integral, Exercícios de Engenharia de Produção

Baixe integral e outras Exercícios em PDF para Engenharia de Produção, somente na Docsity! 05/11/2007 Curso de Engenharia Professora: Fabíola Eugênio Arrabaça Moraes fabiola.moraes@uniube.br Cálculo II Integração de Funções 1 Educação e Responsabilidade social Exercícios – Lista 04 INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES A integral é um operador aplicado sobre uma diferencial, com o objetivo de recuperar a função que foi diferenciada ou derivada; na Matemática a operação executada por este operador recebe o nome de integração. O objetivo de uma integração é obter um número ou uma relação explícita entre variáveis. O QUE É E COMO ENCONTRAR A PRIMITIVA DE UMA FUNÇÃO? Seja )(xf uma função definida em um intervalo .I )(' xF é definida como primitiva de )(xf em um intervalo ,I quando Exemplo: Qual a primitiva ),(xF de ?)( 2xxf = Solução: 2' )(?)( xxFxF =⇒= 22'3 3. 3 1)( 3 1)( xxxFxxF ==⇒= Portanto, 3 3 1)( xxF = é primitiva de .)( 2xxf = Observação: Tomando o exemplo acima, como referência, há a possibilidade de incluirmos na )(xF obtida uma constante K qualquer e, como a derivada de constante é zero; logo nada mudará. Voltando ao exemplo anterior observamos: )(xF de 2)( xxf = é 3 )( 3xxF = . 3 ( ) 3 xF x K= + ⇒ . 3 3)( 2 2 ' xxxF == Observação: A primitiva de )(xf é definida como a integral de ),(xf sendo denotada por: lê-se a integral de )(xf com relação a x é igual a primitiva ( )F x mais uma constante K . Lembrando-se que )(xd denota o diferencial em .x Nota: 1 REGRA 1 n n xx dx K n + = + ⇐ +∫ ( ) ( )f x dx F x K= +∫ )()(' xfxF = Importante! 05/11/2007 Curso de Engenharia Professora: Fabíola Eugênio Arrabaça Moraes fabiola.moraes@uniube.br Cálculo II Integração de Funções 2 Educação e Responsabilidade social Exemplo: 7 1 8 7 7 1 8 x xx dx K K + = + = + +∫ A INTEGRAL INDEFINIDA (see) se, e somente se, para todo x no domínio de .f Ou seja, ALGUMAS PROPRIEDADES DA INTEGRAL INDEFINIDA I. ∫ ∫= dxxfcdxxcf )()( , em que c denota uma constante. II. ∫ ∫ ∫±=± dxxgdxxfdxxgxf )()()()( 1. Calcule as seguintes integrais. a. ∫ =⇒= ?)()(2 3 xFxFdxx Sugestão: Observe a Propriedade I antes de refazer o cálculo da integral apresentada no item a. Ou seja, em I c denota uma constante que pela Propriedade pode ser “lançada” fora da integral e, que comparado com o item a já resolvido este apresenta uma constante, 1 2 , que foi “lançada” fora da integral. O cálculo restante segue como já estudado. Solução: ∫ ∫ +=++== + KxKxdxxdxx 8132 1 2 1 2 1 41333 b. ∫ dtt 75 c. ∫ + dxxx )3( 2 d. ∫ ++ dy yy )2 2 ( 2 4 e. ∫ dxx 2 1 f. ∫ ++ dZZZ )22( 3 1 5 g. ∫ dxZ 2 h. ∫ abdy i. ∫ cxdx j. ∫ senxdx k. ∫ xdxcos Nota: Da mesma forma que em derivadas há uma tabela para facilitar os cálculos, em integral também existe uma tabela para facilitar tais cálculos. ( ) ( )f x dx F x C= +∫ )()(' xfxF = ∫ += CxFdxxF )()(' 05/11/2007 Curso de Engenharia Professora: Fabíola Eugênio Arrabaça Moraes fabiola.moraes@uniube.br Cálculo II Integração de Funções 5 Educação e Responsabilidade social Exemplo: ln x dx∫ Sendo lnu x= e dxdv = Solução: ln( ) 1 u x du dx x dv dx v dv dx x = → = = = = =∫ ∫ ∫ ∫−= vduuvudv 1ln ln lnudv x x x dx x x dx x x x C x ⇒ = − = − = − +∫ ∫ ∫ Dica: Na maioria dos casos é indicado iniciar pelo MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO, caso for observado que o resultado obtido não coincida com o esperado em uma integração por substituição, isto é indicativo de que não devemos usar o método da substituição, portanto a saída é “tentar” a INTEGRAÇÃO POR PARTES. Observação: nxnx xx xx nee ee ee = = = ' 2'2 ' )( 2)( )( ⇒ 2 2 1 2 1 x x x x nx nx e dx e C e dx e C e dx e C n = + = + = + ∫ ∫ ∫ → Nota: Observe que na derivada de função exponencial, por exemplo, xx ee 2'2 2)( = , o termo no expoente x2 é conservado, porém a constante “desce” para o coeficiente na exponencial. 3. Encontre os cálculos a seguir. a. ∫ dxxx )(sec2 b. ∫ dxxe x2 c. ∫ − dxxe x d. ∫ dxxx )5cos( e. ∫ dxxxsen )4( f. ∫ dxxe x3 g. ∫ xdxx cos 4. Desprezando-se a resistência do ar, determine os itens abaixo, após analisar a seguinte situação- problema; uma pedra é lançada verticalmente para cima de um local situado a 45m acima do solo e sabe-se que a velocidade inicial foi de 30 /m s . Observação: “arrumo para voltar ao início”. Conferindo temos: ' 2 2 21 1 2 2 2 x x xe e e⎛ ⎞ = =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Nota: Tabela ' 'ln uy u y u → = ⇒ = Nota: Tabela: du u C= +∫ 05/11/2007 Curso de Engenharia Professora: Fabíola Eugênio Arrabaça Moraes fabiola.moraes@uniube.br Cálculo II Integração de Funções 6 Educação e Responsabilidade social I. Calcule a distância da pedra ao solo após w segundos II. Apresente o intervalo de tempo durante o qual a pedra sobe. III. Qual o instante em que a pedra atinge o solo, e qual a velocidade nesse instante? Nota: A compreensão da situação-problema supracitada exige o conhecimento de um fato da Física. Ou seja, sobre um objeto na superfície da Terra ou próximo dela atua a força – gravidade- que produz uma aceleração constante, denotada por g . O valor aproximado de g , utilizado na maioria dos cálculos neste tipo de situação-problema, é 29,8 /m s ou 2980 /cm s . Nota: Seja ( )s w a coordenada de um ponto Q em uma reta coordenada r no instante w . Logo, por definição temos, a. A velocidade de Q é ( ) ( )'v w s w= . b. O módulo da velocidade de Q é ( )v w . c. A aceleração de Q é ( ) ( ) ( )' ''a w v w s w= = . Em que, designa-se por v a função velocidade de Q e por a a função aceleração de Q . E, é usual denotá-las por dsv dw = e dva dw = . Nota: Para um melhor entendimento do Exercício 5, devemos saber que as funções custo marginal e rendimento marginal são denotados como as derivadas primeiras representadas por 'C e 'R da função Custo Total C e da função Rendimento Total R . Portanto, C e R podem ser obtidas de 'C e 'R por antidiferenciação, pois ao determinarmos uma função C de 'C , a constante arbitrária pode ser avaliada se conhecermos o custo geral (ou seja, o custo quando nenhuma unidade é produzida) ou o Custo da Produção de um número específico de unidades do produto. E em geral é verificado que a função R (Rendimento Total) é zero quando o número de unidades produzidas é zero e, isso pode ser utilizado para avaliar a constante arbitrária quando determinarmos a função R de 'R . Atenção: Antes de iniciar a resolução deste Exercício 4, procure entender as “idéias” e conceitos apresentados nas Notas a seguir. Bom Estudo! Sucesso! Importante: Antes de iniciar a resolução dos Exercícios 5 e 6, procure entender as “idéias” e conceitos apresentados na Nota a seguir. Bom Estudo! Sucesso! Importante! 05/11/2007 Curso de Engenharia Professora: Fabíola Eugênio Arrabaça Moraes fabiola.moraes@uniube.br Cálculo II Integração de Funções 7 Educação e Responsabilidade social 5. Fornecida a função custo marginal 'C dada por 84)(' −= zzC quando )(zC representa o custo total da produção de z unidades. Sabendo-se que o custo da produção de 5 unidades é de 20 unidades monetárias, encontre a função custo total e determine o domínio de C . 6. A Diretoria de uma determinada indústria analisa que o custo marginal é de 23( 4)z − unidade monetária por unidade, quando a produção é de z unidades. Deseja-se saber em quanto o custo na industrialização total aumentará caso a produção for elevada de 6 para 10 unidades? Referencial de Respostas (INTEGRAL INDEFINIDA) 1. b. Kt + 8 5 8 c. Kxx ++ 2 3 3 23 d. Kyyy +++ 2 65 35 e. Cx +2 3 3 2 f. CZZZ +++ 2 4 6 6 3 46 g. Solução: 2Z dx∫ 2 2 2 0 2Z dx Z dx Z x dx Z x C= = = +∫ ∫ ∫ h. Caby + i. Cxc + 2 2 j. Cx +− cos k. Csenx + 2. a. Cx +− ))5cos(( 10 1 2 b. Cx ++ 2 3 )75( 15 2 c. Kx +− )4cos( 4 1 d. Cx ++ 44 )32( 112 e. Kx ++− −22 )5( 4 1 f. Cx +−− −9)45( 45 1 g. Cxtg + 2 )(2 h. Cxsen +)( 3 2 2 3 i. Cx ++ 3 4 )58( 32 3 ATEÇÃO: Z x Z≠ ⇒ é constante e, como podemos observar a derivada é em x ? Sim. ATEÇÃO: PROPRIEDADE I – página 2. 05/11/2007 Curso de Engenharia Professora: Fabíola Eugênio Arrabaça Moraes fabiola.moraes@uniube.br Cálculo II Integração de Funções 10 Educação e Responsabilidade social A INTEGRAL DEFINIDA No geral, conhecemos uma parte do cálculo relacionada a encontrar retas tangentes e taxa de variação a qual chamamos de Cálculo Diferencial, no entanto se a situação-problema for encontrar áreas, temos o chamado Cálculo Integral. E vale a pena comentar que ambas as situações-problemas exemplificadas no Cálculo Diferencial e no Cálculo Integral estão tão intimamente relacionadas que fica difícil uma distinção entre elas. Uma das formas de introduzir o conceito de “Integral Definida” é relacioná-la com o “método do retângulo” ou “método da antiderivada” os quais relacionam o conceito de área com outros conceitos importantes, tais como comprimento, volume, densidade, probabilidade e trabalho. NOTAÇÃO DE SOMATÓRIO PARA INTEGRAL E SOMA DE ÁREA Áreas de figuras geométricas básicas como, por exemplo, retângulos, polígonos e círculos, datam desde os primórdios da Matemática. Portanto, vamos considerar o problema de encontrar a área denotada por uma região R limitada abaixo pelo eixo da coordenada-x e acima pela curva )(xfy = , não negativa, em [ ],a bI (lê-se intervalo fechado de a até b ). Vamos iniciar por definir a área de um retângulo como sendo o produto da base pela sua altura. E, porque não “pensar” em definir a área de uma região como a composição de um número finito de retângulos? Logo, podemos definir esta área como sendo a soma das áreas destes supostos retângulos? Sim e, a junção destas indagações realizadas desde os primórdios da Matemática e o “método do retângulo” surge o conceito de área de uma região R . Antes de acompanharmos os itens seguintes, observe a Figura 1 e visualize a área que vamos estudar para ter a “idéia básica” deste conceito. A área é de uma região R limitada abaixo pelo eixo da coordenada-x e acima pela curva )(xfy = ; na coordenada-x o mesmo assume os valores ax = e bx = , em que f é contínua não-negativa no [ ]baI , . Sendo assim “reflita” na situação-problema que exija de você definir e encontrar áreas de regiões planas com contornos curvilíneos. Como realizar este cálculo? Pense nisto! E, antes de prosseguir com o seu estudo, você agora deve realizar a leitura de uma parte do livro, que está indicado na Bibliografia básica: STEWART, James B. J. et al. Cálculo. 5. ed. v.1. O texto se encontra no capítulo 5, entre as páginas 369 e 378. Importante! Figura 1 Observe a Figura 1 e acompanhe os itens abaixo. O importante é você ter a “idéia básica” deste conceito. 05/11/2007 Curso de Engenharia Professora: Fabíola Eugênio Arrabaça Moraes fabiola.moraes@uniube.br Cálculo II Integração de Funções 11 Educação e Responsabilidade social Você já visualizou, portanto que o [ ]baI , foi dividido em subintervalos n iguais? Ótimo, você iniciou muito bem o seu estudo!!! Entre outras palavras, Observe os seguintes itens: I. Como o [ ]baI , foi dividido em subintervalos n iguais; construir em cada subintervalo um retângulo com altura f no ponto deste subintervalo, em estudo. (Ver Figura 2). II. Portanto, a união destes retângulos forma a área da região R . Ou seja, podemos supor a área visualizada como a aproximação da mesma através da região R . III. Enfim torna-se fácil “pensar” que a repetição inúmeras vezes do processo de subdivisões, também conhecido como método da exaustão por retângulos para calcular a área dessa região R . Este processo nos induzirá a definição da área em R como um limite das áreas das regiões que se aproximam cada vez mais (Ver Figura 3), ou seja, ( ) 1 lim lim n n i in n i A A f x x →∞ →∞ = ⎛ ⎞ = = ∆⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ (1) Prezado(a) aluno(a), Seja Professor(a) de você mesmo(a). Ou seja, a atenção aos detalhes antes mesmos destes serem redigidos a você é de extrema importância ao sucesso do seu estudo, pois é a maior prova do seu esforço, comprometimento, dedicação e o início de sua auto-formação através das “IDÉIAS” oriundas de aprendizados já realizados vinculados aos hoje apresentados e, assim sucessivamente. Pense nisso!!! Confie em você! Figura 2 Figura 3 Figura 4 05/11/2007 Curso de Engenharia Professora: Fabíola Eugênio Arrabaça Moraes fabiola.moraes@uniube.br Cálculo II Integração de Funções 12 Educação e Responsabilidade social Com base na Figura 4, vamos detalhar mais as “idéias” e os conceitos como deduzir o resultado em (1), supracitado. Note que o retângulo tem base igual ao comprimento do subintervalo e altura igual a ( )if x sendo ix um ponto qualquer do subintervalo (em geral este ponto é tomado como uma das extremidades do subintervalo ou ponto médio). A área total dos retângulos pode ser vista como uma aproximação da área da região R sob a curva ( )y f x= em [ ],a bI , assim escrevemos ( ) 1 n n i i i A f x x = = ∆∑ . Nota: Frequentemente é utilizada a notação somatória (notação sigma ∑ ) para descrever somas de muitos termos de maneira mais compacta. Assim, a área da região R correspondente à representada em (1) pode ser denotada por, ( ) 1 lim lim n n i in n i A A f x x →∞ →∞ = ⎛ ⎞ = = ∆⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ Exemplo: Calcular a área aproximada sobre a curva 2xy = em [ ]1,0I , como representada na figura abaixo. ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 n n i i n n i A f x x f x f x f x = = ∆ = ∆ + ∆ + + ∆∑ Portanto, fica intuitivamente evidente que quando n cresce essas aproximações vão ficando cada vez melhores e tendem à área exata, como o limite. Solução: 4A : dividir o intervalo [ ]1,0I em 4 subintervalos. 2 2 2 2 4 1 2 3 1 151 0, 46875 4 4 4 4 32 A ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + = =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ 10A : dividir o intervalo [ ]1,0I em 10 subintervalos. 2 2 2 2 10 1 2 3 1 3851 0,385 10 10 4 10 1000 A ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + = =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ Importante! 05/11/2007 Curso de Engenharia Professora: Fabíola Eugênio Arrabaça Moraes fabiola.moraes@uniube.br Cálculo II Integração de Funções 15 Educação e Responsabilidade social III. Observe que nas integrais definidas o termo que representa a integral ∫ aparece entre numerais que representam um intervalo sob a curva na qual, deseja-se encontrar a área, a partir da função em estudo, por exemplo, 2 0 2xdx =∫ . Ao passo que nas integrais indefinidas, o termo que representa a integral ∫ não aparece entre numerais, ou seja, ∫ += C xdxx 3 3 2 . Curiosidade: ∫ →++= + C n xdxx n n 1 1 “nesta forma geral, esta integral indefinida viabiliza calcular, por exemplo, a propagação das ondas de um lago ao ser jogada uma pedra”. O MÉTODO DA ANTIDERIVADA PARA O CÁCULO DE ÁREAS Seja uma função F chamada de uma antiderivada de uma função f em um dado intervalo I , se )()(' xfxF = para todo x no intervalo. Dica: Sempre leia a situação-problema apresentada a você por completa. Simultaneamente busque entender o que lhe foi proposto, se possível, imaginando e/ou relacionando cada situação na prática com o estudo proposto neste roteiro juntamente com os estudos já realizados anteriormente. Caso sentir necessidade relembre as “idéias”, os conceitos, as propriedades e, refazer os exemplos é imprescindível ao seu sucesso. A seguir, releia a situação-problema apresentada, organize os dados apresentados e, mãos a obra. Sucesso! Exemplo: A função 3 3 1)( xxF = é uma antiderivada de 2)( xxf = no intervalo ( )+∞∞− ; , pois para cada x neste intervalo obtemos, )( 3 1)( 23' xfxx dx dxF ==⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡= No entanto, esta não é a única antiderivada de F neste intervalo. Ou seja, caso adicionarmos qualquer constante C ao termo 3 3 1 x , a função CxxF += ³ 3 1)( é também uma antiderivada de f em ( )+∞∞− ; . Assim, )(0 3 1)( 23' xfxCx dx dxF =+=⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ += 05/11/2007 Curso de Engenharia Professora: Fabíola Eugênio Arrabaça Moraes fabiola.moraes@uniube.br Cálculo II Integração de Funções 16 Educação e Responsabilidade social Para concluir, em geral, uma vez conhecida uma antiderivada de uma função, outras podem ser obtidas adicionando-se constantes à antiderivada. Por exemplo, 3 3 1;7 3 1;2 3 1; 3 1 3333 +−+ xxxx Nota: Observe que todas estas funções, supracitadas, são ANTIDERIVADAS de .)( 2xxf = ATENÇÃO: DERIVADA É DIFERENTE DE ANTIDERIVADA; derivada de uma função 2)( xxf = é denotada por xxf 2)(' = , enquanto que CxxF += 3 3 1)( denotam antiderivadas de .f Exemplo: 1 1 22 2 00 1 1 2 x xxdx + = = +∫ Nota: I. “primeiro esqueço o intervalo”. II. Como o intervalo é de 0 até 2, substituo o número “2” na variável x e o número “0” subtraio em x . 2 2 4 2 0 2 ²2 ==−= 2 0 2xdx⇒ =∫ → Cálculo da área (hachurada): 22 2.2 2 . === hbATriângulo Nota: “quando a área for disforme não tenho como aplicar uma fórmula de área. Afinal, as fórmulas que conhecemos são de áreas com formas pré-definidas”. Graficamente temos, Figura 5 Exemplo 2: ∫ 2 0 2dxx ∫ =+= +2 0 2 0 312 2 312 xxdxx 3 8 3 0 3 2 33 =−= Graficamente, temos 05/11/2007 Curso de Engenharia Professora: Fabíola Eugênio Arrabaça Moraes fabiola.moraes@uniube.br Cálculo II Integração de Funções 17 Educação e Responsabilidade social Figura 6 7. Seja a curva ( ) sf s e−= em [ ]0,2I e, A a área da região que está sob a curva proposta. Utilize o método do retângulo para o cálculo dos itens abaixo. a. Sem computar o limite propriamente dito, utilize-se dos extremos direitos e, encontre uma expressão para A como um limite. b. Utilizando-se de 4 subintervalos estime a área A , relacionando os pontos amostrais com os pontos médios. 8. Sabe-se que certa máquina industrial gera uma receita à taxa de ( ) 25.000 20M t t= − u.m./ano (unidade monetária/ano) e provoca custos que se acumulam à taxa de ( ) 22.000 10C t t= + u.m./ano, isto tudo representado quando esta máquina apresentar t anos. Responda aos itens seguintes, interpretando detalhadamente os resultados obtidos. a. Apresente por quantos anos o uso da máquina é lucrativo. b. Em relação ao item a, qual a receita líquida gerada pela máquina no suposto período de tempo? c. Expor uma interpretação gráfica da receita líquida obtida no item b, como uma área entre dois modelos propostos. Nota: O Exercício 8 apresenta uma situação-problema relacionada a Receita Líquida de Equipamento Industrial, portanto vamos introduzir brevemente alguns conceitos básicos necessários a resolução desta Atividade proposta. Supor um período de tempo, logo a Receita Líquida gerada por uma máquina industrial neste período é a diferença entre a receita total gerada pela máquina e o custo total de operação e manutenção da mesma. E, para exemplificar e calcular este conceito o Exercício 6 utiliza-se da integral definida, além de propor uma interpretação gráfica do mesmo como uma área entre dois modelos propostos. Importante: Prezado(a) Aluno(a) sugiro a você iniciar o quanto antes o conhecimento com o Software Matemático Winplot, pois este será uma importante “ferramenta Matemática” às resoluções gráficas das Atividades do Roteiro, além do auxílio às interpretações. O Winplot é um Software pequeno de fácil manuseio que cabe até mesmo em um disquete. Caso você queira informar-se melhor e aprimorar os seus conhecimentos, sobre essa “ferramenta Matemática”, procure nos seguintes sites (Inteiramente gratuito!): - http://www.diadematematica.com/winplot/WINPLOT.html - http://www.gregosetroianos.mat.br/softwinplot.asp - http://www.mat.ufpb.br/~sergio/winplot/winplot.html Área obtida, ou seja, ∫ = 2 0 2 3 8dxx . 05/11/2007 Curso de Engenharia Professora: Fabíola Eugênio Arrabaça Moraes fabiola.moraes@uniube.br Cálculo II Integração de Funções 20 Educação e Responsabilidade social Exemplo: 3 3 1 xy = é uma curva integral de 2)( xxf = , sendo assim, as demais têm equações na forma Cxy += 3 3 1 ; inversamente, a representação gráfica de qualquer equação desta forma é uma curva integral. Observação: Um fato “curioso” e “interessante” neste Exercício 10 é o fato dele fornecer a informação de que a curva passa pelo ponto ( )1,2 e isso nos irá viabilizou determinar um valor específico para a constante de integração C (Solução página 24 e 25), isolando-se uma única curva 3 5 3 1 3 −= xy da “família” Cxy += 3 3 1 . Observe na Figura 8 o esboço gráfico da curva representativa de outros valores para a constante de integração C , entre estes valores temos ,1,2 −− ,0 1 e 2 . Na Figura 9 observamos a curva encontrada através da informação dada no Exercício 10 de que a curva passa pelo ponto ( )1,2 , viabilizando determinar um valor específico para a constante de integração C , ou seja, o valor 3/5− . Figura 8 Figura 9 11. Fornecida a equação x dx dy 2= e a condição inicial de que 6=y quando 2=x determine a função )(xy correspondente a tal equação. 12. Em uma determinada curva, em qualquer ponto ( )yx, , a reta tangente tem uma inclinação igual a 54 −x . Se a curva contém o ponto ( )7,3 , encontre a equação correspondente. 13. Encontre a área sob a curva cosseno de 0 até b , onde .2/0 π≤≤ b Importante! 05/11/2007 Curso de Engenharia Professora: Fabíola Eugênio Arrabaça Moraes fabiola.moraes@uniube.br Cálculo II Integração de Funções 21 Educação e Responsabilidade social 14. Seja a curva definida por 2( ) 9f x x= − em [ ]0,3I . Utilizando-se de 10 subintervalos, ou seja, 10n = , encontramos estes subintervalos com mesma largura 3 0 0,3 10 b ax x n − − ∆ = = ⇒ ∆ = . Graficamente, obtemos a Figura 10, abaixo representada, a área A sombreada e, a Tabela 1, com os detalhes dos cálculos no caso 10n = , para as aproximações pelo extremo esquerdo, pelo extremo direito e pelo ponto médio da área sob a curva 2( ) 9f x x= − em [ ]0,3I , utilizando o “método do retângulo”. Tabela 1: Detalhes do cálculo de A , no caso 10n = , utilizando o ”método do retângulo”. Aproximação Extremo esquerdo Extremo direito Ponto médio i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 * ix ( )*9 ix− 0,0 9,00 0,3 8,91 0,6 8,64 0,9 8,19 1,2 7,56 1,5 6,75 1,8 5,76 2,1 4,59 2,4 3,24 2,7 1,71 * ix ( )*9 ix− 0,3 8,91 0,6 8,64 0,9 8,19 1,2 7,56 1,5 6,75 1,8 5,76 2,1 4,59 2,4 3,24 2,7 1,71 3,0 0,00 * ix ( )*9 ix− 0,15 8,97 0,45 8,79 0,75 8,43 1,05 7,89 1,35 7,17 1,65 6,27 1,95 5,19 2,25 3,93 2,55 2,49 2,85 0,87 ( )* 1 n i i x f x = ∆ ∑ (0,3) (64,35)=19,3050 (0,3) (55,35) =16,6050 (0,3) (60,07) = 18,0225 Conforme podemos observar as aproximações da área sob a curva 2( ) 9f x x= − em [ ]0,3I , Figura 10 05/11/2007 Curso de Engenharia Professora: Fabíola Eugênio Arrabaça Moraes fabiola.moraes@uniube.br Cálculo II Integração de Funções 22 Educação e Responsabilidade social produziram uma aproximação de 18 unidades quadradas (18,0225). Com vista ao cálculo desta mesma curva, 2( ) 9f x x= − em [ ]0,3I , encontre área A , porém usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Apresente um comentário comparativo a ambos os métodos utilizados e os respectivos valores obtidos. 15. Deseja-se bombear óleo para um tanque de armazenagem. Sabe-se que a partir das 9h começa-se o bombeamento à razão de hgalt /)25150( 2 1 + , para o tempo t (em horas) após 9h . Exatamente, às 13h apresente quantos galões terão sido bombeados para o tanque. Nota: Antes de iniciarmos a resolução deste Exercício 15 é importante entender alguns conceitos básicos. Supor que a quantidade de algo físico como óleo, água, força elétrica, montante de dinheiro, contagem de bactérias ou fluxo sanguíneo seja, de alguma forma, crescente ou decrescente. Considerando-se ( )S t como a taxa na qual a variação se processa no instante t . E, neste instante t seja ( )Q t uma quantidade física presente, como podemos notar tanto a taxa de variação S como a quantidade física Q estão em função do tempo t e, se Q é diferenciável, então ( ) ( )'Q t S t= . Caso ( ) 0S t > (ou ( ) 0S t < ) em [ ],a bI tem-se que a quantidade de crescimento (ou decrescimento) entre t a= e t b= é expressa por, E, mais o valor numérico encontrado com esta aplicação pode representar a área da região de um plano ty delimitada pelos modelos gráficos de S , t a= , t b= e 0y = . 16. O número de pessoas implicadas em um grande escândalo governamental cresce a uma taxa preocupante ao governante e seus assessores, principalmente por motivos de interesse a reeleição e a mesma estar bem próxima. Um estudo é realizado e indica que, daqui a m meses, o número de pessoas implicadas estará crescendo a uma taxa de m62 + pessoas por mês. Nos próximos quatro meses, em quanto crescerá o número de pessoas implicadas neste escândalo? Referencial de Respostas (INTEGRAL DEFINIDA) 7. a. E utilizando a notação de somatório podemos expressar, 2 / 1 2lim n i n n i A e n − →∞ = = ∑ . b. Portanto uma estimativa para a área A com 4n = subintervalos é aproximadamente 0,8557 . ( )2/ 4 / 6 / 2 /2lim lim n n n n nnn nA A e e e en − − − − →∞ →∞ ∴ = = + + + + ( ) ( ) ( ) ( )' b b a a Q b Q a Q t dt S t dt− = =∫ ∫ 05/11/2007 Curso de Engenharia Professora: Fabíola Eugênio Arrabaça Moraes fabiola.moraes@uniube.br Cálculo II Integração de Funções 25 Educação e Responsabilidade social ( ) 3 5 3 81 3 812 3 11 3 −=⇒=−⇒+=⇒+= CCCC Portanto, a EQUAÇÃO DA CURVA que ela passa pelo ponto ( )1,2 é 3 5 3 1 3 −= xy . 11. A antiderivada procurada é dada por 22 += xy . 12. 452 2 +−= xxy 13. 1)2/( =πsen 14. Solução: Através do Teorema Fundamental do Cálculo temos o cálculo da área A , com vista ao cálculo da mesma curva, 2( ) 9f x x= − em [ ]0,3I , porém utilizando as aproximações através do “método do retângulo”. Portanto, ( ) 33 2 3 00 279 9 27 0 18 3 3 xA x dx x ⎛ ⎞= − = − = − − =⎜ ⎟ ⎝ ⎠∫ Concluímos que na observação ao cálculo de A , através do Teorema Fundamental do Cálculo, podemos confirmar o resultado obtido em ambos os métodos utilizados e afirmar que a área exata A é de 18 unidades quadradas. Porém, não podemos deixar de comparar e ressaltar que o cálculo de A , através do Teorema Fundamental do Cálculo é claramente mais rápido e objetivo, em relação ao “método do retângulo”. 15. Solução: Após relacionarmos os conceitos supracitados, ao proposto no Exercício 15 não é difícil entender o processo de resolução o qual deseja-se saber quantos galões terão sido bombeados para o tanque, exatamente, as 13h. Supor, ( )S t = taxa na qual a variação se processa no instante t (razão para o tempo t pós 9h). ( ) 1/ 2150 25S t t= + [ ] [ ], 0,4a bI I= → Como a Atividade 3 pede quantos galões terão sido bombeados para o tanque, Importante! 05/11/2007 Curso de Engenharia Professora: Fabíola Eugênio Arrabaça Moraes fabiola.moraes@uniube.br Cálculo II Integração de Funções 26 Educação e Responsabilidade social exatamente, as 13h, sabendo-se que a razão fornecida é para o tempo t após 9h , temos portanto das 9h as 13h , um intervalo de 4h . . ( ) ( )41/ 2 1/ 2 3/ 2 400150 25 150 25 100 25 900S t t t dt t t⎡ ⎤= + = + = + =⎣ ⎦∫ Portanto, após as 9h até as 13h terão sido bombeados para o tanque 900 galões de óleo. 16. Solução: Supor, m : meses ( )P m : número de pessoas implicadas neste escândalo daqui a m meses. dP dm = taxa de variação do número de pessoas implicadas neste escândalo em relação ao tempo m . 2 6dP m dm = + Pergunta: Em quanto crescerá o número de pessoas envolvidas neste escândalo, nos próximos quatro meses? Logo, com a aplicação de integral definida temos: ( ) ( ) ( ) ( )4 3/ 2 4004 0 2 6 2 4P P m dm m m C− = + = + +∫ ( ) ( ) ( ) ( )3/ 2 3/ 22 4 4 4 2 0 4 0C C⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + − + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ( ) ( )40 0 40C C= + − + = Portanto, o número de pessoas envolvidas neste escândalo crescerá nos próximos quatro meses, em torno de 40 pessoas. Nota: A integral definida de ( )f x , em [ ],a bI , é a diferença ( ) ( ) ( ) b a f x dx F b F a= −∫ , onde F é uma antiderivada de ( )f x , ou seja, a integral definida é denotada como a variação da antiderivada entre x a= e x b= . Desta forma a constante C quando representada em uma integral definida, surge tanto nos termos ( )F b quanto ( )F a , porém é eliminada quando se realiza a subtração. Sendo assim, podemos sempre omitir a constante C nas aplicações de integrais definidas. 05/11/2007 Curso de Engenharia Professora: Fabíola Eugênio Arrabaça Moraes fabiola.moraes@uniube.br Cálculo II Integração de Funções 27 Educação e Responsabilidade social INTEGRAIS DUPLAS Trata-se de integrais definidas a partir das funções envolvendo duas variáveis. Elas são conhecidas como INTEGRAIS DUPLAS e são calculadas por um processo que envolve a antiderivação parcial iterada (integral dupla). COMO CALCULAR UMA INTEGRAL DUPLA? Notação: ( ), b d a c f x y dydx∫ ∫ → denotado por INTEGRAL DUPLA (INTEGRAL ITERADA OU REPETIDA). E, na forma abreviada temos, ( ), b d a c f x y dy dx⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ Nota: No cálculo da integral dupla primeiro calculá-se a integral definida mais internamente, ou seja, ( ), d c f x y dy∫ tomando a antiderivada de f em relação a variável y , enquanto x é mantido fixo. Assim, vamos observar o resultado de uma função de uma única variável x , na qual deverá ser integrada em relação à variável x entre e x a x b= = . Exemplo 1: 1 2 2 0 1 xy dydx −∫ ∫ Solução: Primeiro resolva a integral mais interna em relação à variável y , neste exemplo, “tratando” x como uma constante. 2 1 32 2 2 2 3 2 3 2 1 1 1 11 1 1 2 1 3 3 3 y y y y y y y y y yxy dy x x x y xy + = = = = =− =− =− =−− = = = = +∫ ( ) ( ) ( )3 31 1 1 1 8 1 92 1 8 1 3 3 3 3 3 3 3 3 x x x x x x x x= − − = − − = + = = Atenção: Observe que os limites da integração 1 e 2− referem-se à variável y . Logo, foi na variável y que substituímos estes limites. Agora integre o resultado deste cálculo, no qual encontramos o valor 3x , em relação a variável x , nos limites da integração 0 e 1 . Importante! 05/11/2007 Curso de Engenharia Professora: Fabíola Eugênio Arrabaça Moraes fabiola.moraes@uniube.br Cálculo II Integração de Funções 30 Educação e Responsabilidade social Propriedade 1. Múltiplo Constante: ( ) ( ), , R kf x y dA k f x y dA=∫ ∫ ∫ ∫ , para todo número k (constante). Propriedade 2. Soma e Diferença: ( ) ( )( ) ( ) ( ), , , , R R R f x y g x y dA f x y dA g x y dA± = ±∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Propriedade 3. Dominação: a. ( ) ( ), 0 se , 0 em R f x y dA f x y R≥ ≥∫ ∫ b. ( ) ( ) ( ) ( ), , se , , em R R f x y dA g x y f x y g x y R≥ ≥∫ ∫ ∫ ∫ Propriedade 4. Aditividade: ( ) ( ) ( ) 1 2 , , , R R R f x y dA f x y dA f x y dA= +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ , caso R representar a união de dois retângulos não sobrepostos 1 2e R R . Nota: O TEOREMA DE FUBINI, publicado em 1907 por Guido Fubini retrata que a integral dupla de qualquer função contínua sobre um retângulo pode ser calculada como uma integral iterada (integral dupla) em qualquer ordem de integração. TEOREMA DE FUBINI Se ( );f x y for contínua na região retangular : , R a x b c y d≤ ≤ ≤ ≤ temos, ( ) ( ) ( ), , , d b b d R c a a c f x y dA f x y dxdy f x y dydx= =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Exemplo 3: Calcule ( ), R f x y dA∫ ∫ para ( ) 2; 1 6 e : 0 2, 1 1f x y x y R x y= − ≤ ≤ − ≤ ≤ . Solução: (Pelo TEOREMA DE FUBINI) ( ) ( )1 2 12 3 201 0 1 1, 1 6 6 3 x xR f x y dA x y dxdy x x y dy==− − ⎡ ⎤⎛ ⎞= − = − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) [ ]1 1 13 2 3 301 1 12 2 0 2 2 0 2 16 x xx x y dy y y dy y dy = =− − − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = − − − = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ( ) ( )( )( )22 1 2 1 21 112 16 2 8 2.1 2. 1 8.1 8. 12 y yy yy y y y= ==− =− ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎡ ⎤= − = − = − − − − −⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠⎣ ⎦ ( ) ( )2 2 8 8 4= + − − = unidades cúbicas. 05/11/2007 Curso de Engenharia Professora: Fabíola Eugênio Arrabaça Moraes fabiola.moraes@uniube.br Cálculo II Integração de Funções 31 Educação e Responsabilidade social Nota: Observe agora o resultado obtido com o mesmo exemplo supracitado, porém “trocando” a ordem de integração. ( ) ( )2 1 22 2 2 1 10 1 0 1, 1 6 6 2 y yR f x y dA x y dydx y x y dx==−− ⎡ ⎤⎛ ⎞= − = − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2 2 22 2 1 2 210 03 1 3 1 1 3 1yyy x y dx x x dx==− ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= − = − − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ 2 22 2 2 2 2 2 00 0 11 3 1 3 2 2 2 0 4 2 x xx x dx dx x = = ⎛ ⎞⎡ ⎤= − + + = = = − =⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠∫ ∫ unidades cúbicas. Nota: Além das Integrais Duplas sobre Retângulos, temos também as Integrais Duplas como Volumes, entre outros conceitos bastante interessantes e com muitas aplicações, porém neste contexto vamos nos ater apenas as “idéias” e conceitos básicos estudados até então. 17. Calcule as seguintes integrais duplas. a. 1 2 0 0 r srr e dsdr∫ ∫ b. 1 1 0 1 h h e dgdh −∫ ∫ Referencial de Respostas (INTEGRAL DUPLA) 17. a. 0,5 1e− b. 1