xo) cuja distância até o ponto xo for menor que , tem por imagem um valor maior que M . Ou seja: Se 0 < |x− xo| <  então f(x) > M . Exerc. 5: Seja f(x) = 1 x2 . Mostre, pela definição que lim x→0 f(x) = ∞. RESOLUÇÃO: Devemos mostrar que dado M > 0 qualquer, existe (pelo menos um)  > 0 com a propriedade que se 0 < |x− 0| <  então f(x) = 1 x2 > M . Para se verificar isto basta tomar  = 1√ M , vejamos: 0 < |x− 0| = |x| <  = 1√ M ⇒ 0 < |x|2 < 1 M ⇒ 0 < x2 < 1 M ⇒ ⇒ M < 1 x2 ⇒ f(x) > M Tudo o que foi feito para a função acima, que cresce de forma ilimitada ao tomarmos valores de x se aproximando de xo, pode ser feita de forma totalmente análoga para funções que decrescem de forma ilimitada ao tomarmos valores de x se aproximando de xo. Isto justifica a seguinte definição: DEF. 2 Dizemos que ” f(x) tem limite menos infinito quando x tende a xo ”Notação: lim x→xo f(x) = −∞ se, dado qualquer constante positiva M , formos capazes de mostrar a existência de  > 0 tal que todo x (diferente de xo) cuja distância até o ponto xo for menor que  tem por imagem um valor menor que −M . Ou seja: Se 0 < |x− xo| <  então f(x) < −M . Se analisarmos, de mesma forma, o comportamento da função f(x) = 1 x quando x se aproxima de 0 notaremos que tal comportamento quando x se aproxima de xo por Agora fica mais fácil atacarmos o caso genérico. Para um  > 0 qualquer basta tomarmos K = 1  e teremos: x > K = 1  > 0 ⇒ |1 x − 0| = 1 x < 1 K =  OBS: A reta horizontal dada por y = L recebe o nome de asśıntota horizontal ao gráfico da função f(x) em qualquer dos casos acima. DEF. 9 Dizemos que ” f(x) tem limite infinito quando x tende a ∞ ”Notação: lim x→∞ f(x) = ∞ se, dado qualquer constante positiva M , formos capazes de mostrar a existência de K > 0 tal que todo x > K tem por imagem um valor que supera M . Ou seja: Se x > K então f(x) > M . DEF. 10 Dizemos que ” f(x) tem limite infinito quando x tende a −∞ ”Notação: lim x→−∞ f(x) = ∞ se, dado qualquer constante positiva M , formos ca- pazes de mostrar a existência de K > 0 tal que todo x < −K tem por imagem um valor que supera M . Ou seja: Se x < −K então f(x) > M . DEF. 11 Dizemos que ” f(x) tem limite menos infinito quando x tende a ∞ ”Notação: lim x→∞ f(x) = −∞ se, dado qualquer constante positiva M , formos capazes de mostrar a existência de K > 0 tal que todo x > K tem por imagem um valor inferior a −M . Ou seja: Se x > K então f(x) < −M . DEF. 12 Dizemos que ” f(x) tem limite menos infinito quando x tende a −∞ ”Notação: lim x→−∞ f(x) = −∞ se, dado qualquer constante positiva M , formos capazes de mostrar a existência de K > 0 tal que todo x < −K tem por imagem um valor inferior a −M . Ou seja: Se x < −K então f(x) < −M . Exerc. 7: Mostre, utilizando a definição conveniente,os seguinte limites: i) lim x→∞ 1 x2 = 0 ii) lim x→−∞ 1 x2 = 0 iii) lim x→∞ x− 1 x + 1 = 1 iv) lim x→−∞ x− 1 x + 1 = 1 v) lim x→−∞ x = −∞ vi) lim x→−∞ |x| = ∞ vii) lim x→∞ x2 − 1 x2 + 1 = 1 viii) lim x→∞ x + k x = 1 ix) lim x→∞ x2 = ∞ EXEMPLO: Mostrar pela definição que lim x→∞ x2 − 1 x2 + 1 = 1 DEM: Dado  > 0 devemos exibir K > 0 de tal forma que para todo x > K tenhamos |x2−1 x2+1 − 1| < . Afirmamos que para um  arbitrário basta tomar K = √ 2  − 1 que as coisas fun- cionam. Vejamos: x > K = √ 2  − 1 ⇒ x2 + 1 > 2  ⇒  > 2 x2 + 1 = | −2 x2 + 1 | ⇒ ⇒  > |x 2 − 1− (x2 + 1) x2 + 1 | = |x 2 − 1 x2 + 1 − 1| OBS: O cálculo de limites como o acima, via definição, é, em geral, trabalhoso e demorado. Em breve apresentaremos alguns teoremas que nos permitirão simplificar tal operação. EXEMPLO: lim x→∞ x2 = ∞. DEM: Dado M > 0 devemos exibir uma constante positiva K que tenha a propriedade que todo número maior que K tem por imagem pela função f(x) = x2 um valor maior que M . Claramente tal constante K deve depender do M dado a priori. Afirmamos que basta considerar K = √ M e as coisas funcionam. Vejamos: x > K = √ M > 0 ⇒ x2 = f(x) > M 1.1.4 LIMITES REAIS DE FUNÇÕES QUANDO x → xo: Os limites que apresentaremos a seguir são diferentes dos já apresentados pois estaremos interessados em analisar o comportamento que a imagem de nossa função apresenta quando a variável livre x se aproxima de um valor pré-fixado xo. Já estudamos coisa parecida (DEF 1) no entanto diferentemente do que vimos lá, aqui nossa função apresenta valores que se aproximam arbitrariamente de um número real L bastando que para isto que nós tomemos valores da variável x arbitrariamente próximo do valor xo. Gostaŕıamos de salientar que no estudo do limite de uma função não estamos interessados em saber qual é o valor que a função f assume no ponto xo. Em verdade pouco nos importa, siquer se a função está definida em xo.O que queremos avaliar é o comportamento de f(x) quando valores de x (distintos de xo) se aproximam deste ponto. Em muitas ocasiões é fundamental saber se uma função tem a propriedade de que valores da variável livre x que estejam próximo têm imagens que também continuam próximos (pontos próximos são levados pela função em pontos próximos). Tal pro- priedade é caracteŕıstica de funções que chamaremos FUNÇÕES CONTÍNUAS cuja definição será apresentada em breve. Tal definição necessita fortemente da seguinte noção de limite: DEF. 13 Seja L ∈ IR. Dizemos que ” f(x) tem limite L quando x tende a xo ”Notação: lim x→xo f(x) = L se, dado qualquer constante positiva , formos capazes de mostrar a existência de δ > 0 tal que todo x diferente de xo, cuja a distância até este é menor que δ, tem por imagem um valor cuja distância ao número L é menor que  unidade. Ou seja: Se 0 < |x− xo| < δ então |f(x)− L| < . DEF. 14 Seja L ∈ IR. Dizemos que ” f(x) tem limite lateral à direita L quando x tende a xo pela direita ”Notação: lim x→x+o f(x) = L se, dado qualquer constante positiva , formos capazes de mostrar a existência de δ > 0 tal que todo x maior que xo cuja a distância até este é menor que δ tem por imagem um valor cuja distância ao número L é menor que  unidade. Ou seja: Se 0 < x − xo < δ então |f(x)− L| < . DEF. 15 Seja L ∈ IR. Dizemos que ” f(x) tem limite lateral à esquerda L quando x tende a xo pela esquerda ”Notação: lim x→x−o f(x) = L se, dado qualquer constante positiva , formos capazes de mostrar a existência de δ > 0 tal que todo x menor que xo cuja a distância até este é menor que δ tem por imagem um valor cuja distância ao número L é menor que  unidade. Ou seja: Se 0 < xo − x < δ então |f(x)− L| < . 1.1.5 COMO SE CALCULAR LIMITES NO DIA-A-DIA: EXERCÍCIOS: 1)Para valorizar a força deste teorema tente, como exerćıcio, cal- cular o limite acima pela definição. 2) Estude a seção 2.4 do livro texto e todos os exemplos da pag 112 (exceto o 4). 3) PAG 120: 1 → 5; 15 → 27 (́ımpares);35;39;40;13;42. 4) PAG 109: 1;3→9; 11→28 (estes em especial!!);37;39. 5) Refazer todos os exemplos (3→10) da pag. 105-108. EXEMPLOS: 1) lim x→−2 x3 + 2x2 3x + 6 2) lim x→3 −x2 + 5x− 6 −4x + x2 + 3 3) lim x→9 x− 9√ x− 3 4) lim x→1 x2 − 3x + 1 x3 − 3x + 17 5) lim x→8 x 2 3 − x− 2 3 6) lim x→0 |x| x No último exemplo acima temos uma função definida por partes com comporta- mento distinto dependendo por que lado do ponto x0 = 0 a variável x se aproxima. Nestes casos será útil recorrer ao seguinte teorema: TEOREMA 1.1.5.3 O limite global existe se e somente se ambos os limites lat- erais existem e são iguais. Segue abaixo outra aplicação análoga deste teorema: 7)Calcule lim x→4 f(x) onde f(x) é dada abaixo: f(x) =  √ x− 4 , se x > 4 8− 2x , se x < 4 8)Seja f(x) = x2 − x + 1. Calcule: i) lim x→2 f(x). Note que aqui temos lim x→2 f(x) = 3 = f(2). Portanto f(x) é cont́ınua em x = 2. ii)lim x→2 g(x) onde: g(x) =  f(x) , se x 6= 2 9 , se x = 2 Note que aqui temos lim x→2 g(x) = 3 6= g(2) = 9.Portanto g(x) não é cont́ınua em x = 2. iii)lim x→2 h(x) onde: h(x) =  f(x) , se x < 2 9 , se x = 2 f(x) + 3 , se x > 2 Note que aqui temos lim x→2+ h(x) = 6, lim x→2− h(x) = 3, h(2) = 9 e o limite global: lim x→2 h(x) NÃO EXISTE. 9) Enuncie todas as propriedades de limite que lhe permitem mostrar que a função abaixo é cont́ınua no ponto x0 = 1. f(x) = √ x− 3x 23 x3 − 2x−1 10) Existe lim x→O √ x ? O exerćıcio acima nos motiva a apresentar a seguinte definição: DEFINIÇÃO 19: FUNÇÃO CONTÍNUA À DIREITA Uma função f é dita ser cont́ınua em x = xo pela direita se: i) xo ∈ Domf ii) Existe o seguinte limite: lim x→x+o f(x) = L (L é um número real) iii) lim x→x+o f(x) = f(xo). OBS: De forma totalmente análoga se define continuidade à esquerda. Faça como exerćıcio e confira no livro texto. PROPRIEDADES DE FUNÇÕES CONTÍNUAS Apresentaremos agora mais um teorema que será muito útil no cálculo de limites. Para isto antes faremos uma breve revisão da função potência. Para mais detalhes veja o livro texto pag. 30. DEFINIÇÃO: Se n ∈ IN então definimos a função potência: por f(x) = xn = x · x · ... · x onde o produto ao lado tem n fatores. Exemplos muito comuns e simples de funções potência são: f(x) = x2 e f(x) = x3. Como exerćıcio mostre que a primeira é par enquanto que a segunda é ı́mpar. Também se n é par segue que: i) lim x→∞ xn = ∞, ii) lim x→−∞ xn = ∞. Ao passo que se n é ı́mpar então: i) lim x→∞ xn = ∞, ii) lim x→−∞ xn = −∞. além disso polinômios de grau n com coeficiente do termo dominante positivo apresentam estes mesmos comporta- mentos no infinito. Os gráficos das funções f(x) = xn também são semelhantes ao gráfico da parábola se n é par e se assemelham ao gráfico da função f(x) = x3 no caso de n ı́mpar. Apoiando-se na definição precedente podemos estender nosso conceito de função potência à todo expoente real. Isto é feito por etapas, como é bastante comum na matemática, da seguinte forma: DEFINIÇÃO: Se −n ∈ IN então definimos a função potência: por f(x) = xn = 1 xn = 1 x · 1 x · ... · 1 x onde o produto ao lado tem n fatores. não existe. EXERCÍCIOS: Pag: 110: 33,34,35 e 36. ALGUNS RESULTADOS IMPORTANTES SOBRE LIMITES Quando temos algum limite envolvendo ∞ ou 0 nao podeemos utilizar as pro- priedades de limite estudadas acima para o cálculo do limite do quociente ou o limite do produto. Contudo muitas vezes ainda é posśıvel dizer alguma coisa a respeito do comportamento deste quociente ou deste produto a medida que nos aproximamos arbitrariamente do ponto em questão. A este respeito apresentamos o seguinte teo- rema: TEOREMA 1.1.5.4 Sejam f(x), g(x) e h(x) três funções tais que lim x→x0 f(x) = C > 0, lim x→x0 g(x) = ∞ e lim x→x0 h(x) = 0+. Então: i) lim x→x0 −h(x) = 0− ii) lim x→x0 f(x) g(x) = 0 iii) lim x→x0 f(x) h(x) = ∞ iv) lim x→x0 g(x) f(x) = ∞ v) lim x→x0 h(x) f(x) = 0 vi) lim x→x0 h(x) g(x) = 0 vii) lim x→x0 g(x) h(x) = ∞ viii) lim x→x0 f(x)g(x) = ∞ ix) lim x→x0 f(x)h(x) = 0 É importante salientar que vários outros resultados ainda podem ser acrescen- tados à lista acima. Contudo todos eles carecem de demonstração rigorosa. Não devemos nos deixar guiar pela nossa intuição em assuntos que envolvem o infinito. Por exemplo, nada podemos dizer sobre lim x→x0 g(x)h(x) pois podemos exibir vários exemplos distintos de resultados que podem ser atribuidos a tal limite escolhendo funções particulares. Tente, como exerćıcio exibir funções que propiciem resultados diferentes a este limite. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS - (REVISÃO) 1) Definição das funções sen, cos e tg através da relação trigonométrica no triângulo retângulo. 2) Cálculo para alguns valores importantes 3) Definição do Radiano e sua relação com o grau. 4) Utilização da circunferência unitária e a gen- eralização do conceito para ângulos maiores que π 2 maiores que 2π e valores negativos. As funções trigonométricas definidas em IR. 5) Estudo de paridade e periodicidade. Gráficos. 6) Continuidade 7) Identidades e fórmulas importantes. ÂNGULOS DE REFERÊNCIA: Já computamos o valor das funções sen, cos e tg de x para alguns ângulos es- peciais com valores positivos menores que π 2 rad. Nosso problema agora é saber computar valores para estas funções quando o ângulo em questão é um número neg- ativo ou um numero maior que π 2 rad. Nestes casos é imposśıvel escrever tais ângulos como ângulos internos de um triângulo retângulo. Por isso, nestes casos, tais ângulos são associados à ângulos do primeiro quandrante e através de uma análise simples utilizando as propriedades geométricas de triângulos congruentes conseguimos cal- cular os valores das funções trigonométricas em tais pontos. Vejamos: PRIMEIRO CASO: Se π 2 < θ < π então α = π − θ é um ângulo do primeiro quadrante e valem as seguintes relações: sen θ = sen α e cos θ = − cos α. SEGUNDO CASO: Se π 2 < θ < 3π 2 então α = θ−π é um ângulo do primeiro quadrante e valem as seguintes relações: sen θ = − sen α e cos θ = − cos α. TERCEIRO CASO: Se 3π 2 < θ < 2π então α = 2π − θ é um ângulo do primeiro quadrante e valem as seguintes relações: sen θ = − sen α e cos θ = cos α. EXERCÍCIOS: 1) Justifique geometricamente as relações acima. 2) Calcule os valores abaixo: (OBS: quando o ângulo estiver em graus, transforme- o em radianos antes de proceder o cálulo solicitado). i) sen 120o ii) cos 3π 4 iii) cos 150o iv) tg 2π 3 v) sen 5π 6 vi) sen 7π 6 vii) cos 3π 2 viii) tg 225o ix) sen 240o x) sen 300o xi) tg 315o xii) sen 11π 6 xiii) cos 5π 3 xiv) tg − 2π 3 xv) cos−3π 2 ÁREAS DE SETOR CIRCULAR A área de um setor circular, Aθ1 é diretamente proporcional ao ângulo θ1 que o determina. Desta forma, dado Aθ1 e Aθ2 dois setores circulares de um mesmo ćırculo, determinados por dois ângulos θ1 e θ2 temos: Aθ1 θ1 = Aθ2 θ2 . Como sabemos (sabemos??) que a área da circunferência de raio r é πr2 conseguimos, através de uma regra-de- três simples, determinar uma fórmula que nos forneça a área de um setor circular em função do ângulo que o determina: Se o ângulo é medido em radianos, temos (Porque?): Aθ = θr2 2 Se o ângulo é medido em graus, temos: Aθ = θπr2 360o IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 1) sen 2(x) + cos2(x) = 1 2) i) | sen (x)| ≤ 1 ii)| cos(x)| ≤ 1 3) i) sen (α± β) = sen (α) cos(β)± cos(α) sen (β) ii) cos(α± β) = cos(α) cos(β)∓ sen (α) sen (β) iii) tg (α± β) =?(Exerc.) 4) i) sen (2α) = 2 sen (α) cos(α) ii) cos(2α) = cos2(α)− sen 2(α) = = 1− 2 sen 2(α) = = 2 cos2(α)− 1 iii) tg (2α) =?(Exerc.) DEFINIÇÃO DAS DEMAIS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
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