Cálculo 1. Limite e Derivada

Cálculo 1. Limite e Derivada

(Parte 1 de 9)

ÁREA 1 - Faculdade de Ciência e Tecnologia Cursos de Engenharia

Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Álvaro Fernandes Serafim

Apostila de limites e derivadas

“Uma grande descoberta envolve a solução de um grande problema, mas há uma semente de descoberta na solução de qualquer problema. Seu problema pode ser modesto; porém, se ele desafiar a sua curiosidade e fizer funcionar a sua capacidade inventiva, e caso você o resolva sozinho, então você poderá experimentar a tensão e o prazer do triunfo da descoberta”

George Polya

Última atualização: 02/06/2006

Qual o valor de a ?

Álvaro Fernandes 2

Limite e continuidade3
Noção intuitiva de limite3
Tabelas de aproximações4
Cálculo de uma indeterminação do tipo 0/05
Definição intuitiva de limite6
Propriedades dos limites6
Limites infinitos8
Limites no infinito9
Expressões indeterminadas10
Limite fundamental exponencial12
Limite fundamental trigonométrico14
Funções limitadas16
Continuidade18
Aplicação 1: Problema da área sob o arco de uma parábola20
Aplicação 2: Problema do circuito RL em série21
Derivada2
A reta tangente2
A reta normal25
A derivada de uma função num ponto25
Derivadas laterais26
Regras de derivação28
Derivada da função composta (Regra da cadeia)30
Derivada da função inversa32
Derivada das funções elementares3
Derivada da função exponencial3
Derivada da função logarítmica34
Derivada das funções trigonométricas34
Derivada das funções trigonométricas inversas37
Tabela de derivadas39
Derivadas sucessivas40
Derivada na forma implícita42
Derivada de uma função na forma paramétrica47
Diferencial51
Aplicações da derivada53
A regra de L’Hospital53
Interpretação cinemática da derivada5
Taxa de variação58
Análise gráfica das funções61
Máximos e mínimos61
Funções crescentes e decrescentes63
Critérios para determinar os extremos de uma função65
Concavidade e inflexão67
Assíntotas horizontais e verticais69
Esboço gráfico72

Índice Problemas de otimização......................................................................................................... 7

Álvaro Fernandes 3

Limite e continuidade

Noção Intuitiva de limite

Considere a função ()fxx=−21. Esta função está definida para todo x∈ℜ, isto é, qualquer que seja o número real c, o valor ()cfestá bem definido.

Graficamente:

Considere agora uma outra função ()gx

1 . Esta função está definida

{}∀∈ℜ−x1. Isto significa que não podemos estabelecer uma imagem quando x assume o valor 1.

0 0 simboliza uma indeterminação matemática. Outros tipos de indeterminações matemáticas serão tratados mais adiante.

Qual o comportamento gráfico da função g quando x assume valores muito próximos de 1, porém diferentes de 1?

A princípio o estudo do limite visa estabelecer o comportamento de uma função numa vizinhança de um ponto (que pode ou não pertencer ao seu domínio). No caso da função f, qualquer valor atribuído a x determina uma única imagem, sem problema algum. Mas na função g, existe o ponto 1x= que gera a indeterminação.

Estudemos os valores da função ()gx

1 quando x assume valores próximos

(numa vizinhança) de 1, mas diferente de 1. Para isto vamos utilizar tabelas de aproximações.

Álvaro Fernandes 4

Tabelas de aproximações

As tabelas de aproximações são utilizadas para aproximar o valor da imagem de uma função (se existir) quando a variável x se aproxima de um determinado ponto.

Atribuindo a x valores próximos de 1, porém menores do que 1: (tabela A) x 0 0,5 0,75 0,9 0,9 0,99 0,99 g(x) 1 1,5 1,75 1,9 1,9 1,99 1,99

Atribuindo a x valores próximos de 1, porém maiores do que 1:(tabela B)

x 2 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001 1,0001 g(x) 3 2,5 2,25 2,1 2,01 2,001 2,0001

Observemos que podemos tornar g(x) tão próximo de 2 quanto desejarmos, bastando para isso tomarmos x suficientemente próximo de 1. De outra forma, dizemos:

“O limite da função g(x) quando x se aproxima de (tende a) 1 é igual a 2”.

2ou limx

Observações: 1) Os dois tipos de aproximações que vemos nas tabelas A e B são chamados de limites laterais.

∗ Quando x tende a 1 por valores menores do que 1 (tabela A), dizemos que x tende a 1 pela esquerda, e denotamos simbolicamente por x→−1. Temos então que:

∗ Quando x tende a 1 por valores maiores do que 1 (tabela B), dizemos que x tende a 1 pela direita, e denotamos simbolicamente por x→+1. Temos então que:

2) Se a função g se aproximasse de valores distintos à medida que x se aproximasse lateralmente de 1, pela esquerda e pela direita, então diríamos que o limite da função g não existiria neste ponto,

simbolicamente()limx gx→1

3) O limite da função g(x) quando x se aproxima de 1, somente existe se os limites laterais são iguais. Simbolicamente:

2

Será necessário sempre construir tabelas de aproximações para determinar o limite de uma função, caso ele exista?

Não! Há uma forma bem mais simples, como veremos a seguir.

Obs: O sinal negativo no expoente do no 1 simboliza apenas que x se aproxima do número 1 pela esquerda.

Obs: O sinal positivo no expoente do no 1 simboliza apenas que x se aproxima do número 1 pela direita.

Álvaro Fernandes 5

Sempre que nos depararmos com uma indeterminação do tipo 0 0, deveremos simplificar* a expressão da função envolvida. Logo após, calculamos o limite da função substituindo, na expressão já simplificada, o valor de x.

Briot-Ruffini para dividir polinômios, etc

* Para simplificar a expressão você deve utilizar fatoração, racionalização, dispositivo prático de Vejamos os exemplos seguintes.

Exemplo 2. Determine ()limx gx→1 , onde ()gx

Observe que ()0 01g= que é uma indeterminação matemática! Quando a variável x está cada vez mais próxima de 1, a função g está cada vez mais próxima de quanto? Devemos então simplificar a expressão da função g e depois fazer a substituição direta.

1xlimx glim

Logo, limx

Chegamos à mesma conclusão da análise feita pelas tabelas de aproximações, porém de uma forma mais rápida e sistemática.

Não mais utilizaremos as tabelas de aproximações para casos semelhantes a este!!

Vale lembrar que a expressão limx x

1 2 significa que a função ()gx

1 está tão próxima de 2 assim como x está suficientemente próximo de 1, porém diferente de 1. Graficamente podemos verificar isso:

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