Integral Indefinida

Integral Indefinida

<html><head>
<!-- base href="http://www.ucs.br/deme/tplMecam/disciplinas/calculo/restrito/material_de_apoio/calculo2/integrais_indefinidas/principal/" --></head><body><blockquote>
<p><font face="Arial"><b>Integrais Indefinidas</b></font> </p>
<p align="justify">        <font face="Arial" size="2">No
estudo do cálculo diferencial o tema central é baseado no conceito de
derivada, ou taxa de variação instantânea, de uma função. Lembremos que
a motivação inicial para o estudo da derivada é dada pelo problema de
determinar a inclinação da reta tangente a uma curva em um de seus
pontos. Usando derivadas calculamos também, a velocidade a partir da
distância percorrida.</font> </p>
<p align="justify">   <font face="Arial" size="2">    
O cálculo integral é baseado no conceito de integral. A definição de
integral é motivada pelo problema de definir e calcular a área da
região compreendida entre o gráfico de uma função <i>f</i> e o eixo <i>x</i>, num intervalo fechado [<i>a</i>,<i>b</i>]. Tal área será denotada pelo símbolo</font> </p>
<p align="center"><font face="Arial" size="2"><span style=""><span style=""><img src="integrais%20indefinidas_arquivos/integr1.gif" v:shapes="_x0000_i1025" height="49" width="56"> </span></span></font></p><span style="">
<p align="justify"><font face="Arial" size="2">       
Mas, assim como a derivada, a integral tem muitas outras aplicações e
uma delas é exatamente o de resolver o problema inverso: calcular a
distância percorrida, conhecida a velocidade. Ou seja, calcular a
variação total de uma função, a partir de sua taxa de variação. Além
deste, resolveremos problemas envolvendo o valor médio de uma função
num intervalo, crescimento populacional, volume, comprimento de arco,
dentre outros.</font> </p>
<p align="justify"><b><font face="Arial" size="3">Antiderivada</font></b> </p>
<p align="justify"><font face="Arial" size="2">Definição:</font> </p>
<p align="justify">   <font face="Arial" size="2">     Uma antiderivada da função <i>f</i> é uma função <i>F</i> tal que</font> </p>
<p align="center"><font face="Arial" size="2"><i>F</i>′(<i>x</i>) = <i>f</i>(<i>x</i>),</font> </p>
<p align="justify"><font face="Arial" size="2">em todo ponto (<i>x</i>,<i>f</i>(<i>x</i>)) onde <i>f</i> é definida.</font> </p>
<p align="justify"><font face="Arial" size="2"><b>Exemplo 1</b></font> </p>
<div align="center">
<center>
<center>
</center><table border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" width="205">
<tbody>
<tr>
<td align="center" valign="center" width="75"><font face="Arial" size="2"><b>função<i> f</i>(<i>x</i>)</b></font></td>
<td align="center" valign="center" width="114">
<p align="right"><font face="Arial" size="2"><b>antiderivada <i>F</i>(x)</b></font></p></td></tr>
<tr>
<td align="center" valign="center" width="75"><font face="Arial" size="2">1 </font></td>
<td align="center" valign="center" width="114"><font face="Arial" size="2"><i>x</i></font></td></tr>
<tr>
<td align="center" valign="center" width="75"><font face="Arial" size="2">2<i>x</i></font></td>
<td align="center" valign="center" width="114"><font face="Arial" size="2"><i>x</i><font size="3">²</font></font></td></tr>
<tr>
<td align="center" valign="center" width="75"><font face="Arial" size="2"><i>x</i><font size="3">³</font></font></td>
<td align="center" valign="center" width="114"><span style="font-size: 12pt; font-family: Arial;" times="" roman?;mso-bidi-font-family:?times="" new="" roman?;="" mso-ansi-language:pt-br;mso-fareast-language:pt-br;mso-bidi-language:ar-sa?=""><span style=""><img src="integrais%20indefinidas_arquivos/integr2.gif" v:shapes="_x0000_i1025" height="36" width="32"></span> </span></td></tr>
<tr>
<td align="center" valign="center" width="75"><font face="Arial" size="2">cos <i>x</i></font></td>
<td align="center" valign="center" width="114"><font face="Arial" size="2"> sen <i>x</i></font></td></tr></tbody></table></center></div>
<p align="justify"></p>
<p align="justify"><font face="Arial" size="2"><b>Exemplo 2</b></font> </p>
<p align="justify"><font face="Arial" size="2"><i>F</i>(<i>x</i>) = <i>x</i><font face="Times New Roman" size="4">³</font> é uma antiderivada de <i>f</i>(<i>x</i>) = 3<i>x</i><font face="Times New Roman" size="4">²</font>, como o são, também, as funções <i>G</i>(<i>x</i>) = <i>x</i><font face="Times New Roman" size="4">³</font> + <span style="font-size: 12pt; font-family: Symbol;">p </span>e <i>H</i>(<i>x</i>) = <i>x</i><font face="Times New Roman" size="4">³</font> +<img alt="nova_p3.gif" src="integrais%20indefinidas_arquivos/nova_p3.gif" align="middle" border="0" height="23" hspace="0" width="23">. Na verdade, <i>J</i>(<i>x</i>) = <i>x</i><font face="Times New Roman" size="4">³</font> + <i>C</i> é uma antiderivada de <i>f</i>(<i>x</i>) = 3<i>x</i><font face="Times New Roman" size="4">²</font>, para qualquer valor de <i>C</i>.</font> </p>
<p align="justify"><font face="Arial" size="2">Obs.: 1) Uma única função tem muitas antiderivadas. Se <i>F</i>(<i>x</i>) é uma antiderivada de <i>f</i>(<i>x</i>), então <i>F</i>(<i>x</i>) + <i>C</i>
também o é. Quando duas funções têm a mesma antiderivada, num mesmo
intervalo, elas diferem apenas por uma constante, neste intervalo.</font> </p>
<p align="justify"><font face="Arial" size="2">2) Os gráficos de duas antiderivadas quaisquer <i>F</i>(<i>x</i>) + <i>C</i><sub>1</sub> e <i>F</i>(<i>x</i>) + <i>C</i><sub>2</sub>, da mesma função <i>f</i>(<i>x</i>), no mesmo intervalo <i>I</i>, são ``paralelos", como vemos nas figuras abaixo.<br><br></font></p>
<div align="center">
<center>
<table border="0" cellspacing="10">
<tbody><tr>
<td><font face="Arial" size="2"><img src="integrais%20indefinidas_arquivos/integr3.gif" border="0" height="193" width="289"></font></td>
<td><img src="integrais%20indefinidas_arquivos/integr4.gif" border="0" height="193" width="289"></td></tr>
<tr>
<td>
<p align="center"><font face="Arial" size="2"><i>f</i>(<i>x</i>) = 2<i>x</i> e <i>F</i>(<i>x</i>) = <i>x</i><font face="Times New Roman" size="4">²</font> + <i>C</i></font></p></td>
<td>
<p align="center"><font face="Arial" size="2"><i>f</i>(<i>x</i>) = 3<i>x</i><font face="Times New Roman" size="4">²</font> e <i>F</i>(<i>x</i>) = <i>x</i><font face="Times New Roman" size="4">³</font> + <i>C</i></font></p></td></tr></tbody></table></center></div>
<p align="justify"><font face="Arial" size="2">Teorema 1: <b><i>A antiderivada mais geral</i></b></font> </p>
<p align="justify"><font face="Arial" size="2">        Se <i>F</i>′(<i>x</i>) = <i>f</i>(<i>x</i>) em todo ponto do intervalo aberto <i>I</i>, então toda antiderivada <i>G</i> de <i>f</i> em <i>I</i> tem a forma</font> </p>
<p align="center"><font face="Arial" size="2"><i>G</i>(<i>x</i>) = <i>F</i>(<i>x</i>) + <i>C</i>,</font> </p>
<p align="justify"><font face="Arial" size="2">onde C é uma constante.</font> </p>
<p align="justify">   <font face="Arial" size="2">     A coleção de todas as antiderivadas da função <i>f</i>(<i>x</i>) é chamada de integral indefinida de <i>f</i> com relação a <i>x</i> e se denota por</font> </p>
<p align="center"><font face="Arial" size="2"><img alt="nova_p1.gif" src="integrais%20indefinidas_arquivos/nova_p1.gif" border="0" height="31" hspace="0" width="55">.</font> </p>
<p align="justify"><font face="Arial" size="2">De acordo com o teorema, escreve-se</font> </p>
<p align="center"><font face="Arial" size="2"><i></i><img alt="nova_p2.gif" src="integrais%20indefinidas_arquivos/nova_p2.gif" align="middle" border="0" height="31" hspace="0" width="117">. </font> </p>
<p align="justify"><font face="Arial" size="2"><b>Obs.:</b></font>   <font face="Arial" size="2"><br><b>1</b>) Considera-se a combinação </font><i><font face="Arial" size="5">∫</font></i><font face="Arial" size="2">...d<i>x</i> como um único símbolo. No espaço pontilhado, escreve-se a expressão da função para a qual se procura a antiderivada.</font> </p>
<p align="justify">   <font face="Arial" size="2">        A diferencial d<i>x</i> na equação <img alt="nova_p2.gif" src="integrais%20indefinidas_arquivos/nova_p2.gif" align="middle" border="0" height="31" hspace="0" width="117"> indica que a variável independente é <i>x</i>. Mas pode-se trabalhar com qualquer variável independente.</font> </p>
<p align="justify"><font face="Arial" size="2">Por exemplo:</font> </p>
<div align="center">
<center>
<table border="0" cellspacing="10">
<tbody><tr>
<td><img src="integrais%20indefinidas_arquivos/nova_p5.gif" align="middle" border="0" height="31" width="100">,</td>
<td><img src="integrais%20indefinidas_arquivos/nova_p6.gif" align="middle" border="0" height="31" width="111">,</td>
<td><img src="integrais%20indefinidas_arquivos/nova_p7.gif" align="middle" border="0" height="31" width="109">.</td></tr></tbody></table></center></div>
<p align="justify"><font face="Arial" size="2"><b>2</b>) Como a operação de antidiferenciação é linear, temos:</font> </p>
<ul>
<li>
<p align="justify"><font face="Arial" size="2"><img src="integrais%20indefinidas_arquivos/pic8.gif" align="middle" border="0" height="31" width="121"> (onde <i>c</i> é uma constante).</font> </p>
</li><li>
<p align="justify"><font face="Arial" size="2"><img src="integrais%20indefinidas_arquivos/pic9.gif" align="middle" border="0" height="31" width="237">.</font> </p></li></ul>
<p align="justify"><font face="Arial" size="2">Por exemplo:</font> </p>
<p align="justify"><img src="integrais%20indefinidas_arquivos/pic10.gif" border="0" height="41" width="509"> </p>
<p align="justify"><img src="integrais%20indefinidas_arquivos/pic11.gif" border="0" height="41" width="419"> </p>
<p align="justify"><img src="integrais%20indefinidas_arquivos/pic12.gif" border="0" height="41" width="481"> </p>
<p align="justify"><font face="Arial" size="2">Teorema 2: Algumas Fórmulas de Integrais</font> </p>
<div align="center">
<center>
<table border="2" cellpadding="0" cellspacing="0" height="341">
<tbody><tr>
<td align="left" height="28" valign="center"><span style=""><i><font face="Arial" size="5">∫</font><font face="Arial" size="2"> dx = x + C</font></i></span></td>
<td align="left" height="28" valign="center"></td></tr>
<tr>
<td align="left" height="37" valign="center"><span style="font-size: 12pt; font-family: Arial;" times="" roman?;mso-bidi-font-family:?times="" new="" roman?;="" mso-ansi-language:pt-br;mso-fareast-language:pt-br;mso-bidi-language:ar-sa?=""><span style=""><v:shapetype id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f"><v:stroke joinstyle="miter"><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"><v:f eqn="sum @0 1 0"><v:f eqn="sum 0 0 @1"><v:f eqn="prod @2 1 2"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @0 0 1"><v:f eqn="prod @6 1 2"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"><v:f eqn="sum @8 21600 0"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f><v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect"><o:lock v:ext="edit" aspectratio="t"></o:lock><v:shape id="_x0000_i1025" style="width: 83.25pt; height: 27.75pt;" type="#_x0000_t75" o:ole=""><v:imagedata src="file:///C:/WINDOWS/TEMP/msoclip1/01/clip_image001.wmz" o:title=""></v:imagedata><img src="integrais%20indefinidas_arquivos/pic14.gif" border="0" height="39" width="177"></v:shape></v:path></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas></v:stroke></v:shapetype></span> </span></td>
<td align="left" height="37" valign="center"></td></tr>
<tr>
<td align="left" height="38" valign="center"><font face="Arial" size="5"><i>∫</i></font><font face="Arial" size="2"> cos<i>u</i> d<i>u </i>= sen<i>u </i>+ C  </font></td>
<td align="left" height="38" valign="center"><span style=""><font face="Arial" size="5"><i>∫</i></font></span> <font face="Arial" size="2">cos<i>kx </i>d<i>x </i>= <span style="font-size: 12pt; font-family: Arial;" times="" roman?;mso-bidi-font-family:?times="" new="" roman?;="" mso-ansi-language:pt-br;mso-fareast-language:pt-br;mso-bidi-language:ar-sa?=""><span style=""><v:shapetype id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f"><v:stroke joinstyle="miter"><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"><v:f eqn="sum @0 1 0"><v:f eqn="sum 0 0 @1"><v:f eqn="prod @2 1 2"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @0 0 1"><v:f eqn="prod @6 1 2"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"><v:f eqn="sum @8 21600 0"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f><v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect"><o:lock v:ext="edit" aspectratio="t"></o:lock><v:shape id="_x0000_i1025" style="width: 12pt; height: 27pt;" type="#_x0000_t75" o:ole=""><v:imagedata src="file:///C:/WINDOWS/TEMP/msoclip1/01/clip_image001.wmz" o:title=""></v:imagedata><img src="integrais%20indefinidas_arquivos/integr12.gif" v:shapes="_x0000_i1025" align="middle" height="36" width="16"></v:shape></v:path></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas></v:stroke></v:shapetype></span> </span>sen<i>kx </i>+ <i>C</i></font></td></tr>
<tr>
<td align="left" height="38" valign="center"><font face="Arial" size="5"><i>∫</i></font><font face="Arial" size="2"> sen<i>u</i> d<i>u</i> = - cos<i>u</i> + <i>C</i></font></td>
<td align="left" height="38" valign="center"><span style=""><font face="Arial" size="5"><i>∫</i></font></span> <font face="Arial" size="2">sen<i>kx</i> d<i>x</i> = - <span style="font-size: 12pt; font-family: Arial;" times="" roman?;mso-bidi-font-family:?times="" new="" roman?;="" mso-ansi-language:pt-br;mso-fareast-language:pt-br;mso-bidi-language:ar-sa?=""><span style=""><v:shapetype id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f"><v:stroke joinstyle="miter"><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"><v:f eqn="sum @0 1 0"><v:f eqn="sum 0 0 @1"><v:f eqn="prod @2 1 2"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @0 0 1"><v:f eqn="prod @6 1 2"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"><v:f eqn="sum @8 21600 0"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f><v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect"><o:lock v:ext="edit" aspectratio="t"></o:lock><v:shape id="_x0000_i1025" style="width: 12pt; height: 27pt;" type="#_x0000_t75" o:ole=""><v:imagedata src="file:///C:/WINDOWS/TEMP/msoclip1/01/clip_image001.wmz" o:title=""></v:imagedata><img src="integrais%20indefinidas_arquivos/integr12.gif" v:shapes="_x0000_i1025" align="middle" height="36" width="16"></v:shape></v:path></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas></v:stroke></v:shapetype></span> </span>cos<i>kx</i> + <i>C</i></font></td></tr>
<tr>
<td align="left" height="38" valign="center"><span style=""><font face="Arial" size="5"><i>∫</i></font></span> <font face="Arial" size="2">sec²<i>u</i> d<i>u</i> = tan<i>u</i> + <i>C</i></font></td>
<td align="left" height="38" valign="center"><span style=""><font face="Arial" size="5"><i>∫</i></font></span> <font face="Arial" size="2">sec²<i>kx</i> d<i>x</i> = <span style="font-size: 12pt; font-family: Arial;" times="" roman?;mso-bidi-font-family:?times="" new="" roman?;="" mso-ansi-language:pt-br;mso-fareast-language:pt-br;mso-bidi-language:ar-sa?=""><span style=""><v:shapetype id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f"><v:stroke joinstyle="miter"><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"><v:f eqn="sum @0 1 0"><v:f eqn="sum 0 0 @1"><v:f eqn="prod @2 1 2"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @0 0 1"><v:f eqn="prod @6 1 2"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"><v:f eqn="sum @8 21600 0"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f><v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect"><o:lock v:ext="edit" aspectratio="t"></o:lock><v:shape id="_x0000_i1025" style="width: 12pt; height: 27pt;" type="#_x0000_t75" o:ole=""><v:imagedata src="file:///C:/WINDOWS/TEMP/msoclip1/01/clip_image001.wmz" o:title=""></v:imagedata></v:shape></v:path></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas></v:stroke></v:shapetype></span></span></font><span style=""><font face="Arial" size="2"><span style=""><img src="integrais%20indefinidas_arquivos/integr12.gif" v:shapes="_x0000_i1025" align="middle" height="36" width="16"></span> </font></span><font face="Arial" size="2"><span style="font-size: 12pt; font-family: Arial;" times="" roman?;mso-bidi-font-family:?times="" new="" roman?;="" mso-ansi-language:pt-br;mso-fareast-language:pt-br;mso-bidi-language:ar-sa?=""></span>tan<i>kx</i> + <i>C</i></font></td></tr>
<tr>
<td align="left" height="38" valign="center"><span style=""><font face="Arial" size="5"><i>∫</i></font></span> <font face="Arial" size="2">csc²<i>u</i> d<i>u</i> = - cot<i>u</i> + <i>C</i></font></td>
<td align="left" height="38" valign="center"><span style=""><font face="Arial" size="5"><i>∫</i></font></span> <font face="Arial" size="2">csc²<i>kx</i> d<i>x</i> = -<span style="font-size: 12pt; font-family: Arial;" times="" roman?;mso-bidi-font-family:?times="" new="" roman?;="" mso-ansi-language:pt-br;mso-fareast-language:pt-br;mso-bidi-language:ar-sa?=""><span style=""><v:shapetype id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f"> <v:stroke joinstyle="miter"><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"><v:f eqn="sum @0 1 0"><v:f eqn="sum 0 0 @1"><v:f eqn="prod @2 1 2"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @0 0 1"><v:f eqn="prod @6 1 2"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"><v:f eqn="sum @8 21600 0"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f><v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect"><o:lock v:ext="edit" aspectratio="t"></o:lock><v:shape id="_x0000_i1025" style="width: 12pt; height: 27pt;" type="#_x0000_t75" o:ole=""><v:imagedata src="file:///C:/WINDOWS/TEMP/msoclip1/01/clip_image001.wmz" o:title=""></v:imagedata></v:shape></v:path></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas></v:stroke></v:shapetype></span></span></font><span style=""><font face="Arial" size="2"><span style=""><img src="integrais%20indefinidas_arquivos/integr12.gif" v:shapes="_x0000_i1025" align="middle" height="36" width="16"></span> </font></span><font face="Arial" size="2"><span style="font-size: 12pt; font-family: Arial;" times="" roman?;mso-bidi-font-family:?times="" new="" roman?;="" mso-ansi-language:pt-br;mso-fareast-language:pt-br;mso-bidi-language:ar-sa?=""></span>cot<i>kx</i> + <i>C</i></font></td></tr>
<tr>
<td align="left" height="38" valign="center"><span style=""><font face="Arial" size="5"><i>∫</i></font></span> <font face="Arial" size="2">sec<i>u</i> tan<i>u</i> = sec<i>u</i> + <i>C</i> </font></td>
<td align="left" height="38" valign="center"><span style=""><font face="Arial" size="5"><i>∫</i></font></span> <font face="Arial" size="2">sec<i>kx</i> tan<i>kx</i> d<i>x</i> = <span style="font-size: 12pt; font-family: Arial;" times="" roman?;mso-bidi-font-family:?times="" new="" roman?;="" mso-ansi-language:pt-br;mso-fareast-language:pt-br;mso-bidi-language:ar-sa?=""><span style=""><v:shapetype id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f"><v:stroke joinstyle="miter"><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"><v:f eqn="sum @0 1 0"><v:f eqn="sum 0 0 @1"><v:f eqn="prod @2 1 2"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @0 0 1"><v:f eqn="prod @6 1 2"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"><v:f eqn="sum @8 21600 0"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f><v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect"><o:lock v:ext="edit" aspectratio="t"></o:lock><v:shape id="_x0000_i1025" style="width: 12pt; height: 27pt;" type="#_x0000_t75" o:ole=""><v:imagedata src="file:///C:/WINDOWS/TEMP/msoclip1/01/clip_image001.wmz" o:title=""></v:imagedata></v:shape></v:path></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas></v:stroke></v:shapetype></span></span></font><span style=""><font face="Arial" size="2"><span style=""><img src="integrais%20indefinidas_arquivos/integr12.gif" v:shapes="_x0000_i1025" align="middle" height="36" width="16"></span> </font></span><font face="Arial" size="2"><span style="font-size: 12pt; font-family: Arial;" times="" roman?;mso-bidi-font-family:?times="" new="" roman?;="" mso-ansi-language:pt-br;mso-fareast-language:pt-br;mso-bidi-language:ar-sa?=""></span>sec<i>kx</i> + <i>C</i></font></td></tr>
<tr>
<td align="left" height="38" valign="center"><span style=""><font face="Arial" size="5"><i>∫</i></font></span> <font face="Arial" size="2">csc<i>u</i> cot<i>u</i> d<i>u</i> = - csc<i>u</i> + <i>C</i></font></td>
<td align="left" height="38" valign="center"><span style=""><font face="Arial" size="5"><i>∫</i></font></span> <font face="Arial" size="2">csc<i>kx</i> cot<i>kx</i> d<i>x</i> = - </font><span style=""><font face="Arial" size="2"><span style=""><img src="integrais%20indefinidas_arquivos/integr12.gif" v:shapes="_x0000_i1025" align="middle" height="36" width="16"></span> </font></span><font face="Arial" size="2">csc<i>kx</i> + <i>C</i></font></td></tr></tbody></table></center></div>
<p align="justify"><font face="Arial" size="2"><b>Exemplos:</b></font> </p>
<p align="justify"><font face="Arial" size="2"><b>a</b>) </font><span style="font-size: 12pt; font-family: Arial;" times="" roman?;mso-bidi-font-family:?times="" new="" roman?;="" mso-ansi-language:pt-br;mso-fareast-language:pt-br;mso-bidi-language:ar-sa?=""><span style=""><v:shapetype id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f"><v:stroke joinstyle="miter"><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"><v:f eqn="sum @0 1 0"><v:f eqn="sum 0 0 @1"><v:f eqn="prod @2 1 2"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @0 0 1"><v:f eqn="prod @6 1 2"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"><v:f eqn="sum @8 21600 0"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f><v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect"><o:lock v:ext="edit" aspectratio="t"></o:lock><v:shape id="_x0000_i1025" style="width: 342.75pt; height: 30.75pt;" type="#_x0000_t75" o:ole=""><v:imagedata src="file:///C:/WINDOWS/TEMP/msoclip1/01/clip_image001.wmz" o:title=""></v:imagedata><img src="integrais%20indefinidas_arquivos/pic15.gif" align="middle" border="0" height="41" width="489"></v:shape></v:path></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas></v:stroke></v:shapetype></span></span></p>
<blockquote>
<blockquote>
<blockquote>
<blockquote>
<p align="justify"><span style="font-size: 12pt; font-family: Arial;" times="" roman?;mso-bidi-font-family:?times="" new="" roman?;="" mso-ansi-language:pt-br;mso-fareast-language:pt-br;mso-bidi-language:ar-sa?=""><span style="">= <v:shapetype id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f"><v:stroke joinstyle="miter"><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"><v:f eqn="sum @0 1 0"><v:f eqn="sum 0 0 @1"><v:f eqn="prod @2 1 2"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @0 0 1"><v:f eqn="prod @6 1 2"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"><v:f eqn="sum @8 21600 0"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f><v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect"><o:lock v:ext="edit" aspectratio="t"></o:lock><v:shape id="_x0000_i1025" style="width: 192pt; height: 39.75pt;" type="#_x0000_t75" o:ole=""><v:imagedata src="file:///C:/WINDOWS/TEMP/msoclip1/01/clip_image001.wmz" o:title=""></v:imagedata><v:shapetype id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f"><v:stroke joinstyle="miter"><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"><v:f eqn="sum @0 1 0"><v:f eqn="sum 0 0 @1"><v:f eqn="prod @2 1 2"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @0 0 1"><v:f eqn="prod @6 1 2"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"><v:f eqn="sum @8 21600 0"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f><v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect"><o:lock v:ext="edit" aspectratio="t"></o:lock><v:shape id="_x0000_i1025" style="width: 192pt; height: 39.75pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata src="file:///C:/WINDOWS/TEMP/msoclip1/01/clip_image001.png" o:title="" chromakey="#818181"></v:imagedata><img src="integrais%20indefinidas_arquivos/integr20.gif" v:shapes="_x0000_i1025" align="middle" height="53" width="256"></v:shape></v:path></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas></v:stroke></v:shapetype></v:shape></v:path></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas></v:stroke></v:shapetype></span> </span></p></blockquote></blockquote></blockquote></blockquote>
<p align="justify"><font face="Arial" size="2"><b>b</b>) </font><span style=""><font face="Arial" size="5"><i>∫</i></font></span> <font face="Arial" size="2">(2cos3<i>t</i> + 5sen4<i>t</i>) d<i>t</i> = </font><span style=""><font face="Arial" size="5"><i>∫</i></font></span> <font face="Arial" size="2">2cos3<i>t</i> d<i>t</i> + </font><span style=""><font face="Arial" size="5"><i>∫</i></font></span> <font face="Arial" size="2">5sen4<i>t</i> d<i>t</i> = 2 </font><span style=""><font face="Arial" size="5"><i>∫</i></font></span> <font face="Arial" size="2">cos3<i>t</i> d<i>t</i> + 5 </font><span style=""><font face="Arial" size="5"><i>∫</i></font></span> <font face="Arial" size="2">sen4<i>t</i> d<i>t</i></font> </p>
<blockquote>
<blockquote>
<blockquote>
<p align="justify"><span style=""><v:shapetype id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f"><v:stroke joinstyle="miter"><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"><v:f eqn="sum @0 1 0"><v:f eqn="sum 0 0 @1"><v:f eqn="prod @2 1 2"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @0 0 1"><v:f eqn="prod @6 1 2"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"><v:f eqn="sum @8 21600 0"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f><v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect"><o:lock v:ext="edit" aspectratio="t"></o:lock><v:shape id="_x0000_i1025" style="width: 251.25pt; height: 30.75pt;" type="#_x0000_t75" o:ole=""><v:imagedata src="file:///C:/WINDOWS/TEMP/msoclip1/01/clip_image001.wmz" o:title=""></v:imagedata>= <v:shapetype id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f"><v:stroke joinstyle="miter"><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"><v:f eqn="sum @0 1 0"><v:f eqn="sum 0 0 @1"><v:f eqn="prod @2 1 2"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @0 0 1"><v:f eqn="prod @6 1 2"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"><v:f eqn="sum @8 21600 0"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f><v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect"><o:lock v:ext="edit" aspectratio="t"></o:lock><v:shape id="_x0000_i1025" style="width: 251.25pt; height: 30.75pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata src="file:///C:/WINDOWS/TEMP/msoclip1/01/clip_image001.png" o:title="" chromakey="#818181"></v:imagedata><img src="integrais%20indefinidas_arquivos/integr19.gif" v:shapes="_x0000_i1025" align="middle" height="41" width="335"></v:shape></v:path></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas></v:stroke></v:shapetype></v:shape></v:path></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas></v:stroke></v:shapetype></span> </p></blockquote></blockquote></blockquote>
<p align="justify"><font face="Arial" size="2"><b>c</b>) </font><span style="font-size: 12pt; font-family: Arial;" times="" roman?;mso-bidi-font-family:?times="" new="" roman?;="" mso-ansi-language:pt-br;mso-fareast-language:pt-br;mso-bidi-language:ar-sa?=""><span style=""><v:shapetype id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f"><v:stroke joinstyle="miter"><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"><v:f eqn="sum @0 1 0"><v:f eqn="sum 0 0 @1"><v:f eqn="prod @2 1 2"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @0 0 1"><v:f eqn="prod @6 1 2"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"><v:f eqn="sum @8 21600 0"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f><v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect"><o:lock v:ext="edit" aspectratio="t"></o:lock><v:shape id="_x0000_i1025" style="width: 230.25pt; height: 30.75pt;" type="#_x0000_t75" o:ole=""><v:imagedata src="file:///C:/WINDOWS/TEMP/msoclip1/01/clip_image001.wmz" o:title=""></v:imagedata><v:shapetype id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f"><v:stroke joinstyle="miter"><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"><v:f eqn="sum @0 1 0"><v:f eqn="sum 0 0 @1"><v:f eqn="prod @2 1 2"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @0 0 1"><v:f eqn="prod @6 1 2"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"><v:f eqn="sum @8 21600 0"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f><v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect"><o:lock v:ext="edit" aspectratio="t"></o:lock><v:shape id="_x0000_i1025" style="width: 230.25pt; height: 30.75pt;" type="#_x0000_t75" o:ole=""><v:imagedata src="file:///C:/WINDOWS/TEMP/msoclip1/01/clip_image001.wmz" o:title=""></v:imagedata><img src="integrais%20indefinidas_arquivos/pic16.gif" align="middle" border="0" height="47" width="328"></v:shape></v:path></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas></v:stroke></v:shapetype></v:shape></v:path></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas></v:stroke></v:shapetype></span></span></p>
<blockquote>
<blockquote>
<blockquote>
<blockquote>
<blockquote>
<p align="justify"><font face="Arial" size="2">= <span style="font-size: 12pt; font-family: Arial;" times="" roman?;mso-bidi-font-family:?times="" new="" roman?;="" mso-ansi-language:pt-br;mso-fareast-language:pt-br;mso-bidi-language:ar-sa?=""><span style=""><v:shapetype id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f"><v:stroke joinstyle="miter"><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"><v:f eqn="sum @0 1 0"><v:f eqn="sum 0 0 @1"><v:f eqn="prod @2 1 2"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @0 0 1"><v:f eqn="prod @6 1 2"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"><v:f eqn="sum @8 21600 0"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f><v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect"><o:lock v:ext="edit" aspectratio="t"></o:lock><v:shape id="_x0000_i1025" style="width: 174pt; height: 29.25pt;" type="#_x0000_t75" o:ole=""><v:imagedata src="file:///C:/WINDOWS/TEMP/msoclip1/01/clip_image001.wmz" o:title=""></v:imagedata><img src="integrais%20indefinidas_arquivos/integr17.gif" v:shapes="_x0000_i1025" align="middle" height="39" width="232"></v:shape></v:path></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas></v:stroke></v:shapetype></span> </span></font></p></blockquote></blockquote></blockquote></blockquote></blockquote>
<p align="justify"><font face="Arial" size="2"><b>Observação:</b></font> </p>
<p align="justify"><font face="Arial" size="2">A regra da potência generalizada é:</font> </p>
<p align="center"><img src="integrais%20indefinidas_arquivos/pic17.gif" border="0" height="39" width="171"> </p>
<p align="justify"><font face="Arial" size="2"><b>Exemplo:</b></font> </p>
<p align="justify"><font face="Arial" size="2">Calculando </font><font face="Arial" size="5"><i>∫</i></font><font face="Arial" size="2"> (<i>x</i> + 5)<sup>10 </sup>d<i>x</i> , podemos supor <i>u</i> = <i>x</i> + 5 e d<i>u</i> = d<i>x</i>. Então:</font> </p>
<p align="center"><font face="Arial" size="2"><span style="font-size: 12pt; font-family: Arial;" times="" roman?;mso-bidi-font-family:?times="" new="" roman?;="" mso-ansi-language:pt-br;mso-fareast-language:pt-br;mso-bidi-language:ar-sa?=""><span style=""><v:shapetype id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f"><v:stroke joinstyle="miter"><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"><v:f eqn="sum @0 1 0"><v:f eqn="sum 0 0 @1"><v:f eqn="prod @2 1 2"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @0 0 1"><v:f eqn="prod @6 1 2"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"><v:f eqn="sum @8 21600 0"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f><v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect"><o:lock v:ext="edit" aspectratio="t"></o:lock><v:shape id="_x0000_i1025" style="width: 272.25pt; height: 30pt;" type="#_x0000_t75" o:ole=""><v:imagedata src="file:///C:/WINDOWS/TEMP/msoclip1/01/clip_image001.wmz" o:title=""></v:imagedata></v:shape></v:path></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas></v:stroke></v:shapetype></span></span></font><img src="integrais%20indefinidas_arquivos/pic18.gif" border="0" height="41" width="377"></p>
<p align="justify"><font face="Arial" size="2">       
A técnica da antidiferenciação pode ser usada, em problemas aplicados,
enunciados em termos de equações diferenciais, isto é, equações que
envolvem derivadas de uma função incógnita.</font> </p>
<p align="justify">   <font face="Arial" size="2">     Resolveremos algumas equações diferenciais da forma</font> </p>
<p align="center"><font face="Arial" size="2"><span style="font-size: 12pt; font-family: Arial;" times="" roman?;mso-bidi-font-family:?times="" new="" roman?;="" mso-ansi-language:pt-br;mso-fareast-language:pt-br;mso-bidi-language:ar-sa?=""><span style=""><img src="integrais%20indefinidas_arquivos/integr23.gif" v:shapes="_x0000_i1025" align="middle" height="37" width="60">, </span></span></font><font face="Arial" size="2">onde <i>y = f(x)</i>.</font> </p>
<p align="left">   <font face="Arial" size="2">     Para resolvermos, fazemos</font> </p>
<p align="center"><span style="font-size: 12pt; font-family: Arial;" times="" roman?;mso-bidi-font-family:?times="" new="" roman?;="" mso-ansi-language:pt-br;mso-fareast-language:pt-br;mso-bidi-language:ar-sa?=""><span style=""><v:shapetype id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f"><v:stroke joinstyle="miter"><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"><v:f eqn="sum @0 1 0"><v:f eqn="sum 0 0 @1"><v:f eqn="prod @2 1 2"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @0 0 1"><v:f eqn="prod @6 1 2"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"><v:f eqn="sum @8 21600 0"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f><v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect"><o:lock v:ext="edit" aspectratio="t"></o:lock><v:shape id="_x0000_i1025" style="width: 168pt; height: 30.75pt;" type="#_x0000_t75" o:ole=""><v:imagedata src="file:///C:/WINDOWS/TEMP/msoclip1/01/clip_image001.wmz" o:title=""></v:imagedata></v:shape></v:path></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas></v:stroke></v:shapetype></span></span><img src="integrais%20indefinidas_arquivos/pic19.gif" border="0" height="41" width="237"></p>
<p align="justify"><font face="Arial" size="2">        Além disto, dada uma condição inicial para <i>f</i>, é possível determiná-la explicitamente.</font> </p>
<p align="justify"><font face="Arial" size="2"><b>Exemplo:</b></font> </p>
<p align="justify">   <font face="Arial" size="2">     Veja, a seguir, a resolução do problema de valor inicial <span style="font-size: 12pt; font-family: Arial;" times="" roman?;mso-bidi-font-family:?times="" new="" roman?;="" mso-ansi-language:pt-br;mso-fareast-language:pt-br;mso-bidi-language:ar-sa?=""><span style=""><v:shapetype id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f"><v:stroke joinstyle="miter"><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"><v:f eqn="sum @0 1 0"><v:f eqn="sum 0 0 @1"><v:f eqn="prod @2 1 2"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @0 0 1"><v:f eqn="prod @6 1 2"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"><v:f eqn="sum @8 21600 0"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f><v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect"><o:lock v:ext="edit" aspectratio="t"></o:lock><v:shape id="_x0000_i1025" style="width: 66.75pt; height: 27.75pt;" type="#_x0000_t75" o:ole=""><v:imagedata src="file:///C:/WINDOWS/TEMP/msoclip1/01/clip_image001.wmz" o:title=""></v:imagedata><img src="integrais%20indefinidas_arquivos/integr25.gif" v:shapes="_x0000_i1025" align="middle" height="37" width="89"></v:shape></v:path></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas></v:stroke></v:shapetype></span></span>, dado que <i>f</i>(1) = 2:</font> </p>
<ul>
<li>
<p align="justify"><font face="Arial" size="2">A solução geral da equação diferencial <span style="font-size: 12pt; font-family: Arial;" times="" roman?;mso-bidi-font-family:?times="" new="" roman?;="" mso-ansi-language:pt-br;mso-fareast-language:pt-br;mso-bidi-language:ar-sa?=""><span style=""><v:shapetype id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f"><v:stroke joinstyle="miter"><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"><v:f eqn="sum @0 1 0"><v:f eqn="sum 0 0 @1"><v:f eqn="prod @2 1 2"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @0 0 1"><v:f eqn="prod @6 1 2"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"><v:f eqn="sum @8 21600 0"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f><v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect"><o:lock v:ext="edit" aspectratio="t"></o:lock><v:shape id="_x0000_i1025" style="width: 66.75pt; height: 27.75pt;" type="#_x0000_t75" o:ole=""><v:imagedata src="file:///C:/WINDOWS/TEMP/msoclip1/01/clip_image001.wmz" o:title=""></v:imagedata><img src="integrais%20indefinidas_arquivos/integr26.gif" v:shapes="_x0000_i1025" align="middle" height="37" width="89"></v:shape></v:path></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas></v:stroke></v:shapetype></span></span>é dada por:<br><i>f</i>(<i>x</i>) = </font><span style=""><font face="Arial" size="5"><i>∫</i></font></span> <font face="Arial" size="2">(2<i>x</i> + 3) d<i>x</i> = <i>x</i>² + 3<i>x</i> + <i>C</i>. </font> </p>
</li><li>
<p align="justify"><font face="Arial" size="2">A solução particular que procuramos, corresponde à curva que passa pelo ponto (1,2): <br><i>f</i>(1) = (1)² + 3(1) + <i>C</i> = 2. </font> </p></li></ul>
<p align="justify"><font face="Arial" size="2">        Daí, segue que <i>C</i> = -2 e a solução particular é:</font> </p>
<p align="center"><font face="Arial" size="2"><i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² + 3<i>x</i> - 2. </font> </p>
<p align="left"><font face="Arial" size="2"><b>APLICAÇÕES PRÁTICAS DA ANTIDIFERENCIAÇÃO</b></font> </p>
<p align="justify"><font face="Arial" size="2">       
Em muitos problemas, embora a derivada de uma função seja conhecida,
torna-se necessário calcular a própria função. É o caso, por exemplo,
de um sociólogo que, conhecendo a taxa de crescimento da população,
poderá usar tal dado para prever futuras taxas de crescimento daquela
população; de um físico que, conhecendo a velocidade de um corpo, será
capaz de determinar a posição futura do corpo; de um economista que,
conhecendo a taxa de inflação, poderá fazer estimativas do preço, no
futuro ou de um engenheiro interessado em conhecer o preço de revenda
de uma certa máquina, conhecendo a taxa de variação de seu valor em
relação ao tempo.<br>Vimos que a antidiferenciação é a operação que
permite a determinação de uma função a partir de sua derivada. Assim
sendo, resolva os seguintes problemas de aplicação de tal conceito.</font> </p>
<p align="justify"><font face="Arial" size="2"><b>1.</b> Estima-se que daqui a <i>x</i> meses, a população de uma certa cidade variará segundo a taxa de 2 + 6<span style="font-size: 12pt; font-family: Arial;" times="" roman?;mso-bidi-font-family:?times="" new="" roman?;="" mso-ansi-language:pt-br;mso-fareast-language:pt-br;mso-bidi-language:ar-sa?=""><span style=""><v:shapetype id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f"> <v:stroke joinstyle="miter"><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"><v:f eqn="sum @0 1 0"><v:f eqn="sum 0 0 @1"><v:f eqn="prod @2 1 2"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @0 0 1"><v:f eqn="prod @6 1 2"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"><v:f eqn="sum @8 21600 0"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f><v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect"><o:lock v:ext="edit" aspectratio="t"></o:lock><v:shape id="_x0000_i1025" style="width: 18pt; height: 15.75pt;" type="#_x0000_t75" o:ole=""><v:imagedata src="file:///C:/WINDOWS/TEMP/msoclip1/01/clip_image001.wmz" o:title=""></v:imagedata><img src="integrais%20indefinidas_arquivos/integr27.gif" v:shapes="_x0000_i1025" align="middle" height="21" width="24"></v:shape></v:path></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas></v:stroke></v:shapetype></span> </span>milhares de pessoas por mês. A população atual é de 500.000 pessoas. Qual será a população daqui a 12 meses?</font> </p>
<p align="left"><a href="http://www.ucs.br/deme/disciplinas/calculo/restrito/material_de_apoio/calculo2/integrais_indefinidas/exercicio1"><img src="integrais%20indefinidas_arquivos/integr30.gif" border="0" height="31" width="78"></a> </p>
<p align="justify"><font face="Arial" size="2"><b>2.</b> Um fabricante calculou que o custo marginal, em reais, de uma produção de q unidades pode ser expresso pela função <i>C</i>′(<i>q</i>) = 3<i>q</i>² - 60<i>q</i>
+ 400. O custo de produção das duas primeiras unidades foi de R$
900,00. Qual será o custo total de produção das cem primeiras unidades ?</font> </p>
<p align="left"><a href="http://www.ucs.br/deme/disciplinas/calculo/restrito/material_de_apoio/calculo2/integrais_indefinidas/exercicio2"><img src="integrais%20indefinidas_arquivos/integr30.gif" usemap="#FPMap1" border="0" height="31" width="78"></a> </p>
<p align="justify"><font face="Arial" size="2"><b>3.</b> O preço de revenda de certa máquina decresce a uma taxa que varia com o tempo. Quando a máquina tiver <i>t</i> anos de uso, a taxa de variação de seu valor será, em reais por ano, dada pela função <i>F</i>(<i>t</i>) = 220 (<i>t</i> - 10). Se a máquina foi comprada por R$12.000,00, quanto valerá daqui a 10 anos ?</font> </p>
<p align="left"><a href="http://www.ucs.br/deme/disciplinas/calculo/restrito/material_de_apoio/calculo2/integrais_indefinidas/exercicio3"><img src="integrais%20indefinidas_arquivos/integr30.gif" border="0" height="31" width="78"></a> </p>
<p align="justify"><font face="Arial" size="2"><b>4.</b> O lucro marginal (derivada do lucro) de uma fábrica, ao produzir <i>q</i> unidades, é de 100 - 2<i>q</i> reais por unidade. Se o lucro obtido com a produção de 10 unidades é de R$700,00, qual será o lucro máximo da fábrica ?</font> </p>
<p align="left"><a href="http://www.ucs.br/deme/disciplinas/calculo/restrito/material_de_apoio/calculo2/integrais_indefinidas/exercicio4"><img src="integrais%20indefinidas_arquivos/integr30.gif" usemap="#FPMap3" border="0" height="31" width="78"></a> </p>
<p align="justify"><font face="Arial" size="2"><b>5.</b> Em um lago, gelo está sendo formado a uma taxa dada por <span style="font-size: 12pt; font-family: Arial;" times="" roman?;mso-bidi-font-family:?times="" new="" roman?;="" mso-ansi-language:pt-br;mso-fareast-language:pt-br;mso-bidi-language:ar-sa?=""><span style=""><v:shapetype id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f"><v:stroke joinstyle="miter"><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"><v:f eqn="sum @0 1 0"><v:f eqn="sum 0 0 @1"><v:f eqn="prod @2 1 2"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @0 0 1"><v:f eqn="prod @6 1 2"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"><v:f eqn="sum @8 21600 0"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f><v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect"><o:lock v:ext="edit" aspectratio="t"></o:lock><v:shape id="_x0000_i1025" style="width: 45.75pt; height: 27.75pt;" type="#_x0000_t75" o:ole=""><v:imagedata src="file:///C:/WINDOWS/TEMP/msoclip1/01/clip_image001.wmz" o:title=""></v:imagedata><img src="integrais%20indefinidas_arquivos/integr29.gif" v:shapes="_x0000_i1025" align="middle" height="37" width="61"></v:shape></v:path></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas></v:stroke></v:shapetype></span> </span>, onde <i>y</i> é a espessura do gelo, em centímetros, no instante <i>t</i>, medido em horas, desde o momento em que o gelo começou a se formar, e <i>k</i> é uma constante positiva. Determine <i>y</i> em função de <i>t</i>.</font> </p>
<p align="left"><a href="http://www.ucs.br/deme/disciplinas/calculo/restrito/material_de_apoio/calculo2/integrais_indefinidas/exercicio5"><img src="integrais%20indefinidas_arquivos/integr30.gif" usemap="#FPMap4" border="0" height="31" width="78"></a> </p>
<p align="justify"><font face="Arial" size="2"><b>6.</b> Considere os
custos de se perfurar um poço de petróleo. Existem dois tipos de
custos: custos fixos (que independem da profundidade do poço) e custos
marginais (o custo adicional de se perfurar mais um metro). Usando-se
as duas informações, pode-se determinar o custo total, C. O custo
marginal depende da profundidade em que se está perfurando; a
perfuração torna-se cada vez mais cara, por metro, na medida em que se
aprofunda cada vez mais para o interior do solo. Suponha que o custo
fixo seja de 1.000.000,00 riais (o rial é a unidade monetária da Arábia
Saudita), e o custo marginal é</font> <font face="Arial" size="2"><i>C</i>′(<i>x</i>)=4.000 + 10<i>x</i>, em riais/metro, onde <i>x</i> é a profundidade em metros. Determine o custo total de se perfurar um poço com x metros de profundidade.</font> </p>
<p align="justify"><a href="http://www.ucs.br/deme/disciplinas/calculo/restrito/material_de_apoio/calculo2/integrais_indefinidas/exercicio6"><img src="integrais%20indefinidas_arquivos/integr30.gif" usemap="#FPMap4" border="0" height="31" width="78"></a></p>
<p align="left"><v:shapetype id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f"><v:stroke joinstyle="miter"><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"><v:f eqn="sum @0 1 0"><v:f eqn="sum 0 0 @1"><v:f eqn="prod @2 1 2"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @0 0 1"><v:f eqn="prod @6 1 2"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"><v:f eqn="sum @8 21600 0"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f><v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect"><o:lock v:ext="edit" aspectratio="t"></o:lock><v:shape id="_x0000_i1025" style="width: 45.75pt; height: 27.75pt;" type="#_x0000_t75" o:ole=""><v:imagedata src="file:///C:/WINDOWS/TEMP/msoclip1/01/clip_image001.wmz" o:title=""></v:imagedata>
</v:shape></v:path></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas></v:stroke></v:shapetype></p><p align="justify"><font face="Arial" size="2"><b>7.</b>
Um dos primeiros problemas de poluição considerados pela Agência de
Proteção Ambiental (APA) dos EUA foi o caso do Lago Sioux, no leste do
estado de Dakota do Sul. Durante muitos anos uma pequena fábrica de
celulose, localizada nas redondezas, vinha despejando lixo, contendo
carbono tetraclorídrico (CCl<sub>4</sub>), nas águas do lago. Quando a
APA tomou conhecimento do caso, a substância química estava sendo
despejada a uma taxa de 12 metros cúbicos/ano.<br>   </font>     <font face="Arial" size="2">A agência imediatamente ordenou a instalação de filtros desenvolvidos para diminuir (e, finalmente, interromper) o fluxo de CCl<sub>4</sub>
da fábrica. A implementação desse programa levou, exatamente, três
anos, durante os quais o fluxo do poluente se manteve constante, em 12
metros cúbicos/ano. Uma vez instalados os filtros, o fluxo diminuiu. Do
momento em que os filtros foram instalados, até o instante em que o
fluxo cessou, a taxa do fluxo esteve bem aproximada por<br><br>Taxa (em metros cúbicos/ano) = 0,75 (<i>t</i>² - 14<i>t</i> + 49) onde <i>t</i> é o tempo, medido em anos, desde o momento em que os filtros foram instalados.<br>(a) Trace um gráfico mostrando o fluxo de CCl<sub>4</sub> no lago em função do tempo, iniciando no momento em que a APA tomou conhecimento da situação.<br>(b)
Quantos anos se passaram desde o momento em que a APA tomou
conhecimento da situação até o momento em que o fluxo cessou
inteiramente ?<br>(c) Qual foi a quantidade de CCl<sub>4</sub> despejada no lago durante o tempo mostrado no gráfico do ítem (a) ?</font> </p>
<p align="left"><a href="http://www.ucs.br/deme/disciplinas/calculo/restrito/material_de_apoio/calculo2/integrais_indefinidas/exercicio7"><img src="integrais%20indefinidas_arquivos/integr30.gif" border="0" height="31" width="78"></a> </p>
<p align="justify"><font face="Arial" size="2"><b>8.</b> A corrente num certo circuito é dada por<span style="font-size: 12pt;" times="" new="" roman?;mso-fareast-font-family:?times="" roman?;mso-ansi-language:="" en-us;mso-fareast-language:pt-br;mso-bidi-language:ar-sa?="" lang="EN-US"><span style=""><v:shapetype id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f"> <v:stroke joinstyle="miter"><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"><v:f eqn="sum @0 1 0"><v:f eqn="sum 0 0 @1"><v:f eqn="prod @2 1 2"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @0 0 1"><v:f eqn="prod @6 1 2"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"><v:f eqn="sum @8 21600 0"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f><v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect"><o:lock v:ext="edit" aspectratio="t"></o:lock><v:shape id="_x0000_i1025" style="width: 56.25pt; height: 23.25pt;" type="#_x0000_t75" o:ole=""><v:imagedata src="file:///C:/WINDOWS/TEMP/msoclip1/01/clip_image001.wmz" o:title=""></v:imagedata><img src="integrais%20indefinidas_arquivos/integr31.gif" v:shapes="_x0000_i1025" align="middle" height="31" width="75"></v:shape></v:path></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas></v:stroke></v:shapetype></span></span>amp. Determinar a carga (em coulombs) que passa num dado ponto do circuito após 1 segundo. (Supor <i>q</i> = 0 quanto <i>t</i> = 0). </font></p>
<p align="left"><a href="http://www.ucs.br/deme/disciplinas/calculo/restrito/material_de_apoio/calculo2/integrais_indefinidas/exercicio8"><img src="integrais%20indefinidas_arquivos/integr30.gif" border="0" height="31" width="78"></a></p>
<p align="justify"><font face="Arial" size="2"><b>9.</b> Determine uma função <i>f</i> cujo coeficiente angular da tangente em cada ponto (<i>x</i>,<i>f</i>(<i>x</i>)), é 3<i>x</i><font size="3">²</font> + 1 e cujo gráfico passe pelo ponto (2,6). </font></p>
<p align="left"><a href="http://www.ucs.br/deme/disciplinas/calculo/restrito/material_de_apoio/calculo2/integrais_indefinidas/exercicio9"><img src="integrais%20indefinidas_arquivos/integr30.gif" border="0" height="31" width="78"></a></p>
<p align="justify"><font face="Arial" size="2"><b>10.</b> Um volante roda à razão dada pela equação </font><font face="Arial" size="3">ω</font><font face="Arial" size="2"> = 80 - 12<i>t</i> + 3<i>t</i><font size="3">²</font> onde </font><font face="Arial" size="3">ω</font><font face="Arial" size="2"> é a velocidade angular em rotações por minuto. Determinar o número <i>n</i>, de rotações que o volante faz nos primeiros 3 segundos. (Supor que <i>n</i> = 0 quando <i>t</i> = 0 ). </font></p>
<p align="left"><a href="http://www.ucs.br/deme/disciplinas/calculo/restrito/material_de_apoio/calculo2/integrais_indefinidas/exercicio10"><img src="integrais%20indefinidas_arquivos/integr30.gif" border="0" height="31" width="78"></a></p>
<p align="justify"><font face="Arial" size="2"><b>11.</b> Um objeto se move a uma velocidade de 3 + 2<i>t</i> + 6<i>t</i><font size="3">²</font> metros por minuto, após <i>t</i> minutos. Qual a distância percorrida pelo objeto durante o segundo minuto ? </font></p>
<p align="left"><a href="http://www.ucs.br/deme/disciplinas/calculo/restrito/material_de_apoio/calculo2/integrais_indefinidas/exercicio11"><img src="integrais%20indefinidas_arquivos/integr30.gif" border="0" height="31" width="78"></a> </p>
<p align="left"><a href="http://www.ucs.br/deme/tplMecam/disciplinas/calculo/restrito/material_de_apoio/calculo2/integrais_indefinidas/principal/integrais_indefinidas.tex"><font face="Arial" size="2">Download de Integrais Indefinidas</font></a> </p></span></blockquote>
</body></html>

Comentários