Analise de estruturas

Analise de estruturas

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2 ANÁLISE DE ESTRUTURAS VIA ANSYS

A Análise de estruturas provavelmente é a aplicação mais comum do método dos elementos finitos. O termo “estrutura” não só diz respeito as estruturas de engenharia civil como pontes e edifícios, mas também estruturas navais, aeronáuticas, mecânicas e etc.

O ANSYS é um software de elementos finitos que pode ser utilizado nas mais diversas classes de problemas de engenharia (ANSYS, [29] 1998). A capacidade do ANSYS inclui habilidades para resolver sete tipos de análises estruturais disponíveis. Os primeiros parâmetros desconhecidos (graus de liberdade nodais) calculados em uma análise de estruturas são deslocamentos e rotações. Outras quantidades, como deformações, tensões e força de reação, são derivadas então dos deslocamentos nodais. Análises estruturais estão disponíveis apenas nos programas ANSYS/Multiphysics, ANSYS/Mechanical, ANSYS/Structural, e ANSYS/Professional.

Os sete tipos de análises de estruturas que podem ser executadas são os seguintes:

Análise estática--Usada para determinar deslocamentos, tensões, etc. sob condição de carga estática. Tem-se dois tipo de análises estáticas, linear e não linear, sendo que as não-linearidades podem incluir plasticidade, tensão, rigidez, grandes deformações, grandes tensões, hiperelasticidade, superfície de contato, e fissuração.

Análise modal--Usada para calcular as freqüências naturais e modos de vibração de uma estrutura. Há diferentes métodos disponíveis de extração de modos.

Análise harmônica--Usada para determinar a resposta de uma estrutura a cargas harmônicas variáveis no tempo.

Análise dinâmica transiente--Usada para determinar a resposta de uma estrutura às cargas arbitrariamente variáveis no tempo. São permitidas todas as não-linearidades mencionadas na análise estática.

Análise espectral--Uma extensão da análise modal, usada para calcular tensões e deformações devidas a um espectro de resposta ou uma contribuição de PSD (vibrações aleatórias).

Análise de Flambagem--Usada para calcular as cargas de flambagem e determinar a forma do modo de flambagem. Ambas as análises, flambagem linear e flambagem não linear, são possíveis.

Análise Dinâmica Explícita—O ANSYS provê uma interface ao LS-DYNA, programa de elementos finitos usado para calcular soluções rápidas para cargas dinâmicas, grandes deformações e complexos problemas de contato.

Além dos tipos de análise citados, várias características especiais estão disponíveis, como: mecânica da fratura, compósitos, fadiga, p-método, etc.

Neste trabalho de dissertação foram utilizados, além do módulo de otimização, a análise estática e a análise modal.

Para a análise de uma estrutura, o ANSYS divide o procedimento em três etapas: “Preprocessor”, “Solution” e “Postprocessor”. Na primeira etapa, “Preprocessor”, é feita a modelagem da estrutura, a definição do tipo de elemento estrutural (viga, barras, placas, etc.), das constantes características do elemento e do tipo de material relacionado ao mesmo. Ainda nessa etapa, são numerados os nós e as barras. Na segunda etapa, “Solution”, é feita a definição dos tipos de forças atuantes na estrutura e suas condições de apoio e do tipo de análise escolhido. Feita a análise da estrutura, inicia-se a terceira etapa, “Postprocessor”, em que é feita a apresentação dos resultados da análise da etapa anterior. Só após as análises estáticas e/ou dinâmicas é que se pode utilizar o módulo de otimização e seus métodos e ferramentas.

2.1 O método dos elementos finitos (MEF)

A idéia básica do Método dos Elementos Finitos consiste em utilizar como parâmetros as variáveis nodais de um número finito de pontos previamente escolhidos, denominados de nós.

No MEF o domínio de integração é subdividido em uma série de regiões, ou elementos finitos, interconectadas entre si através de um número discreto de pontos nodais. Para cada região (ou elemento) se estabelece um comportamento local aproximado, de tal forma que as incógnitas do problema em qualquer ponto do elemento podem ser definidas em função das mesmas incógnitas nos pontos nodais do elemento. Em seguida, minimizando o funcional do problema, obtido das somas das contribuições de cada elemento, se chega a um sistema total de equações, cuja solução permite conhecer os valores das incógnitas nos pontos nodais. Finalmente a partir desses valores pode-se calcular outros resultados intermediários.

Aqui será apresentada de forma resumida a formulação do MEF para estruturas de comportamento linear elástico, velocidades e acelerações não desprezíveis.

Utilizando-se o princípio dos deslocamentos virtuais, tem-se que o trabalho (ou energia) virtual total interno é igual ao trabalho virtual total externo:

W1U1 δ=δ (2.1) onde a primeira variação da energia de deformação é:

dv tvU1σ∫εδ=δ(2.2) sendo tεδ = vetor das deformações virtuais; e σ = vetor das tensões reais Assim, a primeira variação do trabalho virtual externo é:

sendo: uδ = vetor dos deslocamentos virtuais; b = vetor da força de volume real; um!! = vetor da força de inércia, onde m é a matriz de densidade de massa e u!! é o vetor das acelerações.

A título de ilustração considera-se o domínio de um corpo sólido subdividido em regiões , como na figura 2.1

Figura 2.1 – Subdivisão de corpo sólido E disto toma-se um elemento genérico ‘e’ de volume Ve como na Figura 2.2

Figura 2.2 – Generalização de E.F

Assim, a formulação de elementos finitos no modelo de deslocamentos, considerando um comportamento linear elástico apresentará as relações:

pontos nodais f = {fx fy} T ei y ui vi ue=Nu

eσ = tensão inicial correspondente ao elemento ‘e’; eD = matriz elástica do material correspondente ao elemento ‘e‘; eε = deformação dos componentes do elemento; eB = matriz de compatibilidade cinemática, ou matriz das deformações ou deslocamentos; eu = deslocamento correspondente ao elemento ‘e’; euδ = vetor dos deslocamentos virtuais do elemento ‘e’; uδ = vetor dos deslocamentos virtuais da estrutura; eN = matriz função de forma do elemento ou matriz de interpolação dos deslocamentos correspondentes; eu!! = vetor da aceleração correspondente ao elemento ‘e’; u!! = vetor das acelerações nodais da estrutura; u = vetor dos deslocamentos nodais da estrutura; N = matriz função de forma da estrutura ou matriz de interpolação dos deslocamentos;

Assim, substituindo-se as relações das equações (2.4) a (2.8) em (2.2) e (2.3) e, em seguida, em (2.1), obtém-se:

onde:

1n eFF(vetor das forças nodais)(2.12) u e u!! correspondem aos vetores de deslocamentos e acelerações, respectivamente. Já o símbolo ∑, representa a montagem das matrizes globais e forças nodais globais a partir das contribuições respectivas das matrizes dos elementos e forças dos elementos.

Assim as equações têm suas parcelas de rigidez, massa e força nodal representadas no MEF por:

∫= v dv eBDteNeK (2.13) dv v eNmteNeM ∫= (2.14) fds fsfteNdv bvteNeF∫+∫=(2.15)

Vale ainda um comentário sobre as forças de dissipação, representadas pela força de amortecimento dada por:

onde: C = matriz de amortecimento; u! = vetor das velocidades nodais da estrutura; α e β = coeficientes de ponderação;

Assim, levando-se em consideração essas forças de dissipação a equação (2.3) ficaria:

dv umvtufsfds ftudv bvtuU1!!∫+∫δ+∫δ=δ(2.18) (f = vetor da força de superfície real) e a equação geral do movimento seria dada por: uMuCuK !!! ++ = F (2.19)

2.2 Análise estática

A análise estática de estruturas tem por objetivo principal quantificar a magnitude dos esforços internos e dos deslocamentos que se manifestam em qualquer sistema estrutural, quando o mesmo é submetido a um carregamento arbitrário, desprezando-se o efeito das forças de amortecimento e das forças de inércia. Tal procedimento no ANSYS fornece uma ampla gama de resultados numéricos, compatíveis com o carregamento aplicado, cuja avaliação de forma qualitativa viabilizará a sua utilização na elaboração do projeto da estrutura do sistema analisado.

A partir das formulações apresentadas no item 2.1 e considerando-se as condições de:

tem-se a equação representativa da análise estática como: FuK = (2.20)

O procedimento para a realização de uma análise estática consiste de três principais etapas:

1. Construção do modelo – define-se o tipo de elemento (viga, placa, tubo, etc), as constantes reais, propriedades dos materiais (módulo de elasticidade, densidade, coeficiente de Poisson, etc.), a geometria do modelo (área, momento de inércia, altura, largura, diâmetro, espessura, etc.) e disposição dos elementos estruturais (coordenadas nodais). As condições de contorno podem ser definidas ainda nesta fase. 2. Aplicação do carregamento e obtenção de solução – pode-se aplicar forças externas e pressões, forças de inércia (como gravidade ou velocidade rotacional, imposição de deslocamentos iniciais, temperaturas --para deformação térmica--, fluência --para expansão nuclear--, etc). O carregamento pode ser atribuído a um modelo sólido (keypoints, lines, areas) ou no modelo de elemento finito (nós e elementos). Pode ser feita a opção por aplicação das condições de contorno (restrições de deslocamentos) nesta fase. 3. Revisão dos resultados - após o programa resolver o modelo deve-se proceder a apresentação dos resultados desejados (deformadas, mapas de tensões, deslocamentos, esforços atuantes, etc.), listagem e "plotagens" dos mais variados parâmetros de resposta.

2.3 Análise modal : freqüências naturais e modos de vibração

A dinâmica das estruturas estuda as modificações ocorridas na quantidade de movimento dos sistemas elásticos. Alguns exemplos são: ação de um motor sobre sua base, ação dos ventos ou das ondas do mar em estruturas, ação dos terremotos ou explosões, impacto de cargas móveis sobre sistemas estruturais e cargas produzidas pelo movimento de pessoas em estruturas. Esta última sendo, além das restrições de tensão estática, o caso de estudo das restrições de projeto deste trabalho, levando-se em consideração as vibrações livres, ou seja, quando provocadas exclusivamente pela energia potencial e cinética. Disto vem o interesse em se obter, através de análise modal, as freqüências naturais e modos de vibração.

Sabe-se que graus de liberdade são coordenadas que definem como se encontram as configurações de um sistema a qualquer instante. Um modo de vibração é uma configuração do sistema segundo a qual este pode oscilar, mantendo-se constante a relação entre os deslocamentos dos diversos pontos da estrutura (Clough, R. W. & Penzien, J., [30] 1993) Na análise dinâmica do presente trabalho pretende-se obter as freqüências naturais ωi e os modos de vibração correspondentes ui para os tipos de estruturas propostas. Para isso, basta resolver um problema de vibração livre não amortecida, o que leva a considerar nas formulações apresentadas em (2.1) as condições de:

Assim, para um movimento harmônico na freqüência ωi e modo ui, resolve-se o problema de vibração livre do tipo:

donde tem-se que,

A equação (2.2) é um problema de autovalor. Para esse problema, além da matriz de rigidez K, deve-se definir a matriz de massa M da estrutura.

As freqüências naturais e os modos de vibração são parâmetros importantes no projeto de uma estrutura para condições de carregamento dinâmico. Uma análise modal no ANSYS é sempre uma análise linear. Quaisquer não-linearidades, como plasticidade e elementos de contato, são ignoradas até mesmo se tiverem sido definidas. Pode-se escolher dentre vários métodos de extração de modos: “Block Lanczos, subspace, PowerDynamics, reduced, unsymmetric, damped, e QR damped” (Bathe, K., [31] 1982). No trabalho utilizou-se o modo de extração subspace, que é geralmente usado para grandes problemas de autovalores simétricos, além de ser o método mais fácil de usar, pois, apesar de mais lento, extrai todos os modos. Vários controles de solução estão disponíveis para gerenciar o processo de extração e expansão por subspace.

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