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Cálculo IIntegração de Funções 1

Educação e Responsabilidade social

Exercícios – Lista 04 INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES

A integral é um operador aplicado sobre uma diferencial, com o objetivo de recuperar a função que foi diferenciada ou derivada; na Matemática a operação executada por este operador recebe o nome de integração. O objetivo de uma integração é obter um número ou uma relação explícita entre variáveis.

Seja )(xf uma função definida em um intervalo .I )('xF é definida como primitiva de )(xf em um intervalo ,I quando

Observação: Tomando o exemplo acima, como referência, há a possibilidade de incluirmos na )(xF obtida uma constante K qualquer e, como a derivada de constante é zero; logo nada mudará. Voltando ao exemplo anterior observamos:

Observação: A primitiva de )(xf é definida como a integral de),(xf sendo denotada por:

lê-se a integral de )(xf com relação a x é igual a primitiva ()Fx mais uma constante K. Lembrando-se que )(xd denota o diferencial em .x

Nota: 1 REGRA

1 n xxd x K n

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Cálculo IIntegração de Funções 2

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Exemplo:

(see) se, e somente se, para todo x no domínio de .f Ou seja,

1. Calcule as seguintes integrais.

3 xFxFdxx

Sugestão: Observe a Propriedade I antes de refazer o cálculo da integral apresentada no item a. Ou seja, em I c denota uma constante que pela Propriedade pode ser “lançada” fora da integral e, que comparado com o item a já resolvido este apresenta uma constante, 1

2 , que foi “lançada” fora da

integral. O cálculo restante segue como já estudado
b. ∫dtt75c.∫+dxxx)3(2 d. ∫++dyyy)2
4e. ∫dxx21
g. ∫dxZ2h. ∫abdy i. ∫cxdx j. ∫senxdx k. ∫xdxcos

Nota: Da mesma forma que em derivadas há uma tabela para facilitar os cálculos, em integral também existe uma tabela para facilitar tais cálculos.

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INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO “Observamos uma integral complicada”

)('xgdu= temos que

“Com a substituição consigo uma integral limpa”

Nota:

Passo 1: Introduza a letra u para substituir alguma expressão em x que seja escolhida para simplificar a integral. Passo 2: Reescreve a integral em termos de u.

Para reescrever dx, calcule dx du e resolva algebricamente como se o símbolo du fosse um quociente.

Passo 3: Calcule a integral resultante e então substitua upor sua expressão em termos de x na resposta.

Dica: 1. Neste caso não podemos distribuir a ∫(integral) para o numerador e para o denominador, logo vamos utilizar a integração por substituição.

2. “Pego” para substituir o termo que apresentar a variável com maior grau, no exemplo acima, portanto o termo é: .12x+ xdxdu xu 2

CxCudu

Dica: Neste Exemplo 2 não uso o grau 5, não há necessidade uso apenas o termo dentro do parentes em que a variável x apresenta grau 2 (grau menor), chamando-o de .u

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Solução:

+= xdxduxdxdu xu

− Cxuuuduuduuduuduu

a. ∫xdxxsen)5(2b. ∫+dxx75 Refletir: 1. Não observo nenhum termo de maior ou menor grau.
2. Eliminar a raiz e, lembrar que a raiz da soma é ≠da

2. Calcule as integrais abaixo: soma das raízes.

c. ∫dxxsen)4(d. ∫+dxxx102)32( e. ∫+dxxx
f. ∫−dxx10)45(
g. ∫dxxxtg)(sec)(2h. ∫dxxx3cos i. ∫+dxx358

Esta técnica viabiliza a resolução de integrais que não podem ser resolvidas através dos métodos até agora vistos. Integrais como, por exemplo,

∫ ;)ln( dxx ∫ ;dxxex ∫ dxxsenx )(2 A expressão de integração por partes resolve tais integrais, como também outras, sendo dada por:

Nota: Como proceder a INTEGRAÇÕ POR PARTES para integrar um produto.

Passo 1: Escolha um dos fatores do produto como aquele a ser integrado e um outro como aquele a ser derivado. O fator escolhido para integração deve ser fácil de integrar, e o fator escolhido para derivação deve se tornar mais simples quando derivado.

Passo 2: Integre o fator designado e multiplique-o pelo outro fator.

deste produto do resultado do Passo 2
Passo 4: Finalizando complete o procedimento encontrando a nova integral que foi formada no Passo 3

Passo 3: Derive o fator designado, multiplique-o pelo fator integrado do Passo 2 e subtraia a integral

Observação: “onumeral2 foi passado para o denominador para obtermos o termo xdx (numerador)” udvuvvdu=−∫∫ em que, uxf=)( e vxg=)( são funções e, 'f e 'g são funções contínuas.

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Exemplo: lnxdx∫Sendo lnux= e dxdv=

Educação e Responsabilidade social Solução:

ln()1ux

du dx dv dx vd v dx x

⇒=−=−=−+∫∫∫

1ln ln lnudv x x x dx x x dx x x x Cx

Dica: Na maioria dos casos é indicado iniciar pelo MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO, caso for observado que o resultado obtido não coincida com o esperado em uma integração por substituição, isto é indicativo de que não devemos usar o método da substituição, portanto a saída é “tentar” a INTEGRAÇÃO POR PARTES.

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