Exercicios de derivadas

(Parte 1 de 2)

Curso de Engenharia Professora: Fabíola Eugênio Arrabaça Moraes E-mail: fabiola.moraes@uniube.br

Cálculo I	Estudo das Derivadas
	Aplicações de Derivadas

Educação e Responsabilidade social

Exercícios Complementares

Orientações: Prezado Aluno(a),

Seja Professor(a) de você mesmo(a), ou seja, confie em você! Em referência ao que lhe for proposto, sempre leia com muita atenção cada palavra, releia o exercício quantas vezes achar necessário, organize primeiro as “IDÈIAS” que o exercício está propondo, descubra o objetivo a ser alcançado. A seguir, organize os dados fornecidos no exercício, se possível faça a grafia da situação-problema apresentada, pois esta pode facilitar ainda mais o entendimento do que lhe foi proposto.

Outra orientação muito importante é quanto ao conteúdo ser cumulativo, ou melhor, vamos generalizar este fato; o aprendizado seja ele qual for é sempre cumulativo, ou seja, se esforce para verificar se algo já aprendido em algum momento não vai ser útil e/ou necessário na resolução da “nova” situação-problema proposta a você.

Por exemplo, as ferramentas Matemáticas que já lhe foram apresentadas em algum momento, as

seus tão almejados objetivos

“IDÉIAS” construídas, nas diversas situações-problemas, nunca desvencilhem delas. Este é o principal “segredo” do seu sucesso, ou seja, alcançar mais rápido o seu aprendizado e consequentemente atingir os

Imagine o quanto você irá resolver mais rápido o que lhe for proposto! Pense nisso! Exercite estas orientações. Confie em você! Você é capaz! Acredite! E, por que não você ter um tempinho para o seu merecido descanso? Você merece! Sucesso!

1. Determine os extremos locais de r, discutindo detalhadamente a concavidade, encontre os pontos de inflexão e esboce o modelo gráfico, sendo . 122)(24++−=rrrg

Cálculo I, a partir de uma análise detalhada do modelo obtido por você no Exercício 1

2. Apresente uma situação-problema prática específica envolvendo o seu Curso e a disciplina de

3. Se é denotado um inteiro ímpar, então n1)(=nf e ; se é denotado um inteiro par, então e não existe; se é denotado um inteiro qualquer, então esboce o modelo de uma função contínua que satisfaça todas as condições indicadas.

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4. Determine o instante em que dois ciclistas estão mais próximos um do outro, e aproxime a distância mínima entre eles. Para a resolução desta situação-problema as informações são as seguintes:

I. Uma quadra Norte-Sul intercepta outra quadra Leste-Oeste em uma localidade Q. I. Um ciclista passa por Q às 10h, dirigindo-se para o leste a . hkm/20

I. Dado o mesmo instante, outro ciclista está a ao Norte de Q e dirige-se para o Sul a . km2 hkm/50

Nota: Lembre-se, em resumo, para solucionar situações-problemas envolvendo Taxas Relacionadas, sempre que possível, grafe uma figura associando as variáveis e as constantes em estudo na situaçãoproblema. Considere, geralmente, que todas as variáveis são funções deriváveis de t. (Ler Exercícios

– Lista 03 – página 1 e 2). Como forma de melhor orientar você aluno na resolução deste exercício, observe no Referencial de Respostas o grafo desta situação-problema envolvendo a posição dos dois ciclistas.

resolver esta situação-problema

5. Determine o tempo mínimo que um grupo de esportistas levará para atingir uma residência situada em uma ilha. Nos itens abaixo estão denotadas todas as informações necessárias para você

I. O grupo encontra-se em um bote a de distância do ponto mais próximo em uma ilha retilínea; km2

I. Este grupo de esportistas deseja atingir uma residência localizada na ilha; esta residência está a uma distância de ilha abaixo. km6 I. Condição que o grupo de esportista tem para determinar este tempo mínimo: o grupo pode remar

Dica: Considere taxa distânciatempo=

Satisfeitas as condições acima fornecidas, esboce se possível um gráfico representativo de .

Comente detalhadamente argumentando sua conclusão. f

conclusivas

Dica: Utilize-se das próprias condições fornecidas como parâmetro para “enriquecer” suas argumentações

7. Expor detalhadamente a curva em relação aos intervalos onde apresenta aclive

informações para reproduzir o esboço gráfico da curva

ou declive, côncava ou não côncava, pontos de inflexão e mínimos e máximos locais. Utilize-se destas 34 4)( hhhf −= f

8. Apresente uma situação-problema prática específica envolvendo o seu Curso e a disciplina de Cálculo I, a partir de uma análise detalhada do modelo obtido por você no Exercício 7.

9. Apresente detalhadamente as indagações requisitadas a você em cada um dos itens a seguir, utilizando-se do modelo gráfico de . )(xfy=

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I. Encontre os intervalos nos quais apresenta aclive e declive. f

I. Encontre os intervalos abertos nos quais apresenta concavidade positiva e concavidade negativa. f

I. O modelo gráfico apresenta ponto de inflexão? Caso apresente, encontre todos os valores de nos quais possui um P. I. Argumente detalhadamente sua conclusão. xf

IV. Apresente uma situação-problema prática específica envolvendo o seu Curso e a disciplina de

situações-problemas práticas específicas nestes intervalos

Cálculo I, a partir de uma análise detalhada do modelo gráfico proposto a você, em apenas um intervalo específico (escolhido por você) ou, caso queira apresente-a no geral, as diversas

10. Quantos devem ser dobrados de cada lado de modo que certo material apropriado utilizado como condutor de água tenha capacidade máxima, de acordo com a vazão de água esperada? Sabe-se que o material apropriado utilizado é retangular com de largura e, deve-se construir este conduto dobrando-se as laterais perpendicularmente à este material apropriado.

cm cm30

1. Em cada item abaixo, esboce o modelo gráfico desatisfazendo as propriedades indicadas.

Discuta detalhadamente os sinais de e . g 'g ''g

12. Em uma situação-problema qualquer, envolvendo certa função, é apresentada a expressão . Responda detalhadamente aos itens: ssssf36244)(23'++= a. Aponte em quais intervalos está em aclive ou declive? f b. Se existir, em quais intervalos tem concavidade positiva? E concavidade negativa? f

d. Represente o modelo gráfico, se possível
13. Grafe em , sendo	f]1,1[−5424321)(hhhhhf+++−=

c. Apresente as coordenadas dos extremos relativos e dos pontos de inflexão de s.f

I. Estime onde o gráfico apresenta concavidade positiva ou negativa. I. Estime a coordenada -h de cada ponto de inflexão.

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14. Determine a quantidade mínima de muro construído que será necessária para concretizar a idealização industrial de um Projeto de Lazer, aos funcionários e associados de uma empresa de grande porte? Sabe-se que o setor de prestação de serviços, em áreas nas proximidades urbanas, vencedor da licitação irá construir para esta empresa a área de lazer ao longo de uma grande extensão de mata

três lados não-adjacentes à mata virgem

virgem. Esta área de lazer deve ser retangular, com uma área de e, deverá ser construída nos 25000m

15. Em relação ao Exercício 14, represente um esboço gráfico da função mínima de muro construído sinalizando, caso exista, qual é a posição da inclinação da reta tangente. Se existe, comente detalhadamente como você obteve a posição exata da inclinação da reta tangente. Existe uma relação desta posição e a minimização desta idealização industrial do Projeto de Lazer, aos funcionários e associados? Comente argumentando suas conclusões.

16. Expor detalhadamente a curva em relação aos intervalos onde apresenta aclive ou declive, côncava ou não côncava, pontos de inflexão e mínimos e máximos relativos. Utilize-se destas informações para reproduzir o esboço gráfico desta curva.

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